Si Ton supposait que le plan VAX i

mené perpendiculairement à la commune intei-section AZ des plans des trois couples , 1q& forces de ces couples seraient perpendiculaires aux lignes AY, AV, AX; et comme ces forces sont égales, les moments des couples seraient proportionnels à leurs bras de levier AD, AB, AG; et, d'après ce que nous venons de dire, on retomberait sur le théorème précédent (55) : ce qui fournit, comme on voit, une nouvelle démonstration de ce théorème.

Remarque III.

59. Cette double démonstration vient de la double manière dont on peut transformer les deux couples avant de les composer. Dans la première , on commence par leur donner un même bras de levier avec des forces différentes; dans la seconde, on leur donne les mêmes forces avec des bras différents. -

Il y aurait une troisième démonstration qui se ferait sans rien changer aux deux couples proposés. Car soient (P, — P) et (Q, — Q, [fig. ^3 bis) y deux couples appliqués perpen- ^ia. 23 diculairement au plan du triangle ABC , sur *"• les bras respectifs AB , AC ; et supposons que les deux forces P et Q qui tirent en B et G Soient de même sens. Il est clair que ces deux forces se composent en une seule P -i- Q de

même sens , et appliquée au point g qui divise la base BC dans la raison réciproque de P à Q. lies deux forces -— P et — Q qui tirent en A se composent de même en une seule — (P 4- Q) appliquée au point A ; et si Ion fait , pour abréger , P -f- Q = R , on a le couple résultant (R, — R) appliqué sur Ag dans un plan perpendiculaire au triangle ABC.

Maintenant, que du point g on mène deux parallèles aux côtés AB et AC, et qu on achève ainsi le parallélogramme Algm ; il s'agirait de prouver que les moments de nos trois couples , savoir,

PxAB, QxAC, RxA^,

sont entre eux comme les côtés A/, Am et la diagonale Ag de ce parallélogramme. Or c'est ce qui est facile; car en mettant, au lieu des forces P, Q, R, les trois lignes C9, Bgr, BG, qui leur sont proportionnelles, on voit que ces moments sont entre eux comme les trois produits

C^xAB, B^xAG, BCxA^.

Mais les triangles semblables donnent

C9 X AB = BG X A/, et Bgr X AC = BC X Am.

Substituant ces deux nouveaux produits à la place des deux premiers, et supprimant partout

le facteur commun BG, on a les trois moments dont il s agit dans la proportion des simples lignes A/, Am,Agf; ce qu'il fallait démontrer. On peut varier encore ces démonstrations ; mais il y a une manière bien plus simple de présenter la composition des couples , comme nous allons le voir dans l'article suivant.

Expression plus simple des théorèmes qui concernent la composition des couples.

60. Au lieu de déterminer la position d'un couple par celle de son plan , on peut la déterminer par la direction d'une droite quelconque perpendiculaire à ce plan , et que l'on pourra nommer Yaxe du couple. Puisqu'un couple peut être supposé appliqué où l'on voudra dans son plan ou dans tout autre plan parallèle (49), il est visible que l'on connaîtra la position d'un couple dans l'espace, lorsque Von connaîtra la direction de son axe : car , en élevant où l'on voudra sur cet axe un plan perpendiculaire, on pourra prendre ce plan pour celui du couple proposé.

Ainsi la position de différents couples parallèles peut être donnée par une seule droite perpendiculaire à tous ces couples , et qui en sera, pour ainsi dire , l'axe commun,

STATIQinc p. 5

Si les couples sont situés dans des pi quelconques , on supposera d'abord , pour ( de clarté, qu'ils soient transportés dans plans respectivement parallèles, tous cond par un seul et même point A , pris à vole dans l'espace, et qui deviendra le comn centre de tous ces couples : et si Ion prend point pour Torigine des perpendiculaires qe élève à ces plans respectifs, la position des^i férents couples se trouvera donnée par c d autant de droites partant d'un seul point faisant entre elles les mêmes angles que plans des couples proposés.

De plus, si, à partir de ce point A, on p sur ces droites des longueurs AL , AM , AN, i proportionnelles aux moments respectifs di couples , que je désigne ici par les simples très L, M, N, etc., chacune de ces lignes minées, telle que AL, suffira pour représe à la fois Taxe et la grandeur du couple I lui correspond.

Enfin, si l'on veut que la même ligne puisse encore indiquer le sens dans leque couple agit (ce qui est nécessaire pour acl la détermination complète du couple) , i aura qu'à faire une convention toute blable à celle qui regarde les simples fc Or, pour une simple force P appliquée (

et qu on représente par une certaine ligne AP, cette convention consiste , comme onFa dit ( 11 ), en ce que Faction de cette force a toujours lieu de A vers P, ou que la force tire de A en P. Ici, pour un couple L appliqué autour du centre A , et dont je représente Taxe et la grandeur par la ligne terminée AL, je supposerai toujours que le sens du couple ou de la rotation qu'il tend à produire est tel que, si Ion se plaçait au point L, considéré comme le nord, pour regarder devant soi le point A, considéré comme le midi, on verrait la rotation se faire de l'orient à loccident , ou de la gauche à la droite , comme se fait à nos yeux le mouvement du soleil. C'est d'ailleurs le sens ordinaire dont la main fait tourner la plupart des instruments de rotation ; et c'est dans ce sens convenu qu'agira pour nous le couple représenté par la ligne AL.

On peut adopter , si l'on veut, la convention contraire, pourvu qu'on s'y conforme avec le même soin pour tous les couples dont il s'agit dans une même figure , ou dans l'énoncé d'une même proposition.

Au reste , on voit qu'une des deux conventions, comme la première, nous suffit; car, s'il fallait indiquer dans la figure un couple ÏJ contraire à L , on le représenterait de même

par une ligne AL', mais portée de Fautre côte du point A sur le prolongement de la première. 11 est clair, en effet, que ce second couple qui, vu du point L', ferait tourner dans le sens convenu, c'est-à-dire de gauche à droite , étant vu du point L , ferait tourner de droite à gauche , et serait réellement contraire au premier.

Par cette manière de déterminer les couples et d'en indiquer les sens simultanés , on voit donc que la représentation géométrique de tant de couples qu'on voudra, appliqués sur un corps dans des plans quelconques, devient parfaitement la même que celle d'autant de simples forces appliquées sur un point; et Ton va prouver tout à l'heure que leur composition peut s'exprimer par des lois toutes sem-blables. Tout se réduit , en effet , à la démonstration du théorème suivant, qui remplace le théorème II , et qu'on peut très-bien nommer le parallélogramme des couples.

Théorème.

61. Si deux couples L et M sont représentés, pour leurs axes et pour leurs grandeurs, par les ' ' deux cotés AL e^ AM dun parallélogramme ALGM, ces deux couples se composent en un seul G rc-

présenté, pour son axe et pour sa grandeur^ par la diagonale AG de ce parallélogramme.

En effet , que du point A et dans le plan du parailélojrramme ALMG [fig. 24)? on mène-frig. 34. deux lignes //', mm' perpendiculaires et proportionnelles aux deux côtés respectifs AL et AM, et qui soient toutes deux coupées par leur milieu au point A. Si Ton achève les parallélogrammes Algm^ A/y m' , il est clair que ces parallélogrammes seront égaux entre eux, et semblables au premier ALGM, et que, par conséquent, la ligne gg' sera, aussi perpendiculaire et proportionnelle à la diagonale AG, et coupée en son milieu au point A.

Maintenant, que sur les lignes //', mm'^ comme bras de levier , et dans des plans perpendiculaires à la figure, on applique deux couples composés de forces égales , le premier (P^ — p) sur la ligne //', et le second (P, — P) sur mm'; et supposons, pour nous conformer à la convention ci-dessus (60), que ces couples tendent tous deux à faire tourner de gaucbe à droite quand on les regarde Tun après l'autre des points L et M. Il est évident que ces deux couples peuvent être pris pour ceux que les côtés AL et AM représentent: car, i"^ ils sont situés dans des plans perpendiculaires à ces côtés; 7."^ ils ont des moments proportionnels

aux mêmes côtés; et 3*^ leurs sens simultau sont conformes à la convention établie. ( il est aisé de voir que ces deux couples se cor posent en un seul , représenté de même par diagonale AG. En effet , les deux forces P et appliquées en / et m se composent en une seu 2 P parallèle , et de même sens j appliquée point Cj qui est le milieu de /m, et, par cons quent, le milieu de Ag. De même les de forces — P et — P , en /' et m' , se compose en une seule — aP appliquée en c', ^milieu Ag' ; et Ion a le couple résultant (aP, — a appliqué sur la ligne cc'^ ou simplement, couple (P, — P) appliqué sur la ligne doul gg\ Or ce couple est évidemment perpeni culaire et proportionnel à la diagonale AG , fait aussi tourner de gauche à droite quand le regarde du point G. Donc , etc.

Nous aurions pu tirer ce théorème de Tu des démonstrations qui précèdent, mais n( avons préféré d'en faire ici la démonstrat immédiate , et sur une nouvelle figure*, où 1 vît très-clairement les sens relatifs que doiv< avoir ensemble les trois couples que Ton considère.

Remarque 1.

62. On voit ici, par un raisonnement tout à fait semblable à celui du n° 57 , que si deux couples agissent dans des plans qui se coupent , ou qui ne sont point parallèles , ils ne peuvent jamais donner un couple résultant nul , à moins qu'ils ne soient nuls tous les deux à la fois.

Remarque lï.^

65. Lorsque les plans des couples composants sont rectangulaires entre eux , les deux axes AL et AM sont aussi rectangulaires, et dans le

rectangle ALGM, on a AG = AL 4- AM ; de plus, si Ton nomme a et |3 les angles que fait la diagonale AG avec les deux côtés adjacents AL , AM , on a

AL = AG.cosa, AM = AG . cos j3.

Donc , en désignant simplement les trois moments respectifs par les lettres L, M, G, on a, pour le moment G, G^ = L^ -f- M^ , d où

g = v/l^-hmS

et, pour les angles a et |3 que son axe fait avec les axes des deux autres , Fj = G cos a ,

7 a ÉLÉMENTS

M = G cos j3; d'où

cos a = g , cos j3 = -•

Remarque IIF.

En général , si Ton nomme (p l'angle que foni entre eux les deux couples composants , oi leurs axes AL et AM, on aura dans le parallélogramme ALGM ,

ÂG =ÂL -hÂM -+-2ÂLX AM.cosç, et , par conséquent ,

G^ = L^ -h M^ -h aLM cos 9;

ce qui donne le couple résultant G par le couples composants L et M , et leur inclinaisoi mutuelle 9.

Si langle <p est nul , on a cos 9 = 1, et i .vient

G = L-hM;

ce qui s'accorde avec ce qu'on a déjà vu : ca les deux couples sont alors dans le même plai et de même sens, et ils se composent en un seu égal à leur somme.

Si langle cp est égal à deux droits, on ; cos (jp = — I , et il vient G = L — M ; ce qui doi être, car les deux couples sont alors de sen

contraires, et ils se composent en un seul égal à leur différence.

Lorsque cp est un angle droit, cos (p = o, et l'on a G = y/U -h M^ , comme ci-dessus.

Remarque IV.

De la composition de deux couples, il est bien facile de s élever à la composition de tant de couples qu'on voudra , et il est évident qu'on aura des théorèmes tout semblables à ceux qui regardent les simples forces autour d'un point : cependant je crois devoir énoncer et démontrer comme théorème le corollaire suivant, à cause du grand usage qu on en peut faire en Mécanique.

Théorème.

64. 7Voi5 couples représentés, pour leurs axes et pour leurs grandeurs, par les trois arêtes contigués d'un parallélipipède , se composent toujours en un seul représenté j pour son axe et pour sa grandeur, par la diagonale de ce parallélipipède.

Soient, en effet. A.. .G {fig. aS) le parallé- Fig. 25. lipipède; AL, AM, AN, les côtés qui représentent à la fois les axes et les moments des trois couples.

Les deux couples représentés par les deux côtés AL, AM du parallélogramme ALOM, se

composeront en un seul représenté, pour son axe et pour sa grandeur, par la diagonale AO de ce parallélogramme. Maintenant ce couple, et le troisième représenté par AN , se composeront en un seul représenté par la diagonale AG du parallélogramme ANGO. Or cette diagonale est en même temps celle du parallélipîpède ; donc, etc.

65. On voit encore ici, par le même raisonnement que celui du n^ 42 , que si trois couples agissent dans trois plans qui forment un angle solide ou qui se coupent en un point unique , ils ne peuvent jamais avoir un couple résultant nul, à moins qu'ils ne soient nuls en même temps tous les trois.

Remarque.

66. Lorsque le parallélipipède est rectangulaire, en nommant L, M, N les moments composants, et G le moment résultant, on a manifestement G^ = L^ -h M^ + N^

En désignant par X, fx , v les trois angles que la diagonale, ou plutôt que Taxe du couple résultant fait avec les trois axes des couples composants, on a

-, L = GcosX, M = Gcosfx, N = Gcosv;

d'où

COS A = —^ COS jUL = — 5 COS V = ^•

Donc , s'il s'agit de calculer le moment résultant G de trois moments L , M , N, dont les axes sont rectangulaires, on aura pour sa valeur,

G= v^L^-f- M^-f- N% et pourles angles X,|x,v, que son axe fait avec les trois axes des moments composants,

cosv =

v/L'-hM'-hN'

S'il s'agit , au contraire , de décomposer un couple G en trois autres, situés dans trois plans rectangulaires entre eux , ou dont les trois axes soient rectangulaires, on aura, pour les valeurs respectives des moments composants,

L = GcosX, M = Gcos/x, N = Gcosv;

X, fJL, V étant les trois angles que Taxe du couple donné fait avec ceux des couples composants cherchés.

67. Au reste, nous ne nous arrêterons pas sur ces détails; nous remarquerons seulement

76 KLÉME^TS

qu'entre les sept quantités L, M, N, G, cos X cos [X , cos V , on a quatre équations qui sont

G^ = L^-hM^-l-N% L = GcosX,M = Gcos]ui

N = G cosv, au moyen desquelles, connaissant d'ailleurs trois de ces quantités , on pourra déterminer les quatre autres.

Il faut pourtant excepter le cas où Ton ne connaîtrait que les trois angles X, ]x, v; alon on ne pourrait obtenir que les rapports def moments Ij , M , N , G.

CONCLUSION GÉNÉRALE DE CE CHAPrrRE.

Composition des forces dirigées comme 01 voudra dans V espace.

68. Soient tant de forces que Ion voudra P, P,, P,^, etc., appliquées d'une manière quel conque dans l'espace , à un corps ou systèm libre.

Je considère d'abord l'une déciles, la force Fig. 26. ( jÇgf. 26) par exemple , qui est appliquée a point B. Ensuite, au point A, arbitrairemei pris dans ce corps , ou au dehors (pourvu qu'c l'y suppose invariablement fixé) , j'appliqi deux forces contraires P', — P', égales et para lèles à la force P. Il est clair que je n'ai ri< changé à 1 état du syslcme. Mais je puis cons

dérer maintenant, au lieu de la force P appliquée en B, la force P' appliquée en A; et le couple (P, — P') agissant sur la droite AB. Si, pour plus de clarté, on transporte ce couple ailleurs, dans un plan quelconque parallèle au sien , il ne restera au point A que la force P' égale et parallèle à la force P, et qui n'est en quelque sorte que cette même force P qu'on aurait transportée parallèlement à elle-même de B en A.

Si Ton fait la même transformation pour toutes les forces du système à 1 égard du même point A , il est manifeste que toutes ces forces viendront s'y réunir parallèlement à ellesmêmes, mais qu'il y aura de plus, dans le système, autant de couples appliqués provenant de chaque transformation. Or toutes les forces appliquées au point A se composeront en une seule R, et tous les couples en un seul couple (S, — S) (/gf. 127) appliqué sur une certaine Fig. 27. droite BC.

Ce qui nous apprend que tant de forces que ion voudra , appliquées d'une manière quelconque à un corps, peuvent toujours se réduire à une seule force qui passe par un point donné à volonté , et à un seul couple, dont le plan sera, en général, incliné à la direction de la force.

Observons, sur-le-champ, que la quantité, la direction et le sens de la résultante R seront

78 ÉLÉyENTS

toujours les tnêmes , en quelque lieu qu on ait pris le point A. En variant la position de ce point , la résultante R ne fera que se transporte! parallèlement à elle-même en différents lieux delespace; mais le plan et la grandeur du couple résultant (S, — S) changeront nécessairement. Or, parmi cette infinité de réductions rela* tives à tous les points A de lespace, il y en s une distinguée de toutes les autres, en ce que le plan du couple résultant est perpendiculaire i la direction de la résultante. C'est ce qu'on peu' démontrer ici d'une manière très-prompte. Car tout étant déjà réduit à la seule force- R et ai seule couple (S, — S) par rapport à un poin connu A, imaginez qu'on décompose ce coupl< (S, — S) en deux autres, l'un (T, — -T) qu tombe dans un plan perpendiculaire à la direc tion de la résultante, et l'autre (V, -— V) dai un plan tjui passe par cette direction AR. f dans ce plan , où se trouvent à la fois le coup] (V, — V) et la force R, on transporte cet! force parallèlement à elle-même de A en O d'u tel côté, et à une telle distance AO, que couple (R, — R), né de cette translation, se égal et contraire au couple (V, — V) et le dtruise , il ne restera plus que la seule force I appliquée au nouveau point O, avec le sei couple (T, — T) qui est dans un plan perpei

diculaire à la direction de cette force. Ainsi , tant de forces quon voudra sont toujours réductibles à une seule force et à un seul couple dont le plan est perpendiculaire à la direction de la force : de sorte qu'il y a toujours dans Fespace une certaine droite déterminée OR qui peut servir à représenter tout à la fois la direction de la résultante et Taxe du couple résultant.

Cette réduction est unique : je veux dire qu'il ny a dans l'espace aucun autre lieu où Ion puisse trouver le couple résultant perpendiculaire à la résultante. Car maintenant , de quelque côté qu'on veuille transporter la force R hors de sa position actuelle OR , elle produira un couple (R,— R) perpendiculaire au couple (T, — T),et ces deux couples, étant composés en un seul , donneront le nouveau couple résultant nécessairement incliné au couple (T, — T); et même toujours plus grand, puisque les deux composants sont rectangulaires entre eux. D'où Ton voit, non-seulement que le couple (T, — T) est le seul qui puisse être perpendiculaire à la direction de la résultante, mais qu'il est encore le plus petit de tous les couples résultants qu'on peut trouver par rapport à tous les points de l'espace. On voit en même temps que , pour des points pris autour de OR, à égales distances de cette droite, les couples résultants ont des va-

8o ÉLÉMENTS

leurs égales, et sont dans des plans différents, mais également inclinés à cet axe OR, qu'on peut ainsi nommer Vaxe central des couples du système. En s'éloignant de cet axe , on trouve des couples toujours plus grands et qui croissent sans bornes; mais ils ont tous cette commune propriété, que chacun d'eux, estimé sur le plac perpendiculaire à la direction constante de h force R, donne le même couple (T, — T) : doÉ l'on voit que la valeur de ce couple minimua s^obtient tout de suite en prenant un couple résultant quelconque (S, — S) et le multipliani par le cosinus de son inclinaison au plan dont i s agit.

Je ne présente, en passant, cet axe central où se fait une réduction si lumineuse de toutei les forces du système , que pour éclairer à h fois toutes les autres réductions équivalentes , e les grouper, pour ainsi dire, dans un seul tableat où Ion en voit d'un coup d œil Tordre et la dépendance mutuelle.

On trouvera cette théorie plus développée dans notre Mémoire sur les Moments et sur le Aires; mais je dois me borner ici aux corollaire généraux qui importent le pins à nos Élément de Statique.

DE STATIQUE. 8l

Corollaire I,

Qui contient les lois de iéquilibre de tout système libre,

69. Un couple ne pouvant jamais être tenu CD équilibre par aucune simple force dirigée comme on voudra dans l'espace , il résulte de ce que nous venons de dire, qu'il ne pourra jamais y avoir équilibre dans le système, à moins que la résultante R des forces ne soit nulle d'ellemême, et que le moment du couple résultant (S, — S) ne soit aussi nul de lui-même.

Ainsi , toutes les forces appliquées au système , étant transportées parallèlement à elles-mêmes en un point quelconque du système ou de l'espace, doivent s y faire équilibre entre elles; et tous les couples quelles produisent en se transportant en ce point doivent aussi se faire équilibre entre eux.

Remarque.

70. Telles sont, pour un système libre quelconque , de forme invariable , les deux conditions d'équilibre nécessaires et suffisantes, c està-dire sans lesquelles l'équilibre ne pourra subsister, et telles qu'il aura manifestement lieu, si elles sont remplies.

Pour développer ces deux conditions , il faudra remonter à la valeur de la résultante R , Statique P. 6

Si ÉLÉMENTS

et à la valeur du couple résultant (S, — S) ei conservant les lois qui lient la résultante à se composantes, et le couple résultant aux couple composants , faire ensuite la force R et le coupl (S, — S) tous deux nuls, et voir quelles relation cela établit entre les forces primitives appli quées au système. On obtiendra de cette ma nière les conditions de Téquilibre, exprimé! au moyen des seules forces données immédif tement par 1 état de la question ; ce qui est I solution du problème que nous avions en vue. Mais tous ces développements qui, d^apn les principes posés ci-dessus, ne sont plus qu'ui affaire de géométrie et de calcul , feront Tobj du chapitre suivant.

Corollaire II ^ ^

Qui contient les conditions nécessaires pour q toutes les forces appliquées au système aient u résultante unique^ lorsqu'elles ne se font p équilibre,

71. Toutes les forces appliquées au systèi étant ramenées, ainsi que nous venons de voir, à une seule force et à un couple, suppose que cette force R et le couple (S, — S) puisse se réduire à une seule force, ou , si Ton vei qu'une force unique R' fasse équilibre au coui (S, — S) et à la force R.

Puisqu'il y a équilibre entre les deux forces R , R', et le couple (S, — S)^ je dis que les deux forces R et R' dolveut former un couple contraire et équivalent au couple (S, — S), et situé dans le même plan , ou dans un plan parallèle , ce qui est ici la même chose.

Car il ne peut arriver que trois cas : ou les deux forces R et R' seront susceptibles de se réduire à une seule, et alors cette force ne pourra faire équilibre au couple (S, — S) ; ou elles se réduiront à une seule avec un couple, et alors ce couple et le proposé (S, — S) se réduiront à un seul , qui ne pourra pas être en équilibre avec la force ; ou bien enfin elles se réduiront à un seul couple, et c'est le seul cas qui puisse arriver.

11 faut donc au moins que les deux forces R et R' forment ensemble un couple. Mais pour que ce couple fasse équilibre au couple (S, — S), il est nécessaire qu^il soit situé dans le même plan ou dans un plan parallèle, sans quoi ces deux couples se composeraient toujours en un seul qui ne pourrait jamais être nul (62), et il ny aurait pas équilibre. Donc la direction de la résultante R doit être parallèle au plan du couple résultant (S, — S) ; et par conséquent^ toutes les forces appliquées au sjstème ne pourront jamais se réduire à une seule y à moins que la ré^

suUante de ces forces transportées parallèlement à eUes-mémes en un même points nait une direc^ tion parallèle au plan du couple résultant y et cela y en quelque lieu de i espace quon ait pris d abord le point où ton a transporté toutes les forces.

Cette condition est nécessaire , et il est claii qu elle suffit en général ; car, à moins que la résultante R ne soit nulle, on sera toujours maître d'appliquer au système une force R qui soit égale , parallèle et opposée à ta forci R, et qui forme avec elle un couple (R, — R d'un sens contraire à celui du couple (S, — S) et d*un moment équivalent. Cette force esti mée en sens contraire sera la résultante gé nérale.

Au reste , on pourra prendre immédiatemei cette résultante : car si la force R appliquée e A est parallèle au plan du couple (S, — S), o pourra amener ce couple dans un même plan avec la force R , et alors les trois forces R , et — S, étant dans le même plan, se composa ront toujours en une seule égale et parallè à R, et qui sera la résultante unique de (ont les forces.

72. Dans le cas où la force R est égale à zér il n y a point de résultante unique. Car tout les forces du système sont réduites au se

couple (S, — S) qui ne peut jamais se réduire à une seule force. Ainsi, à la condition précédente, qui exige que la force R soit parallèle au plan du couple (S, — S), il faut joindre encore celle-ci , comme condition particulière : que la force R ne soit pas égale à zéro ( à moins qu'il n'y ait équilibre, auquel cas la force résultante et le couple résultant étant tous deux nuls , on pourrait dire qu'il y a une résultante unique qui est zéro, et qui a d'ailleurs telle direction et telle position qu'on veut dans l'espace; mais nous avons exclu le cas de l'équilibre).

Remarque I.

73. Lorsque le couple résultant (S, — S) {fig. 28) et la force R ne sont pas dans des plans Fig. 28. parallèles, il n'y a jamais de résultante unique. Seulement, en transportant le couple (S, ~S) parallèlement à son plan , on peut amener l'extrémité B ou C de son bras de levier sur le point A , et alors les deux forces R et S appliquées en A se composent en une seule T; et toutes les forces du système sont réduites à deux autres T et — S non situées dans le même plan.

Ce qui nous fait voir d'abord que tant de forces que ton voudra, dirigées arbitrairement dans t espace y peuvent toujours se réduire à deux au plus y non situées dans le même plan»

86 ÉLÉMEINTS

Mais il est clair que cette réduction peut avoir heu dune infinité de manières, même sans déplacer le point A où 1 ou rassemble toutes les forces; car le couple (S, — S) pourrait être changé en une infinité d'autres équivalents, et de plus tourné sur son axe dans une position quelconque, et Ton arriverait ainsi à une infinité de systèmes différents de deux réduites non situées dans le même plan.

A la vérité, on pourrait choisir , entre ces systèmes, celui où l'une des forces serait per pendiculaire au plan du couple, et l'autre dirigée dans ce même plan ; car imaginez la résul tante R décomposée en deux forces , Fune ^ perpendiculaire , lautre U parallèle au plan di couple (S, — S) : la force U et le couple parai lèle (S, — S) se réduiront toujours à une seul U' égale et parallèle à U; et toutes les force appliquées seront réduites à deux autres V t U' de directions rectangulaires dans l'espace Ainsi , des Jorces quelconques peuvent se réduit à deux forces de directions perpendiculaires enb elles, et dont l'une passe en un point A donné volonté. Mais cette réduction elle-même, qi souffre d'ailleurs une exception , n'a guère pli d'utilité que la précédente , et nous ne nous arrêterons pas davantage.

Remarque II.

74. La seule conséquence qu'il soit bon de remarquer est cette autre proposition réciproque : que deux forces non situées dans le même plan ne peuvent jamais avoir de résultante unique.

Et, en effet, on peut toujours supposer que ces deux forces proviennent d'une autre force, et d'un couple qui ne lui était pas parallèle.

Mais si Ton veut voir la chose directement, soit AB (yîgf. ag) la commune perpendiculaire Fig. m). aux directions des deux forces P et Q non situées dans le même plan , et dont aucune n'est supposée nulle. Je transporte P parallèlement à elle-même de B en A, et j'ai deux forces P' et Q appliquées au même point A , et un couple (P, — P') appliqué sur AB. Or, au point A , les forces P'et Q qui, par hypothèse, font entre elles un certain angle QAP', se composent en une seule R dirigée dans Tintérieur de cet angle. Mais cette force R ne peut être parallèle au plan du couple (P, — P'), puisqu'elle fait avec ce plan un angle BAP' qui ne peut jamais être nul, à moins que Q ne soit nulle, ce qui est contre la supposition. Donc (71) les deux forces P et Q non situées dans le même plan ne peuvent jamais avoir de résultante unique ; propo-

sition qu^oD regarde ordioairement comme évi dente , mais qui avait besoin d être démontrée

Remarque III.

75. C'est , au reste , le seul cas général o' Ton puisse assurer que des forces ne sont ps réductibles à une seule; car, dès que l'on con sidère seulement trois forces, il résulte de notr théorie quelles peuvent avoir une résultant unique y quand bien même il ny aurait aucun rencontre entre les directions de ces trois force dans Fespace.

Soient, en effet, trois forces P, Q, R, que j suppose , deux à deux , non situées dans 1 même plan , ou même telles que , s'il y en ava deux dans un même plan, lautre ne fttt en mena plan ni avec la première , ni avec la seconde.

Je choisis deux de ces forces P et Q qui r soient pas situées dans un même plan, et je L imagine transportées en un même point A pr sur la direction de la troisième force R. G' deux forces P et Q viennent s'y composer c une seule V , et donnent deux couples qui composent en un seul (S , — S); et le plan < ce couple ne passe point par la direction A de la force V ( 74).

Gela posé , si la résultante des deux fore V et R , appliquées en A , se trouvait dans

plan du couple (S,— S) qui passe au même point, les trois forces proposées P, Q, R seraient réductibles à une seule (71). Or, sans changer la direction de la force R, on peut disposer du sens et de la grandeur de cette force de manière que la résultante de V et R tourne autour du point A dans le plan de ces deux forces, et se dirige suivant l'intersection de ce plan avec celui du couple (S, —S), et tombe ainsi dans le plan même de ce couple. Donc, en prenant convenablement la grandeur et le sens de Tune des trois forces, P, Q, R, sans rien changer à leurs positions mutuelles , on peut en général rendre ces trois forces réductibles à une seule.

Je dis en général, parce qu'il y a un cas particulier où la chose ne pourrait avoir lieu en supposant qu'il y eût un certain rapport donné entre P et Q, et qu'on s'astreignît à ne faire varier que la quantité de la troisième force R : car, si, par ce rapport de P à Q , il arrivait que Tintersection du plan VAR avec le plan du couple fût la direction même AR de cette troisième force, on ne pourrait faire prendre à la résultante de V et R la direction AR, sans faire la composante R infinie , ce qui est impossible.

Mais, dans ce cas particulier, que Ion commence par changer le rapport des deux forces

P et Q , OU simplemeDt le sens de lune d elles , et le couple (S , — S) qui résultera de leur translation au point A ne passera plus par la direction de la troisième force R : car, si le plan de ce couple passait encore par la même droite AR , il s'ensuivrait que AR est la commune section des deux plans où sont situés les couples qui composent (S, — S), et qu'ainsi la force R est à la fois dans un même plan avec P, et dans un même plan avec Q ; ce qui est contre Thypothèse.

Ainsi, quand de trois forces P, Q, R, on n'en peut trouver tout au plus que deux qui soient situées en même plan , il est toujours possible de rendre ces trois forces réductibles à une seule, sans rien changer à leurs directions dans r espace.

Le seul cas où Ton puisse dire de trois forces que leur position seule les rend toujours irréductibles , est celui où , en regardant ces forces deux à deux, on ne trouve qu'une combinaison qui présente deux forces non situées en même plan. Dans une telle position, quels que soient les rapports de grandeur qu'on veuille donnera ces forces , on ne les rendra jamais capables de se réduire à une seule.

Remarque IV.

76. Comme il parait incontestable qu'ui couple ne peut être en équilibre autour d'ui

point fixe y par exemple autour du milieu de son bras de levier, remarquons cette différence entre l'équilibre de plusieurs forces appliquées à un corps assujetti à tourner autour d'un point fixe, et l'équilibre de plusieurs couples qui seraient appliqués au même corps.

Dans le premier cas, il n'est pas nécessaire que les forces aient une résultante nulle d ellemême; il suffit quelles aient une résultante qui passe par le point fixe où elle sera détruite.

Mais, dans le second, il faut nécessairement que les couples appliqués au corps donnent un couple ' résultant nul de lui-même, comme s'il n'y avait pas de point fixe dans le corps; car, si ce couple n'est pas nul de lui-même, en le transportant, pour plus de clarté, de manière que le milieu de son bras de levier vienne tomber au point fixe, il est évident que ses deux forces ne pourront être en équilibre autour de ce point.

Et il est encore évident qu'elles ne seraient pas en équilibre, quand bien même il y aurait dans le corps un axe fixe, pourvu que le plan du couple ne passât point par cet axcj ou ne fût point parallèle à sa direction , ce qui reviendrait au même (49).

Ainsi , lorsque différents couples, situés comme ott voudra dans l'espace , sollicitent un corps ou

système assujetti à tourner autour d'un point fixe, les conditions de r équilibre sont absolument les mêmes que si le corps était parfaitement libre.

Et la même chose a Heu dans le cas d'un axe fixe, si les couples appliqués sont tellenien( disposés qu'ils ne puissent jamais donner ur couple résultant parallèle à cet axe ; ce qu'oi ne peut assurer d'une manière générale qu< lorsque tous les couples sont dans des plans ps rallèles qui rencontrent Taxe fixe en le coupan(

DE STATIQUE. qS