P :Q::DA:CB

C'est-à-dire que, pour i équilibre du tour , il faut que la puissance soit à la résistance comme le rayon du cylindre est au rayon de la roue»

Des pressions exercées sur les appuis.

187. Les deux couples (P, ~ P) et (Q ~ Q) étant en équilibre d'eux-mêmes, il n'y a que les deux forces P' et Q' qui puissent charger Taxe fixe , et, par conséquent, les appuis : d'où l'on voit d'abord que la pression exercée par les forces V et Q appliquées au treuil est absolument la même que si ces forces étaient transportées sur taxe y parallèlement à elles-mêmes , dans leurs plans perpendiculaires à cet axe.

Pour obtenir les pressions individuelles des appuis F et H, on décomposera la force Q' en deux autres parallèles q et q\ appliquées aux points respectifs F et H ; et de même la force F en deux autres parallèles p et p', appliquées aux mêmes points. La résultante des deux forces p et q exprimera en grandeur et en direction la pression de l'appui F ; et la résultante des deux forces p' et q' celle de l'appui H,

Nous avons fait abstraction de la pesanteur du treuil. Ordinairement le corps de cette machine est symétrique par rapport à l'axe fixe , et son centre de gravité tombe sur l'un des points de l'axe lui-même. Alors le poids du treuil ne trouble point la proportion établie ci-dessus entre la puissance et la résistance, mais il change

les pressions exercées sur les appuis. Pour connaître les valeurs réelles de ces pressions, on considérera tout le poids du treuil comme une force verticale V appliquée en son centre de gravité G; et si l'on décompose cette force en deux autres parallèles g etg\ appliquées aux points F et H , la résultante des trois forces p , q et g exprimera la charge réelle de Tappui F , et la résultante des trois forces^', q' et g\ celle de l'appui H ; de sorte que l'on saura de quelles résistances les deux points d'appui doivent être au moins capables, pour n'être pas entraînés par les efforts combinés des deux forces P et Q , et du poids V de la machine.

• 188. On a supposé que les cordes DQ , CP étaient infiniment déliées ; mais les cordes sont ordinairement d'un diamètre fini , ce qui change sensiblement le rapport que nous avons établi entre la puissance et la résistance. En effet ^ les forces P et Q , que Ton peut regarder comme agissant suivant les axes des cordons , ont leurs bras de levier respectifs augmentés des demidiamètres de ces cordons". On n'a donc pas alors : la puissance est à la résistance comme le rayon du cylindre est au rayon de la roue ; mais bien , la puissance P est à la résistance Q comme le rayon du cjlindre augmenté du rajon

de la corde DQ, est au rajon de la roue augmente du rajon de la corde CP.

Si les rayons des cordes DQ et CP sont proportionnels aux rayons du cylindre et de la roue , cette proportion revient à la première , comme si les cordes étaient des fils infiniment petits, appliqués tangentiellement à la roue et au cylindre.

189. Si Ion veut considérer actuellement un tour sollicité par tant de forces que l'on voudra, situées dans des plans perpendiculaires à l'axe, on verra, comme ci-dessus, qu'en transformant chaque force en une autre égale, parallèle et de même sens, appliquée sur l'axe, et en un couple qui aura pour bras de levier la distance de la force à l'axe , toutes les forces transportées sur l'axe seront toujours détruites par sa résistance, mais que tous les couples devront se réduire à un couple nul de lui-même pour l'équilibre. Or, tous ces couples étant dans des plans parallèles, le couple résultant sera égal à leur somme, et, par conséquent, il faudra, pour l'équilibre, que la somme des moments des forces par rapport à Taxe soit égale à zéro , en prenant avec des signes contraires les moments des forces qui tendent à faire tourner en sens contraires.

Pour les pressions exercées sur Taxe fixe, elles seront évidemment les mêmes que si toutes les forces appliquées sy étaient transportées parallèlement à elles-mêmes, sans sortir de leurs plans perpendiculaires à cette ligne.

Lorsque les forces appliquées au treuil sont dirigées dans des plans quelconques, on peut décomposer chacune d'elles en deux autres, lune parallèle, lautre perpendiculaire à la direction de Taxe fixe. Mais, les forces parallèles étant transportées dans Taxe, leur résultante est détruite par la résistance longitudinale de cet axe, et leur couple résultant, qui passe par le même axe, est détruit par sa résistance transversale. Il ne reste donc à considérer, pour l'équilibre du treuil , que le groupe des forces qui sont situées dans des plans perpendiculaires à Taxe fixe, ce qui revient au cas précédent.

Ainsi, en nommant P, P', P", etc., les forces appliquées; o, «', w", etc., leurs inclinaisons sur Taxe, et p ^p\p'\ etc. , leurs plus courtes distances à cette droite, on aura, pour l'équilibre, l'équation

Vp sin w + Vp' sin «'-+- Vp" sin w" 4- etc. = o,

ce qui est la condition exprimée au n** 120.

Quant à l'axe du treuil, il sera pressé, i^ par les composantes P sin w, P' sin(«)',P"sin 0% etc.,

transportées sur cet axe; a° par la résultante des forces parallèles Pcosw, P'cosw', P"cos(k)", etc., qui tend à entraîner le treuil dans le sens de sa longueur; et 3** enfin, par le couple résultant de ces dernières composantes, ce qui revient à deux forces égales perpendiculaires à Taxe, et qui le poussent en sens contraires.

DU PLAN INCLIINÉ.

190. I-iorsqu'un point est pressé contre un plan inébranlable et inflexible , par une force normale à ce plan , il est clair que ce point doit rester en équilibre* car il n'y a pas de raison pour qu'il se meuve dans le plan, dun côté plutôt que de l'autre, puisque toutes les directions qu'il pourrait prendre font un même angle droit avec la direction de la force; et d'ailleurs il ne peut se mouvoir à travers le plan qui est supposé parfaitement inflexible.

Réciproquement, le point dont il s'agit ne pourra être en équilibre, à moins que la force qui le presse ne soit normale au plan d appui ; car, si elle y était inclinée , cette force pourrait se décomposer en deux autres, l'une perpendiculaire au plan et l'autre située dans ce plan. La première serait détruite ; mais la seconde obtiendrait son effet, car il est visible

aya éléments

qu elle ne pourrait être altérée par la présence du plan le long duquel elle tend à s'exercer. Ainsi y il n'y aurait pas équilibre.

On peut dire la même chose d'un point qui s appuie sur une surface courbe , et le consi- * dérer comme s'il reposait sur le plan tangent mené à la surface par ce point même. Il faut donc, pour l'équilibre, que la direction de la force qui le presse soit normale à ce plan , au point de contact ; et voilà pourquoi, dans l'équilibre du levier qui ne fait que poser sur l'appui, il faut non-seulement que la résultante des forces y passe , mais encore qu'elle soit perpendiculaire à l'élément de contact du levier et d« cet appui.

191. On voit donc, d'après ce que l'on vient de dire, que lorsqu'un corps est tenu en équilibre contre un plan inébranlable, ce plan ne peut détruire que des forces dont les directions lui sont normales aux différents points de contact, et que, par conséquent, sa résistance ne peut faire naître que de telles forces en sens contraires.

Donc, si un corps de figure quelconque , sollicité par des forces quelconques P, Q, R, etc., Fig. bg. [fig- 59) , ne s*appuie contre un plap que par un seul point O, il ne pourra demeurer en

DE STATIQUE. ^'jS

équilibre, à moins que toutes les forces P, Q, R, etc. , qui lui sont appliquées, ne soient en équilibre avec une force unique N, qui serait normale à ce plan au point O, et qui représenterait sa résistance actuelle. Donc, pour l'équilibre d'un corps qui s appuie par un seul point œntre un plan, il faut, i° que toutes les forces appliquées aient une résultante unique; a® qtiB la direction de cette résultante soit normale au plan; 3** quelle passe au point de contact

On voit que ces trois conditions reviennent à celles qu on a données plus haut pour lequilibre du levier qui ne fait que poser sur l'appui. Nous aurions pu les trouver par le même raisonnement et les exprimer de la même manière , en disant que toutes les forces appliquées , étant transportées parallèlement à elles-mêmes au point de contact, doivent y donner une résultante normale au plan, et que tous les couples engendrés doivent donner un couple résultant nul de lui-même.

192. Lorsque le corps touche le plan par plusieurs points A, B, C, D, etc. {fig. 60), cha- Fie- 60. cun des points de contact fait naître une résistance normale au plan en ce point; mais toutes ces résistances, étant parallèles et de même Statique P. 18

a 74 ÉLÉMENTS

sens, se composent toujours en une sçule, dont la direction tombe nécessairement dans Tintérieur du polygone formé par tous les appuis A, B, G, D, etc. Les forces appliquées doivent donc être en équilibre avec cette force unique , et, par conséquent, lorsqu'un corps s' appuie contre un plan par plusieurs points, il faut ^ pour l'équilibre, que les forces appliquées puissent se réduite à une seule, normale au plan, et dont la direction tombe dans r intérieur du polygone formé par tous les points de contact

On voit , par là , que si le corps- repose par une surface finie , la résultante doit rencontrer le plan en l'un quelconque des points de cette surface.

De la pression exercée sur le plan.

195. Lorsque le corps ne repose que par un seul point , il est clair, d après ce que nous venons de dire , que la pression exercée par les forces est égale à leur résultante.

Si le corps repose par deux points A et B Fig. 6i. (^fg, 61) , la résultante N dont la direction tombe nécessairement euti'e A et B, sur la droite qui joint ces deux points d'appui, se décompose en deux forces parallèles p et 9, qui expriment leurs pressions respectives.

Soit O le point où la résultante N va ren-

DE STATIQUE. i^S

contrer la ligne AB; on aura pour la pression p du point A, N : p : : AB : BO ; et pour la pression q du point B, N : 9 : : AB : AO ; d'où Ton voit que, la résultante ou la pression tolalç N étant représentée par la distance AB des deux appuis, les deux pressions individuelles de ces points sont représentées réciproquement par leurs distances à la pression totale.

Si le corps repose par trois points A, B, C (fig. 6a), la résultante N des forces appliquées Fig. 62. doit passer en quelque point O dans Pinlérieur du triangle ABC (192). Si de lun des angles , de lanigie A par exemple , on mène la ligne AO , et qu'on la prolonge jusqu'à sa rencontre en I avec le coté opposé BG, la force N se décomposera en deux autres parallèles p et n appliquées aux points A et l. Ensuite, la force n se décomposera en deux autres parallèles q et r appliquées en B et G ; de sorte que les trois forces p, qf, r exprimeront les pressions respectives des trois appuis A , B, G.

Formons autour du point O, comme sommet, et sur les trois côtés respectifs BG , AG , AB comme bases, les trois triangles BOG , AOG, AOB. Si Ion représente la pression totale exercée en O par Taire du triangle ABG , les pressions exercées aux trois angles A, B, G seront représentées par les aires respectives dos

triangles BOC, AOC, AOB formés sur les côtés opposés.

Car la force N , appliquée en O, est à la force ;:;, appliquée en A , comme AI est à OI : mais les triangles BAC, BOC , ayant même base BC, sont entre eux comme leurs hauteurs, ou comme les lignes AI et OI également inclinées sur la base : on a donc N : p ; : ABC : BOC. Mais un même raisonnement prouverait qu on a N : 9 : ; ABC : AOC, et N : r : : ABC : AOB. Donc , etc.

194. Lorsque le corps s appuie sur le plan par plus de trois points (ou seulement par trois, s'ils tombent en ligne droite), les pressions individuelles des appuis sont indéterminées, parce qu'il y a une infinité de manières de décomposer la force N en d autres forces parallèles appliquées en ces points.

Il suffit que ces pressions individuelles satisfassent à ces conditions, i^ qu'elles soient toutes de même sens que la pression totale; 2** quelles puissent se composer en une seule, égale à cette pression totale et appliquée au même point O. Cette dernière condition exige trois équations, dont la première exprime que la somme des pressions est égale à la pression totale; et les deux autres, que la somme des

moments des pressions individuelles , par rapport à deux axes quelconques tirés dans le plan des appuis, est égale au moment de la pression totale , par rapport aux mêmes axes

195. Si Ton veut considérer actuellement lequilibre d'un corps qui s'appuie à la fois contre plusieurs plans , on observera que chacun de ces plans fait naître, aux divers points de contact , des résistances de même sens , perpendiculaires à ce plan, et qui, par conséquent , se composent toujours en une seule, perpendiculaire au même plan. Il faut donc que toutes les forces appliquées soient en équilibre avec ces diverses résistances, qui seront en même nombre que les plans d'appui ; et , par conséquent, les forces qui tiennent en équilibre un corps appuyé sur plusieurs plans doivent toujours se réduire à autant de forces dirigées perpendiculairement vers ces plans respectifs, et qui tombent , pour chacun d eux , dans Fintérieur du polygone formé par les points de contact.

196. On voit , par là, que si le corps ne s appuie que sur deux plans , en deux points par exemple, et n'est sollicité que par une seule force , ou par des forces qui aient une résul-

tante unique, cette force ou cette résultante unique doit pouvoir se décomposer en deux autres dirigées suivant les normales menées aux deux plans par les points de contact. Ainsi , il faut que les deux normales aillent concourir en un même point situé sur la direction de la force qui presse le corps, et se trouvent dans un même plan avec elle. D ailleure, cette force doit être dirigée dans langle des deux normales , qui est opposé à celui des deux plans , et son action doit avoir lieu vers cet angle, afin que ses deux composantes suivant les deux normales tendent à pousser le corps contre les plans , c est-à-dire en sens contraires des résistances qu'ils font naître.

197. Si le corps s appuie par trois points sur trois plans différents , la force qui le presse doit être réductible à trois autres, dirigées suivant les trois normales menées aux plans par les points de contact.

Mais il ne faut pas conclure de là que les trois normales doivent concourir en un même point sur la direction de la force, ni même qu'il doive y avoir une seule rencontre entre deux de ces quatre lignes ; car trois forces qui ne se rencontrent pas peuvent se composer en une seule, et une seule force peut se décom-

poser suivant trois directions qui ne rencontrent pas la sienne, et qui ne se rencontrent pas entre elles (75).

application de la théorie à quelques exemples,

198. Ce que nous venons de dire contient toute la théorie de l'équilibre des corps qui sappuient sur des plans. Nous allons en faire quelques applications très-simples.

Soit un corps de figure quelconque , appuyé par un nombre quelconque de points, ou par une' base finie, contre un plan inébranlable LDK {Jig. 63), et sollicité par deux forces P Fig. 63. et Q qui le tiennent en équilibre sur ce plan.

D'après ce qu'on a trouvé (192), les deux forces P et Q doivent donner une résultante unique N normale au plan; par conséquent, leurs directions doivent concourir en quelque point, comme en F, et se trouver dans un plan perpendiculaire au plan LDK. De plus , la direction de cette résultante doit aller rencontrer le plan LDK en lun des points de contact du corps , ou dans l'intérieur du polygone formé par les points de contact.

Supposons que toutes ces conditions soient remplies, et voyons simplement quels sont les rapports des forces P, Q, et de la pression N exercée sur le plan.

aSa ÉLÉMENTS

Si la puissance Q est dopoée en grandeur seulement , on trouvera par cette proportion , où il ny aura que sin QFN d'inconnu, sous quel angle QFN cette puissance Q doit agir pour faire équilibre au poids P. Or,, comme à un même sinus répondent deux angles suppléments l'un de l'autre, on voit que la même puissance Q pourra être employée de deux manières différentes pour faire équilibre à la résistance : soit en faisant avec la normale FN au plan incliné un angle QFN trouvé par la proportion ci-dessus ; soit en faisant avec la même ligne l'angle Q'FN, supplément du premier.

On trouvera, par la même proportion, la grandeur de la puissance Q, lorsque l'on connaîtra sa direction , ou l'angle QFN qu'elle forme * avec la normale,

200. Le cas où la puissance Q est la plus petite , à l'égard de la résistance P , est celui où l'angle QFN a le plus grand sinus, puisque la puissance est toujours en raison inverse de ce sinus. Mais le plus grand sinus répond à langle droit; donc la puissance est alors perpendiculaire sur la normale FN, ou parallèle au plan incliné.

Dans ce cas, Tanglc QFN est égal à l'angle

DE STATIQUE. aSS

droit ACB {Jig, 65), et la proportion précé- Fig. 65. dente devient Q : P : : sin BAC : sin ACB. Mais, dans le triangle ABC, les sinus des angles A et C sont proportionnels aux côtés opposés BC, AB; et, par conséquent, on a