Concluons de là que si Ton connaissait
seulement les directions des deux forces P
Ficf. i3. etQ(Jig. i3), et celle de leur résultante R,
on pourrait déterminer le rapport de la force P
à la force Q. Car, en prenant sur la direction de la résultante un point quelconque D, et menant de ce point deux parallèles DC et DB aux directions des composantes P et Q, et qui rencontrent ces directions en C et B, on aurait nécessairement P : Q : : AB : AC. Sans quoi Ton aurait P est à Q comme AB est à une ligne AO plus petite ou plus grande que AC; et alors la résultante des deux forces P et Q serait dirigée suivant la diagonale AI d un parallélogramme AOIB différent du parallélogramme ABDC; ce qui est contre l'hypothèse.
Théorème IV.
35. La résultante des deux forces quelconques' P ei Q ( fig. i4) appliquées à un même point fiq, 14. A, est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme ABDC, construit sur les deux lignes AB, AC qui représentent ces forces en grandeur et en direction.
Nous avons déjà vu que cette résultante est dirigée suivant la diagonale; reste à faire voir qu elle est représentée en quantité par la diagonale elle-même.
Soit R cette résultante : supposez qu'elle soit appliquée au point A sur le prolongement de la diagonale DA, en sens contraire de son ac-
tion. Les trois forces P, Q, R seront en équilib sur le point A. Donc l'une d'elles, la force par exemple , sara égale et directement opf sée à la résultante des deux autres P et R. Do la direction de la force Q, prolongée, sera ce de la résultante des deux forces P et R. Do si, du point B, vous menez à la direction A la parallèle BG qui rencontre en G le prok gement de Q A, et du point G , à la direction l la parallèle GH qui rencontre en H la direct de la fdVce R , les deux forces P et R seront < tre elles comme les côtés AB, AH du parall^ gramme ABGH (54). Mais la ligne AB rep sente actuellement la force P ; donc la ligne représente la force R. Or, par les parallèles, a AH = BG = AD ; donc, etc.
Corollaire I.
36. Puisque les trois forces P, Q, R s entre elles comme les trois lignes AB, AC, i et que dans le parallélogramme ABDG o AB = CD , on peut dire que ces trois forces i entre elles comme les trois côtés CD , CA et du triangle ACD. Mais ces trois côtés sont e eux comme les sinus des angles opposés G CDA, ACD, et à cause des parallèles, Ta CDA=r l'angle BAD, langlc ACD est sup ment de langle BAC, et, par conséquent,
même sinus; on a donc
P : Q : R : : siifCAD : sin BAD : sin BAC.
D'où Ion peut conclure que, la résultante de deux forces P et Q étant représentée par le sinus de i angle formé par leurs directions, les deux forces P et Q sont représentées réciproquement par les sinus des deux angles adjacents à la direction de la résultante; ou , si Ion veut , chacune des forces P, Q, R est comme le sinus de l'angle formé par les directions des deux autres.
Remarque, 37, On peut voir par là , et mieux encore par la considération immédiate du parallélogramme des forces, que lorsque deux forces agissent sur un même point sous un angle qui n'est pas égal à deux droits, elles ne peuvent jamais donner une résultante nulle, à moins quelles né soient nulles elles-mêmes, chacune en particulier.
Car, si aucune des deux forces n'était nulle , on pourrait construire un parallélogramme sur les deux lignes qui les représentent en grandeur et en direction, et la diagonale de ce parallélogramme serait la résultante.
Si Tune d'elles seulement était nulle, la seconde serait la résultante ; et , par conséquent, la résultante ne peut être nulle, à moins que les
4o KLÉMENTS
composantes ne soient toutes deux nulles même temps. •
Lorsque les deux composantes agissent s( un angle égal à deux angles droits , elles s< alors contraires, et la résultante n'est pas ni dans le seul cas où ces deux composantes s< nulles toutes deux, mais encore dans celui elles sont égales.
Corollaire II.
38. On peut toujours décomposer une fo donnée R en deux autres P et Q dirigées suiv Fig. i5. des lignes données AP, AQ {fig, i5), pou que ces directions et celle de la force R soi comprises dans un même plan et concoureni même point A; car, prenant sur la directioi la force R une partie AD qui représente quantité , et par le point D menant les drc DC , DB parallèles aux directions données AQ, on formera un parallélogramme ABI dont les côtés AB, AC représenteront les foi demandées P et Q.
Si Ton veut calculer immédiatement U grandeurs, on pourra faire ces deux proj tions :
R : P :: sinBAC : sinCAI),
R : Q :: sinBAC : sinBAD, dans lesquelles il n'y a que P et Q (l'inconn
DE STATIQUE. 4i
Remarque,
39. Si l'angle BAC était droit, on anrait^ en supposant le rayon = r , si a BAC = i ; sin CAD = cos BAD; et, réciproquement , sin BAD =: cos CAD; et les deux proportions ci-dessus deviendraient
R : p :: I : cosBad, R : Q :: I : cosCAD.
D'où P=:R.cosBAD, et Q = R.cosCAD.
Il résulte de là que lorsqu'on décompose une force en deux autres qui agissent suivant des directions rectangulaires entre elles, on trouve chaque composante en multipliant la force proposée par le cosinus de langle qu'elle fait avec la direction de cette composante.
Chaque composante est représentée par la projection de la résultante sur sa direction, et c'est ce qu'on appelle souvent la force estimée suivant cette direction. Ainsi R.cos BAD, ou la composante P, est la force R estimée suivant la direction AP.
Corollaire III.
40. Quand on sait déterminer la résultante de deux forces appliquées à un point, on peut déterminer celle de tant do forces P, Q , R, S, etc.,
qu on voudra , appliquées à un rnéme point i et dirigées d'une manière arbitraire dans le pace. Car, en considérant d'abord deux que conques de ces forces, comme les forces P et par exemple, ces deux forces seront dans i même plan, et Ion en déterminera la rési tante comme nous lavons fait tout à Theui Soit X cette résultante; on prendra semblabi ment la résultante de la force X et dune aut telle que R. Combinant ensuite cette résultanl que je désigne par Y , avec une nouvelle force on aura leur résultante Z , qui sera celle c quatre forces P, Q, R , S; et continuant ain on arrivera nécessairement à la résultante j nérale.
Si toutes les forces P, Q, R, S, etc., si dans un même plan, les résultantes successi X, Y, Z, etc., seront dans ce même plan , par conséquent, la résultante générale y s^ aussi.
Si toutes les forces sont en équilibre, résultante générale sera nulle.
Par cette composition successive de plusie forces autour d un même point, on voit enci que, si Ion décrit dans l'espace un cont< polygonal dont les côtés successifs soient pai lèles et proportionnels à ces forces, la dr< (jui ferme ce contour et achève ainsi le pc
gone, est parallèle et proportionnelle à la ré- * sultante générale de toutes les forces; de sorte que si le polygone se trouve fermé de lui-même, la résultante est nulle , et toutes les forces sont en équilibre autour du point qu elles sollicitenL
Le théorème suivant n est , au fond , qu un cas particulier de cette élégante proposition; mais, comme il est d^un fréquent usage en Mécanique, nous allons 1 énoncer et le démontrer expressément.
Théorème V.
41. Si trois forces X, Y, Z, appliquées à un même point A (fig. i6) dans l'espace sont repré- Fiç. i6 seniées par les trois lignes AB , AC , AD, et quon achève le paraliélipipède A . • . F , la résultante R de ces trois forces sera représentée par la diago-^ nale AF de ce paraliélipipède.
En effet, les deux forces XetY, qui sont représentées par les dçux côtés du parallélogramme ABGC, donneront pour résultante une force P représentée par la diagonale AG de ce parallélogramme.
Ensuite, à cause de AD égal et parallèle à GF,^ la figure AGFD sera un parallélogramme, et, par conséquent , les deux forces P et Z donneront une résultante R représentée par la dia-
{];oDale AF, laquelle est en même temps la di. gonale du parallélipipède proposé.
Remarque,
42. Observons sur-le-champ, comme n° 57, que tant que les trois forces X, Y, ne seront pas dans un même plan, elles pourront jamais donner une résultante nulle , moins qu^elles ne soient nulles elles-mêmes particulier.
Car, si aucune d'elles n était nulle, on poi rait construire le parallélipipède sur les lige qui les représentent en grandeur et en din tion, et la diagonale serait la résultante.
Si lune d elles seulement était nulle, les de autres qui, par hypothèse, ne sont pas en lig droite , auraient une résultante.
Enfin, si deux d'entre elles seulement étaii nulles, la troisième serait la résultante, et, j conséquent , les composantes X , Y , Z doivi être nulles toutes trois, pour donner une réi tante nulle.
Corollaire I.
45. On voit par le théorème précédent (qu pourrait nommer le parallélipipède des fora qu'une force quelconque donnée R est toujo dccomposablc en trois autres X, Y, Z resp
tivement parallèles à trois lignes données dans l'espace , pourvu que deux de celles-ci ne soient pas parallèles.
Car, en prenant la partie AF pour représenter la quantité de la force R, et menant par le point A d'application trois lignes parallèles aux droites données chacune à chacune, on conduira par le point A trois plans indéfinis XY, XZ, YZ, et par le point F, trois autres plans respectivement parallèles aux premiers; et ces six plans détermineront le parallélipipècle dont les trois arêtes contiguës AB, AC, AD, représenteront les trois composantes X, Y, Z.
Corollaire IL 44. Si le parallélipipède est rectangulaire,
on aura, dans le rectangle ADFG, AF = AD
•+• AG ; mais , dans le rectangle ABGC . on a
AG == AC -+■ AB : donc en substituant celte
valeur de AG , on aura
Âf'=ÂdVâcVab'; par conséquent ,
Ce qui donne R = y/X^ -\- Y^ ^ Z^ pour la
valeur de la résultante en fonction des tro composantes.
45. Si Ton veut avoir les trois composant en fonction de la résultante et des angles qu ell font avec elle , en nommant d'abord a Tang que la résultante R fait avec la composante J on aura visiblement AF : AB : : i : cos a, et, p conséquent,
R : X : : I : cos a ;
d où Ion tire X = R cos a.
En nommant de même |S et y les angles q la résultante fait respectivement avec les coi posantes Y et Z , on trouvera Y = R cos Z = Rcosy; d'où il suit qu'on trouvera valeurs des trois composantes respectives multipliant la résultante par les cosinus resp< tifs des trois angles que sa direction forme a^ les directions de ces composantes.
Remarque,
46. Puisqu'on a trouvé R^ = X^ + Y^ H- ! en substituant pour X , Y , Z leurs valeurs r pectives R cos a, R cos S , R cos 7, on aura
R^ = R2 cos^ a + R' cos^ g 4- R' cos^ 7; ou bien,
R2 = R^ (cos^ a + cos^ S -f- cos^ 7) ,
d'où
cos^ a -h cos^ 6 4- cos^ 7 = i j
relation connue qui a toujours lieu entre les angles que fait une droite avec trois axes rectangulaires dans l'espace.
