X : 7 : : B-4- 2 v/B6-i- 3 b\h-\-o. VBÂ-h 3B

d où résulte ce théorème :

Le centre de (jravilé cVun tronc de cône ou de pyramide est sur la ligne qui va du centre de gravité de rime des hases au centre de gra-

vite de r autre; et il coupe cette lujne dans le rapport des deux sommes quon trouve^ en prenant d'un côté : une fois la première base, deux fois la moyenne géométrique entre celle-ci et la seconde y et trois fois la seconde; et d'un autre côté, dans l* ordre inverse ^ une fois la seconde hase j deux fois la moyenne et trois fois la première.

Au reste, on voit qu'il n est pas nécessaire ici de mesurer ces bases (dont la quadrature pourâ^ait être longue , ou même assez difficile dans le cas d'une base courbe), mais qu'il suffit d'avoir trois quantités qui leur soient proportionnelles , et , par conséquent , de prendre dans les deux bases semblables du tronc proposé, deux lignes homologues A et a , de faire les carrés A* et a^, et le rectangle Aa qui sera moyen géométrique entre eux.

On peut remarquer que, dans la proportion précédente, le rapport de x d y ne dépend point de la hauteur du tronc, mais uniquement du rapport des bases, et que, par conséquent, il est le même pour tous les troncs possibles de bases proportionnelles.

Si les deux bases du tronc sont égales, la proportion donne x = j-; et, en effet, le solide devient alors un prisme ou un cylindre dont le centre est également éloigne des deux bases.

DE STATIQUE. îl 1 7

Si Tune des bases b est nulle, on a pour la distance x du centre à Tautre base B, 3 x =^: et, en effet, le tronc dont il s'agit devient alors une pyramide ou un cône, dont le centre est trois fois plus près de la base que du sommet.

On pourrait multiplier les exemples, mais ce que nous avons dit suffit pour l'objet que nous nous sommes proposé. Nous terminerons ce chapitre par quelques propriétés remarquables des centres de gravité.

Propriétés générales du centre de gravité.

166. Lorsque des forces P, Q, R, S, etc. {fig. 43), dirigées comme on voudra dans Tes- Fig 4^. pace, se font équilibre autour d'un même point A, on sait que ces forces, estimées suivant une droite quelconque AX passant par ce point , doivent aussi se faire équilibre.

Donc , si ces forces sont représentées par les parties AP, AQ, AR, AS, etc., de leurs directions, la somme de leurs projections Ap, Aq^ Ar, As, etc., sur Taxe AX, doit être égale à zéro, en comptant comme positives les projections qui tombent d un même côté du point A , et comme négatives celles qui tombent de l'autre

côté. Mais si l'on menait par le point A un plan MN perpendiculaire à AX, les projections Apy Aqf, Ar, etc., exprimeraient les distances des extrémités des forces au plan MN; donc , puisque leur somme est nulle , la moyenne distance de ces points au plan MN est aussi nulle.

Donc, lorsque tant de forces que l'on voudra sont en équilibre sur un point, ce point est le centre de gravité de corps ou points massifs égaux qui seraient placés aux extrémités des lignes qui représentent les forces en grandeurs et en directions.

Et réciproquement, si l'on considère un assemblage quelconque de masses égales, et quon mène de leurs différents centres, des lignes au centre de gravité du système, il est visible que des forces représentées en grandeurs et en directions par ces lignes se feraient équilibre entre elles.

Car la moyenne distance des extrémités de ces forces à un plan quelconque passant par le centre de gravité, serait nulle; la somme de ces forces estimées suivant un axe quelconque passant par ce point serait donc nulle aussi , et , par conséquent, il y aurait équilibre.

On voit par là que si trois forces sont en équilibre sur un point, ce point est le centre de

DE STATIQUE. ai 9

gravité du triaugle formé par les droites qui joindraient les extrémités des lignes qui représentent ces forces en grandeurs et en directions; car le centre de gravité du triangle est le même que celui des trois corps égaux dont les centres seraient placés aux trois angles.

Et de même, si quatre forces sont en équilibre autour d'un point, ce point est le centre de gravité de la pyramide triangulaire formée par les six droites qui joignent les extrémités des lignes qui représentent les quatre forces en grandeurs et en directions.

Et réciproquement, il y a équilibre entre trois forces exprimées par les distances des trois angles d*un triangle quelconque, au centre de gravité de ce triangle; et de même, entre quatre forces représentées par les distances des quatre coins d une pyramide triangulaire quelconque, au centre de gravité de cette pyramide.

Mais voici une conséquence plus générale : si Ion suppose que toutes les molécules égales d'un corps de figure quelconque soient attirées vers un même point par des forces proportionnelles à leurs distances à ce point, et qu'il y ait équilibre , ce point sera nécessairement le centre de gravité du corps.

Et réciproquement , si le point vers lequel

2îiO ÉLÉMENTS

toutes les molécules sont attirées proporlionnellement à leurs distances est le centre de gravité du corps , il y aura équilibre ; et le corps ne pourra prendre aucun mouvement en vertu de ces attractions.

C'est le cas de la terre supposée sphérique et homogène : car, dans la loi de Newton, si une molécule située au dehors du globe est attirée en raison inverse du carré de sa distance au centre, on trouve que, dans Tintérieur, chaque molécule pèse vers le centre en raison de la simple distance. Ainsi, toutes les forces de la gravité se font équilibre autour du centre de la terre.

Au reste , je ne donne ce corollaire que comme le résultat mathématique d'une simple hypothèse , et non pas comme une preuve de l'équilibre de la terre en vertu des différents poids de toutes ses parties ; car il est manifeste que cet équilibre a lieu dans la nature , mais par une autre raison générale qui ne dépend ni de la proportion ni de la direction des forces de la gravité. Et, en effet, si le poids de chaque particule de la terre vient de l'attraction que toutes les autres exercent sur elles ; comme , entre deux particules égales , laction est nécessairement égale et réciproque, il s'ensuit que le poids de chaque particule est la résultante d une infinité

DE STATIQUE. aai

de forces dont chacune a son égale et contraire dans le système, et que, par conséquent, toutes ces résultantes ou tous ces poids doivent se faire équilibre entre eux , quelles que soient d'ailleurs et la forme et la constitution de notre globe, et même la loi d attraction qui pourrait exister entre les parties de la matière.

Désignons par M H- i le nombre des forces P, Q, R, S, etc. , qui se font équilibre autour du point A, et considérons toujours les M -f- 1 corps ou points massifs égaux placés aux extrémités des lignes qui représentent ces forces.

Le point A étant le centre de gravité de tous ces corps, il est clair que si la ligne PA, qui va de lun d'eux au point A, est prolongée d'une quantité AG égale a la M® partie de sa longueur, le point G sera le centre de gravité des M autres corps. Mais toutes les forces P, Q, R, S, etc., étant en équilibre, Tune d elles P est égale et directement opposée à la résultante des M autres Q , R, S, etc. Donc on a ces théorèmes :

i*^. La résultante de M forces représentées par autant de lignes qui partent d'un même point A est dirigée de ce point vers le centre de gravité G de M corps égaux quon supposerait placés aux extré-

aa4 ÉLÉMENTS

fixe. Ainsi, comme au dedans de la terre supposée sphérîque et homogène, les molécules pèsent vers le centre en raison des simples distances , il s ensuit que , dans l'intérieur du globe , si un corps est soutenu par son centre de gravité, il restera en équilibre autour de ce point dans toutes les situations. Mais il n'en sera plus de même au-dessus du globe, où Tattraction devient réciproque au carré de la distance; et si le corps, par exemple, est un cylindre droit soutenu par le milieu de son axe, il ne pourra être en équilibre que dans «la position où cet axe est horizontal, ou perpendiculaire à l'horizon.

Comme , dans la nature , les forces de la gravité ne sont, ni exactement parallèles, ni exactement convergentes, ni dans les rapports précis qu'on vient de dire , on voit qu'à la rigueur il n'y a point dans un corps pesant de vrai centre de gravité y je veux dire, de point unique autour duquel les forces de la gravité se contre-balancent pour toutes les situations possibles du corps. Mais dans les corps de peu d'étendue que nous considérons sur la terre , le point que nous avons déterminé jouit à très-peu près de cette propriété, et l'erreur est insensible.

Tout ce qu on vient de dire de plusieurs points massifs égaux, et des forces représentées par leurs distances à un même point de l'espace , s'applique naturellement à un système de points ou corps inégaux, dont les masses seraient m , m'j m", etc. ; car il suffit de considérer chacun de ces corps, tel que m, comme un groupe de m points égaux , et de prendre pour la force appliquée à ce corps, m fois la distance de son centre au point dont il s'agit.

Ainsi^ en nommant r j r\ r" , etc., les distances des centres des corps m, m' ^m" ^ etc., à ce point ou foyer commun A, et faisant ,yi + m' -f- m" -f- etc. = M, on peut dire que le centre de gravité G de tous ces corps se trouve sur la direction de la résultante des forces mVy m'r\ m" r'\ etc., et à la M* partie de la ligne qui la représente.

Nommons R cette distance du centre G au point A : X , Y, z les trois coordonnées rectangles de G par rapport au même point; et soient de même x,jr^z\ x\y\ z', etc., les coordonnées de m , m', etc. Les forces mx, mjy mz; m'x% m' y ^ m' z* y etc., seront les composantes des forces mr^ m' r', etc. ; et Mx, My, Mz , celles de Statique P. i5

1^6 ÉI.ÉMËNTS

la résultante Mr. On aura donc

Mx = mx-h m'x' -\- m" x" -h etc., My = mj H- m^y H- m"y + etc., Mz = mz H- m'z' H- m" z" + etc.

Faisant las carrés , ajoutant , et observant qu'on a X^ ^ Y^^ -4- z^* = R%

-hz» =

etc.,

on trouvera

= wV« -4- m'^'r'* + m^'^r"^ -4- etc.

-4- 2mm'(xjc'4-^'

) -H etc.

+ 2 mm " {xx" + yy"

->rlZ'

') -4- etc.

+ etc.

Au lieu du terme imm' {xx' -f*jr/' -4- z^;'), on pourrait mettre , comme on la vu n® 1*15 , le terme nmr.m'r' cosy; ç étant Tinclinaison mutuelle des deux lignes r et r', et ainsi des autres ; d'où l'on tire en passant ce théorème connu :

Le carré de la résultante de tant de forces qu'on voudra appliquées sur un point est égal à ta somme des carrés de ces forces, et des doubles pro^ doits qu on peut faire en les multipliant, deux à deux, l'une par l'autre -et par le cosinus de leur inclinaison^muiuelle.

On peut encore 'transformer chaque terme

nmm' [xx' -h- xy -h zz') dune autre manière; car, si Ton désigne par a la distance de mkm\ on a

a' = {x- x'Y + (j-yY + {z- z')\ et , par conséquent ,

2 {xx' -hjj' 4- zz') = r^ -h r'^ — a* ;

on a de même , en nommant j3 la distance de m k m'\

a (jcjc" -F J7" 4- zz") = r^ H- r"^ — p» ,

et ainsi des autres. En substituant ces valeurs, on aura cette nouvelle expression du carré de la résultante Ma ,

M^R* = mV» + m'^/'^ -}- m"^r"^ -h etc. + mm' (r^ -h r'^ — a*) 4- etc.