COMPOSITIOJ» ET DÉCOMPOSITION DES COUPLES

47. Pour abréger le discours, nous appellerons couple Tensemble de deux forces, telles que P et — P [Jig. 17), égales, parallèles et Fig. 17. contraires , mais non appliquées au même point. La perpendiculaire commune AB, menée entre les directions des deux forces , sera le bras de levier du couple, et le produit P x AB de lune des forces par le bras de levier en sera nommé le moment.

Quelle que soit l'action de deux forces telles que P et — P, sur le corps auquel elles sont appliquées, nous avons vu (27) que cette action ne peut être contre -balancée par celle d aucune simple force appliquée comme on voudra au même corps, et que, par conséquent, l'effort d «n couple ne peut être comparé d aucune manière à une simple force. Pour distinguer cette nouvelle cause de mouvement, qui est en quelque sorte d'une nature particulière, on pourrait lui

5o ÉLÉMENTS

Polir démontrer plus facilement cette pri position , dous la décomposerons en dei autres.

Fig. i8. Soit d'abord le couple (P, — P) (fig. i8) aj pliqué perpendiculairement sur AB; prenons c Ton voudra , dans le plan de ce couple ou dai tout autre plan parallèle, la droite CD, égale < parallèle à AB; joignons AD et BC, qui seroi dans un même plan , et se couperont visiblemei au milieu I de leurs longueurs respectives; supposons enfin les droites AB et CD liées enti elles d'une manière invariable.

Si Ton applique sur la ligne CD, parallèi ment aux forces P et — P, deux couples co traires (?', — P') , (P", — P") , égaux entre e et au couple proposé (P, — P), il est évidi que ces deux couples se détruiront dev mêmes, et que, par conséquent, l'effet couple (P, — P) ne sera pas changé. Mais, d autre côté, il est facile de voir que les de couples (P,— P) et (P%~P") se détruis aussi d'eux-mêmes; car, le point I étant à fois le milieu des deux lignes AD et BC, deux forces égales et parallèles P et P", apj quées sur AD, donnent une résultante par. tement égale et opposée à la résultante des d forces — P et — P", appliquées sur BC. On p donc supprimer les deux couples (P, —

milieu de son bras de levier, et Ion distinguera facilement le sens des couples en distinguant les couples qui tendent à faire tourner dans un sens, d'avec ceux qui tendent à faire tourner dans ie sens contraire. Mais ne perdons pas de vue qu'il n'y aura réellement aucun point fixe (à moins que nous n'en avertissions expressément) , et que l'idée de rotation , qui jusqu'ici est purement accessoire, ne servira qu'à faire image au besoin.

Translation des couples.

48. Nous avons vu plus haut qu une force peut être transportée en un point quelconque de sa direction, pourvu que ce point soit lié au premier d'une manière invariable : voici une proposition analogue pour les couples, qui n est pas moins remarquable que la première, et dont nous ferons le plus grand usage par la suite.

Lemme.

49. Un couple quelconque peut être transporté partout où ton voudra dans son plan, ou dans tout autre plan parallèle , et tourné comme on voudra dans ce plan , sans que son effet sur le corps auquel il est appliqué en soit changé, pourvu quon suppose le nouveau bras de levier invariablement attaché au premier.

Statiquk p. ^

52 ÉLÉMEîiTS

pour ainsi dire, que le couple primitif quoi aurait tourné dans son plan, de manière qui son bras de levier ÂB fût venu dans la positioi oblique CD.

De ces deux propositions réunies, on peu conclure qu'un couple quelconque , sans qu son effet soit changé, peut être transporté dar ^on plan y ou dans tout autre plan parallèle , e telle position qu^on voudra : car ou peut d a bord le transporter parallèlement à ses forci dans le plan donné, de manière que le milic de son bras de levier tombe au point dooi qu'on voudra, et l'on peut ensuite le tourn< autour de ce point, de manière à l'amener da la position donnée; ou, réciproquement, ( peut le tourner d'abord dans son plan, de ni nière- que ses forces deviennent parallèles a nouvelles directions qu'on veut leur donner, ensuite le transporter immédiatement dans position donnée.

Transformation des couples; leur mesui

Lemme.

Fig. ao. 50. Un couple quelconque (P, — P) (fig. appliqué sur un bras de levier AB , peut i changé en un autre (Q, -— Q) de même se

appliqué sur un bras de levier BG différent du premier, pourvu quon ait P : Q : : BC : AB, ou P X AB = Q X BC, cest-à^dire pourvu que tes moments de ces couples soient égaux.

Prenons, en effet, sur le prolongement de AB une partie quelconque BC, et appliquons sur BG , parallèlement aux forces P et — P , deux couples (Q,—Q), (Q'ï"-QO égaux et contraires : leur effet sera absolument nul , et , par conséquent , celui du couple (P, — P)ne sera pas changé. Mais , d'un autre côté , si Ion suppose que les forces P et Q, et, par conséquent, P et Q', sont en raison inverse des lignes AB et BC, leur résultante, qui est égale à P + Q', passe en B , et détruit évidemment les forces contraires — P, — Q'qui s'y trouvent. On peut donc supprimer les quatre forces P, Q', — P, — Q', et il ne reste plus que le couple (Q, — Q) appliqué sur BG, lequel remplace le couple proposé (P, — P) appliqué sur AB.

Corollaire,

51. Il nest pas difficile de conclure de là que les efforts des couples sont proportionnels à leurs moments.

En effet, on peut voir d'abord que deux <:ouples(P, - P), (Q, ~ Q) {Jig. ai ), qui agis- Fig. ar.

54 ÉLÉMËINTS

sent sur les bras de leviers égaux AB, CD, sont entre eux comme les forces P et Q de ces couples : car, si l'on suppose les forces P et Q entre elles comme deux nombres entiers, comme 5 et 3 par exemple, en partageant chaque force P et — P en 5 forces égales , et chaque force Q et — Q en 3 forces égales entre elles et aux premières, on pourra considérer le couple (P, — P) comme la somme de 5 couples égaux et de même sens, appliqués parfaitement l'un sur l'autre, et le couple (Q, — Q) comme « la somme de 3 couples égaux entre eux et aux premiers, aussi appliqués l'un sur l'autre. Les intensités des couples (P, — P), (Q,-— Q), seront donc entre elles comme 5 à 3, ou comme P à Q. Si les forces P et Q sont incommensurables, on fera le raisonnement connu, etc.

Maintenant soient deux couples quelconques (P, — P) , (Q , — Q) ; soient p le bras de levier du premier, et q le bras de levier du second : le couple (Q, — Q), agissant sur la ligne g, est

équivalent au couple (-Q, — -Q)> qui agirait sur la ligne p; car les moments sont égaux de part et d'autre , le premier étant Qq , et le

P couples proposés, on a ces deux-ci (P, — P),

second,- Q.p =z Qq. Ainsi, au lieu des deux

( - Q , — - Q j qui ont un même bras de levier^.

Mais les intensités M et N de ces deux couples sont entre elies comme leurs forces, et, par

conséquent, Ton a M : N :: P : ^Q, ou bien

52. Puisque deux couples sont entre eux dans le rapport de leurs moments, il s'ensuit que le moment d un couple est la mesure de son effort ou de son intensité : car si Ion prend pour unité de couple celui qui est composé de deux forces égales à Tunité de force, appliquées sur un bras de levier égal à Tunité de ligne, le couple (P, — P) au bras de levier p contiendra autant de fois Tunité de couple que le moment P x p contiendra le moment i X i , c est-à-dire contiendra Tunité.

Remarque,

55. Pour comparer entre elles les grandeurs ou les intensités des couples, on pourrait prendre aussi , au lieu des produits P/7, Qq des forces par leurs bras de levier rectangulaires , les produits de ces mêmes forces par des bras de levier obliques sur leurs directions. Mais il faudrait pour tous les couples que les bras de

levier fissent le même angle avec les forces. Il est clair qu'alors les bras de levier obliques se* raient tous proportionnels aux bras de levier rectangulaires , et que , par conséquent , les nouveaux moments seraient proportionnels aux premiers.

Nous emploierons quelquefois ces nouveaux moments dans la mesure relative de différents couples; mais nous regarderons toujours les autres comme la mesure absolue de leurs intensités.

Composition des couples situés dans un même plan, ou dans des plans parallèles .

Théorème I.

54. Deux couples situés comme on voudra dans le même plan ou dans des plans parallèles, se composent toujours en un seul, qui est égal à leur somme, s ils tendent à faire tourner dans le même sens, ou égal à leur différence s ils tendent à faire tourner en sens contraires.

En effet, on peut d abord ramener ces deux couples dans un même plan, ensuite ramener leurs forces au parallélisme, enfin les changer en deux autres équivalents qui auraient un même bras de levier, et alors les appliquer Ion sur laiitre.

Soient P et Q les forces composantes des deux couples j p et q leurs bras de levier respectifs; et soit D la longueur du bras de levier commun aux deux couples transformés. Au lieu du couple (P, — P) au moment Pp, on substituera le couple équivalent (P', — P'), dont le moment P'D serait égal à Pp. Ou substituera de même, àlaplaceducouple(Q, — Q) au moment Q^, le couple (Q', — Q')aumoment Q'D = Q^; et ces deux couples transformés étant appliqués lun sur l'autre , sur le même bras de levier D, on aura un couple unique résultant [(P' 4- Q'), - (P' -+- Q')], dont le moment sera

(P' -H Q') D , ou P'D H- Q'D = Pp 4- Qq.

Ainsi, le moment résultant sera égal à la somme des moments composants . ou bien à leur différence, selon que les forces P' et Q', qui agiront à la même extrémité du bras de levier D, seront de même sens, ou de sens contraires.

Corollaire,

On voit donc, en combinant ainsi les couples deux à deux, que tant de couples qu'on voudra , situés d'une manière quelconque dans un même plan ou dans des plans parallèles, se

réduiront toujours à uo seul , égal à la somn de ceux qui tendent à faire tourner dans i sens, noioins la somme de ceux qui tendent faire tourner dans le sens contraire.

Et réciproquement, ou pourra décompos un couple donné eu autant d autres qu'on vo dra, situés dans le même plan ou dans d plans parallèles. On pourra même prendre volonté tous ces couples, hors un seul; car suffira que la somme de ceux qui agissent da le même sens, moins la somme de ceux q agissent en sens contraire, soit égale au cou|: proposé.

Composition des couples situés dans a plans quelconques.

Théorème II.

55. Deux couples situés comme on vota dans deux plans qui se coupent sous un angle qu conque se composent toujours en un seul.

Et si ion représente les moments de ces ce pies par les longueurs respectives de deux dro tirées sous un angle égal à celui des deux plans, quon achève le parallélogramme y le moment couple résultant sera représenté par la diagon de ce parallélogramme, et le plan de ce cou partagera i angle que font entre eux les plans

DE STATIQUE. Sq

couples composants^ comme la diagonale du parallélogramme partage l'angle que font les deux côtés adjacents.

Soient , en effet , les deux couples proposés , situés dans les deux plans AGM, AGN {fig. aa), Fig. m. qui se rencontrent suivant AG; et supposons quon ait d abord changé ces deux couples en deux autres respectivement équivalents, qui auraient un même bras de levier.

En quelque lieu que soit situé le couple (P, — P) dans le plan AGM, on pourra le ramener dans ce plan à angle droit sur Imtersection AG, de manière que son bras de levier AB tombe sur Tintersection AG (49). De même, en quelque lieu que soit situé le couple (Q, — Q) dans le plan AGN, on pourra le ramener aussi à angle droit sur la même intersection , et de manière que son bras de levier, égal au premier, coïncide avec lui en AB.

Alors les deux forces P et Q appliquées en A , se composeront en une seule R appliquée au même point A, et représentée par la diagonale AR du parallélogramme construit sur les deux lignes AP, AQ , qui représentent les forces P et Q. Les deux forces — P, — Q, appliquées en B, se composeront aussi en une seule — R appliquée en B , parfaitement égale, parallèle et contraire à la première ; et Ton aura , au limi

6o ÉLÉMENTS

des deux couples (P, — P), (Q, — Q), le coup unique (R, — R) appliqué sur le même bras < levier AB.

Puisque ces trois couples ont un même br de levier, leurs moments respectifs sont pr portionnels aux valeurs des trois forces P, Q, ] Donc , si Ton représente les moments des de couples composants par les deux lignes AP, É qui leur sont proportionnelles, le moment couple résultant sera représenté par la diaj nale AR du parallélogramme APRQ constr sur ces lignes. Or il est visible que les ang formés par les trois lignes AP, AQ, AR, n surent les angles que font les trois plans ; doni plan du couple résultant partage Fangle des di autres plans , comme la diagonale AR part laugle PAQ des deux côtés adjacents AP, i Donc, etc.

Corollaire,

56. On pourra donc toujours réduire à seul tant de couples que Ion voudra, applicj à un corps d une manière quelconque dans 1 pace; car, en les composant successivement d à deux, comme nous venons de faire, on a vera nécessairement à un couple unique c on connaîtra le plan et là grandeur, et qui . équivalent à tous les autres.

DE STATIQUE. 6l

Réciproquement, on peut toujoui's décomposer un couple en deux autres situés dans deux plans donnés, pourvu que ces plans et celui du couple proposé se rencontrent suivant une même droite (ou suivant des droites parallèles ; car, en transportant le plan de lun de ces couples parallèlement à lui-même, ce qui est permis (49), on rassemblerait leurs trois intersections parallèles en une seule).

Remarque I.

57. Pour opérer cette décomposition , on n^aura qu'à suivre dans l'ordre inverse le procédé que nous venons de donner pour la composition de deux couples; ou bien Ion emploiera la méthode suivante, qui est très-simple, et dont nous nous servirons quelquefois.

Soit AZ {fig. ti3) la commune intersection Fig. a3. des trois plans : menons à volonté un plan YAX qui les coupe suivant les trois lignes respectives AY, AV, AX; et soit ZAV le plan du couple proposé.

En quelque lieu que ce couple (P, — F) soit situé dans le plan ZAV, on peut le placer de manière que ses forces soient parallèles à Tinterseclion AZ, et que la direction de luue d'elles, comme de la force — P, coïncide avec

6tl ÉLÉMENTS

cette même intersection. Alors la direction dt l'autre force P rencontrera quelque part en 1 la droite AV, et l'on aura le couple (P, — P appliqué d'une manière quelconque sur AB comme on le voit dans la figure. Maintenao formons, suivant les directions AY, AX, ave AB comme^ diagonale , le parallélogramm BCAD ; et à l'un des angles C ou D, en D pa exemple y appliquons deux forces contraire P', — P', égales et parallèles aux forces P et — • du couple proposé. L'effet de ce couple ne sei pas changé. Mais actuellement, au lieu d couple (P, — P) appliqué sur la diagona AB , on peut en considérer deux autres : Tu (P', — P) appliqué sur le côté AD dans Vv des plans donnés ZAY; l'autre (P, — P') b\ pliqué sur BD parallèlement à l'autre ph ZAX. Or ce couple peut être transporté p rallèlement à lui-même dans ce plan ZAX , si le côté AG = BD; et l'on aura alors, au li( du couple (P, — P) appliqué sur la diagona AB, deux couples (P', — P), (P, — P'), con posés de forces égales et parallèles aux pr mières, appliqués dans les deux plans donn sur les côtés AD, AG.

Remarque II.