DES CONDITIONS DE L'ÉQUILIBRE

Lorsque le corps ou système sur lequel les forces agissent n'est pas entièrement libre dans V espace, mais se trouve gêné par des obstacles.

Nous alloQs examiner trois cas principaux auxquels il est facile de ramener tous les autres, comme on pourra le voir par la suite.

De i équilibre iVun corps qui na que la liberté de tourner en tous sens autour d'un point fixe.

Les six équations de l'équilibre d un corps ou système libre sont, comme nous l'avons trouvé ci-dessus,

X=:o, Y = o, ZrizO, L = o, M=o, N = o.

H 6. Supposons maintenant qu'il y ait un point fixe dans \e système , et qu'on Tait pris pour l'oiigine des coordonnées. Il est clair qu'il pourrait alors y avoir équilibre sans que ces six équations fussent satisfaites; car, quoique le point fixe soit par lui-même incapable de produire le moindre effort, il peut néanmoins

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anéantir ceux des puissances dont la résultante irait y aboutir, et par là tenir lieu de nouvelles forces dans le système.

Mais, quelles que soient les forces dont un . point fixe puisse tenir lieu par sa résistance, il est bien manifeste qu'elles doivent toutes passer par ce même point; que, par conséquent, on peut toujours les y concevoir comme composées en une seule, et imaginer ainsi, à la place du point fixe, une force unique r qui remplace sa résistance, et considérer alors le système comme parfaitement libre dans Tespace.

Les six équations précédentes devront donc avoir lieu si Ton y introduit la nouvelle force r.

Or cette force , étant immédiatement appliquée à lorigine, fournira trois nouvelles composantes, X, Y, z, dans les trois axes, et ne fournira aucun couple nouveau dans les trois plans. Les six équations de l'équilibre seront donc

XH-X=:0, Y-f-Y = 0, Z-|-Z = 0,

Les trois résultantes partielles X, Y, Z pourront donc avoir telles valeurs qu'on voudra. Car, en supposant la résistance du point fixe indéfinie dans tous les sens, les trois forces x^ Y, z prendront telles valeurs et tels signes qu on

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voudra , et, s égalant toujours, en quelque sorte, aux trois forces contraires X, Y, Z, appliquées au même point, rendront toujours les trois premières équations satisfaites.

Mais il faudra que les trois moments résultants partiels L, M, N soient toujours nuls d'eux-mêmes, ce qui nous fait voir que, pour l'équilibre d'un corps qui na que la liberté de tourner autour d'un point fixe y il est nécessaire et il suffit que la somme- des moments des forces par rapport à trois axes rectangulaires menés par ce point soit nulle d'elle-même relativement à chacun de ces trois axes.

117. Lorsque toutes les forces appliquées au corps sont parallèles, on peut mener par le point fixe deux pians parallèles à leurs directions , et décomposer tous les couples dans ces deux plans. Il suffit donc alors, pour l'équilibre du système, que la somme des moments soit nulle par rapport à deux axes perpendiculaires à ces plans.

Lorsque toutçs les forces sont dans un même plan avec le point fixe, tous les couples à 1 Regard de ce point sont aussi dans ce plan; et il suffit alors que la somme des moments soit nulle par rapport à un seul axe perpendiculaire à ce plan.

Remarque.

118. Nous savons que les trois équations ri = o, M = o,N = o, qui assurent, dans le cas général, l'équilibre du système, expriment d'une autre manière ( 1 12) que les forces appliquées doivent avoir une résultante unique qui passe par le point fixe. Donc, si Ton avait voulu partir de cette conséquence comme principe, c'est-à-dire regarder d'abord comme évident que les forces appliquées ne peuvent se faire équilibre autour du point fixe, à moins qu'elles naient une résultante unique dirigée vers ce point, on en aurait conclu réciproquement que l'on doit avoir pour l'équilibre, les trois équations L = o, M = o,N = o; ce qui nous aurait conduits au même résultat.

Corollaire,

De la pression exercée par les forces sur le point fixe,

119. Quoique nous ayons supposé le point fixe susceptible d^une résistance indéfinie en tous sens, cependant , lorsque des forces données se font actuellement équilibre sur cet appui , il n'a besoin que d'une certaine résistance déterminée. Cette résistance actuelle, prise en sens

contraire, est ce que Ton iiomuie la pression qu'il éprouve de la part des forces du système. Ainsi, pour calculer cette pression, on n'aura qu a déterminer la force — r. Mais Ton a, par les équations ci-dessus , pour ses trois composantes — X, — Y, — z dans les trois axes,

~x = X, -Yz=Y, ~z = Z.

D où il suit que la pression est égale à la résultante de toutes les forces du système ^ transportées parallèlement à elles-mêmes au point fixe.

Et c'est ce qu'il était facile de reconnaître d'abord ; car le point fixe ne peut être pressé que par les forces qui s'y sont transportées parallèlement à elles-mêmes, et par les couples qu'elles ont foitnés à Tégard de ce point ; mais puisque ces couples doivent être en équilibre d'eux-mêmes, c'est-à-dire seraient en équilibre quand bien même le corps serait entièrement libre, il s'ensuit qu'ils ne peuvent nullement charger le point fixe , et que , par conséquent , ce point n'est pressé que par la résultante des premières forces.

De ^équilibre d'un corps qui na d'autre liberté que celle de tourner autour de la ligne qui joint deux points fixes.

tijr. 30. 120. Soient A et 13 {fie/. 36) les deux points

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fixes. Prenons AB pour Tun des trois axes, pour celui des abscisses par exemple, et le point fixe A pour Forigine.

Quelles que soient les forces dont chacun des points fixes puisse tenir lieu par sa résistance, on peut toujours les concevoir comme réduites à deux forces r et r' immédiatement appliquées à ces points, et substituant ainsi à la place des deux points A et B les deux forces respectives r et r' qui remplacent leurs résistances actuelles , considérer le système comme parfaitement libre dans l'espace.

Les six équations de l'équilibre doivent donc avoir lieu en y introduisant les deux nouvelles forces r et r'.

Or la force r, immédiatement appliquée à lorigine A, donnera trois composantes x, y, z dans les axes, et ne donnera aucun couple dans les plans.

Laforce r',appliciuée en B, donnera trois composantes x', y' z', la première dans Taxe des abscisses, les deux autres dans les plans respectifs XY, XZ. La force x' qui tombe dans l'axe des abscisses, étant transportée à l'origine, donnera un couple nul; mais les deux forces y'etz', transportées à l'origine, donneront deux couples dans les plans respectifs XY, XZ adjacents à l'axe de rotation ; et les moments de ces

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couples seront (en faisant AB = a)Y'a, z'a. Les équations de l'équilibre seront donc

X-4-XH-X' = o, Y-f-Y4-Y' = 0,Z+Z+Z'=0, ri = o, M-f-z'a = o, N — Y'a=o.

Ijes cinq quantités X, Y, Z, M, N pourront donc avoir telles valeurs qu on voudra ; car, en supposant la résistance des deux points fixes indéfinie en tous sens, les quantités x, Y, z, x', y', z' auront telles valeurs et tels signes qu'on voudra, et les trois premières équations, ainsi que les deux dernières, seront toujours satisfaites.

Mais il faudra qu'on ait toujours, pour les seules forces appliquées au système, lequation L =: o. Ce qui nous apprend que tes conditions de r équilibre d'un corps assujetti à tourner autour . d'un axe fixe se réduisent à ce que la somme des moments des forces estimés par rapport à cet axe soit nulle d'elle-même.

Remarque.

121. Si les deux points A et B n étaient pas arrêtés en tous sens, mais pouvaient couler ensemble dans la direction AB, comme si on les supposait unis entre eux , et renfermés dans un canal infiniment étroit AB, leurs résistances X et x' dans le sens de Taxe des abscisses seraient

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nulles d'elles*-mêmes , et Ton aurait encore i'équatioD X = o; de manière que, lorsque le corps a la liberté de se mouvoir dans le sens de Taxe de rotation , outre la première condition énoncée ci-dessus, il faut encore que la somme des forces décomposées parallèlement à cet axe soit nulle d'elle-même.

Corollaire.

Des pressions exercées par les forces sur les deux points fixes.

122. Ces pressions n'étant autre chose que les deux résistances actuelles r et r' des deux points fixes, estimées en sens contraires , on aura pour déterminer leurs composantes — x , — y, — z; — x', — y', — z' parallèles aux trois axes , les cinq équations

X-f-x-f-x' = o, Y+yh-y' = o, Zh-zh-z'=o, M-hz'a = Oy N — Y'a = o.

Mais comme il y a six inconnues, il parait d*al>ord que les deux pressions -- r et — r' seront indéterminées, ou du moins que Ton pourra disposer à volonté de Tune de leurs six composantes. Cependant, si Ton observe que les deux inconnues — x, — x', n'entrent que dans la première équation, on voit que les quatre autres seront déterminées par les équar

l6o ÉLÉMENTS

t ions restantes. En effet, Ton aura sur-le-champ, par les deux dernières équations,

et substituant dans les deux précédentes, on

aura

Yrt-f-N Z« — M

Ainsi, Tindétermination ne portera que sur les deux composantes — x, — x', dont la somme seulement sera déterminée par la première équation X 4- X -H X ' = o.

Les deux forces — Y, — z, perpendiculaires à Taxe de rotation au point A, se composeront en une seule ^Y^ -^ z^ perj)endiculaire au même axe, et qui fera avec les axes desj-, z des angles dont les cosinus respectifs seront

Les deux forces — y', — z', perpendiculaires à Taxe de rotation au point B, se composeront de même en une seule \y'--|-z'^ perpendiculaire au même axe, et qui fera avec les axes desj^ et z des angles dont les cosinus respectifs

seront

DE STATIQUE. l6l

Ainsi les deux pressions normales à l'axe, aux points respectifs A et B , seront nécessairement déterminées de grandeur et de direction; et, par conséquent, les pressions absolues — r et — r' n'auront que cette indétermination particulière, savoir, qu'il faudra les choisir de telle sorte qu'étant décomposées chacune en deux autres. Tune dans Taxe, et l'autre perpendiculaire à cet axe, les deux forces normales aient les valeurs et les directions que nous venons de donner, et les deux forces situées dans Taxe fassent une somme constante égale à X.

125. Pour voir à quoi tient cette indétermination , qui dépend de celle des deux résistances actuelles x, x' que les points fixes A et B doivent opposer dans le sens de la ligne qui les joint, on peut remarquer que ces deux points, qu'on peut supposer unis par une verge inflexible , se prêtent un appui réciproque ; de manière que chacun d'eux a toujours, ou par lui-même, ou par le secours de l'autre, la résistance actuelle dont il a besoin pour l'équilibre , pourvu que la somme de ces résistances soit suffisante. On ne peut donc pas demander, et il est impossible que le calcul détermine des valeurs particulières, pour deux résistances qui, passant tacitement, en tout ou en partie, de l'un à

Statique P. 1 1

l62 ÉLÉMEINTS

Taiitre point, se confondent en une seule et même résistance.

De réquilihre dun corps qui s appuie contre un plan inébranlable.

124. Prenons ce plan pour ^^ui des x,yy que Ton nomme le plan horizontal pet , suppo* sant d abord que le corps ne s appuie owatre ce plan que par un seul point A, regarda)» ce point d'appui comme l'origine des coordoni

Il est facile de voir que lorsqu'une presse un point contre un plan, cette force ^ toujouï^s se concevoir comme décomposé^ deux autres , Tune perpendiculaire au plar Tautre située dans ce plan. La première es! cessairement détruite par la résistance du car il n y a pas de raison pour qu elle m le point d un côté plutôt que d'un autre dal plan , et d'ailleurs elle ne peut le mouv^ travers; mais la seconde obtient tout son parce que son actidu ne peut être altérée la résistance dun plan le long duquel] s'exerce. Le plan résistant ne peut donc truire que des forces dont les directions luil normales, et, par conséquent, sa résistancJ peut faire naître que de telles forces dan? système.

DE STATIQUE. l63

Soit donc z la résistance actuelle du point d appui dans Taxe des z. Les équations de lequi- Ubre deviendront :

li — G, M=i:0, N— G.

Les trois dernières nous font voir (112) que les forces appliquées au corps doivent se réduire à une seule qui passe par Torigine, c està-dire par le point d appui;

Les deux premières, que cette résultante doit être verticale, c'est-à-dire perpendiculaire au plan fixe;

Et la troisième, Z -+- z = g, que cette résultante Z peut avoir une valeur quelconque, pourvu qu'elle soit désigne contraire à la résistance z du plan; c est-à-dire qu'en supposant, ccmime nous le ferons désormais, que le corps soit placé au-dessus du plan des x,^% il faut <|nê la force Z ne soit pas positive : sans quoi , ^tendant à soulever le corps au-dessus du plan, ^«ite n'y ferait naître aucune résistance, et le plan ^^e selrvirait à rien pour l'équilibre; de manière ^^'4 faudrait les mêmes conditions que si le fi&ne était parfaitement libre.

ffm. Supposons actuellement que le corps ppuie par un second point B. Prenons AB •iHwr l'axe des jc , et le point A pour l'origine.

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Le point A fait naître une résistance z dans Taxe même des z. Le point B fera naître une résistance z' dans le planxxzy et donnera dans ce plan un couple dont le moment sera z'a', en faisant AB = a'.

Les équations de 1 équilibre seront donc

X = o, Y = o, ZH-z-t-z' = o, L = o, M-hz'a' = o, N = G.

Ces équations nous font voir que Téquation de condition XL 4- YM 4- ZN = o est satis-

faite, ainsi que l'inégalité y^X^ -{- Y^ H- Z^ >> o (puisque les deux résistances z et z' ne pouvant être supposées toutes deux nulles, et étant de même signe, la force Z ne peut être nulle). Les forces appliquées au système doivent donc avoir une résultante unique.

Les deux premières équations montrent que cette résultante doit être verticale, cest-à-dire perpendiculaire au plan fixe; et la troisième, Z H- z + z' = o , qu elle peut avoir telle valeur qu'on voudra, pourvu qu'elle ne soit pas positive.

Enfin, si Ton cherche les valeurs des deux coordonnées /jet 9 du point O où sa direction doit rencontrer le plan horizontal, comme on a ( 108)

DE STATIQUK. I 65

en mettant à la place des quantités L, M, /, leurs valeurs tirées des équations précédentes, on aura

Donc, puisque Ion a fjf = o, il faut que le point où elle rencontre le plan horizontal tombe sur la ligne des abscisses, c'est-à-dire sur la ligne qui joint les deux points d'appui ; et puisque

Ton 3 p = a^ -TT7' ^ cause de ; — - toujours

< I , on a /> toujours -< a', et, par conséquent, la direction de la résultante doit toujours tomber entre les deux points d appui A et B.

126. Supposons enfin que le corps sappuic» contre le plan par tant de nouveaux points qu on voudra, C , D , etc. , qui soient tous placés d'un même côté à l'égard de la droite AB, qui est toujours regardée comme l'axe des abscisses X, Conservant pour les deux points A et B les dénounnations précédentes, nommons il" et b" les deux coordonnées du point C; a" et h'" celles du point D, et ainsi de suite. La résistance z" du point C, étant transportée à l'origine, donnera deux couples dans les plans verticaux XZ, YZ, dont les moments seront y/'a"j v/'h" ; la résistance /"' du point D donnera de morne deux couples dans les mêmes plans,

l66 ÉLÉMENTS

et dont les moments seront z'"a'"j z"'b"' , et ainsi de suite. Les équations de lequilibre seront donc

X =: o, Yi=io, Z-+-z-f-z' + z"-hz'" + etc. = o,

L ^i"b"-z"b"' — eic, = o,

M 4- z'a' + z"a" + z'"a'" + etc. = 0, N = o.

Ces équations nous font voir d'abord, comme dans l'article précédent, que toutes les forces appliquées au système doivent se réduire à une seule, perpendiculaire au plan fixe, et dont la valeur ne soit pas positive.

En second lieu, je dis que sa direction doit rencontrer ce plan dans l'intérieur du polygone formé par les points d'appui A, B, C, D, etc.

En effet, si l'on nomme, comme ci-dessus, q l'ordonnée du point O, où cette résultante rencontre le plan horizontal; comme on a

H =1 ^^ en mettant pour L et Z leurs valeurs

tirées des équations précédentes , on aura

^ — z-f-z'H-z"4-z'" + elc. '

Or les résistances z, z\ z\ z'% etc., étant toutes positives, et les ordonnées h'\ b'% etc. ^ toutes de même signe , puisque les points C , D, etc., sont, par hypothèse tous placés du même côté de Taxe des abscisses, il s'ensuit que Tordonnée q sera de même signe que ces

DE STATIQUK. 167

ordounées, et que, par conséquent, le point O sera, à l'égard de la ligne AB qui joint les deux points d'appui A et B, du même côté que les autres G, D, etc. Donc, puisqu'on aurait pu prendre pour Taxe des abscisses toute autre droite AC, BD, etc., qui, joignant deux points d'appui, laisse tous les autres d'un même côté, on peut conclure que le point O doit se trouver, à l'égard de chacune de ces lignes, du même côté que les autres points d'appui, et, par consé- (juent , doit tomber nécessairement dans l'intérieur du polygone formé par tous les points d'appui.

Corollaire.

Des pressions exercées par la résultante des forces du système sur les différents points d'appui,

127. Ces pressions, estimées en sens contraire, ne sont autre chose que les résistances z, z', z", z'\ etc., dont les points d'appui A, B, G, D, etc., ont actuellement besoin pour l'équilibre. On aura donc, pour les déterminer, les trois équations :

Z -f- z --h z' -h z" -f z'" -h etc. = o,