Q : P : : BC : AC

C'est-à-dire que, si la puissance est horizontale, elle est au poids du corps quelle tient en équilibre sur le plan incliné comme la hauteur du plan est à sa base,

203. Le cas où la puissance est la plus grande à l'égard du poids est le cas où langle QFN devient nul. La puissance Q est alors perpendiculaire au plan incliné, et la proportion Q : P : : sin bac : sin QFN donne , pour sa

I r\ PX sin BAC valeur , Q = = oo .

II n'y a donc pas, à proprement parler, de maximum pour la puissance ; mais ce résultat nous apprend qu'aucune force , quelque grande

quelle soit, ne peut empêcher un corps pesant de glisser le long d'un plan incliné, en le pressant perpendiculairement contre ce plan. Si nous voyons tous les jours arriver le contraire , c'est que les surfaces des corps , même les mieux polis , sont hérissées d'une infinité d'aspérités qui s'engagent entre elles dans le contact de ces surfaces, et les empêchent de glisser librement les unes sur les autres. Or nous avons fait abstraction de cette propriété des corps, et de la résistance particulière qui en résulte, et que Ton nomme la force du frottement.

204. Lorsqu'un corps pesant s'appuie à la fois sur plusieurs plans inclinés, en considérant son poids comme une force verticale qui passe par son centre de gravité , on trouvera les conditions de l'équilibre d'après ce qui a été dit (195) , et les pressions respectives que souffrent les points de contact , lorsque ces pressions seront déterminées.

Si nous considérons simplement le cas où le Fig. 68. corps est soutenu aux deux points I et O {fig. 68) par deux plans inclinés HI , HO, il faudra ( 196) que les deux normales lA , OA , à ces plans , aillent concourir en un même point A de la verticale GP qui passe au centre de gravité G

du corps , et qui x*eprésente la direction de son poids. De plus, comme le poids P de ce corps doit pouvoir se décomposer suivant ces normales, il faudra qu'elles soient toutes deux dans un même plan avec la direction GP, et, par conséquent, dans un plan vertical.

Ces conditions suffisent pour l'équilibre, et si Ton prend, sur la direction du poids, une partie quelconque AD qui représente sa quan* tité, et qu'on achève sur AD comme diagonale, et suivant les directions AI et AO, le parallélogramme ABCD , la force P se décomposera en deux autres , représentées par les côtés AB et AC de ce parallélogramme. Ces deux forces seront respectivement détruites par les deux plans inclinés , et donneront en même temps les valeurs de leurs pressions individuelles.

Observons que le plan des deux normales lA , OA étant à la fois perpendiculaire aux deux plans inclinés, est perpendiculaire à leur commune intersection ; mais ce plan est en même temps vertical , puisqu'il passe par la verticale GP : donc la commune intersection des deux plans inclinés doit être perpendiculaire à un plan vertical : donc elle est horizontale. Ainsi, un corps pesant ne peut rester en équilibre entre deux plans incUnés,

à moins que leur intersection ne soit horizontale, ce qui paraissait d ailleurs assez évident.

De la Fis,

20o. La vis est une machine qui se rapporte à la fois au levier et au plan incliné. On y considère en général l'équilibre d'un corps qui se trouve en même temps assujettie tourner autour d'un axe fixe , et à descendre uniformément le long de cet axe , en s appuyant sur une surface inclinée.

Mais pour exprimer clairement la construction de cette machine , considérons d abord un Fig- 69. cylindre droit ABCD {fig. 69) que Ton développe sur un plan. Le développement est un rectangle BEMG dont la base BE est égale en longueur à la circonférence du cylindre , et peut s'exprimer par azyr, en nommant r le rayon du cylindre , et w le rapport de la circonférence au diamètre.

Divisons le côté BG en parties égales BR, RQ I QP> ^^c. ; et , après avoir pris sur EM la partie EG = BR, menons BG, et les parallèles RH,QK,etc.

Si Ton replie le rectangle BEMG sur le cylindre, la suite des droites BG, RH, etc., tracera sur sa surface une courbe continue que

DE SIATIQUE. 289

Ton nomme hélice , la première droite BG, formant une portion de l'hélice qui commencera en B y et aboutira en R , où elle sera continuée par la seconde droite RH, et ainsi de suite. Chacune de ces portions de Thélice , dont les deux extrémités viennent aboutir sur la même génératrice, et qui fait ainsi le tour entier du cylindre, se nomme spire; et Tintervalle compris entre deux spires consécutives , mesuré le long de la génératrice, et qui est partout le même , se nomme le pas de l'hélice.

Puisque, dans le développement du cylindre, rhéiice est une suite de lijjnes droites parallèles, il est clair que la propriété caractéristique de rhéiice est d être partout également inclinée aux diverses génératrices qu elle va rencontrer sur la surface cylindrique. Lorsque le cylindre est vertical , elle est donc partout également inchnée à l'horizon, et un point a, qui repose sur cette hélice, et qui peut être regardé comme situé sur la tangente en ce point, est dans le même cas que s'il reposait en a' sur un plan incliné QHR, dont la base est QH = awr, et dont la hauteur HK est égale au pas de l'hélice, et sera désignée simplement par h.

206. Si Ton suppose donc que le point a soit Statique P. . 19

pressé sur l'hélice par une force verticale p, et soit retenu en même temps par une force horizontale/, qui, appliquée tangentiellement au cylindre , empêche ce point de glisser sur rhélice, on aura (202)

/ : p :: HK : QH,

ou f ' p ''' h : nur.

Menons par le point a l'horizontale ao, qui rencontre en o Taxe FI du cylindre , que je suppose fixe. Prolongeons indéfiniment cette droite, et considérons-la comme un levier inflexible, mobile autour du point fixe o.

Au lieu d'appliquer immédiatement au point a une force horizontale/, pour retenir ce point sur Thélice, on pourrait appliquer une autre for<fe parallèle q en im point quelconque du levier 60; et cette force q ferait sentir au pointa la même impression que la force/, si elle était a celle-ci dans la raison réciproque des deux bras de levier bo et ao , c'est-à-dire (en faisant 60 = R , et observant que ao est le rayon r du cylindre), si Ton avait

mais on a trouvé ci-dessus

f : p :: h : awr.

DE STATIQUE. agi

Donc f ea multipliant par ordre , on aura

q : P :: h : at^R;

cest-à-dire que la puissance horizontale q sera à la force verticale p qui presse le point a sur rhélice , comme le pas de Thélice est à la circonférence que tend à décrire la puissance q autour de Taxe du cylindre.

Observons que le rayon r du cylindre, ou la distance de Thélice à Taxe , n'entre plus dans cetle proportion. Ainsi, Ion aura toujours le même rapport entre la puissance q et la force p, quel que soit le cylindre sur*lequel Thélice est tracée, pourvu que le pas de cette hélice soit le même.

On ne doit pas perdre de vue d'ailleurs que Ton n'a supposé le cylindre vertical que pour mieux fixer les idées et simplifier le discours; mais que tout ce qu on a dit de la force verticale p et de la puissance horizontale q doit s'entendre, en général, d'une force parallèle à l'axe du cylindre, et d'une puissance qui agirait dans un plan perpendiculaire au même axe , à la distance R de cette ligne.

207. Actuellement il n'est pas difficile de définir la vis et de trouver les conditions de son équilibre.

La vis est un cylindre droit revêtu d'un

filet saillant engendré par le plan d un triangle , ou d un paraiiéiogramme , ou d^une figure quelconque qui , s appuyant par sa base sur une génératrice , tourne autour de Taxe du cylindre, en descendant le long dune hélice tracée sur sa surface. Tous les points qui composent le filet de la vis peuvent donc être regardés comme appartenant à des hélices décrites sur des cylindres de même axe, mais de rayons différents. Or toutes ces hélices ont évidemment le même pas, et c'est ce que Ton nomme le pas de la vis.

La généralion de Vécrou est la même. Concevons une pièce M , de figure quelconque , pénétrée par le cylindre : le triangle ou le parallélogramme qui produit sur le cylindre le filet de la vis, produira dans Tintérieurde cette pièce un sillon ou creux parfaitement égal au filet, et que celui-ci remplira exactement; et cette seconde pièce, qui peut être regardée comme le moule de la première , forme Xécrou de la vis. *

Maintenant, si Tune de ces deux pièces est fixe, il est clair que Tautre lui est tellement assujettie, qu'elle na plus que la liberté de tourner autour de Taxe du cylindre , et de descendre en même temps sur la seconde , comme sur une surface inclinée. Il y a donc , entre

DE STATIQUE. 'kgi

les forces qui se feraient équilibre sur Ja pièce mobile y des relations particulières qui dépendent de son assujettissement à la seconde; et ce sont ces relations qui constituent les conditions de l'équilibre dans la vis.

On ne considère ordinairement que deux forces appliquées à la pièce mobile : Tune P parallèle à Taxe, et qui tend à la faire descendre en tournant autour de cet axe; l'autre Q située dans un plan perpendiculaire à Taxe, et qui, au moyen d'un levier, tend à la faire remonter en sens contraire. Pour fixer les idées, nous supposerons ici que Técrou soit mobile [Jig. ■yo) et que la vis soit fixe : le rapport des Fig. 70 deux forces P et Q serait absolument le même dans le cas où, lecrou étant fixe, la vis serait mobile.

D abord, si lecrou ne posait que par un seul point sur le filet de la vis, en nommant h le pas de la vis, et R le bras de levier de la puissance ou la distance à Taxe, on aurait, diaprés ce qu on a vu ,

Q:P :: h: ^tsR.

Mais, eu quelque nombre de points que l'écrou s'appuie sur le filet, on peut imaginrr qiiie la résistance P est décomposée en autant de forces parallèles p^p'^p", etc., qui près-

sent en ces différents points, et que la puissance Q est partagée en autant de forces q^q'y q'\ etc., dont chacune fait équilibre en particulier à la force qui lui répond parmi les forces py p\ p'\ etc.; et comme on a constamment

: h : awR,

: h : 2wR,

etc ,

aura

</-r-9'-l-9"... ou Q:p-hp'-\-p'\.. ou P::/i:2btR;

c'est-à-dire que, dam l'équilibre de la vis, la puissance qui tend à Jaire tourner l'écrou est à la résistance qui le presse dans le sens de iaxe comme le pas de la vis est à la circonférence que tend à décrire la puissance.

Ainsi, la puissance a d'autant plus d avanta^^e pour contre-balancer la résistance, ou pour comprimer dans le sens de Taxe de la vis, que cette puissance agit à une plus grande distance de Taxe, et que le pas de la vis est moindre. -

Du Coin,

208. liC coin est un prisme triangulaire AF F»B V" [fig. 72), que l'on introduit par J'une de ses

DE STATIQUE. îigS

arêtes EF entre deux obstacles^ pour exercer latéralement deux efforts qui tendent à les écarter.

L'arête EF, par laquelle le coin tend à s enfoncer, se nomme le tranchant du coin; les deux faces adjacentes ADFE, BGFE, se nomment les côtés ; et la face opposée ABCD, la tête.

G est sur cette face qu'on applique le coup, au moyen d'un marteau ou d'un corps quelconque. Quelle que soit la direction du choc, ou peut toujours concevoir son action comme décomposée en deux autres, Tune perpendiculaire à la tête du coin, et qui obtient tout son effet sur lui; l'autre parallèle, et qui ne lui imprime aucun mouvement, parce qu'elle ne peut tendre qu'à faire glisser le marteau sur ce coin.

Nous supposerons donc sur-le-champ que la puissance soit appliquée perpendiculairement à la tête du coin, et nous chercherons simplement les efforts qui en résultent contre les deux obstacles perpendiculairement aux deux côtés.

Par la direction de la puissance P, et perpendiculairement aux arêtes du coin , faisons passer une section MNO {fig. 73); la ligne MN F»g ?*• pourra représenter la tête du coin, et les deux

agô ÉLÉMKNTS

lignes MO et NO les deux côtés. D'un point A pris sur la direction de la puissance, abaissons deux perpendiculaires AB, AG sur les côtés MO, NO; prenons la partie AD qui représente la quantité et la direction de la puissance T, et achevons le parallélogramme ABGD.

La puissance P, représentée par AD, se décomposera en deux autres Q et R, représentées par AB et AC, et qui exprimeront les efforts exercés perpendiculairement aux côtés MO, NO.

On aura donc P : Q : R comme AD : AB : AC ; ou, en mettant BD au lieu de AC, comme AD:AB:BD, c est-à-dire, comme les trois côtés du triangle ABD.

Mais ce triangle est semblable au triangle MNO, parce que les côtés AD, AB, BD sont respectivement perpendiculaires aux trois côtés MN,MO,NO.

On aura donc