X : Q:: sinQBG : sin ABC, Q : Y : : sin ABC : sin QBA

3o/| ÉLÉMENTS

L'équilibre du point C donnera de même

Y : R : : sin RCD : sin BCD , R: Z ;: sin BCD: sin BGR.

On aura de même pour le point D deux proportions, etc., et ainsi de suite , s'il y avait un plus grand nombre de points.

En multipliant par ordre un nombre convenable de ces proportions, on trouvera le rapport de lune quelconque des forces à telle autre force ou tension que l'on voudra. Si l'on multiplie les trois premières , par exemple , on aura le rapport de N à Q. Si Ion multiplie les quatre premières, on aura celui de N à la tension Y; etc.

2i5. Si les directions prolongées d^^s forces P, Q, R, S divisent en deux parties égales les angles respectifs, NAB, ABC, BCD, CDÏ, du polygone funiculaire , les cordons AN , AB, BG , CD, DT seront tous également tendus; car on aura, parles rapports précédents,

De plus, en nommant 2a, ajS, 27, aeJ les ançles du polygone , on aura , par les mêmes proportions,

P : Q : R : S : : cosa : cos /S : cosy : cos &;

DE STATIQUE. 3o5

c est-à-dire que les forces appliquées aux divers angles du polygone seronf proportionnelles aux cosinus des moitiés de ces angles.

Donc , si , au lieu des forces P, Q, R, S, on substitue des points fixes A, B, C, D par-dessus lesquels passe la corde NABGDT, d abord les deux forces N et T qui tirent les extrémités de cette corde seront égales entre elles , et la corde sera partout également tendue ; et en second lieu, la corde pressera sur cbaque point en raison du cosinus de la moitié de Tangle formé en ce point, car chacun des points fixes A, B, C, D tient lieu d'une force qui divise en deux également l'angle formé par les deux parties de la corde qui y passe (215).

216. Supposons que les deux côtés contigus AB, BC soient égaux ; le cosinus de la moitié de 1 angle compris est marqué par le rapport de Tun des côtés au diamètre du cercle qui passerait parles trois points A, B, C. Donc, si tous les côtés du polygone funiculaire sont égaux entre eux, on peut dire que les forces P, Q, R, S sont réciproques aux diamètres de ces différents cercles dont chacun passe par trois angles consécutifs du polygone.

Or , en considérant une courbe comme un polygone d'une infinité de côtés égaux , chacun

Statique P. ao

3o6 ÉLÉMENTS

des cercles dont il s'agit devient, en chaque point de la courbe , ce qu'on nomme le cercle osculateur^ c'est-à-dire le cercle qui a la même courbure en ce point.

Donc , lorsqu'une courbe funiculaire rentrante sur elle-même, ou dont les deux bouts sont fixes, est tirée en tous ses points équidistants par une infinité de forces normales qui se font équilibre , la corde est partout également tendue, et cbaque force normale à la courbe est réciproque au rayon de la courbure dans le point où cette force est appliquée.

On a un exemple très-simple de cet équilibre dans une corde tendue par deux forces sur le contour d'une courbe fixe quelconque; car chaque point de la courbe fixe tient lieu d'une force qui serait dirigée suivant la normale à cette courbe. Ainsi, dans l'équilibre de la corde, la tension est partout la même, et chaque point de la courbe fixe est pressé suivant la normale en raison inverse du rayon de courbure.

2 17. Le polygone funiculaire NABGDT étant en équilibre en vertu des forces N, P, Q , R, S, T, concevons que sa figure devienne parfaitement invariable, de manière que les points A , B ; G , D ne puissent plus changer leurs

DE STATIQUE. 3o7

distances mutuelles : il est clair que lequilibre subsistera toujours. Mais alors, les forces N, P, Q, R, S, T étant en équilibre sur un système invariable, lune d'elles est égale et directement opposée à la résultante de toutes les autres ; ainsi, ces autres forces ont une résultante. Or, comme cette résultante est exactement la même que si toutes les composantes s'étaient réunies parallèlement à elles-mêmes en un point quelconque de sa direction , il s'ensuit que chaque cordon est tendu par la force qui le sollicite, comme il le serait par la résultante de toutes les autres forces quonjr transporterait parallèlement à elles-mêmes,

218. Lorsque les cordons extrêmes AN, DT sont dans un même plan , les deux forces N et T ont une résultante; et , d'après ce qu'on vient de dire, cette force doit être égale et directement opposée à la résultante V des autres forces P, Q , R , S , comme si le polygone était invariable de figure. La résultante des forces P, Q,R, S appliquées aux angles du polygone doit donc passer parle point O où vont concourir les deux cordons extrêmes; et, par conséquent, si les deux extrémités N et T de ces cordons sont fixes, on aura sur-le-champ les deux efforts que supportent ces points fixes,

3o8 ÉLÉMENTS

OU les tensions des cordons AN, DT, en décomposant, au point O, la résultante V en deux forces N et T dirigées suivant ces cordons.

On trouverait de même les tensions de deux cordons quelconques situés dans un même plan , en prenant la résultante des forces appliquées sur les nœuds intermédiaires, et la décomposant suivant ces deux cordons au point où ils concourent: car si un polygone funiculaire est en équilibre , une partie quelconque de ce polygone est aussi en équilibre d'elle-même, en vertu des forces appliquées sur cette partie, et des tensions des deux derniers cordons que Ton y considère.

219. Lorsque les directions des forces P, Q, Fig. 77. R, S sont toutes parallèles {fig. ll)^ ^^ ^ toujours pour les forces et les tensions les mêmes proportions que ci-dessus (214); mais il faut une condition de plus pour 1 équilibre : cest que toutes les forces P, Q, R, S et les côtés du polygone soient dans un même plan ; car, autour de chaque nœud , les cordons doivent être dans un même plan (210). Mais si le cordon BQ est parallèle au cordon AP , le plan PÂ6 des trois premiers cordons est le même que le plan ABQ des trois suivants; et ainsi de suite.

DE STATIQ13E. Sog

Dans cette hypothèse de puissances parallèles^ comme on a

siuPAB = sinQBA, sin QBC = sinllCB, etc.,

on trouvera par les proportions (214) que les tensions successives N, X, Y, Z, T sont réciproques aux sinus dos inclinaisons des côtés sur la direction des puissances parallèles P, Q , R,S, et qu ainsi chacune des tensions est représentée par la sécante de son inclinaison sur une perpendiculaire à ces puissances.

Cela pourrait se voir aussi , comme au n^ 2 18, en comparant immédiatement les tensions de deux côtés quelconques , qui seront toujours ici situés dans un même plan.

Mais, pour avoir des expressions plus simples et plus commodes, regardons toutes les forces appliquées au polygone comme étant verticales , et supposons qu'un des côtés de ce polygone soit horizontal.

Si Ton voulait comparer la tension t d'un côté quelconque à la tension a du côté horizontal d'où Fon part, on imaginerait ces deux côtés prolongés jusqua leur rencontre, et Ion supposerait en ce point une force verticale V égale à la somme des puissances appliquées sur les nœuds intermédiaires, et qui ferait équilibre aux deux tensions a et /.

3lO ÉLÉMENTS

On aura donc^ en nommant 9 llnclinaison de la tension t sur la tension horizontale a,

t : a y. 1 : cos <p ,

ou ^ = rt séc ç : d'où Ion voit que , dans réquilibre d'un poljgone funiculaire lire par des puissances verticales y la tension de chaque coté est proportionnelle à la sécante de l'angle que fait ce côté avec r horizon.

' On aurait ensuite

f : V : : I : sin 9 ;

ce qui donne la tension d un côté quelconque exprimée par son inclinaison sur le côté horizontal j et par la somme des puissances parallèles qui agissent entre ces deux côtés.

On aurait enfin (ce qui, d'ailleurs, est une suite des deux proportions précédentes)