Dans réquation
Py -h PV" -f- P>" -h etc; = o,
qui exprime la seconde condition générale de l'équilibre , il faudra distinguer les moments des couples qui agissent dans un sens, d'avec les moments de*ceux qui agissent dans le sens contraire, et leur donner des signes différents. Mais, pour plus de clarté et de précision, nous allons reproduire cette équation sous une autre forme.
Manière plus simple de présenter les conditions précédentes.
Fifi. 33. 92. SoientB', B'',B", etc. {fig. 33), les points où les forces P', P", P'% etc., sont immédiatement appliquées dans le plan. Soient x' et y' les deux coordonnées AG' et G'B' du point B', par rapport aux deux axes quelconques AX, AY; x" et y'' les deux coordonnées analogues du point B", et ainsi de suite. Supposons que Ion dé-
DE STAITQUE. I l3
compose d abord toutes les forces P', P", P''', etc. , parallèlement aux deux axes A.X , A Y ; et nommant, comme plus haut, X' et Y' les deux composantes de P'; X" et Y'' les deux composantes de F", etc., ne considérons plus, au lieu des forces données P', P", P'", etc., que les deux groupes X', X% X", etc. , Y', Y", Y", etc.
D'abord, les forces parallèles X', X", X''', etc. , étant transportées parallèlement à elles-mêmes dans Taxe AX, s'y composeront en une seule égale à leur somme. Les forces parallèles Y', Y'^, Y'*', etc. , étant transportées de même dans Taxe AY, s'y composeront aussi eu une seule égale à leur somme.
Ces deux résultantes partielles se composeront en une seule appliquée en A , et par la première condition générale de Térjuilibre, qui veut que cette résultante soit nulle, on aura, comme ci-dessus, les deux équations
X'^-X" + X'" + etc. ==o, Y'-f-Y''-f-Y"+etc. =o.
Il faut exprimer ensuite que la somme des moments des couples formés par toutes ces forces à legard du point A est nulle d'ellemême. Mais en observant que Taxe AX fait avec les directions des forces Y', Y", elc, des angles égaux entre eux et k ceux que Taxe AY forme
Statique P. 8
Il4 ÉLÉMENTS
avec les directions des forces X', X", etc., on voit sur-le-champ qu'on peut prendre les produits Xy, Xy% etc., Tx\ Y"x'\ etc., pour moments, dans la mesure relative des différents couples. Donc, puisque leur somme doit être nulle, on aura Téquation
X'j' -H X"j" -f- etc. 4- Y'x' + Y'^x'^ -f- etc. = o.
Cette équation remplace la précédente (91'
Py + P V + Vp'" 4- etc. = o;
mais au lieu des perpendiculaires p\p'\p'\ etc. qu'il faut abaisser du point A sur les direction respectives des forces, elle contient les coor données des points où les forces sont imm^ diatement appliquées dans le plan. Elle a d plus cet avantage, que les termes X'j', X"y Y' x\ etc., prendront d'eux-mêmes les sign< qui conviennent aux sens respectifs des coup! dont ils représentent les moments, si Ton a so de donner aux forces et aux coordonnées d signes convenables.
On pourra prendre, comme en Géométri les abscisses x', x", etc., positives à la droi de l'origine, et, par conséquent, négatives à gauche; les ordonnées y\Y'\ etc., positives a dessus de l'axe des abscisses , et , par conséquej négatives au-dessous.
DE STATIQUE. Il5
Quant aux forces, il est clair que, dans chaque groupe, il faudra donner des signes contraires à celles qui agissent en sens contraires.
Mais en considérant dans le premier groupe une force telle que X", qui tire à droite de l*axe AY, et dans le second, une force telle que Y'^ qui tire au-dessous de Taxe AX, il est facile de voir que ces deux forces donnent, à Tégard du point A, des couples de même sens, lorsque leurs coordonnées AH" et AG' ou y" et x' sont de même signe. Donc il faudra que les forces du premier groupe , qui tirent à droite de Taxe des ordonnées, aient le même signe que les forces du second , qui tirent au-dessous de Taxe des abscisses; donc, si Ion regarde les premières comme positives, on regardera aussi les secondes comme positives ; et, de cette manière, tous les moments écrits sous le même signe dans l'équation précédente prendront des signes relatifs aux sens des couples.
93. Mais si dans le premier groupe X', X'', X"', etc., regardant toujours comme positives les forces qui tirent à droite de Taxe des ordonnées, ou qui tendent à augmenter les abscisses de leurs points d application, on voulait, pour la symétrie, regarder aussi comme positives
Il6 ÉLÉMENTS
dans le second {jiuupe Y', Y", Y'", etc., les forces (jui tirent au-dessus de l'axe des abscisses, ou (|ni tendent à augmenter les ordonnées de leurs points d'application , il faudrait alors donner un signe contraire à toute la partie des moments relatifs à ce groupe ; et 1 équation précédente se mettrait sous cette forme :
X'j' -f- Xy 4- etc. — Y'x' — Y'^x'' — etc. = o.
Nous retiendrons désormais cette expression de préférence à la première, parce que, dans les deux groupes, les forces positives seront celles qui tendent à augmenter les coordonnées de leurs points d'application, et les forces négatives , celles qui tendent à diminuer les mêmes coordonnées.
Corollaire I.
Fig. 34. 94. Si les deux axes AX , AY [fig. 34) étaien à angle droit, les abscisses et les ordonnée elles-mêmes deviendraient les bras de levier de couples, et les moments X'^',etc., Y'jc', etc. donneraient la mesure absolue de leurs efforts De plus, en nommant a' langle que fait la di rection de la force P' avec l'axe des abscisses on aurait, pour la composante X' parallèle à a axe, P' C08 a'. On aurait pour l'autre composant Y', P' sin a'.
DE STATIQUK. I I 7
En nommant de même a" Tangle de la direction de la force P" avec Taxe des abscisses , on aurait X'' = P" cos a", Y'' = P" sin a", et ainsi de suite; et les équations précédentes deviendraient
P' cos a' 4- P" cos a" -h P '" cos a" 4- etc. = o ,
P'sin a' H- P" sin a'' -f- P'^sin al" -+- etc. = o ,
P'(7'cosa'-x'sina')+P'(7"cosa"-x"sina") + P"(7'"cosa'"-x"sina")4- etc. = o.
Dans ces équations, on n'aurait pas besoin de faire attention aux signes des forces, mais seulement à ceux des abscisses et des ordonnées. On regarderait toutes les forces P', P'^, P*', etc., comme essentiellement positives : les signes des sinus et des cosinus donneraient les signes relatifs des composantes P' cos a', etc., P'sina', etc., comme cela est facile à observer, si Ton veut se donner la peine de faire parcourir une circonférence entière à la direction d'une force telle (|ue P' autour de son point d'application B'.
Ri
marque.
Cest de cette manière que Ion donne orditiairement les équations de Téquilibre pour des forces (|uelconqnes situées dans nn même plan. Ces équations renfennent, sons Texpression la
Il8 ÉLÉMEINTS
plus simple , les premières données de la ques* tiou, savoir : les quantités des forces, leurs directions, par les angles quelles font avec une droite fixe de position, et leurs points immédiats d application , par leurs coordonnées rectangles. Nous aurions donc pu les présenter les premières , et même nous abstenir de considérer les autres par rapport à des axes obliques; mais comme on les démontre quelquefois par celte considération , que les deux groupes de forces sont rectangulaires entre eux , nous avons été bien aise de faire voir qu'elles ne sont qu'un cas particulier de celles qu'on trouve par rapport à des axes obliques quelconques, et que la rectangularité des forces n'y entre pour rien. Nous reviendrons encore sur cette remarque.
Corollaire II.
95. Supposons qu'il n'y ait point équilibre entre les forces F', P", P"\ etc. , et que ces forces soient susceptibles de se réduire à une seule R, qui sera leur résultante.
Alors les trois équations de l'équilibre auront lieu en y introduisant la force — R.
Soient donc a l'angle que fait la direction de cette force avec l'axe des abscisses ; x eiy le deux coordonnées d'un point quelconque di cette direction.
En faisant, pour abréger,
P' cos a' 4- P'' cosa" 4- P'cos cxT + etc. = X,
P' sin a' -H P'' sin a" + P'^' sin a" 4- etc. = Y,
et P'{ycosa' — a:'sina)-t-P"(ycosa" — .résina") + P"(/'cosa" - x'"sina") 4- etc. = 0,
on aura d'abord •
X — R cos a = G , Y — R sin a = G ,
doù Ton tirera, à cause de sin^a-h cos^a= i,
cos a = , , sin a = --
ce qui fera connaître la quantité de la résultante et Tangle a que sa direction fait avec Taxe des abscisses.
On aura ensuite
G — R (jcosa — X sin a) = o;
on bien, en mettant pour R cos a et R sin a, leurs valeurs X et Y,
G — Xj -h Yx = o.
Comme on n a qu'une équation pour déterminer les deux coordonnées x et y\ on sera maître de prendre Fuiie ou l'autre à volonté. Supposant, par exemple, o: = g, auquel cas on
demande le point où la résultante coupe Taxe
des j, on aura
Si Ton suppose j^ = o, auquel cas on cherche la distance x du point où la direction de la résultante coupe l'axe des abscisses, on aura
On aura donc tout ce qu'il faudra pour déterminer la quantité et la position de la résultante de tant de forces que Ion voudra , situées dans un même plan.
Si l'on n'a trouvé qu une seule équation pour les deux coordonnées x ety du point d'application de la résultante, c'est que, cette résultante pouvant être appliquée à l'un quelconque des points de sa direction, il est impossible que le calcul donne l'un de ces points plutôt que l'autre. Il ne peut donc donner que leur lieu géométrique ; et l'équation précédente
G - X) + Yx = o
est, à proprement parler, l'équation de la direction de la résultante.
Remarque.
96. Dans les trois questions I , U , III , que nous venons de traiter ci-dessus, toutes les
forces étant ramenées à une seule K et à un seule couple (S, — S), il y aura toujours une résultante unique, si la force R n'est pas nulle. Car la force R et le couple (S, — S) seront toujours dans un même plan ou dans des plans parallèles, et, par conséquent (71), se composeront toujours en une seule force. Ainsi , la seule condition nécessaire pour que des forces parallèles, ou des forces situées dans un même plan, aient une résultante unique, est que la résultante de ces forces transportées parallèlement à ellesmêmes en un point quelconque ne soit pas nulle. Si cette résultante est nulle, alors toutes les forces du système seront ramenées à un couple dont on connaîtra le plan et la grandeur, et Ion ne pourra leur faire équilibre qu au moyen d'un couple équivalent et de sens contraire, situé dans le même plan ou dans tout autre plan parallèle.
Passons maintenant au cas le plus général.
Des conditions de i équilibre entre tant de forces que ion voudra, dirigées d'une manière quelconque dans l espace,
97. Soient P', V% V'\ etc. {fig. 35), les diffé- Fig. 35. rentes forces. D'un point A pris arbitrairement dans l'espace, menons trois axes quelconques
AX, A Y, AZ9 qui ue soieat pas dans un même plan, et décomposons chaque force en trois autres respectivement parallèles à ces axes.
Nommons X', Y', TJ les trois composantes de P'; X'', Y", V les trois composantes de P''; et ainsi de suite. Nous aurons alors, au lieu des forces P', P", P'", etc., appliquées au système, trois groupes de forces parallèles: le premier, composé des forces X', X'', X'", etc. , parallèles à Taxe AX; le second, composé des forces Y', Y'', Y'% etc., parallèles à Taxe AY; et le troisième, composé des forces Z', TJ\ 21\ etc., parallèles à l'axe AZ.
Cela posé : si Ion transporte toutes ces forces parallèlement à elles-mêmes au point A, celles du premier groupe iront se réunir dans l'axe AX, et s'y composeront en une seule X égale à leur somme; celles du second iront de même se réunir dans Taxe AY, et s'y composeront en une seule Y égale à leur somme; enfin, celles du troisième se réuniront dans Taxe AZ, et s'y composeront en une seule Z égale à leur somme. Maintenant ces trois résultantes partielles X, Y, Z se composeront en une seule R appliquée en A , et représentée par la diagonale du parallélipipède construit sur les trois lignes qui représenteraient ces forces en grandeur et en direction.
Or, par la première condition générale de Téquilibre, il faut que cette résultante soit nulle d elle-même. Mais les trois forces X, Y, Z, agissant suivant des lignes qui ne sont pas dans un même plan, ne peuvent jamais donner une résultante nulle, à moins qu'elles ne soient nulles chacune en particulier (42) ; et, par conséquent , la condition 11 = 0 exige ces trois équations particulières , X=:o, Y=o, Z = o, c'est-à-dire
X'-4- X''-4-X'''+ etc. = o, Y' 4- Y'' + Y'" + etc. = o , 7/ + Z" -h Z'" -h etc. = o.
Ce qui nous apprend que pour l'équilibre de tant de forces que Ton voudra, appliquées d une manière quelconque à un corps ou système de figure invariable, il faut d abord ces trois conditions particulières : que la somme des forces décomposées parallèlement à trois axes quelconques soit nulle par rapport à chacun de ces axes.
Par la seconde condition générale de 1 équilibre, il faut que le couple résultant de tous les couples formés par les forces à l'égard du point A, soit aussi nul de lui-même. Développons maintenant cette seconde condition.
Soit B' le point d'application de la force P;
1 a4 ÉLÉMENTS
et, par conséquent, le point d application des trois composantes X', Y', TJ\ nommons x', j', z' ses trois coordonnées AG, GH , HB', par rapport aux trois axes AX , AY, AZ. Nommons de même x'\ y'\ z" les trois coordonnées du point d'application B" des trois composantes X", Y", Z"; et ainsi de suite.
Considérant d'abord le groupe des forces Z', TJ\ TJ\ etc., je remarc^ue que la force TJ appliquée en B' a produit un couple (Z', — Z') appliqué sur AB', ou bien (en concevant la force TJ appliquée au point H où sa direction rencontre le plan YAX) a produit un couple (Z', — Z') appliqué sur la diagonale AH d'un parallélogramme AGHD, dont les deux côtés AG, AD sont égaux aux coordonnées x* et y\ Or ce couple peut se décomposer en deux autres composés de -forces égales et parallèles aux premières, mais appliquées sur les deux côtés AG AD ou x', j', dans les plans respectifs XAZ YAZ (57).
Si Ton fait la même décomposition de touî les couples provenant du groupe Z', TJ\ Z", etc. dans les deux plans parallèles à ce groupe , e les décompositions semblables de tous ceux qu proviennent des deux autres groupes, par rap port aux deux plans analogues, il est manifest que tous les couples du système seront réduit
à d autres, situés dans les trois plans coordonnés. ^
Or, dans chaque plan, les couples se réduiront à un seul, égal à leur somme. Ces trois couples résultants partiels se composeront en un seul qui sera le couple résultant général, et qui devra être nul pour 1 équilibre. Mais ces trois couples, étant situés dans trois plans qui forment un angle solide, ne peuvent jamais donner un couple résultant nul , h moins qu'ils ne soient nuls chacun en particulier (65); donc, pour chacun des trois plans, la somme des moments des couples doit être nulle d'elle-même.
Or, dans le plan YAZ, on trouvera d abord les couples
(Z^ - Z'), (Z^ ~Z'0, (Z'", -Z"0, etc., appliqués sur les lignes respectives
r, r\ y"', etc.,
ensuite les couples
(Y', -Y'), (Y", -Y"), (Y",-Y'"), etc.,
appliqués sur les lignes respectives
z\ z\ z"\ etc.
Et comme Taxe AY fait, avec les directions des forces Z', Z\ 7J\ etc., des angles égaux entre eux et à ceux que forme Taxe AZ avec les directions des forces Y', Y", Y", etc., on pourra
prendre les produits Z'j', etc. , Y'z', etc. , pour moments, dans la mesure relative* des couples situés dans le plan YAZ. Donc, puisque leur somme doit être nulle , on aura (93)
Tz' + Y"z"+ etc. — Z'jr'— Zy — etc. = o.
On trouvera de même, pour les deux autres plans,
Z'x'-h Z"x"H- etc. ~X'z'~X"z'^~etc. = o, X'j'-f- X''j'^+ etc. — Y'x'— Y"a:"- etc. = o;
ce qui nous fait voir que, pour 1 équilibre du système , outre les trois équations trouvées ci-, dessus, il nous en faut encore trois autres qui expriment que la somme des produits des composantes parallèles au plan de deux axes, par leurs coordonnées relatives au troisième axe, doit être nulle d'elle-même pour chacun des trois plans.
98. Dans les équations précédentes, on prendra les signes des coordonnées, comme en Géométrie, positives dans un même coin XAYZ, et négatives dans le coin opposé.
Parmi les forces, on regardera, dans chaque groupe, comme positives celles qui tendent à augmenter les coordonnées de leurs points d ap-? plication , comme négatives celles qui tendent à les diminuer (93).
DE STATIQUE. la-y
Remarque.
99. Si Ton trouvait que les six équations précédentes ont lieu par rapport à trois axes particuliers non situés dans le même plan , il y aurait équilibre dans le système , et, par conséquent, les mêmes équations auraient lieu par rapport à tous les axes possibles.
Corollaire 1.
100. Si les trois axes AX, AY, AZ étaient rectangulaires entre eux, les coordonnées deviendraient les bras de levier des couples, et les produits Z'j*', Y'a', X'z', etc., etc., les expressions absolues de leurs moments.
De plus, en nommant a', /3', 7' les trois angles que la direction de la force P' fait avec les trois axes respectifs AX , AY, AZ, ou plutôt avec trois parallèles à ces axes, on aurait pour les trois composantes de P' (45),
X'=P'cosa', Y'=P'cosP', Z'=P'cosy'.
En nommant de même a", jS", 7", etc., les angles analogues des directions des forces P", etc., avec les mêmes axes , on aurait
X"=P"cosa^ Y''=i:P"cos/3", Z'^P^cosy", etc.,
et les équations précédentes deviendraient
F cos a' 4- P cos a" -h P"' cos a'" -h etc. = o , F cos P' + P" cos /3'' + P" cos P" H- etc. = o , P'cos /-f- P"cos/ -+- P'cos f + etc. = o ,
P(z' cos /3' -y cos 7') + P'' (z'^cos /3'' — jr" cos /) 4- P'"(z"cos|3"'-7"cos7'")+etc. = o,
F(x'cos/ — z' cos a') -+- P" (a:"cos f — z^cos a") 4- P"(^"cos7"- z"'cosa") 4- etc. = o,
F(ycosa'— o/cos /3') -h P''(y'cos ol" - x^cos/S") 4- P"(y''cosa'"- x"'cos jS^)4- etc. = o.
Remarque.
iOl. C'est sous cette forme que Ton présente ordinairement les six équations de Téquilibre. Elles renferment d'une manière très-simple les quantités des forces P', P", P"', etc. , leurs points d'application, au moyen de leurs coordonnées rectangles par rapport à trois axes, et leurs directions, parles cosinus des angles qu elles font avec ces axes.
Comme on a coutume d'attribuer aux forces rectangulaires une certaine indépendance d'effets, qui ne leur appartient pas plus qu'à celles qui agissent sous un angle quelconque, pourvu qu'il lie soit pas nul , il est bon de remarquer que les équations d'équilibre, par rapport à des axes rectangulaires, ne sont qu'une simple
DE STÀTIQUK. ï U9
conséquence de celles qu on trouve par rapport à des axes obliques quelconques, et que, par conséquent, le principe de Tindépendance entre les effets des forces rectangulaires ne doit entrer pour rien )Jans leur démonstration.
Observons d'ailleurs que, d'après ce principe un peu vague, on pourrait être conduit par UD raisonnement très-simple à une erreur trèsgrossière : car, en considérant, par exemple, deux groupes de forces rectangulaires, situés dans un même plan , si Ion suppose qu'il y a indépendance entre les effets de ces deux groupes, on en conclura que lorsque leur système est en équilibre, chaque groupe doit être en équilibre de lui-même ; ce qui n est pas vrai.
Et if en est de même dans le cas de trois groupes de forces rectangulaires dans l'espace , dont le système peut être en équilibre, sans qu'il y ait équilibre en particulier dans chaque groupe, ni même dans aucun d'eux.
Il faudrait donc, dans ces deux cas, ne faire de ce principe quun usage restreint, et ne considérer l'indépendance des effets que relativement aux mouvements de translation que les forces peuvent donner au système ; ou bien il faudra avoir soin de ne l'appliquer qu'au cas de deux groupes, l'un composé de forces per-
Statique p. 9
1 3o ÉLÉMENTS
pendiculaires à un même plan, et laiUre de forces quelconques situées dans ce plan, auquel eas rindépendance des effets a lieu d une manière absolue. Mais comme cette indépendance aurait lieu tout de même, si le premier groupe tombait sur le plan du second sous un autre angle quelconque , pourvu qull ne fût pas nul, il s'ensuit qu'elle n^a pas lieu parée que les groupes font un angle droit, mais seulement parce qu'ils font un angle. Ainsi, dans tous les cas, le raisonnement qui prouve le principe en question étant fondé sur ce que les forces font un angle droit, tombe de lui-même, parce qu'il n'est fondé sur rien»
Corollaire IF.
102. On peut donner aux trois dernières équations de Véquilibre une forme plus simple, en y introduisant, à la place des coordonnées des points d'application , les plus courtes distances des directions des forces aux trois axes rectangulaires.
En effet, dans la première équation, à la place du termeP' (z'cosjS'— j' cos7'),qui exprime la somme des moments des deux forées P' cos jS\ F' cos 7', par rapport au point où leur plan irait couper Taxe des x, on peut en substi-
Dte STATIQUE. i3l
tuer utk autre qui exprime le moment de leur résultante par rapport au même point (90).
Les deux forces P' cos^', P' co»y', étant rectangulaires entre elles, on a pour le carré de leur résultante, P'* cos^P' -+- P'* cos^y', ou P'* (cos'jS' H- cos^y'); ou bien (à cause de cos* a' + cos?^^'+ cos*y'= i), P''* (i -^cos^ a'), c est-à-dire P'* sin* a'.
La résultante est donc P'sina'. La distance de cette résultante à Taxe des frétant nommée p\ on aura, pour son moment, P'p'sina', qui remplace le terme P'(z'cosP' — J*'cosy'); on aura, de même, P"p''sina", etc., à la place des termes suivants de la première équation, en désignant par p'\ etc., les distances respectives des résultantes analogues à la première, par rapport à Taxe des x.
La première équation sera donc mise sous cette forme :
P'p'sina'-f-P>"sin a' -4- P>" sina^^-t- etc.rzo.
Or il est visible que p% p'% p'"^ etc. , ne sont autre chose que les plus courtes distances des forces P', P% P'", etc. , à Taxe des x ; car la force P'sina', qui est située dans un plan perpendiculaire à cet axe, étant composée avec la force P'cosa', perpendiculaire au même plan, devrait donner pour résultante la force P' qui est
l32 ÉLÉMENTS
daus l'espace. La force P' sina' n'est donc autre chose que la projection de la force P' sur un plan perpendiculaire à Taxe des jc; et, par conséquent, la plus courte distance p' de cette projection à Taxe des x n'est autre chose que la plus courte distance de la force P' au même axe.
Si Ion désigne par 9', (jf", q"'^ etc., et par r', r", r"\ etc., les plus courtes distances des forces P', P'', V'\ etc. , aux axes respectifs des j et des z, on trouvera de même, pour les deux autres équations,
P'9'sin|3'4-P''9"sin/3''+P'"9"sin/3"H-etc.=o, P'r'siny'+P'V" siny^+P^V" siny^'+etc.izzo.
103. La projection dune force sur un plan, multipliée par sa distance à un axe perpendiculaire au plan, est ce qu'on nomme ordinairement le moment de la force par rapport à Taxe; et de cette manière on énonce ainsi les trois équations précédentes de 1 équilibre :
La somme des moments des forces doit être nulle, par rapport à chacun des trois axes, dans le cas de réquilibre.
Corollaire lU.
104. Si, dans les six équations de lequilibn on veut supposer que les forces P', P'', P'", etc. sont toutes parallèles, ou toutes situées dans ui
m«me plan, etc. , etc. , et qu'on mette à la place des coordonnées x', y\ z\ etc. , et des angles a', j3', •/', etc. , les valeurs qui conviennent à ces suppositions, on retombera sur les équations dequilibre précédemment trouvées pour ces différents cas, et Ton en tirera les mêmes conséquences.
405. Si Ion suppose, par exemple, que les directions des forces P', P'', P'", etc., concourent toutes au même point, et qu'on ait pris ce point pour l'origine des coordonnées, lés cosinus des angles a', j3', 7', etc., seront proportionnels aux coordonnées respectives x\ y\ z\ etc. , des points d'application ; de sorte que Ion aura
x'\y^ ; ; cos a' ; cos/3 ', a ' : 2' : : cos a' : cosy', etc. ;
ou ^'cosa' — x' cos/3'= o,
x' cos y ' — z ' cos a' = o , etc.
lies trois dernières équations de I équilibre disparaîtront donc d'elles-mêmes, et Ton n'aura plus que les trois premières, qui nous font voir que, />oiir l'équilibre d'un système de forces dont les directions concourent toutes vers un même imnt, il est nécessaire et il suffit que la somme des forces décomposées suivant trois axes soit égale à zéro par rapport à chacun de ces axes; et c est ce que Von savait d ailieiu\s immédiatement.
Si Ton suppose que les forces P', P", P'", etc., ne forment ensemble que des couples ; comme alors chaque force F', inclinée sur Taxe des x dVm certain angle a\ aura dans le système son égaie ^ mais inclinée au même axe de langie aoo® -f- a', il n'y aura pas de terme P' cos a' qui ne trouve son égal et contraire dans la première équation de Féquilibre; et la même chose aura lieu dans les deux autres. Ainsi, les trois premières équations disparaîtront d'elles-mêmes, et Ton n'aura plus que les trois dernières; d où il résulte que , pour t équilibre de tant de couples qu'on voudra appliqués sur un corps , il est néces-' saire et il suffit que la somme de ces couples décomposés perpendiadairement à trois axes soif égale à zéro par rapport à chacun de ces axes : ce qui était d ailleurs aussi clair que la proposition précédente.
Corollaire IV,
Recherche de la résultante de toutes les forces P', P", P'", etc. y lorsque ces forces ne sont pas ei(i, équilibre, et quelles sont susceptibles de ^ réduire à une seule.
106. Supposons qu'il n y ait point équilibre entre les forces P', P", P'", etc. ; et soit, s*il esl possible , la force — R capable de leur faire équilibre, et, par conséquent, R leur résultante.
DE STATIQUE, l35
Les six équations précédentes devront avoir lieu en y faisant entrer la force — R.
Soient donc a , ]S , 7 les trois angles que foitne la direction de la résultante avec les trois axes coordonnés. En faisant , pour abréger,
P'cosa'-hP''cos a"-j-P'^cosa*'-f- etc. = X, P'cos/3' + P" cosjS'^ -h P" cos ]3^ -+- etc. = Y , P'cos7'-HP''cos7''4-P'"cos7'^4-etc. = Z,
on aura d*abord ces trois équations :
X— Rcosa=o, Y— Rcos]3=o, Z— Rcos7=o;
d'où l'on tire (en observant qu'on a cos^a -+- cos^ j3 -f- cos* 7 = 1)
R = VX* 4- Y* -h Z'
pour la quantité de la résultante. On aura ensuite, pour les angles a,]3, 7 que sa direction fait avec les trois axes ,
cos a =
cos p = , ■ =: 7
' V^X»-hY' + Z^
Z cos 7 = -, ==^'
En second lieu, nommant x^j^z les trois coordonnées de l'un quelconque des points de cette direction , et faisant , pour abréger,
P'(2'cos^'— j'co870h-P"(z"cos/3"— J"C0S7'")
P'(:i:'cos7'--z'co8a')-f-P"(:c"cos7''— z'^cosa") ^-P"(a:"cos7"-z"cosa'") -f- etc. = M,
P'{j'cosa'-x'cos^')-+-P"Cr"cosa"— :«:''cos/3") -+-P"'(j'^cosa"'— x'"cos/3'") + etc. = >\
on aura
L — R(zcos|3— J-COS7) = o, M — R(x C0S7 — z cosa) = o ,
N — R(jcosa — xcos/3) = o,
ou bien, Fj— Yz-hZy = o,
M — ZxH-Xz=o, N-Xj-+-Yx=o.
Or, si Ton élimine, entre ces trois équations^ deux des inconnues jc, j , z, on arrivera à cette
équation
