DES CONDITIONS DE L'ÉQUILIBRE

77. Nous venons de voir (68) qu'on peut transformer chaque force P [fig. 26) qui agit Fig. a6. sur un système en un certain point B, en une autre force P' égale, parallèle et de même sens, appliquée en un autre point A pris à volonté dans Tespace, et en un couple (P, — P) appliqué sur AB, et dont l'énergie est mesurée par le moment P X Al, AI étant une perpendiculaire abaissé du point A sur la direction de la force P; que, de cette manière, le système peut être considéré comme sollicité par la résultante de toutes les forces qui se seraient en quelque sorte transportées parallèlement à elles-mêmes au point A, et par le couple résultant de tous les couples qui naissent de ces transformations. Nous avons vu que, pour l'équilibre, cette résultante et le moment du couple résultant doivent être nuls tous les deux à la fois.

Nous pourrions développer sur-le-champ ce» deux conditions dans le cas général d'un corps ou système sollicité par tant de forces que Ton voudra dans l'espace, et déduire de là les conditions de 1 équilibre dans tousles cas particuliers qui peuvent se présenter; mais, comme notre marche doit toujours être uniforme dans le courant de ce chapitre, ou plutôt comme elle n'offrira qu'une même et continuelle application d un même principe, nous aimons mieux passer en revue plusieurs questions simples, avant que de traiter la question générale. Gels nous fournira d'ailleurs 1 occasion de répandre plusieurs propositions sur les moments, dont or fait beaucoup d'usage dans la Statique.

Une fois parvenu au théorème général di ' l'équilibre, on pourra s'y arrêter, et Ton y trou vera comprises toutes les propositions qui auront été précédemment expliquées.

De l'équilibre des forces parallèles qui sont située dam un même plan,

Fig. 30. 78. Soient P, P', P", P" {fig. 3o), etc., le différentes forces parallèles. D'un point A pris oi Ton voudra dans leur plan , abaissons une pei pendiculaire commune sur leurs directions i qui les coupe aux points respectifs B, G, D, eU

ConsidéraDt d abord la force P, j'applique au point A deux forces contraires P, — P, égales et parallèles à la première; ainsi, j ai, au lieu de la simple force P appliquée en B, une force égale et parallèle appliquée en A , et un couple (P, — P) agissant sur AB et dont le moment est Px AB. Je subslitue de même, au lieu de la force P' appliquée en C, une force égale et parallèle et de même sens appliquée en A, et un couple (P', — P') appliqué sur AC et dont le moment est P X AG ; de même pour la force P", etc.

Si 9 pour plus de clarté, on transporte tous les couples ailleurs dans le même plan, il ne restera au point A que les forces P, P', P", etc., égales et parallèles aux forces primitives appliquées en B, G, D, etc. , et de même sens.

Or, pour qu'il y ait équilibre , il faut, 1". que la résultante des forces appliquées en A soit nulle d'elle-même. Mais toutes ces forces agissant dans une même direction, leur résultante estégale à leur somme ( *), et, par conséquent, l'on aura

P -+- P' -4- P" H- etc. = o,

première équation de l'équilibre.

(*) Il faut prendre ce mot, ici et ailleurs , dans le sens de la remarque suivante (79).

a^. Il faut que le moment résultant de tous les moments des couples soit aussi nul de lui-même. Mais ce moment résultant est égal à la somme des moments composants, puisque tous les couples sont dans un même plan. Donc, en nommant, pour abréger, p, p', ^\ etc. , les bras de levier respectifs AB, AG, AD, etc., on aura

Pp + P'p'-f-PV+etc. = 0,

seconde équation de l'équilibre.

Remarque.

79. Il est clair que dans la première équation , si Ton regarde les forces qui tirent dans un même sens comme positives, il faut regarder celles qui tirent dans le sens contraire comme négatives. Nous regarderons désormais comme positives les forces telles que F' qui tirent au-dessus de la droite AD , et, par conséquent, comme négatives les forces telles que P, P",... qui tirent au-dessous; et de cette manière on pourra. dire que la somme des forces doit être nulle pour Téquilibre.

Pour les lignes des moments P/>, P'/?',..., de la seconde équation, il faut faire attention à deux choses: i*' au signe de la force; 2^ au signe du bras de levier.

Supposons, en effet, que la force P, sanj

cesser cl*agirdu même côté du point A, Vienne à changer de signe; il est clair que le couple nouveau qu elle produira à 1 égard du point A sera d'un sens contraire à celui du premier: ainsi, le moment Pp change de signe ^ lorsque la force P en change.

Concevons maintenant que la force P, sans changer de signe, vienne à agir au point B' de lautre côté du point A. Il est visible que le couple nouveau qu'elle produira à legard du point A sera d'un sens contraire à celui du premier, et, par conséquent, le moment Pp change de signe lorsque le seul bras de levier p en change.

Donc , en prenant les bras de levier tels que AB, qui sont à droite du point A comme positifs, par exemple , il faudra prendre les bras de levier tels que AB' qui tomberaient à gauche, comme négatifs; et l'on pourra toujours dire que la somme des moments doit être nulle en donnant des signes convenables aux forces et aux bras de levier.

Corollaire,

80. Supposons que les forces P, P', P", etc., ne soient pas en équilibre , mais qu elles aient une résultante unique R,et que, par conséquent, ■— R soit une force capable de leur faire équilibre.

Statique P. 7

Les deux équations précédentes devront avoir Tieu si Ton y fait entrer la force — R. On aura donc d'abord

p 4 p/ + p ' -f. etc. -R = o, ou bien,

R = P-4-P'-f-P' -+.etc.;

ce qui veut dire que la résultante est égale à la somme des composantes , comme nous le savions déjà.

En second lieu , si Ion nomme r la distance de la résultante au point A , on aura

Pp -h P'// + P>" 4- etc. - Rr = o ,

ou bien,

nr=Pp-h P'/)' + Py + etc.

Ce qui nous fait voir que le produit de la résultante, par sa distance r à un point quelconque A pris dans le plan des forces, est égal à la somme de tous les produits semblables des composantes par leurs distances respectives à ce même point.

En divisant cette équation par R, et mettant à la place de cette quantité sa valeur P -f- P' 4- P" 4- etc., on aura

P/:>-hP>^-f-P>^^-hetc.

^"^ P4-P'-f-P' -hetc.

DE 8TATIQUK. 99

Ce qui donnera la distance de la résultante au point A, et, par conséquent, fera connaître sa position, puisque Ton sait d ailleurs quelle doit être parallèle aux composantes.

81. liCS produits Pp,P'p', etc., sont ce que Ion nomme ordinairement les moments des forces; mais on n attache pas au mot de moment d autre idée que celle d'un simple produit, qui résulte de deux nombres , dont Tun exprime la force et l'autre sa distance à un point : au lieu que le moment est pour nous la mesure d une force particulière, c'est-à-dire de l'effort du couple qui provient de la force , lorsqu'on la transporte parallèlement à elle-même au point que l'on considère. Mais comme ici , et dans la plupart des Ouvrages de Statique, le moment exprime une même quantité numérique, à la différence près de l'idée que nous y joignons , nous avons cru devoir conserver ce mot , qui est consacré par l'usage et qui rend d'ailleurs assez bien notre idée, puisque le mot latin momentum, d'où vient moment, veut dire aussi poids, force, ou, plus exactement , ce que vaut une force à raison de sa grandeur et du bras de leiner par lecjuel elle agit,

lOO ÉLKMtNTS

Au resle, lorsque nous ne voudrons parler que du simple produit numérique dune force par sa distance à un point , à un axe perpendiculaire , ou à un plan parallèle à sa direction , nous dirons aussi le moment de la force par rapport au point , ou à 1 axe , ou au plan parallèle; el cela n'introduira aucune équivoque dans le discours, puisque Ton pourra entendre si Ton veut, parce produit, le moment du couple qui naîtrait de la force transportée parallèlement à elle-même au point, ou sur Taxe , ou dans le plan que Ion considère.

De cette manière Téquation précédente

Rr = P/? -f- P'p' -4- Py 4- etc.

peut s'exprimer ainsi :

La somme des moments de tant de forces parât lèles quon voudra , par rapport à un point quel conque de leur plan, est égale au moment de leu résultante par rapport au même point; ce qui ei le théorème connu des moments, pour les force parallèles qui sont situées dans un même plan.

i)K STATIQUK. lOI

De i équilibre des forces parallèles qui agissent sur différents points d'un corps dans l'espace.

82. Soient P, P', P% etc. {fig. 3i), lesdiffé- Fig. i.. rentes forces parallèles. Je mène à volonté deux plans ZAY, ZAX , parallèles aux directions des forces, et qui se coupent suivant AZ à angle droit lun sur l'autre , pour plus de siraj)lîcité. Gela posé , considérant d abord la force P appliquée en B, j'abaisse une perpendiculaire BH sur la commune intersection AZ, et appliquant en H deux forces contraires P, — P égales et parallèles à la première, je considère , au lieu de la force P appliquée en B , une force égale et parallèle et de même sens appliquée en H, et un couple (P, — P) agissant sur BH. Si Ton fait la même transformation pour les autres forces P', P", etc., et que, pour plus de clarté , on conçoive tous les couples transportés ailleurs , chacun dans son plan, il ne restera dans l'axe AZ que les forces P, P', P", etc., respectivement égales et parallèles aux forces primitives, et de même sens.

Or la première condition de Téquilibre est que la résultante de toutes ces forces soit nulle d'elle-même; et comme elles agissent dans une

même droite , leur résultante est égale à leur somme ; et , par conséquent , il faut qu ou ait

P-f-P'^-P"-hetc.=:o.

La seconde condition de l'équilibre est que le moment résultant de tous les moments des couples soit aussi nul de lui-même. Mais ce moment résultant ne se trouve pas, comme tout à rheure^ en ajoutant les moments composants, car les couples ne sont pas dans un même plan ni dans des plans parallèles.

Pour lobtenir, considérant d abord le couple (P, — P), que je suppose ramené dans sa première position sur BH, j'abaisse du point E deux perpendiculaires 6G , BI sur les deux plans ZAY, ZAX; et achevant le parallélogrammi BGHI , je décompose le couple (P, — P) appli que sur la diagonale BH, en deux autres, com posés de forces égales, mais appliqués respec tivement sur les deux côtés Hl et GH (58) Ainsi , en nommant xetj ces lignes , ou leur égales BG et BI , le moment proposé P x BI sera décomposé en deux autres Pa, Pj^ situi dans les plans respectifs ZAX, ZAY.

Si Ion nomme de même .r' et ^' les deo perpendiculaires abaissées du point d'applici tion de la force P' sur les deux plans, le me ment du couple (P', — P') pourra se décompoS(

DE STATIQUE. Io3

daos ces deux plans en deux moments P'a', P'j'; et ainsi de suite pour tous les couples.

Mais les moments qui sont dans le plan ZAX se réduiront à un seul L , égal à leur somme Px -f- P'jc' + P"x*' + etc.; tous ceux qui seront dans le plan ZAY se réduiront de même à un seul M égal àleursomme P/-4-Py-f-P'y'-hetc., et ces deux moments résultants L et M se composeront enfin en un seul G qui sera le moment total : donc il faudra , pour l'équilibre , qu on ait G = o. Mais les deux moments L et M , étant situés dans des plans qui se coupent , ne peuvent jamais donner un moment résultant nul , à moins qu'ils ne soient nuls , chacun en particulier (62) ; et j partant, la seconde condition générale de l'équilibre G = o exige ces deux équations : L = o, M = o , c'est-à-dire ,

Px 4- P'x' -f- P"x" -f- etc. = o ,

Pj-f- P'jr' •+- vy 4- etc. = o.

Ce qui nous fait voir que, powr r équilibre d'un (jroupe de forces parallèles , il faut ces trois conditions particulières : que la somme de toutes les forces soit nulle ^ et que la somme de leurs moments , pris par rapport à deux plans qui se cou* peut suivant une parallèle à la direction de ces forces, soit nulle d'elle-même pour chacun de ces flnix plans.

Remarque,

83. Dans les équations précédentes , nous re-r garderons comme positives les forces qui tirent de bas en haut, et, par conséquent, comme négatives celles qui tirent dans le sens contraire.

Pour les signes des moments , il est clair qu^ils changent en même temps que ceux des forces. Mais, d'un autre côlé, si une force telle que P. sans changer de signe, vient à agir en B^ de l'autre côté du plan ZAX , elle produira ur couple d'un sens contraire à celui du premier et , par conséquent , le moment change encon de signe lorsque le seul bras de levier en change Donc, si, par rapport à un plan, on regarde le bras de levier qui tombent d'un côté comm positifs, il faudra regarder ceux qui tombée de l'autre côté comme négatifs; et l'on pourc toujours dire que la somme des moments ei nulle , en donnant des signes convenables aq forces et aux bras de levier.

Corollaire I.

84. Supposons que les forces P, P', P", etc ne soient pas en équilibre , mais qu'elles aiei une résultante unique R, et que, par conséquen — R soit une force capable de leur faire équ

DE STATIQUE. Io5

libre. Les trois équations précédentes devront avoir lieu en y introduisant la force — R. On aura donc dabord

ce qui donne la valeur de la résultante.

Si l'on nomme ensuite p et q les distances respectives de cette résultante aux deux plans ZAY, ZAX , on aura

Rp = Px 4- P'x' 4- P\r ' -f. etc., Rqf = Pj 4- P'j' 4- Py -f- etc. ;

doù, en mettant pour R sa valeur, on tire

P-+-P'-+-P"-+-etc.

Pr-f-P>^ + Py -f-etc.

9 P4-p'-|.p"^etc. '

ce qui donnera les distances de la résultante à deux plans, et fera connaître sa position dans l'espace; car, si Ton mène aux deux distances trouvées , deux plans respectivement parallèles aux premiers, la direction de la résultante, qui doit se trouver à la fois dans ces deux plans, ne ^era autre chose que leur intersection même.

85. On voit que les équations précédentes nous fournissent ces deux conséquences , qu on peut énoncer ainsi, conformément à Tusaf^e :

I o6 ÉLÉMENTS

La somme des moments de tant de forces parai' lèles que ion voudra , par rapport à un plan quel" conque parallèle à leurs directions , est égale au moment de leur résultante.

Et la distance de la résultante à ce plan est égale à la somme des moments des forces, divisée par la somme de toutes les forces.

Corollaire II, Du centre des forces parallèles.

86. Puisque le centre des forces parallèles est situé sur la direction de la résultante, il est clair que la distance de ce centre à un plan quelconque parallèle aux forces se trouvera comme la distance de la résultante à ce plan: c*est-à-dire en divisant la somme des moments, par rapport au plan, par la somme de toutes les forces.

Si 1 on veut avoir ensuite la distance de ci centre à un plan quelconque , on concevra qui les forces , sans changer de grandeur, sans cessej d'être parallèles et de passer aux mêmes points soient tournées toutes parallèlement à ce nou veau plan; et Ton aura pour cette seconde dis tance la somme des nouveaux moments divisé par la somme de toutes les forces.

On fera la morne opération poiunu troisièm

DK STxVTlQUE. 107

plan ; et si Ton mène alors aux trois distances trouvées , trois plans respectivement parallèles ' aux trois premiers, le centre des forces devant

se trouver à la fois dans ces trois plans sera

déterminé par leur intersection.

87. Si toutes les forces étaient égales et de même sens, l'expression

P-f-P'4-P"+ etc.

qui donne la distance du centre à un plan quelconque, deviendrait

Par -+- Pa:' 4- P.r '' -h etc. x -\- x' -^ x'' -{- etc.

■ etc.

n étant le nombre des forces parallèles.

Ainsi, la distance du centre au plan serait égale à la somme des distances de tous les points d^application , divisée par leur nombre, ou, si l'on veut , égale à la moyenne distance de tous les points d'application : doù l'on voit que, dans le cas où les forces sont égales , le centre des forces est un point dont la position ne dépend plus que de la figure formée par les points d'application.

ïo8 ÉLÉMENTS

De r équilibre des forces qui agissent dans un même plan suivant des directions^ quelconques.

Fig. 32. 88. Soient P', P% P'\ etc. {fig. Sa), les différentes forces situées d'une manière quelconque dans un même plan. D'un point quelconque A pris dans ce plan , abaissons sur leurs directions respectives des perpendiculaires AB, AC, AD , etc. , qui les rencontrent en B, G , D , etc., et nommons p\ p'\p'\ etc., ces perpendiculaires.

Il est clair que la force P' pourra se décomposer en une autre égale , parallèle et de même sens appliquée en A, et un couple dont le moment sera P' x AB, ou V'p\ De même h force P" se décomposera en une autre égale parallèle et de même sens, appliquée en A, e en un couple dont le moment sera P" X AC ou V"p'' ; et ainsi de suite pour toutes les autre forces P'^ etc*

Or, pour qu'il y ait équilibre, il faut que 1 résultante de toutes les forces appliquées en i soit nulle d'elle-même , et que le moment résul tant de tous les moments \"p\ V"p% P'"p'\ etc soit aussi nul de lui-même.

Cette dernière condition est très-facile à-exprimer, car tous les couples étant dans un même plan , le couple résultant est égal à la somme des couples composants, et Ton a sur-le-champ

P'p' -hVy + P"p" -f- etc. = G.

Pour exprimer Fautre condition, imaginons qu'on décompose les forces P', P", P'", etc., appliquées en  , chacune en deux autres suivant deux lig^nes quelconques AX, AY qui se coupent en A dans le plan des forces. Nommons X' et Y' les deux composantes de P' suivant les axes respectifs AX, AY; de même, X", Y'', X'^, Y*', etc., les composantes analogues des autres forces P", P'*', etc., suivant les mêmes axes. Toutes les forces X', X", X*', etc., étant dans une même droite AX, se composeront en une seule X=X' + X"-|-X'" 4- etc.; de même, les forces Y', Y'', Y*', etc., se composeront en une seule Y = Y'+ Y^'^- Y'^H- etc., et ces deux résultantes partielles se composeront en une seule R qui sera la résultante générale. Il faudra donc , pour I équilibre, qu'on ait R = o. Mais les deux forces X et Y , agissant suivant deux lignes qui se coupent, ne peuvent donner une résultante nulle, à moins quelles ne soient nulles elles-mêmes, chacune en particulier (37). Et, par conséquent, la condition R = o exige ces deux équations:

IIO ÉLKMLNTS

X 3k: o, Y = o, c'est-à-dire

X'-4-X"+X'^-+-etc. = o, Y' + Y"-f- Y" 4- etc. =o.

Les forces P', P", P% etc., appliquées au point A , étant parfaitement égales et parallèles aux forces primitives appliquées dans le plan, il est clair que les composantes X', Y', X", Y", X"', Y'% etc., sont, pour la quantité, parfaitement les mêmes que si 1 on avait décomposé les forces primitives P', P", P'", etc. , chacune en son lieu ; et, par conséquent, les conditions de l'équilibre entre tant de forces que l'on voudra, situées dans un même plan , sont :

1°. Que la somme des forces décomposées parallèlement à deux axes qui se coupent dans le plan soit nulle par rapport à chacun de ces axes;

2®. Que la somme des moments des forces , par rappoH à un point quelconque du plan, soit nxdlc d'elle-même,

89. Si l'on trouvait que la dernière condition a lieu par rapport à un certain point connu , et que les deux autres ont aussi lieu par rapport aux directions de deux axes connus, qu'on peu! toujours supposer menés par ce point, il y aurait équilibre dans le système; et, puisqu'il ^ aurait équilibre, les mêmes conditions auraien

DK STATIQUE. I I I

lieu par rapport à tous les points et à tous les axes possibles, pris dans le plan des forces.

Corollaire. .

90. Si les forces P', P", V'\ ne sont pas en équilibre entre elles, mais qu elles soient susceptibles de se réduire à une seule R, de sorte que — R soit une force capable de les tenir en équilibre , Téquation des moments aura lieu en y introduisant la force — R. Donc , en désignant par r la distance de cette force au point A , on aura Téquation

- Rr 4- P'p' + Py" + P>" + etc. = o,

ou

Rr = P>' + P'7/' + Py" -h etc. ;

c est-à-dire que le moment de la résultante , par rapport à un point quelconque du plan des forces , est égal à la somme des moments des composantes par rapport au même point. Ce qui donne le théorème connu des moments.

Si le point par rapport auquel on prend les moments, et qu'on nomme ordinairement le centre des moments, tombait sur la direction même de la résultante R, la distance r serait nulle ; par conséquent, le moment Rr serait nul aussi, et Ton aurait

o = P>' 4- P V + P'"/>"+ etc.

lia ÉLÉMENTS

Ce qui nous fait voir que , par rapport à un point quelconque de la direction de la résultante, la somme des moments de tant de forces que l'on voudra situées dans un même plan est toujours égale à zéro.

Remarque.