On voit d abord que le centre de gra

2l4 ÉLÉMEINTS

vite d'un tronc de pyramide est sur la ligne qui joint les centres de gravité de ses deux bases : car supposez rétablie la pyramide entière dont on a retranché une pyramide semblable, par une section parallèle à la base, pour former le tronc dont il s agit. Comme la ligne qui va du sommet au centre de gravité de Tune des bases passe au centre de gravité de l'autre, il s'ensuit que cette ligne passe à la fois par les centres de gravité des deux pyramides semblables , et, par conséquent, par celui du tronc qui en est la différence. Ainsi, il ne reste qu'à trouver la distance de ce point à l'une ou à l'autre base, ou, si Ton veut, le rapport de ces deux distances.

Or, soit X la distance de ce centre à la base inférieure, et nommons H et h les hauteurs des deux pyramides semblables. Si l'on représente par H* le volume ou le poids de la grande pyramide, /i* sera le poids de la petite, et H' — /i* celui du tronc: et les trois moments de ces poids par rapport à la base inférieure

seront H^ 5, h^ (J + H ~ li\ et (H^ -^h')x.

Donc, en égalant le premier de ces moments à la somme des deux autres, on aura, pour déterminer .X , Téquation

dont le premier membre est divisible une fois , et le second deux fois par (H —A), qui est la hauteur du tronc.

Si l'on cherche de même la distance y du centre de gravité à la base supérieure, ou si l'on observe simplement que y est composée de H — A diminuée de x, on trouvera lequation

4 (IP - h^)y = /i* ~ 4H»/i 4- 3H\

dont le premier membre est divisible de même par H — A, et le second par (H — A)^.

Comparant donc ces deux équations , et supprimant les facteurs communs, on aura, pour le rapport cherché , x :^ : : H^ -f- 2 H/i -4- 3 /i^ : A^ -H 2 AH H- 3H^ : ou bien, comme dans les pyramides ou les cônes semblables , les bases sont proportionnelles aux carrés des hauteurs; si Ton met pour H^ et \i? les deux bases B et b du tronc, et, par conséquent , pour HA une base V^B6 moyenne géométrique entre les deux, on aura la proportion