XL-hYM+ZN = o

qui ne contient plus d'inconnue , et qui exprime la relation qui doit avoir lieu entre les résultantes partielles X , Y , Z , et les trois moments résultants partiels L, M, N , pour que les trois équations précédentes puissent subsister à la fois, et , par conséquent , pour que toutes les forces du système puissent avoir une résultante.

107. Si cette équation de condition a lieu , les valeurs des trois coordonnées x^y^z se présenteront sous la forme §, parce que la résul-

HE STATIQUK. 187

tante pouvant être appliquée à tel point desa direction qu'on voudra, il est impossible que le calcul détermine Fun de ces points plutôt que tout autre. Il ne peut donc donner que leur lieu géométrique, et les trois équations précédentes ne sont autre chose que les équations des trois projections de la résultante sur les plans coordonnés. Par conséquent , Tune de ces équations est une suite nécessaire des deux autres , et Ton n'a , à proprement parler, que deux équations entre les trois indéterminées :t, j, z; d'où il suit qu'elles doivent se présenter sous la forme de A

108. On se donnera donc à volonté Fuue de ces trois quantités, et Ton déterminera alors les deux autres au moyen des équations précédentes.

Si l'on suppose, par exemple, x = o, auquel cas on demande le point où la direction de la résultante traverse le plan vertical YAZ, on aura , pour les deux coordonnées de ce point ,

Si l'on suppose j = o, on aura

Si Ion suppose z = o, on aura

t42 ÉLÉMENTS

direction de la résultante ( 106) , mais où X, Y, Z ont les mêmes valeurs^ et où je désigne, pour abréger, la somme des produits Y'z', Y'%'\ etc.) par (Y'z'4-); et ainsi des autres.

Mais ces trois équations sont à la fois insuffisantes et trop nombreuses; elles peuvent avoir lieu toutes trois , sans qu'il y ait une résultante unique , et il peut y avoir une résultante unique sans qu elles aient lieu toutes trois, ni même aucune d'elles.

Cela parait assez clairement à Imspection même de ces équations comparées à Téquation unique que nous venons de donner; mais on peut encore s'en rendre compte en suivant le raisonnement d'après lequel on les trouve , et en examinant ce qu elles signifient.

En effet, après avoir réduit toutes les forces appliquées au système à trois groupes de forces parallèles aux trois axes coordonnés, et ces trois groupes à trois résultantes partielles X, Y, Z, parallèles aux mêmes axes, on suppose que ces trois forces doivent se rencontrer en un même point , pour qu'elles puissent se composer en une seule ; et pour cela , on exprime que les résultantes partielles prises deux à deux sont à égales distances du plan qui leur est parallèle; ce qui donne les trois équations (A), au moyen desquelles les trois forces doivent en

DE STATIQUE. l4'^

effet concourir au même point, et, par conséquent, se composer en une seule.

Mais , d abord , on omet le cas où les trois groupes ne pourraient pas se réduire respectivement à de simples forces, mais se réduiraient à des couples : alors , les trois résultantes partielles étant nulles , les trois équations de condition seraient satisfaites , et pourtant il n y aurait pas de résultante unique, mais bien un couple résultant. Ainsi , ces trois équations sont insuffisantes.

D'un autre côté , elles exigent trop ; car , en supposant que les trois groupes se réduisent à trois simples forces, on voit qu'il n est pas nécessaire , pour qu'elles puissent se composer en une seule , qu'elles se rencontrent toutes trois en un même point : il suffirait simplement que deux d entre elles se rencontrassent, et que la troisième allât rencontrer quelque part la direction de leur résultante. Mais , ce qui est plus remarquable , cela même n est pas nécessaire ; car les trois forces X, Y, Z peuvent se réduire à une seule f san& qu'il y ait aucune rencontre entre leurs directions dans lespace : c est ce qu oo a vu directement au n^ 75.

Si Ton veut .voir la même chose par notre analyse, soient a la plus courte distance de Y à Z, 6 celle de Z à X, et c celle de X à Y :

l44 ÉLÉMENTS

et pour simpItBer^ prenons Taxe des x suivant la droite a, et celui des z suivant la force Z. On trouvera dans cette hypothèse, Tir^o, M =: — Xc, et N = X6 — Ya; et lequatiou de condition XL -h YM -f- ZN = o deviendra

XYc - XZ6 + YZa = o.

Or il est /évident qu on peut trouver trois forces X, Y, Z dans une infinité de proportions différentes , qui satisfassent à cette équation , et qui, par conséquent, aient une résultante unique, quelles que soient les distances mutuelles a, 6, c de leurs directions dans lespace.

Et comme on n'a qu'une seule équation , on voit même qu'on peut se donner à volonté deux de ces forces, et déterminer ensuite la troisième en conséquence de cette équation.

Qu'on suppose, par exemple , les deux forces X et Z représentées par les lignes a et c; on trouvera que la troisième force Y doit être représentée par la moitié de 6. Ainsi, voilà trois forces, entre autres, qui sont situées en trois arêtes, deux à deux non parallèles et non contiguës, d'un même rhomboïde rectangle, et qui pourtant ont'une résultante unique; et il est même aisé de voir que cette résultante passe au milieu de la plus courte distance b qui sépare les forces X et Z proportionnelles aux lignes a et c.

DE STATIQUE. l/jS

On peut faire une foule d autres exemples; il suffit de ne pas se donner deux forces dans le rapport particulier qui, d'après Féquation précédente, rendrait la troisième force infinie.

Au reste, ce quon vient de dire pour trois forces rectangulaires dans l'espace s'appliquerait de même à trois forces parallèles à trois axes obliques quelconques; car, relativement à ces axes obliques, si Ton cherchait par la même analyse quau n^ 106, la condition générale d'une résultante unique , on trouverait une équation toute semblable à la précédente, et qui, pour le cas de nos trois forces, donnerait également XYc — XZ6 -h YZa = o; d où Ion tirerait les mêmes conséquences , en observant que, dans cette équation, «, 6, c ne représentent plus les distances mutuelles des trois forces obliques X , Y, Z , mais trois lignes dont chacune va de Tune à l'autre force parallèlement à la troisième.

Si des trois ligues a, b, c, il y en avait deux nulles, sans que la troisième le fût, l'équation précédente serait réduite à un seul terme , qu'on ne pourrait rendre nul , sans faire quelqu'une des trois forces égale à zéro : d'où il résulte que, si trois forces finies sont situées de manière que la direction de Tune d'elles rencontre les directions des dcnix autres qui ne sont point

Statique V. ;o

l46 ÉLÉMENTS

en même plan , ces trois forces ne sont jamais réductibles à une seule ; résultat qui s'accorde avec ce qu'on a dit à la fin du n® 75.

On voit donc , pour revenir à notre objet , que des trois équations (A) qu'on avait données avant notre théorie , il n'y en a aucune qui soit nécessaire pour la condition qu'on avait en vue, et qu'elles sont tout à fait étrangères à la question dont il s'agit. Mais il y a encore une autre remarque assez curieuse à faire sur ces équa* tions.

Si on les ajoute ensemble, ce qui est assez naturel à cause de leur symétrie, et ce que l'auteur même avait fait, il arrive que la somme de ces trois équations revient précisément à U nôtre XL -f- YM -h ZN = o. Ainsi, Ton avai rencontré par hasard la véritable équation dr problème , et il est clair qu'on ne s'en était poin aperçu; car on aurait vu sans doute que, 1 somme des trois quantités pouvant être nul] d'une infinité de manières , sans qu'aucun d'elles le soit en particulier, il pouvait y avo une résultante unique, sans qu'aucune des tro équations regardées comme nécessaires fûtsati faite; d'où l'on aurait conclu qu'elles n'étaie pas nécessaires , et qu'il fallait les supprim avec l'analyse défectueuse qui y avait condi Mais, avant notre théorie, on ne savait f

DE STATIQUE. i/^^j

pré€i8ément en quoi consistait la condition générale d une résultante unique.

Quoiqu'on ait depuis rectifié cette analyse par celle que j ai donnée au n^ 106 , je n'ai pas cru cette petite discussion inutile, non-seulement parce qu elle éclaire un point important Hé la composition des forces, et quelle fait voir la fausse supposition sur laquelle on s appuyait, mais parce que ce paralogisme subsiste encore, et s'est reproduit jusqu'ici dans un ouvrage célèbre où l'auteur des équations (A) parait lavoir emprunté.

Cowllaire Vil.

H2. liOrsqu'on a les trois équations L = o , M = G, N = o, le moment G du couple résultant est nul , et les forces appliquées au système se réduisent à une seule R dont la direction passe par Torigine.

Et comme le moment G ne peut être nul , à moins que les trois moments résultants partiels L, M, N ne soient nuls à la fois, il s'ensuit que si l'on voulait exprimer que des forces quelconques se réduisent à une seule qui passe en un point donné, il faudrait, eu supposant quon ait pris ce point pour origine , poser les trois équations L = o, M = o, N = o.

l48 ÉLÉMENTS

113. Nous terminerons cet article général par un théorème important sur la manière d'estimer les forces suivant une direction donnée , et leurs moments par rapport à un axe donné, lorsque l'on connaît déjà ces forces et leurs moments estimés par rapport à trois axes rectangulaires.

Mais démontrons d abord la proposition sur laquelle on s appuie au n® HO, et dont nous nous servirons encore ici.

Soient deux droites situées dune manière quelconque dans l'espace. Nommons a , ]3 , y les trois angles que fait la première avec les trois axes coordonnés; X, ]ui, v les angles analogues de la seconde avec les mêmes axes : je dis qu'on aura, pour l'angle 9 que ces deux droites forment entre elles,

cos 6 = cos a cos X -h cos ]3 ces /x -f cos y cosv.

En effet , transportons, pour plus de simplicité , nos deux droites parallèlement à ellesmêmes jusqu'à l'origine : les angles a , ]S , y , X, Il y V et l'angle 6 ne changeront pas. Prenons sur la première , à partir de l'origine , une longueur ^ arbitraire d , dont l'extrémité aura pour coor- ; données x , ^, z. Prenons de même sur la se- i- " conde une autre longueur quelconque D , dont Ig

lextréniité aura pour coordonnées x , y , z. Si l'on joint ces deux extrémités par une droite H , on aura un triangle dont les trois côtés seront dy D et H; et puisque 9 est l'angle compris entre les deux premiers, on aura, comme on le sait ,

H^ = rf^ H- D^ — 2 ^D cos 0 ;

mais on a

et H^ = (x — xy + ( j — y)^ -+- (z — z)^

Substituant daus la première équation, réduisant, et dégageant cosô, il vient

COS0 = j )

rt.D

OU bien,

^ XX y Y z z

cosô = ~ h-, \- -t'-'^

au rt 1) a D mais on a évidemment

J=COSa, -^^=008/3, ^=:COS7,

et de même,

-=COsX, - = COS]UL, -=zCOSV.

Donc cosô = cosacosX -f- cosjScos/x4- cosycosv. Si l'on veut exprimer que les deux droites d

et D sont rectangulaires entre elles, il faut poser cos ô = o , et, par conséquent ,

cosa cosX -h cos/3 cos/x H- cos y cos v = o;

ce que nous avions supposé au n^ 110.

114. Actuellement changeons les lettres X, |x, V , en a', ]3', y', et considérons une force R dirigée suivant la première droite. Cette force estimée suivant la seconde, ou projetée sur elle, donnera pour sa projection, que je nomme R% R' = Rcos0, et, par conséquent,

R'=: R cos a cos a'-hR cos/3 cos /3'4- R cosy cos/.

Mais Rcosa, Rcosj3, R cosy expriment les trois composantes de la force R suivant les trois axes; donc, si Ton nomme X, Y, Z ces composantes, on aura plus simplement

R' = X cos a' -h Y cos |S' + Z cos y'.

Ce qui nous fait voir que, pour estimer suivant une direction différente de la sienîic une force dont on connaît déjà les composantes suivant trois axes rectangulaires, on n^a quà prendre la somme de ces composantes multipliées respectivement par les cosinus des angles quelles forment avec la cU" rection nouvelle.

C'est ainsi qu'en Géométrie, pour projeter une ligne sur un axe quelconque, on peut d'à-

DE STATIQUE. IDI

bord projeter cette ligne sur trois axes rectangulaires; projeter ensuite ces trois projections sur l'axe donné , et ajouter ensemble ces projections de projeotions.

115. Pareillement , si Ion considère un couple dont le moment soit représenté par une partie G prise sur son axe, et que ce moment décomposé par rapport à trois axes rectangulaires donne les moments respectifs L, M, N, on voit, comme ci-dessus, que pour estimer le moment G par rapport à un axe nouveau qui forme, avec les trois premiers, des angles X', ]x', v', il n y aura qu'à prendre la somme des moments composants L, M, N multipliés par les cosinus respectifs de c<*s angles; de sorte qu'en nommant G' la valeur relative du moment G, on aura

G'= F. cosX'4- M cos]ul'4- N cosv'.

D où il résulte que la somme des moments de tant de forces que l'on voudra y par rapport à im axe quelconque y est égale aux sommes de leurs moments, par rapport à trois axes rectangulaires, multipliées respectivement par les cosinus des angles que ces trois axes font avec le nouvel axe donné. Ce qui est un théorème tout semblable au précédent.

l52 ÉLÉMENTS