Actuellement, soit une pyramide trian
Fig. 42. gulaire ABCI) {fig. 4^)- Pa^* le point L, milieu
de AG, faites passer la section LMK parallèle à
labaseBCD , et la section LEF parallèle à la face
ABÏ). Menez KH parallèle à LE, et joignez EH.
DE STATJQUK. 207
I.a pyramide proposée sera décomposée en deux prismes équivalents, lun dont ]a base est EDH, l'autre dont la base est LEF, et en deux pyramides triangulaires ALMK , LCEF parfaitement égales entre elles, et semblables à la pyramide proposée.
Cela posé, égalons le moment de la pyramide totale, par rapport à la base BCD, à la somme des moments des deux prismes et des deux pyramides partielles , par rapport au même plan.
Soit a la solidité de Tune de ces deux pyramides, 8a sera celle de la pyramide entière; et si Ion nomme x la distance de son centre de gravité à la base, on aura 8ax pour son moment.
Soit h la hauteur de la pyramide entière; le prisme dont la base est EDH aura son centre
de gravité élevé, au-dessus de la base, de — ;
et, comme sa solidité est 3a, son moment sera
3 a 7' Le second prisme, dont la base est LEF^
aura son centre de gravité élevé au-dessus du
plan BCD de ^ • -(158); et, comme sa solidité
est 3 a, son moment sera 3 a tt^ ' o
ËnBn, si Ion nomme x' la hauleur du centre
ao8 ÉLÉMENTS
de gravité de la pyramide LGEF au-dessus de la base BCD , la hauteur du centre de gravité de la seconde pyramide ALMK sera évidem-
ment x' H — , et Ion aura , pour la somme des
moments de ces pyramides, On aura donc, en réunissant.
ax' -i- a ( X' + r I ' ou — -f- 2 nx*
n Zah Zah ah
8 ax = -7 1 7! 1 1-2 cix' ;
réduisant, et divisant par 8r/,
Si Ton supposait que , dans les pyramides semblables , les centres de gravité sont des points semblablement placés, comme les dimensions de la pyramide LGEF sont deux fois plus petites que celles de la pyramide proposée ABCD, on aurait
et, substituant dans 1 équation précédente, on trouverait
Ce qui nous ferait voir que, dans toute pyramide triangulaire, le centre de gravité est élevé
DE STATIQUE. aOQ
au-dessuH de chaque face au quart de la hauteur de Tangle opposé; d'où il est facile de conclure qu*il est au point déterminé ci-dessus. Mais on peut parvenir à lequation précédente sans aucune hypothèse.
En effet , si Ton imagine que Ton ait fait dans la petite pyramide LCEF la même construction que Ion a faite dans la pyramide ABCD , en nommant x" la distance analogue à celle qu'on a nommée x', et observant que la hauteur de la nouvelle pyramide n'est que la moitié de la hauteur h de la première , on aura, comme cidessus,
et continuant la même construction dans les pyramides successives, on trouvera
etc.
, etc.
x'", jr'^, etc., désignant les distances succèssives des centres de gravité des pyramides à la base. Or ces distances diminuent sans cesse , t*t deviennent plus petites que toute grandeur donnée, puisqu'elles sont toujours moindres Stâtiquk p. ï4
21 o ÉLÉMEr^TS
que les hauteurs des pyramides dans lesquelles on les considère. On aura donc , en substituant successivement dans la première équation , à la place de x\ x*', oc*', etc., leurs valeurs,
'=lA
'+r4+^'-*-iH''^^*''-
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ce qu il fallait démontrer.
Remarque,
Soient quatre masses égales dont les centres de gravité soient placés aux quatre angles d'une pyramide triangulaire : le centre de gravité de ces quatre corps est le même que celui de la pyramide.
Car, pour trouver celui des quatre corps, il n'y aurait qu a prendre d'abord le centre de gravité de trois quelconques d entre eux , lequel est au centre de gravité de la face même aux angles de laquelle ils sont placés (1S4), et joignant ensuite le centre de gravité du quatrième corps à ce point, il faudrait diviser cette droite à partir de la face, en raison réciproque de 3 à I : or cette construction donne aussi le centre de gravité de la pyramide.
DK STATIQUE. 211
Il résulte de là que la distance du centre de gravité d'une pyramide triangulaire à un plan situé d'une manière quelconque dans lespace est égale à la moyenne distance de ses quatre angles au même plan.
La même propriété appartient aussi au prisme triangulaire.
Remarque générale,
160. Pour déterminer le centre de gravité d'un polyèdre, il n est pas toujours nécessaire de le décomposer en pyramides triangulaires; il se présente souvent des simplifications dont il faut profiter.
Par exemple, on trouvera le centre de gravité d^un prisme quelconque à bases parallèles en prenant le centre de gravité de la section parallèle aux bases , menée entre elles à égales distances , ou bien , en prenant le milieu de la ligne qui joint les^centres de gravité de ces deux bases.
Cette proposition est si facile à démontrer directement , ou à déduire de ce que nous avons dit sur le prisme triangulaire , qu'il est inutile de s y arrêter.
161. Si Ton considère un cylindre quelconque à bases parallèles comme un prisme
dont la base est un polygone d^une infinité de côtés, il résulte de ce que nous venons de dire que le centre de gravité de ce cylindre est au milieu de la droite qui joint les centres de gravité de ses deux bases.
162. On a pu voir précédemment que le centre de gravité d'une pyramide triangulaire est le même que le centre de gravité de la section parallèle à la base, menée au quart de la hauteur du sommet.
Cette propriété s'étend à une pyramide quelconque ; car si Ton partage la base en triangles par des diagonales, et que Ton conduise des plans par ces lignes et par le sommet , on décomposera la pyramide proposée en autant de pyramides triangulaires qu'il y a de triangles dans la base. Toutes ces pyramides auront une même hauteur, qui est celle de la proposée, et, par conséquent, leurs solidités respectives seront proportionnelles à leurs bases ou à des sections parallèles faites à même hauteur. Donc, si Ion coupe toutes ces pyramides par un plan parallèle au plan de leurs bases , mené au quart de la hauteur du sommet commun, puisque leui'S centres de gravité respectifs sont les mêmes que ceux des sections triangulaires correspondantes, et que leurs solidités (ou leurs poids)
DE STATIQUE. ai 3
sont proportionnels à ces sections, il s'ensuit que le centre de gravité du système de ces pyramides est le même que celui de tous les triangles ou du polygone qui résulte de leur assemblage.
Mais, si Ion tire une ligne droite du sommet au centre de gravité de ce polygone, cette droite ira passer au centre de gravité de la base, et sera coupée par le plan du polygone aux trois quarts de sa longueur en partant du sommet , ou au quart, en partant de la base.
163. Donc le centre de gravité d'une pyramide à base quelconque est sur la ligne menée du sommet au centre de gravité de la base y au quart de cette ligne en partant de la base , ou aux trois quarts en partant du sommet.
164. En considérant le cône comme une pyramide dont la base est un polygone d'une infinité de côtés, on voit que le centre de gravité d'un cône à base quelconque est sur la ligne qui joint le sommet au centre de gravité de la base, au quart de cette ligne à partir de la base , ou aux trois quarts à partir du sommet du cône.
Centre de gravité du tronc de pyramide,
