Mais sans connaître ni le poids ni le
centre de gravité de la romaine, ou peut en marquer exactement les divisions de la manière suivante, que la théorie des couples rend la plus naturelle et ia plus facile à retenir.
*Je suppose d abord le bassin vide, ou le poids Q nul, et je fais avancer le poids mobile p jusqu'en un point O , qui se peut trouver à gauche ou à droite de Tappui, mais qui est tel, que le fléau AB devienne horizontal. Dans cet état, le centre de gravité de tout le système, en y comprenant le poids mobile /;, passe ' an point F, et le poids de toute la machine est détruit. Cest donc au point O qu'il faudra marquer zéro , puisque alors le poids Q est tout à fait nul.
Actuellement, je suppose que, dans le bassin vide on mette un poids p' = p^il est clair que 1 équilibre sera rompu , mais que si Ton éloigne le poids mobile d'une quantité convenable, l'équilibre sera rétabli. Ainsi, quand d'un côté on ajoute au poids, de l'autre côté il faut chercher ce qu'on doit ajouter au bras de levier pour maintenir l'équilibre. Or, qu'on imagine la force p' transportée parallèlement à ellemême du point A au point d'appui F, elle y sera détruite, et il ne restera qu'un couple ^pf^ — p')^ appliqué sur FA = r, et dont le moment est p'r. Ainsi, le poids p' qu^on met
!i56 ÉLÉMENTS
dans le bassin vide ajoute de ce côté de la romaine un couple ou moment pr : il faut donc ajouter de l'autre côté un couple égal et contraire {— p^-h p) qui ait un même bras de levier r. Or qu'on place ce couple, ce qui est permis, sur la ligne OH = r : alors la force — p détruit son égale et contraire p^ et il ne reste que 4- p, qui n'est en quelque sorte que le poids mobile p qu'on aurait éloigné de la quantité OH = r. On voit donc que, pour chaque poids p qu'on ajouterait dans le bassin, il faudrait éloigner le poids mobile de la longueur constante r du petit bras de la romaine; et si l'on ajoutait une fraction quelconque de p, il est évident, par la même démonstration, qu'il faudrait éloigner le poids mobile d'une même fraction de r.
Donc , à partir du pointa déterminé ci-dessus, il faudra porter des parties égales à r, et marquer en ces points de division, o, i, 2, 3, 4 , 5, etc. Et si Ton veut marquer des fractions intermédiaires, des dixièmes, des centièmes, par exemple , on aura un instrument qui pourra servir pour évaluer le poids des corps à ces décimales près du poids connu p.
On voit que la balance romaine peut être utile en beaucoup de rencontres où la balance ordinaire ne serait d'aucun usage, puisque
DE STATIQUE. ^à^'J
€eUe-ci exige différents poids pour peser les différents corps, tandis que la romaine n'en exige qu'un seul.
Elle a encore cet avantage, que le point d'appui ou de suspension y est moins fatigué par la charge ou la pression des corps que Ion pèse, cardans la balance ordinaire cette pression est double du poids du corps, ou aQ; au lieu que dans la romaine elle est simplement Q-+-^, ou seulement Q, c'est-à-dire la moitié de la précédente , si Ton veut regarder le poids p comme faisant lui-même partie du poids total de la machine.
On peut varier cette balance de différentes manières, en rendant mobile, au lieu du poids p, le poids Q du corps qu'il s'agit de peser, ou bien le point de suspension du fléau AB, ce qui donnerait lieu à différentes constructions ; mais le principe en est toujours le même, et il est inutile de s'y arrêter.
Du Peson.
182. On peut encore, pour évaluer les poids, employer un levier coudé kCB [Jig. 54) mo- F>g. 54. bile autour du point fixe C , et dont les brasCA, CB font entre eux un angle droit ACB; et c'est cette espèce de balance qu'on appelle le peson, Statiqub p. i^
a 58 ÉLÉMENTS
Je suppose, pour plus de simplicité, que le bras C6 , au bout duquel le corps est suspendu, soit continué de l'autre côté de lappui d'une longueur égale CB'; de manière que le centre de gravité de cette branche BB' tombe précisément au point C qui en est le milieu. Alors le poids du bras CB se trouve détruit dans toutes les positions du levier coudé autour du point fixe, et l'on peut se dispenser d'y avoir égard. Mais , pour l'autre bras CA , son propre poids contribuera, avec celui qu'on pourrait y attacher d'ailleurs , à contre*balancer le poids du corps. Le plus souvent même, ce bras ou cette aiguille est d'une matière assez pesante pour que la force p qui en résulte en son centre de gravité G fasse toute seule l'office du contrepoids. Au reste, je supposerai que p représente le poids total de l'aiguille et des corps qui pourraient y être attachés, et quB le commun centre de gravité soit en G, à la distance CG de l'appui.
Cela posé, le peson étant libre, l'aiguille CA tombant dans la verticale CO, et le bras CB étant horizontal, je suspends en B un corps dont le poids est Q; le bras CB s'abaisse vers la verticale, et l'autre CA s'élève: ainsi la distance BH de la force Q à l'appui diminue, et la dislance GI de l'autre force p,
DE STATIQUE. aSg
au même point, augmente; de sorte que le levier coudé , pour se mettre en équilibre , doit prendre une position où les moments Q X BH et p X GI soient égaux de part et dautre.
Or, soient f l'angle ACO que fait laiguille avec la verticale, R la distance CG de son centre de gravité à l'appui, et r la longueur du bras GB où le corps est suspendu. Gomme on a GI = R sin y, et BH = r cos y , 1 équation de Téquilibre devient p . R sin y = Q . r cos ç? ; ce qui donne
d'où il résulte (puisque les trois quantités p , R et r demeurent invariables) que la tangente de l'inclinaison tp de l'aiguille croît précisément en proportion du poids Q du corps.
Si donc on adapte au peson un quart de cercle COAM, qui représente le secteur que l'aiguille peut parcourir depuis la verticale (X) jusqu'à rborizontale GM, il est bien facile de marquer aux différents points de cet arc les nombres qui répondent aux différents poids.
En effet, qu'on mène la tangente indéfinie OT, et qu'on suspende d'abord en B lé poids que l'on veut prendre pour l'unité, ce poids
26o ÉLÉMENTS
fera monter raiguille d'un certain arc AO; et la direction de cette aiguille étant prolongée jusqu'à sa rencontre en a, avec la ligne OT, la partie Oa représentera la tangente de cet arc qui répond à Tunité de poids. Ainsi, il ny aura qu à porter sur la ligne OT, à partir du point O, des parties égales à Oa, et, par les points de division, tirant des lignes au centre G, on aura , sur le quart de icercle , les points correspondants où il faudra marquer les nombres o, I, 2, 3,4» etc.; et, si l'on veut subdiviser chaque partie de OT en fractions, on aura , par la même construction, les points de lare où il faut marquer les mêmes fractions du poids que Ton a pris pour l'unité.
185. Quelque petit que soit le poids p de laiguille , on voit par la proportion Q : p : : R tang <p : r, que ce poids p suffit toujours pour contre- balancer un poids Q aussi grand qu'on le voudra : car la tangente de ç peut devenir plus grande que toute quantité donnée. Ainsi, le peson est d'un usage bien plus étendu que la romaine , et , sous un petit appareil , cette machine peut servir à peser les corps les plus considérables.
Mais si la tangente de l'arc (p augmente par degrés égaux avec le poids Q du corps, l'arc
lui-même n'augmente que par degrés inégaux qui diminuent sans cesse, et les divisions supérieures du peson deviennent de moins en moins sensibles pour les mêmes accroissejnents de poids. Par conséquent , si l'on veut que la machine marque plus nettement ces différences, il ne faut pas que le poids de l'aiguille soit trop petit. Aussi , pour peser de lourds fardeaux, on charge Taiguille d'un certain poids, ce qui lui permet de rester dans la partie moyenne du quart de cercle, où les inégalités de poids sont marqués d une manière plus sensible.
De la Poulie,
I8i. L'équilibre de la poulie se rapporte naturellement à celui du levier.
La poulie est une roue circulaire ABR {fig. 55), mobile dans une chape CN , autour Fig. 55. d'un axe C. Une partie AB de sa circonférence est enveloppée par une corde PABQ dont les deux extrémités sont tirées par deux forces F et Q. Si l'on mène les deux rayons CA et CB aux deux points extrêmes de contact , on peut regarder les deux forces P et Q comme appliquées aux extrémités d'un levier coudé ACB , dont les deux bras sont parfaitement
a6a ÉLÉMENTS
égaux; et, par conséquent , il faut , pour l'équilibre, que les deux forces P et Q soient parfaitement égales.
Pour la charge du centre C de la poulie, elle est la même (171) que si les deux forces P et Q s'y transportaient parallèlement à leurs directions, en P' et Q'. Ainsi, en achevant sur les deux lignes CP' et CQ', qui représentent leurs grandeurs, le losange P'GQ'R, la diagonale CR représentera la charge R du point G.
Mais si Ton joint AB, on formera un triangle isocèle ACB, semblable au triangle P'GR, et, par conséquent, on aura ,
P' ou P : R : : AG : AB.
C'est-à-dire que Iwie des deux forces P et Q appliquées à la corde est à la charge que supporte l*axe de la poulie comme le rayon de la poulie est à la sous - tendante de l'arc embrassé par la corde.
185. Supposons que Taxe, au lieu d'être fixe, soit retenu par une force égale et contraire à la pression qu'il éprouve , et que l'extrémité du t i(ï- 56. cordon AF [Jig. 56 ) , au lieu d'être tirée par la force P, soit invariablement attachée à un point Çxe F ; l'équilibre de la poulie ne sera point
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troublé I et le cordon demeurera toujours tendu de la même manière.
La puissance Q sera donc à la force qui retient le centre de la poulie dans le même rapport que ci-dessus.
Ainsi, en considérant un poids P attaché à la chape CN par un cordon dirigé vers le centre de la poulie, on aurait: la puissance Q, qui tend à faire monter le poids , est à ce poids comme le rayon de la poulie est à la sous-tendante de tare embrassé par la corde.
Lorsque lare est égal au tiers de la demicirconférence , la sous-teudante AB est égale au rayon , et la puissance est égale à la résistance.
Lorsque les deux parties de la corde sont parallèles , la sous-tendante AB {fig. 67) est fïq. 57. double du rayon , et la puissance n'est que la moitié de la résistance. C'est le cas le plus favorable à la puissance, puisque le diamètre est la plus grande corde du cercle.
