mm'' (r^ -f- r'^^ — ^^) -f- etc

-4- etc.

Or, dans le second membre de cette équation , r^ est multiplié par m* 4- mm' -4- mm'' 4- etc. = m (m 4- m' 4- m" 4- etc.) = m M; le carrer'^ est multiplié de même par m'M, etc.; donc enfin, en réduisant, on aura cette équation remarquable :

M^R^ = M/(mr^) ^f{mm'a^),

où le signe/(mr^) indique la somme des produits des masses par les carrés des distances de leurs centres au point A ; et le signe /(mm'a^)

aa8 ÉLÉMENTS

la somme de leurs produits deux à deux par les carrés des distances mutuelles de ces centres.

Par cette formule, qui ne contient plus que les distances mutuelles des corps, et leurs dis-' tances à un point quelconque A de Tespace, on peut trouver à quelle distance R de ce point A est situé le centre de gravité G du système; de sorte qu'en cherchant ainsi cette distance par rapport à trois points donnés, on aurait la position du point G dans l'espace.

Si le point A change de position, ces distances R et r, r', r", etc., varient; mais les distances mutuelles a, /3, y, etc., des différents corps ne changent point par hypothèse , et le terme /(mm 'a*) est constant: donc, puisque Téquation précédente nous donne

M/(mr2) =/(mm'a^) + M^R%

il s'ensuit que le point A de Tespace pour lequel f(mr'^) a la plus petite valeur est celui pour lequel on a R = o , et que , par conséquent , ce point est le centre de gravité G du système.

Ainsi , le centre de gravité d'un système de corpsjouit de cette propriété, que la somme des produits des masses par les carrés des distances de leurs centres respectifs à ce point est un minimum , c est- à-dire est plus petite que pour tout autre point de l espace.

DK STATIQUE. 229

Quant à cette valeur minimum def[mr^)^ on voit, par réquation ci-dessus où Ton fait R= o, quelle est égale à la somme des produits qu'on peut faire en prenant les masses deux à deux, les multipliant lune par Taulre et parle carré de leur distance mutuelle, et divisant le tout par la masse entière du système; ce qui donne un second théorème qui peut être utile dans plusieurs occasions.

Si le point A, en variant de position, reste toujours sur une sphère décrite autour du centre de gravité du système , R est constante , et, par conséquent, f{mr^) ne change point, quoique les distances individuelles r, r', r'\ etc., varient par ce déplacement du point A; .et il en serait de même si, le point A restant fixe, le système tournait d'une manière quelconque autour de son centre G.

Le centre de gravité d'un système jouit donc encore de cette propriété, que si Ton fait tourner comme on voudra le système autour de ce centre , la somme des produits des masses par les carrés de leurs distances à un point fixe quelconque reste toujours la même.

Si Ton suppose , comme nous Ta viens fait d abord , que toutes les masses m, m', m'\ etc., soient égales entre elles et à Tunité, M en marque le nombre, et l'équation précédente

a3o ÉLÉMENTS

devient

formule plus simple , et qu'on appliquerait également à tous les systèmes possibles, en imaginant que les différents corps y soient tous divisés en parties égales.

Danslecas deR = o, on a M/(r*) = /(a^), d*où Ton tire ce théorème de Géométrie :

La somme des carrés des distances mutuelles de M points égaux est égale à M fois la somme des carrés de leurs distances à leur commun centre de gravité.

On voit par là que la somme des carrés des six arêtes d'une pyramide triangulaire est égale à quatre fois la somme des carrés des distances des sommets au centre de gravité de la pyramide ; car ce centre est le même que celui de quatre corps égaux placés à ces sommets; etc.,. etc.

Dans ce qui précède, on n'a considéré qu^un système invariable de figure, c'est-à-dire dont les points sont liés de manière qu'aucune de leurs distances mutuelles ne puisse changer. Mais on voit encore ici que, si la figure du système était variable suivant cette condition, que la somme des carrés des distances mutuelles des différents points fût constante, la somme des

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carrés de leurs distances au centre de gravité demeurerait aussi constante, et réciproquement^ Mais je passé à d'autres propriétés des centres de gravité.

167. Soit une courbe plane quelconque ABC {Jig. 44)? qui tourne autour d'un axe PZ situé F>ff- 44dans son plan , de manière que tous les points de la courbe demeurent toujours aux mêmes distances de cet axe; cette courbe engendre une surface que Ton nomme surface de révolution.

Pour en déterminer Taire, on peut remarquer que chaque élément ds de la courbe génératrice produit une surface de cône tronqué dont Faire est égale au côté ds multiplié par la circonférence du cercle que décrit son milieu, ou son centre de gravité i, autour de Taxe PZ.

Donc , si Ton suppose tous ces éléments égaux, la surface entière sera égale à leur somme multipliée par ia circonférence moyenne entre celles que décrivent tous leurs centres de gravité.

Mais cette moyenne » circonférence a pour rayon la moyenne -distance de tous ces points à Taxe de révolution, ou bien (140) la distance

du centre de gravité de la courbe au même axe. Donc on peut dire :

Que l'aire d 'une surface de révolution est égale à la longueur de la génératrice multipliée par la circonférence que décrit son centre de gravité au-tour de l'axe de révolution.

On voit de la même manière que si plusieurs courbes situées dans le même plan tournent autour d'un axe situé dans ce plan, la somme des surfaces engendrées est égale à la somme des génératrices, multipliée par la circonférence que décrit le centre de gravité de leur système.

Mais il faut observer que, lorsque la génératrice ou les génératrices ne sont pas situées en entier d'un même côté de Taxe , l'expression précédente ne donne plus que la somme des aires engendrées par les parties qui sont d'un côté de cet axe, moins la somme des aires engendrées par les parties qui sont de l'autre côté.

On peut appliquer aussi la théorie des centres de gravité à la cubature des solides de révolution; et il n'est pas difficile de voir que le volume d'un solide de révolution est égal à l'aire de la section génératrice multipliée par la circonférence que décrit son centre de gravité autour de l'axe fixe.

En effet, si Ton considère un rectangle bcde {fig. 45) qui tourne autour de l'axe PZ parai- Fig. 45. lèle à l'un de ces côtés fce, il est clair que le solide engendré par ce rectangle est égal à la différence de deux cylindres de même hauteur crf, et dont l'un a pour rayon la distance ca du côté cdj à Taxe fixe, et l'autre, la distance ba du côté 6e, au même axe. Ce solide est donc

exprimé par {tsac — zsab)cd^ en nommant zs le rapport de la circonférence au diamètre. Si ^ Ton met ca — cb à la place de afc, l'expression

précédente devient 7s{^ac>c, bc -^ bc)cd^ ou

bcx cdx. nzs lac j , c'est-à-dire égale au

rectangle bcde^ multiplié par la circonférence décrite d'un rayon moyen entre les rayons ca et 6a, ou bien égale à la distance du centre de gravité du parallélogramme à Taxe de révolution.

Donc, si l'on conçoit la section génératrice ZMN comme partagée en une infinité de petits rectangles égaux, on pourra dire que le solide total engendré est égal à la somme de tous ces rectangles, ou à Faire de la section ZMN, multipliée par la circonférence moyenne entre toutes celles que décrivent leurs centres de gravité autour de l'axe. Mais cette moyenne circonférence a pour rayon la moyenne distance

a34 ÉLÉMENTS

de to>is ces points au même axe , ou la distance du centre de gravité à cet axe. Donc, etc.

On pourrait voir encore, par un raisonnement à peu près semblable au précédent, que si une surface plane terminée par une courbe quelconque se meut dans l'espace de manière que son plan soit toujours (au même point) perpendiculaire à une courbe quelconque k double courbure, le solide engendré est égal à Taire de la surface génératrice multipliée par 'la longueur de la courbe que parcourt son centre de gravité.

Mais nous ne nous arrêterons pas à démontrer cette proposition, que Ton pourrait déduire, aussi bien que les précédentes, des formules connues pour les centres de gravité; nous ne ferons même aucune application paiticulière de cette théorie aux surfaces et aux solides dont on a immédiatement la mesure en Géométrie. Notre seul but était de montrer ce rapprochement remarquable de considérations qui paraissent d abord étrangères entre elles, mais qui s'enchaînent comme toutes les questions soumises aux Mathématiques , et se fondent, pour ainsi dire, les unes dans les autres, lorsqu'on écarte un instant et les idées, et les noms que robjet particulier de chaque question nous rap})elle.

DK STATIQUE. a35