L - b'A" ~ 6'"z' - etc

;M 4. a' 7/ -f- a"z" + a"'yj" -+- etc. = o.

l68 ÉLÉMENTS

Mais comme on n^a que ces trois équations, avec cette seule condition , que les inconnues z, z', z'\ z"\ etc. , doivent être toutes positives , il s'ensuit que les diverses pressions exercées sur le plan demeurent indéterminées lorsqu'il y a plus de trois appuis , et même lorsqu'il n'y en a que trois, s'ils tombent en ligne droite. Car, en supposant que le troisième point C tombe avec les deux autres A et B sur l'axe des abscisses, l'ordonnée b" devient nulle, et l'inconnue z" disparaissant d'elle-même dans Téquatioti L — b" z"= o, il ne reste plus que deux équations pour calculer les trois inconnues z, z', z'^, qui sont encore indéterminées.

On pourra donc, dans ce cas, se donner à volonté l'une des pressions, et, dans le cas général, se donner les pressions de tous les points d'appui , hors trois. On calculera ensuite ces dernières pressions par les équations précédentes; et pourvu que, dans les différentes hypothèses que l'on fera, le calcul ne mène à aucune pression positive, le problème sera toujours bien résolu.

Remarque,

128. Mais si nous trouvons, d'après les principes établis ci-dessus, que les pressions sont indéterminées lorsqu'il y a plus de trois points

d appui, d'un autre côté, en considérant à priori un corps appuyé contre un plan, par un nombre quelconque de points, et tenu en équilibre par une force normale à ce plan, il nous parait évident que chaque point de contact doit être actuellement pressé, et que, s'il est pressé, c'est avec une certaine force tout à fait déterminée, ce qui serait absurde autrement: et de là résulte une espèce de paradoxe qui ne parait pas facile à expliquer.

Gardons-nous d'abord d'en conclure, avec d^Alembert , que la théorie connue jusqu'ici est insuffisante pour résoudre le problème en question ; car nous allons voir que ce problème est indéterminé par l'hypothèse même que l'on a faite, et que la théorie donne tout ce qu'on peut demander sans se contredire soi-même.

En effet, si Ion fait attention qu'il s'agit, par hypothèse , d'un corps dont la figure est parfaitement invariable, on peut concevoir les points de contact de ce corps, comme unis entre eux par un plan parfaitement inflexible, lequel repose sur les points fixes A, B,C, D, etc. Or, lorsqu'il y a plus de trois points d'appui, ou seulement trois quand ils tombent en ligne droite , il n'est pas difficile de voir que certaines parties des pressions qu'on supposerait exercées par le plan sur ces points, peuvent être ima-

satisfasseDt ensemble aux trois équations données ci-dessus , de quelque autre manière permise par les mêmes équations y que Ton veuille répartir les forces de pression sur ces différents points, chacun d'eux trouvera toujours, ou dans sa résistance propre , ou dans sa résistance unie avec celle qu'il empruntera des autres points d appui, la résistance actuelle dont il aura besoin pour détruire la pression qu'on lui suppose.

Il n^en est pas de même dans le cas de deux points d'appui, et dans celui de trois non en ligne droite : les résistances actuelles sont déterminées , et doivent 1 être ; car chaque point d'appui se trouvant seul à côté de l'autre , ou , dans le second cas , à côté de la ligne qui joint les deux autres, il est visible qu'il ne peut avoir que sa résistance propre, et ne pourrait pas en emprunter des appuis voisins , si elle n'était pas suffisante.

150. Le paradoxe que nous venons de résoudre est d'autant plus frappant, que, dans la nature, les pressions exercées par les corps aux différents points de contact sont nécessairement déterminées dans tous les cas, ce qui serait ab surde autrement.

Mais tous les corps sont plus ou moins flexi-

DE STATIQUE. lyS

bles et élastiques ; et lorsqu'ils sont pressés les uns contre les autres par différents points situés dans le même plan , la pression totale se distribue d'une manière particulière en vertu de ces propriétés physiques , et des trois équations données ci-dessus (127) , auxquelles les pressions individuelles doivent toujours satisfaire: or il faudrait savoir tenir compte de ces propriétés, pour trouver en tout autant d'équations qu'il y a de points de contact , et connaître par là les diverses pressions; et c'est une question très-délicate de Physique, que nous ne chercherons pas. à discuter ici.

151. Ce que nous avons dit sur l'équilibre d'un corps qui s'appuie contre un seul plan peut aisément s'appliquer à un corps qui s'appuierait contre plusieurs plans à la fois. Chacun de ces plans fera naître aux différents points de contact des résistances normales à sa surface; et, en introduisant dans les six équations de l'équilibre ces nouvelles forces indéterminées , on parviendra facilement aux conditions que doivent remplir les forces immédiatement appliquées.

152. Si le corps s appuie en différents points contre une ou plusieurs surfaces courbes quel-

conques, on pourra supposer qu'il s appuie sur les plans tangents menés aux surfaces en ces points. Ainsi, connaissant les équations de ces surfaces , on cherchera celles des plans tangents ou des normales aux divers points de contact : on introduira dans les équations de l'équilibre autant de forces indéterminées, dirigées suivant ces normales, et le problème reviendra au précédent.