DU LEVIER

170. Soient deux forces quelconques P et Q Fig. 46. {^fig, 46), appliquées imniédiatement, ou suivant des cordons , aux deux points A et B d'un levier AFB de figure quelconque; soit F le point fixe autour duquel le levier a la liberté de tourner et qu'on nomme ordinairement le point (Vappui : on demande les conditions de l'équilibre, en faisant d'abord abstraction de la [pesanteur du levier.

Du point F j abaisse sur les directions des deux forces P et Q deux perpendiculaires FH, FI, qui rencontrent ces directions, prolongées, s'il est nécessaire, enH eti; et regardant ces deux points comme invariablement liés aux points A et B, je suppose que les deux forces P et Q y agissent immédiatement.*

Cela posé, j'applique au point F deux forces contraires , P' et — P, égales et parallèles à P, et , au même point F, deux autres forces contraires Q' et — - Q , égales et parallèles à Q. Il est clair que le levier reste toujours dans le ^ même état. Mais on peut considérer actuellement, au lieu des deux forces primitives P et Q , 1** deux forces P' et Q' respectivement égales et parallèles à ces forces, et de même sens,

DE STATIQUE. ^4 l

mais appliquées en F; 2^ deux couples (P,— P), (Q, — Q) , dout les bras de levier sont FH et FI.

Or la résultante des deux forces P' et Q' est toujours détruite par la résistance du point d'appui , si Ion suppose le levier invariablement lié à ce point , de manière qu'il ne puisse prendre qu'un mouvement de rotation autour de lui. Mais le couple résultant des deux couples (P, — P) et (Q, — Q) ne peut jamais être détruit par ce point fixe (76), et, par conséquent , il faut , pour l'équilibre , que ce couple résultant soit nul de lui-même , ou que les deux couples composants (P, — P) et (Q, — Q) soient équivalents et contraires. Ces deux couples doivent donc se trouver dans des plans parallèles, et, par 'conséquent, dans le même plan, puisque leurs plans se rencontrent déjà au point F. En second lieu, leurs nioments P X FH, Q X FI doivent être égaux, et ils doivent tendre à faire tourner en sens contraires.

Donc, pour l'équilibre du levier, il est nécessaire et il suffit : 1^ que les deux forces P ei Q qui le sollicitent soient dans un même plan avec l'appui; ti^que leurs moments, par rapport à ce point, soient égaux; 3^ quelles tendent à faire tourner en sens contraires.

A l'égalité des moments P x FH = Q x FI,

Statique P. 16

24a ÉLÉMENTS

on peut substituer la proportion P ;Q ; ! FI : FH,

qui exprime que les forces P et Q doivent être

en raison réciproque de leurs diètances au point

d'appui.

De la charge du point d 'appui.

171. Dans le cas de l'équilibre, lappui n est pressé que par les deux forces P' et Q' qui y sont immédiatement appliquées; car les deux couples (P, — P), (Q, — Q) étant en équilibre d'eux-mêmes , c'est-à-dire même en supposant que le levier ne soit pas soutenu , il est clair qu'ils ne peuvent nullement charger le point fixe.

Ainsi, la pression qu éprouve le point d'appui est absolument la même que si les deux forces P et Q sj transportaient parallèlement à elles-mêmes, sans changer de grandeur ni de sens.

172. Si l'on achève sur les côtés FP', FQ' qui représentent les forces P' et Q', le parallélogramme FQ'RP', la diagonale FR représentera donc la charge R de l'appui; et, par conséquent , si la résistance de cet appui n'est pas indéfinie, on pourra juger de quelle rési«* tance il doit être capable , pour n'être pas entraîné par Faction des forces P et Q qoi sollicitent le levier.

Gomme les forces P' et Q' sont parfaitement égales et parallèles aux forces respectives P et Q, et de même sens, les trois côtés et les trois angles du triangle FRQ', ou du triangle FRP', représentent les six choses que l'on peut considérer dans le levier, savoir : les deux forces P et Q, la charge R de lappui, et les inclinaisons mutuelles des directions de ces trois forces.

Donc, si Ton connaît trois quelconques de ces six choses, pourvu qu'il y entre la grandeur de l'une des forces P, Q, R, on pourra trouver les trois autres, de la même manière que Ton résoudrait le triangle FRQ'.

175. On observera que tout ce que nous avons dit a lieu ^ quelles que soient la figure du levier et les dispositions mutuelles des forces P etQ, et du point d'appui.

• Si les forces P et Q ( fig. 4?) sont parallèles , F»g- 47on peut mener du point fixe une perpendiculaire commune IH sur leurs directions, et ces deux forces devront être en raison réciproque des parties FH et FI, comprises entre leurs directions et l'appui.

La charge de ce point sera égale à la somme des forces P H- Q , ou à leur différence P — Q , selon quelles seront toutes deux de même

sens^{ fig, 47)7 ^^i de sens contraires {fig. 48). Lorsque le levier est droit , les parties HF et FI sont proportionnelles aux parties AF et BF, qui sont les distances des points d'application des forces au point d appui , distances comptées sur le levier lui-même , et que Ton nomme proprement les- bras de levier; et , par conséquent , dans l'équilibre du levier droit, les forces sont réciproques à leurs bras de levier.

174. Si Ion veut considérer Tune des deux forces P etQ, la force P par exemple, comme celle qui tend à donner le mouvement à la machine , et que Ton nommera la puissance, et l'autre force Q, comme l'effort qu'il faut vaincre , et que Ion nommera la résistance , on pourra distinguer plusieurs espèces de leviers, suivant la place qu'occupe le point d'appui F, relativement à ces deux forces.

Si lappui tombe entre la puissance et la résistance , on aura le levier de la première espèce

F»c 47- (Jig. 47)? ûù la puissance a d'autant plus d'avantage, que son bras de levier AF est plus long.

Si l'appui laisse la résistance Q entre lui et la puissance P, on aura le levier de la seconde

Fig. 48. espèce {fig» 48), où la puissance a toujours^ de Favantage.

DE STATIQUE. ti^S

Enfin, si la puissance tombe entre le point d appui et la résistance, on aura le levier de la troisième espèce [fig. 49)» où la puissance a F«g- 49* toujours du désavantage.

Mais ces différents leviers reviennent tous au même, sous le rapport de l'équilibre. De quelque manière que la puissance et la résistance soient disposées entre elles et à Fégard du point d'appui, si on les transporte toutes deux parallèlement à elles-mêmes en ce point , il faut toujours que les deux couples qui en naissent soient équivalents et contraires : ainsi les distinctions précédentes sont inutiles dans la théorie, et ne peuvent servir que dans le discours.

175. Supposons actuellement que le levier soit sollicité par un nombre quelconque de puissances P, Q, R, etc. {fig, 5o), toutes situées Fig. 60. dans un même plan avec le point d'appui F. En abaissant de ce point les perpendiculaires FH, FI, FK, etc., sur leurs directions, et considérant chaque force P comme transformée en une autre égale, parallèle et de même sens, appliquée en F, et en un couple (P, ~ P) qui a pour bras de levier la distance FH de cette force au point fixe, on verra , comme ci-dessus, que la résultante de toutes les forces transpor-

a46 ÉLÉMENTS

tées sur le point fixe est toujours détruite par sa résistance , mais que le couple résultant doit être nul de lui-même pout* Téquilibre, comme si la verge était parfaitement libre : d où Ton conclura que la somme des moments PxFH, QxFI, RxFR, etc., doit être égale à zéro , en comptant comme positifs tous les moments des forces qui tendent à faire tourner dans un sens , et comme négatifs les moments qui tendent à faire tourner dans le sens contraire.

On trouvera aussi que la charge du point d appui est absolument la même que si toutes les forces s'étaient transportées parallèlement à elles-mêmes en ce point, sans changer de grandeur ni de sens.

176. Si les forces P, Q,R, etc., agissaient dans des plans différents, on verrait de la même manière qu'en transportant toutes ces forces parallèlement à elles-mêmes au point fixe , tous les couples qui en proviennent doivent donner un couple résultant nul de lui-^ même , ou doivent être en équilibre entre eux.

Mais, pour exprimer cette condition ^ il faut ici trois équations qui expriment que la somme des moments des forces , estimés par rapport à (rois axes qui se croisent dans lespace au point

d'appui, soit nulle d elle-même à 1 égard de chacun de ces axes (6S).

Sur quoi l'on peut observer que les trois axes peuvent être menés d'une manière quelconque par le point fixe, pourvu qu'ils ne soient pas dans un même plan; car les trois équations précédentes n'assureraient pas alors l'équilibre du corps.

Puisque les couples qui naissent des forces transportées au point fixe doivent être en équilibre d'eux-mêmes, il s^ensuit que les forces appliquées aux divers points du levier doivent se réduire aux mêmes forces, mais réunies parallèlement à elles-mêmes au point d appui; et , par conséquent , on peut exprimer la loi générale de l'équilibre du levier en disant que les forces appliquées doivent avoir une résultante unique qui passe par le point fixe : proposition qui paraît assez évidente d^elleméme, et dont on part ordinairement comme d'un axiome pour arriver aux conditions précédentes (116 à 118).

177. Jusqu'ici nous avons fait abstraction de la pesanteur du levier. Si Ton veut y avoir égard , il faudra considérer le poids de la verge comme une nouvelle force appliquée en son centre de gravité, suivant une direction verti-

a48 ÉLÉMENTS

cale; et Ion combinera cette force avec le» autres , d'après ce que nous avons dit ci-dessus y comme si le levier était sans pesanteur. Ainsi, Ton voit que , dans le cas, par exemple, où toutes les forces et la direction du poids du levier se trouvent dans un même plan avec Fappui , c'est la somme de tous les moments , en y comprenant celui du poids , qui doit être égale à zéro pour Téquilibre.

Donc , si l'on veut employer un levier dont le poids n entre pour rien dans Féquilibre des forces, on n'aura qu'à le placer de telle sorte, que la verticale abaissée de son centre de gravité tombe au^^point d'appui : alors, le moment du poids étant nul de lui-même , on n aura plus à considérer que les moments des forces appliquées.

178. On a supposé que le point F du levier était arrêté dans tous les sens , de manière que le levier ne pût avoir qu un mouvement de rotation autour de ce point fixe. Pour se procurer un tel point au dedans d'un corps, on le traverse ordinairement par un essieu ou cylindre inflexible , d'un diamètre quelconque ; et lorsque le corps tourne autour de ce cylindre , il est absolument dans le même cas que s'il tournait autour de son axe considéré comme une droite

fixe; et tous les points dune même section plane qui est faite perpendiculairement à l'axe , et dont il résulte un cercle dans le cylindre, sont dans le même cas que s'ils tournaient autour du centre de ce cercle.

A la vérité, dans la disposition précédente, le levier n a pas la liberté de pirouetter en tous sens autour du point fixe; mais lorsque les forces qu'on y suppose appliquées sont toutes dans un plan perpendiculaire à Taxe autour duquel il peut tourner, les lois de 1 équilibre y sont parfaitement les mêmes. Au reste, on pourrait placer dans la verge une sphère fixe qui la touchât au moins en quatre points , de ma- • nière que ces quatre points fussent comme les points de contact d'une pyramide circonscrite à sa surface : le levier alors, en tournant autour de cette sphère, pourrait être considéré comme s'il tournait autour de son centre.

Mais le plus souvent le levier ne fait que poser sur l'appui fixe , comme on le woïifig. 46, 47, 48- Alors les conditions données plus haut ne suffisent plus pour l'équilibre, abstraction faite du frottement. Il faut non-seulement que les forces appliquées aient une résultante unique qui passe au point d'appui, mais encore que la direction de cette résultante soit normale à la surface de contact du levier avec l'appui :

aSo ÉLÉMENTS

car si elle tombe obliquement sur le plan tangent à cette surface , on pourra la décomposer en deux autres, l'une perpendiculaire , et l'autre parallèle à ce plan. La première sera détruite; mais la seconde obtiendra son effet, et fera glisser le levier sur lappui, comme on le verra à l'article du plan incliné.

De la Balance.

179. La balance ordinaire est un levier du premier genre, aux extrémités duquel sont suspendus par des cordons deux bassins destinés à recevoir les corps dont on veut comparer les poids. On dispose ordinairement cette machine de manière que son centre de gravité passe par Fiîï- 5i. la verticale menée par le pointdappuiF^yîgr. 5i) et que les bras du levier FA et FB soient parfaitement égaux : alors on est sûr que deux corps graves qui se font équilibre dans les bassins ont des poids parfaitement égaux , et , par conséquent, renferment des quantités égales de matière. Ainsi, en prenant le poids d'un corps pour unité, on évaluera les masses respectives des différents corps en cherchant à combien d'unités de poids ils font équilibre.

Pour qu'une balance soit juste, il faut donc , en premier lieu, que son centre de gravité

DE STATIQUE. aSi

tombe dans la verticale menée par le point d'appui.

C'est ce que Ton vérifie sur-le-champ , en examinant si la balance est en équilibre d'ellemême 5 c'est-à-dire lorsque les bassins sont vides; et si cela n'a pas lieu, on rectifie aisément la balance à cet éjjard, en attachant à Fun des bassins ou des bras de levier un poids convenable qui rétablisse Féquilibre.

U faut, en second lieu, que le point d'appui divise le levier ou lejléau en deux parties parfaitement égales ; et cette seconde condition est la plus importante.

Pour voir si elle a lieu , on n'a qu'à mettre deux corps en équilibre dans les bassins , et les changer ensuite de place. Si les bras de levier sont égaux, l'équilibre doit subsister encore; car les poids qui se sont fait équilibre sont égaux aussi , et il doit être indifférent de les changer de bassins.

Mais si les bras de levier sont inégaux ,. l'équilibre sera détruit; car les poids qui se sont fait équilibre sont en raison inverse de ces bras de levier ; or, en les changeant de place, le plus grand poids agira à l'extrémité du bras de levier le plus long, et, par cette double raison, entraînera nécessairement l'autre.

La balance alors sera fausse , et l'on ne pourra

iSa ÉLÉMENTS

la rectifier qu'en changeant le point d appui ou le point de suspension de Tun des bassins.

On pourra néanmoins s'en servir , et connaître par deux épreuves le poids véritable du corps.

Car, soient P le poids inconnu du corps , x et j les deux bras de la balance, et supposons que le poids P, placé dans le bassin qui répond au premier bras de levier x, fasse équilibre à un poids connu A placé dans l'autre bassin; on aura

Vx = Aj,

Mettons actuellement le poids P dans le bassin qui répond au bras de lev^pr j*, et supposons qu'il fasse équilibre à un poids connu B placé dans lautre; on aura

Multipliant ces deux équations membre à membre, il vient

P2 = AB , d'où P = v/ÂB ;

c'est-à-dire que le poids du corps est moyen proportionnel géométrique entre les deux poids . auquel il fait alternativement équilibre dans les deux bassins de la balance.

DE STATIQUE. a 53

De la Romaine.

180. La balance romaine est aussi un levier droit du premier genre , mais dont les bras FÂ, FB (fig. Sa) sont inégaux. Fig. 5a.

A l'extrémité A du bras le plus court , on suspend le corps dont on veut trouver le poids Q; on rattache par un crochet, ou bien on le pose dans un bassin qui est suspendu librement au point A , comme dans la balance ordinaire. Sur lautre bras FB de la romaine est un poids connu p, mobile au moyen d'un auneaule long de ce bras; de sorte quen le faisant glisser à une distance convenable FI de Tappui F, il fait équilibre au poids du corps qui agit de l'autre côté.

Si donc, à chaque point I du bras FB, on marquait en nombres le rapport des deux forces Q et p qui se font équilibre, on aurait un instrument fort commode pour peser les différents corps à l'aide d un même poids p qui servirait d unité. Il suffirait, dans chaque cas, de chercher le point I où il faut amener le poids mobile p pour contre-balancer le poids Q, et Ton trouverait marqué en ce point le rapport de Q à p : ce qui est précisément le poids cherché du corps.

• Lorsque la romaine est tellement construite , que le centre de gravité de tdute la machine , c'est-à-dire du fléau et du bassin, tombe précisément sur le point d'appui F^ la loi de Téquilibre entre les deux forces appliquées est la même que si le levier AC était sans pesanteur. Ainsi , le rapport de Q à p est égal à celui des deux bras FI et FA, et, dans ce cas, il est bien facile de construire une romaine, c'est-à-dire d en marquer les différentes divisions.

Mais si le centre de gravité de la machine tombe à droite ou à gauche de l'appui , le rapport de Q à p n'est plus celui des bras de levier IF et AF; il doit être aqgmenté ou diminué d'une certaine quantité qui dépend du poids

V de la machine , et de la distance de ce poids

V à lappui : ainsi, les divisions de la romaine doivent être changées. Mais on sent, par ce que je viens de dire^ que ces divisions seront encore distribuées de la même manière; seulement le point de départ, c est-à-dire le point où Ton doit compter zéro pour le poids Q, ne sera plus en F sur l'appui, mais il devra être

Fijj. 53. avancé ou reculé en O {Jig. 53), d'une certaine quantité FO, qu'il est bien facile de déterminer.