V : a :: sinç : cos

ou V = atang9; d'où l'on tire ce théorème relatif à la figure que prend ie polygone en vertu des forces appliquées : la tangente de l'inclinaison de chaque côté sur l'horizon est pro^ portionnelle à la somme des puissances verticales appliquées sur le contour, depuis le côté le plus bas jusqu'à celui que l'on considère.

DE STATIQUE. 3l I

De la Chaînette,

220. On peut coasidérer une corde pesante comme un fil char{][é d^une infinité de petits poids distribués sur toute sa longueur , ou comme un fil sollicité en tous ces points par de petites forces verticales , et, par conséquent , parallèles. On voit donc que si cette corde est attachée à deux points fixes S et T (fig. 78), Fig. 7». elle ne peut demeurer en équilibre , à moins qu'elle ne soit tout entière dans un plan vertical. Elle forme alors un polygone fimiculaire d'une infinité de côtés, ou plutôt une ligne courbe que Ton nomme la chaînette.

Pour trouver les efforts que la corde exerce sur les deux points S et T qui la soutiennent , on mènera à la courbe en ces points deux tangentes SO, TO, qui seront comme les prolongements des derniers côtés du polygone funiculaire ; appliquant ensuite au point O une force égale à la résultante de toutes les forces qui la sollicitent , c'est-à-dire égale au poids total de la corde, on décomposera cette force en deux autres dirigées suivant les tangentes OS, OT , et qui exprimeront les ^ charges respectives des deux points de suspension (218).

On trouverait de même la tension de la

3 1 a ÉLÉMENTS

corde en un point quelconque, en imaginant que ce point est fixe , et en cherchant, comme ci-dessus, la charge qu'il éprouve par le poids du reste de la corde qui demeure en équilibre au-dessous.

Au reste, si i*on nomme t la tension en un point quelconque M de la chaînette , a celle qui a lieu au point B le plus bas, V le poids de lare s. compris entre ces deux points , et cp langle formé avec la ligne horizontale par la tangente à l'extrémité de Tare s , on aura entre ces quatre quantités les nlêmes équations qu'au n** 2 19.

On voit donc, par la première équation t = a séc (p , que , dans une corde pesante en équilibre , la tension en chaque point varie comme la sécante de l'inclinaison de la courbe sur la ligne horizontale.

Par la seconde équation V = t sin y , on voit que la tension à l'extrémité d'un arc quelconque de la corde est égale au poids de cet arc divisé par le sinus de l'inclinaison de la corde en ce point.

Et ion doit remarquer que ces équations ont lieu, quelle que soit Tinégalité de la corde *ou chaîne pesante que Ton considère.

Si la chaîne est uniforme, on peut représenter le poids V de Tare s par la longueur de cet arc lui-même ,, et la troisième équation

DE STATIQUE. 3l3

devient s = a tangf : équation très- simple de la chaînette entre les coordonnées 5 et cp.

Ainsi, la chaînette est une courbe telle, que la tangente de son inclinaison sur un axe horizontal augmente comme la longueur de tare, à partir du point le plus bas.

Cette courbe est donc la même à gauche et à droite de Taxe vertical qui passe par le sommet B, et, comme la parabole, elle a deux branches égales qui s étendent à l'infini.

Il est même aisé de voir que le rayon R de la courbure y est exprimé par R = a : cos^ y, et qu'ainsi il est réciproque au carré du cosinus de riuclinaison de la courbe sur son axe horizontal.

Car, en considérant une courbe comme un polygone d'une infinité de côtés égaux c, on a, pour le rayon R du cercle décrit sur deux côtés consécutifs comme cordes,

R = c : 2 sin g ,

en nommant as langle extérieur du polygone (216).

Or, ç étant Tinclinaison du premier côté, et, par conséquent, f-h m étant celle du second ^ on a ici par les deux équations s = a tang y et s-h c = a tang (y + 2 £), l'équation

c = a [tang ( y 4- 2 £) — tang ç \,

3l4 ÉLÉMENTS

expression qu'on peut ramener à celle-ci ;

2 sin e . cos s c =; G • •

COStf . C08(^ 4-2 6)

On a donc

cos s

2 sine cosy . cos(<p -f- 2e)'

doù Ton tire, en faisant l'angle extérieur as égal à zéro (afin de passer du polygone à la courbe même) ,

cos' <p

Ce qu il fallait démontrer.

221. Ce quon vient de dire d'une corde pesante, ou d'un assemblage de petits corps pesants unis ensemble par un fil inextensible, pourrait s'appliquer à plusieurs globules appuyés les uns contre les autres, et qui se soutiendraient mutuellement en voûte. Ils doivent affecter alors la forme d'une chaînette renversée; car, si tous ces globules, à cause de leur impénétrabilité mutuelle , sont en équilibre en vertu de leur poids ou des forces verticales qui les sollicitent, il est clair qu'ils demeureraient encore en équilibre, si ces forces venaient à agir en sens contraire , pourvu qu'alors on supposât tous ces globules liés deux à deux par un fil inextensible ;

DE STATIQUE. 3l5

mais alors ce fil formerait une chaînette renversée : donc il a actuellement cette figure.

C'est encore la figure que prendrait une voile verticale enflée par le vent ; car, considérez dans cette voile une section quelconque horizontale 5 que nous regarderons comme un polygone d'une infinité de côtés égaux : il est visible que le nombre des molécules d'air qui viennent rencontrer un de ces côtés est proportionnel , non pas à la longueur c de ce côté , mais à sa projection c . cos 9 sur une perpendiculaire à la direction du vent. Ainsi, la force qui vient sur chaque élément de la courbe 5 est proportionnelle au cosinus de son inclinaison <p à la perpendiculaire dont il s'agit. Mais cette force n'agit pas tout entière sur la voile : car, à la rencontre du côté c, la vitesse v de chaque molécule d'air se décompose en deux : Tune V sin f parallèle à c , et qui ne tend qu'à faire glisser cette molécule sur la voile sans y produire aucun effet; l'autre i;cos <p perpendiculaire au côté c, et qui seule agit pour tendre cette voile. La force normale qui presse chaque élément de la courbes est donc proportionnelle à cos^ (p.

Mais une courbe étant tenue en équilibre par des forces normales appliquées en tous ses points équidistants , chacune d'elles (216) est réciproque au rayon de la courbure dans

3l6 ÉLÉMENTS

le poiat où cette force est appliquée : et vice versa, ce rayon est réciproque à la force. Or ici la force est proportionnelle àcos^y : donc une section quelconque horizontale , faite dans une voile verticale enflée par le vent, est de telle nature que le rayon osculateur y est réciproque au carré du cosinus de Finclinaison de la courbe sur une perpendiculaire à la direction du vent : ce qui est précisément une chaînette dont Taxe serait dans cette direction (220).

Des Poulies et des Moufles.

222. Considérons maintenant un système de Fie- 79- poulies mobiles A, A', A" [fig. -jq). La première A , qui soutient un poids P attaché à sa chape, se trouve embrassée par une corde dont l'une des extrémités F est fixe, tandis que l'autre est attachée à la chape de la poulie suivante A' ; cette seconde poulie est de même embrassée par une corde dont Tune des extrémités F' est fixe, tandis que l'autre est attachée à la chape de la troisième poulie A"; et ainsi de suite jusqu'à la dernière , dont le cordon , arrêté d une part à un point fixe F", est tiré de lautre par une puissance Q.

Si tout le système est en équilibre, chaque poulie est en équilibre d'elle-même, en vertu

des forces ou des tensions qui agissent sur elle. Ainsi , nommant r, r', r" les rayons respectifs des poulies; c, c', c'' les sous-tendantes des arcs embrassés par les cordons; X la tension du premier cordon; Y celle du suivant; on aura , pour 1 équilibre de la poulie A ( 185),

On aura de même pour 1 équilibre de la poulie A',

et pour la troisième A",

en multipliant par ordre, il viendra

Q : P :: rr'r" : cc'c"\

c'est-à-dire, la puissance est à la résistance comme le produit des rayons des poulies est au produit des sous-tendantes des arcs embrassés par tes cordons.

223. Si tous les cordons deviennent parallèles (Jig. 80), les sous-tendantes c, c\ c" de-Fig. 80. viennent égales aux diamètres 2 r, 2 r', 2 r", et Ion a, en divisant les deux termes du dernier

3aO ÉLÉMENTS

une puissance, est attachée au cylindre du second tour A'. La roue de celui-ci est de même tirée par une corde qui passe sur le cylindre du troisième tour A" ; et ainsi de suite jusqu'au dernier, dont la roue est tirée par la puissance Q.

Si le système est en équilibre, chaque tour est en équilibre de lui-même, en vertu des tensions des cordons qui sollicitent le cylindre et la roue. Ainsi , en nommant X la tension du cordon qui va du premier tour au second , on aura (186)

en nommant Y celle du cordon suivant, on aura

et de même pour le dernier tour,

et multipliant par ordre ,

Q : P :: rr'r' : RR'R";

c'est-à-dire, la puissance est à la résistance comme le produit des rajons des cylindres est au produit des rajons des roues.

t)E STATIQUE. 3îll

Des Roues dentées.

226. Si ïati rapproche tous ces tours, de manière que la i*ue du premier devienne tan- ;;ente au cylindre du second , et que la roue de celui-ci soit tangente au cylindre du troisième, et ainsi de suite; et si Ion suppose que chaque roue s engage au cylindre contigu , de telle sorte qu elle ne puisse* tourner sans faire tourner ce cylindre, et réciproquement, on pourra supprimer les cordes qui lient tous ces tours, et Ion aura toujours le même rapport que ci«-dessus entre la puissance et la résistance.

Pour engager solidement chaque roue avec Ifî cylindre du tour suivant [Jig. 85), on pra- Fig. 85» tique à leurs circonférences des dents également espacées, qui engrènent les unes dans les autres, de manière que chaque roue, qu on nomme alors roue dentée ^ ne peut tourner sur son axe, sans que le cylindre, quon nomme alors pignon, ne tourne en même temps sur le sien.

On a donc, pour l'équilibre de deux forces qui réagissent Tune sur l'autre au moyen des roues dentées : la puissance est à la résistance comme le produit des rajons des pignons est au pivduit des rayons des roues.

Statique P. 2i

Jîja ÉLÉMENTS

Du Cric.

227. On considère, dans le cric simple, un pignon que Ton fait tournei>» sur son axe au Fig. 86. moyen d une manivelle {Jig. 86) : ce pignon engrène avec une barre inflexible dentée, de manière qu'en tournant sur son axe , il oblige la barre. à se mouvoir dans le sens de sa longueur. En supposant donc une résistance qui s'oppose directement au mouvement de cette barre, résistance que l'on peut considérer comme une force perpendiculaire à l'extrémité du rayon du pignon, il est visible que Ion aura : la puissance appliquée à la mani' velle est à la résistance, dans le sens de la barre, comme le rayon du pignon est au rayon de fa manivelle.

D'où l'on voit que l'effort exercé par le cric sera d'autant plus considérable, que le rayon du pignon sera plus petit par rapport à celui de la manivelle.

liOrsqu'on veut augmenter encore la force du cric, sans augmenter le bras du levier de la manivelle et sans diminuer le rayon du pignon, au lieu de faire agir immédiatement ce pignon sur la barre dentée, on le fait agir sur une roue dentée intermédiaire, et c'est le pignon de cette •

roue qui engrène avec la barre. Alors on a pour l'équilibre : la puissance appliquée à la manivelle est à la résistance, dans le sens de la barre, comme le produit des rayons des deux pignons est au produit du rayon de la roue par le rayon de la manivelle.

De la Fis sans fin,

228. On peut encore considérer une vis mobile autour de son axe, et dont le filet mène les dents successives d'une roue à laquelle il se présente toujours d une manière uniforme ; et c est ce qui compose la vis sans fin.

Par l'équilibre de la vis, on voit i^fig, 87)?!^. 87. que la puissance Q, appliquée à la manivelle dont le rayon est R , est à leffort /, avec lequel le filet presse la dent de la roue , comme le pas h de la vis est à la circonférence a wR , que tend à décrire la puissance; et Ion a

Q :/:: h : irs^.

Actuellement, si cette roue dentée, dun rayon A, fait tourner un cylindre de même axe, et monter un poids P, suspendu au bout d'une corde qui s'enroule sur ce cylindre, on aura par Téquilibre du treuil, en nommant a le rayon du cylindre ,

et multipliant par ordre,

Q:P :: ah: azsyR.A;

c est-à-dire, la puissance est au poids comme le produit du pas de la vis par le rayon du treuil est au produit du rayon de la roue dentée par la circonférence que tend à décrire la puissance.

Dune machine nouvelle quon a nommée le Genou.

229. Cette machine est composée de deux Fig. 88 barres ou verges roides AO, BO (Jîg. 88 et 89), ^^ ^' jointes en O par une charnière sur laquelle elles peuvent tourner comme les deux branches d'un compas. L'extrémité A de la première est liée par une autre charnière à une barre inébranlable AC , de sorte que cette branche AO est comme un levier dont lappui fixe est au point A; mais 1 extrémité B de la seconde branche ne fait que poser sur la barre inébranlable, ou plutôt elle est contenue dans la rainure fixe AG , le long de laquelle elle peut glisser librement.

Par la nature même de cet assemblage, il est évident que, si une puissance agit pour

faire tourner la branche OA autour du point A , et rapprocher ainsi le point O de Taxe fixe AG, l'angle O du genou tend à s'ouvrir, et le point B tend à s'éloigner de A en glissant dans la rainure AC. Donc, si Ton applique en B une force convenable en sens contraire , elle fera équilibre à la puissance; et c'^st dans le rap« port de ces deux forces que consiste la loi de cette machine , qui dépend, comme on voit, de la théorie du levier et du plan incliné.

Au lieu d'appliquer immédiatement la puissance P à la branche OA , on l'applique ordinairement à une barre mn solidement liée avec elle ; et c'est à l'aide de cette barre mn qu'on agit sur le genou , pour exercer en B , le long de la rainure, l'effort Q ou la pression qu'on veut produire.

Supposons donc que la puissance P agisse au point n, perpendiculairement à la distance An, ce qui est la position la plus favorable à l'action de cette puissance, et réduisons toute la figure aux lignes droites OA, OB, AG , An, qui sont toutes dans un même plan avec les directions des forces appliquées.

Si l'on considère d'abord cette puissance P qui tend à faire tourner le levier AO autour du point A , et qu'on cherche avec quelle force X elle pousse le point O, et, par conséquent,

le point B, dans le sens OB, on verra, par la loi du levier, que ces deux forces P et X sont entre elles comme leurs bras de levier Kh et An; de sorte qu'on aura P : X :: AA : An; ou si Ton fait, pour abréfjer, le bras An = r, le côtéAO = a, et, par conséquent, A/i = a sinO; en désignant par O Tangle du genou, on aurs^ plus simplement

P : X : : a sin O : r.

Actuellement , cette force X , qui pousse B vei^ le plan incliné AC , est à la force Q , qui retient ce point le long du même plan, comme le rayon est au cosinus de Tinclinaison OBA ; de sorte qu'en nommant B cet angle, on a