X :Q :: 1 : cosB

ce qui redonne, en multipliant par ordre, la

même proportion trouvée ci-dessus ; d où Ion

tire

^^ P/" cos B

'^ ^ sin 6

pour lexprcssion de l'effort Q exercé par la puissance.

251. A mesure que langle B diminue, langle 0 du genou augmente; le facteur cos B croît donc sans cesse vers l'unité, et le facteur sinO

3a8 ^ ÉLÉMEISTS

diminue vers zéro, de manière qu'ils peuvent approcher de ces limites daussi près qu'on voudra. Or, la résistance Q étant proportionnelle k cosB et réciproque à sinO, on voit, par cette double raison, que la force Q augmente à mesure que les deux côtés du genou s approchent d être en ligne droite, et qu'à cette limite elle serait infinie : ce qui veut dire qu'elle augmente sans bornes , et qu ainsi la pression exercée par le genou , dans le sens de la rainure, peut devenir plus grande que toute pression donnée.

On voit encore que la puissance a d autant plus d'avantage, que le côté AO = a est plus court , et que le bras du levier An = r est plus considérable. Par cette dernière raison , il y aura de lavantage , pour une même longueur de la barre mn , à implanter cette barre sur le côté le plus près qu'on pourra de Tangle du genou. Si la puissance P, au lieu d'agir perpendiculairement sur la ligne An , agissait sous un autre angle quelconque dans le même plan , il faudrait prendre, pour le bras de levier r, la distance de cette force au point fixe.

S'il y avait plusieurs forces pour faire tourner le levier AO, il faudrait mettre dans l'équation précédente, au lieu du moment Pr, la somme des moments de toutes ces forces.

DE STATIQUK. 3^9

Du Genou isocèle.

232. Supposons que le triangle AOB soit isocèle, et qu^ainsi les angles A et B soient égaux : Tangle O devient le supplément de aB, et Ton a sin 0= 2 sinB cosB. La proportion donnée plus haut pour 1 équilibre devient donc

P : Q :: aa sinB : r,

ou bien, si Ton aime mieux introduire dans la proportion langle O des deux côtés du genou ,

comme Tangie B est complément de -, on aura

sin B = cos - , ou simplement , sin B = cos f ,

en faisant, pour simplifier, - = y , et la proportion sera

P : Q :: îia cos y : r,

ce qui donne une expression très-simple de la loi de Véquilibrc.

Mais on peut encore, au lieu des sinus ou cosinus, n'employer que des lignes. tirées de la construction de la machine ; car il est évident que le terme îtasinB, ou 2 a cos y, vaut deux fois la flèche OI =/ d'un arc de cercle qui serait conduit par AOB. Donc, si Ion voulait nommer simplement cette ligne OI la flèche du genou, la loi de Téquilibre pourrait s'énoncer de la manière suivante :

33o ÉLÉMENTS

Daîis l'équilibre du genou dont les cotés sont égaux y la puissance qui tend à faire tourner le premier côté autour de son extrémité fixe est à la résistance que i extrémité mobile du second côté éprouve dans le sens de la rainure, comme le double de la flèche du genou est au bras du levier par lequel agit la puissance.

233. J^ai fait abstraction du poids des partics de la niachtne, mais il est bien aisé dy avoir égard. Et d'abord , la barre AC étant supposée fixe , son poids G ne change en rien la proportion trouvée pour lequilibre; il ne fait qu'ajouter à la pression de cette barre sur ses appuis. Mais le poids de la première branche AO, que je représente par a/?, favorise Faction de la puissance ; et si Ton suppose, par exemple, que Taxe AC soit vertical, et la branche AO dune grosseur uniforme, de manière que son centre de gravité tombe au milieu de AO , il est évident que le poids ip ajoute au moment Pr de la puissance le moment pf Enfin , le poids ip de la seconde branche BO, que je suppose égal et appliqué de même au milieu de BO, • peut se décomposer en deux forces égales, Tune p appliquée en O , Tautre p appliquée en B en sens opposé de Q. Or la première force j9, à la distance / du point fixe, ajoute

encore au moment de la puissance le moment pf^ et la seconde, appliquée en B, diminue la force Q de p.

Ainsi, l'équation de 1 équilibre , qui était

P.r = Q.a/, devient, quand on a égard au poids de la machine ,

ce qui donne

P.r=(Q-ap)2/;

d*où Ton voit que le poids de la machine , dans la situation que je lui ai donnée, augmente leffort Q d'une quantité 7,p égale à la moitié du poids des deux branches mobiles du genou.

Des pressions exercées sur les appuis.

234. Quant aux pressions que souffre Taxe fixe A G , tant en vertu des forces appliquées que du poids de la machine, voici comment on peut les calculer.

Premièrement, cet axe est pressé au point B par une force perpendiculaire V, résultante de X et de Q — p, et dont la valeur est exprimée par (Q — p) cot 9.

En second lieu , le point fixe A est pressé par le poids G de la baire AG et par la résultante de toutes les forces qui agissent sur la branche

AO , et qu'oD transporterait parallèlement à elles-mêmes au point A. Or , qu on décompose d'abord chacune de ces pressions en deux autres, lune dirigée dans Taxe AC, l'autre perpendiculaire au même axe, on aura, pour les deux composantes de P, Pcosw et Psinw, w étant Tinclinaison de P sur AC ; pour les deux composantes de X , on aura ( Q — p) et V ; enfin, pour les deux poids ip et p transportés en A, on aura la force 3p dirigée suivant l'axe AC. Donc, en réduisant, le point A souffrira, dans le sens de Taxe AC, une pression a égale à G -f- Pcosw — Q -1- 4/^; et dans une direction perpendiculaire, une pression ]3 égale à Psinw -H (Q — /:>)cotç>. De sorte que la pression totale du point fixe sera exprimée en grandeur par \/a" -f- j3*, et sera inclinée sur l'axe AC

d un angle dont la tangente sera ^ •

Ainsi, l'on saura avec quelle force Taxe du genou doit être retenu en A et en B, pour n'être pas entraîné par l'action combinée des forces appliquées et du poids de la machine.

235. J'ai cru devoir expliquer cette machine nouvelle avec assez de détail, parce quelle ma paru ingénieuse, et qu'elle n'est encore démontrée nulle part. Elle est à peu près du même

genre que la vis, mais d'une construction beaucoup plus simple : on peut s'en servir de la même manière, pour exercer, à raida- d une puissance médiocre, des pressions très-considérables, on pour former sur certains corps de fortes et vives empreintes.

Sur un ancien paradoxe de Statique relatif à la théorie des moments,

236. La loi du levier, comme on la vu plus haut, et comme on le sait depuis longtemps, est que les deux forces appliquées soient réciproques à leurs distances au point d appui, et qu*ainsi les moments de ces forces soient égaux entre eux pour lequilibre. •

Or il y a une machine singulière , dont l'idée est due à Roberval , et qui présente une espèce de levier où deux poids égaux se font toujours équilibre , quoiqu'on les suspende à des bras de levier quelconques inégaux ; et de là résulte , dans la théorie des moments , une espèce de paradoxe , qu on a tâché de résoudre par une certaine décomposition de forces, mais dont il me semble qu'on n'a point encore donné la véritable explication. (Fq^^ez l'article de d*Alembert, au mot Levier dans VEncjrclopédie. )

Cependant on pouvait reconnaître d'abord que ce cas d'équilibre n'a rien de contraire

à la loi générale du levier; car la machine de Roberval n est point un véritable levier, c est-àdire un corps ou une verge roide mobile autour d*un seul point fixe : c'est un assemblage ou système de figure variable^ dans lequel il y a deux points fixes , et où il n'est pas du tout surprenant que la condition de l'équilibre soit tout autre que dans le levier simple. Ainsi , par cette seule distinction que nous avons établie entre une machine simple et une machine composée , le paradoxe s évanouit. Mais on n avait point encore une définition bien précise des machines, ni surtout une idée nette des moments^ efforts d un certain genre que les couples seuls ont mis en évidence», et pour ainsi dire rendus sensibles dans toute la mécanique. Et, en effet, par cette théorie des couples, la machiné de Roberval n'offre pas même de difficulté : car, à Ydide des deux points fixes qui existent dans le système , il peut très-bien arriver que chacun des couples qui viennent des deux forcés appli* quées se trouve séparément détruit par la résistance de ces points, et que, dans une pareille machine, le rapport des moments soit tout à fait arbitraire. C'est, en effet, ce qui a lieu , comme on va le voir tout à l'heure : et ce cas singulier d'équilibre , loin d'offrir un paradoxe, n^est qu'une nouvelle confirmation de

nos principes; et je nç m'y arrête un instant que pour en donner, par les couples, la démonstration la plus claire, et peut-être la seule exacte quon en ait encore présentée jusqu'ici.

De la Balance de RobervaL

257. Imaginez quatre règles deux à deux, égales et parallèles , et formant un parallélogramme kHab [fig. 90 et 91), dont les côtés Fîg. 90 soient mobiles autour des angles A, B, a, 6, * ^'" comme sur des charnières. Supposez que les milieux F et /des deux côtés AB, «6, soient fixes, et, pour plus de clarté, que ces deux points tombent dans la même verticale F/; vous aurez une machine formée par la réunion de deux balances égales et parallèles, qui se répondent dans un même plan vertical , et dont tous les mouvements autour de leurs appuis se suivent sans se nuire en aucune manière : car si lune d'elles , AB par exemple , tourne autour de son appui fixe F, l'autre ab tourne en même temps sur le sien, dans le même sens et d'une même quantité angulaire; et le parallélogramme ABa6 prend toutes les figures qu'il peut affecter, en changeant ses angles , sans changer la longueur de ses côtés.

Si donc, à Tun de ces leviers tel que AB, et

en des points quelconques de ce levier, ou même de son prolongement , étaient appliquées deux forces qui se fissent équilibre, il faudrait nécessairement que ces deux forces fussent réciproques à leurs distances au point d appui F, comme si le levier AB était seul et parfaitement libre; car ce levier est libre en effet, puisque lautre ab ne fait que suivre, et, pour ainsi dire , répéter ses mouvements , sans y poiter la moindre altération. Ainsi Jes moments devraient être égaux de part et d'autre autour du point fixe F, et il n y aurait là rien qui ne fût entièrement d'accord avec la théorie.

Mais si, au lieu d'appliquer les forces ou les deux poids P et Q à Tun de ces leviers , on les applique , le premier P, à une barre Kl invariablement fixée à angle droit sur le c6té B6 qui unit les deux balances, le second Q à une barre GH , fixée de même sur le côté Aa, on trouve que ces deux poids, pourvu qu'ils soient égaux, se font toujours équilibre , quelles que soient les longueurs des bras IK et GH où ils sont suspendus , et c'est ce qu'il faut montrer ici comme une conséquence toute naturelle de notre théorie des moments.

Pour cela, qu'on transporte la force P parallèlement à elle-même de I en R dans la droite B6, et l'on a un couple (P, — P) dont le bras

DE STATIQUK. 337

de levier est IK. Mais ce couple est détruit par

les deux points fixes; car il peut d'abord être

cbaugé en un autre équivalent d un bras égal

h la distance mn des deux balances AB et ab;

ensuite , comme le bras Kl est invariablement

attaché au côté B6, par Thypothèse même, ce

couple transformé (P', — P') peut être tourné

dans son plan, et appliqué exactement sur le

côté B6. Dans cette position , lune des forces

P' se dirige vers le point F qui est fixe, lautre

— P' se dirige vers l'antre point fixe/, et le

couple est détruit , quel que soit son moment

P'-X mn ou P X IK. Ainsi, il ne reste, de ce

côté de la machine, que la force P transportée

au point K.

Pareillement, la force Q peut être transportée parallèlement à elle-même de G en H , et le couple (Q, — Q) qu'elle produit, pouvant être changé en un autre (Q', — Q') appliqué sur le côté Aa, se trouve détruit, comme le précédent, par la résistance des deux points fixes.

Il ne reste donc que les deux forces P et Q , mais appliquées maintenant aux points K et H , ou, si Ton veut, en B et A, et qui, par l'équilibre de la balance AB, doivent être parfaitement égales entre elles. Ainsi, dans la balance de Roberval, la condition unique pour l'équilibre est l'égalité des deux poids, quelles Statique P. 22

que soient leurs disiances aux points d*âppui: Cette machine est en quelque sorte ^ pour les simples forces, ce que le levier ordinaire est pour les couples ou moments. Dans Téquilibre du levier, les deux forces peuvent être dans un rapport quelconque ; il suffit que les moments soient égaux : mais , dans la balance de Roberval 9 il faut que les forces soient égales, et c'est le rapport des moments qui est arbitraire.

238. Au reste , ceci n'est qu'un cas particulier d'une proposition plus générale; car, au lieu de deux balances AB et «6, on pourrait considérer deux leviers égaux et parallèles, dont les appuis F et /ne soient plus au milieu de leurs longueurs, mais divisent ces lignes dans un même rapport quelconque. De plus, on pourrait supposer que les forces P et Q, qui agissent sur les barres IK, GH, ne soient point parallèles, mais dirigées comme on voudra dans le même plan. On démontrerait exactement de la même manière que, les deux forces P et Q étant transportées parallèlement à elles-mêmes aux deux bouts B et A de Fun des deux leviers AB de la machine, les deux couples qui naissent de cette translation sont séparément détruits par les points fixes; que, par conséquent, la condition unique pour Féqui-

libre eit ^ue tes deux force» appliquées soient entre elles dans uû rapport constant^ qui ne dépend point de leurs distances an point F, mUis uniquedient des distances de ce point aux deux parallèles à ces forces^ menées par les deux bouts du levier. Ainsi , quand deux forces sont une fois en équilibre sur cette machine , on peut les transporter où Ton veut parallèlement à elles-mêmes, sans que Téquilibre soit troablé. Elles réagissent toujours Tune sur Tautre de la même manière. La seule chose qui change est la grandeur des couples détruits, et, par €X>nséqnent, la pression qde souffrent eti sens Gontrafires les deux points fixes dans la direction des deux leviers.

Par exemple, dans le cas de P et Q parallèles* le point F, outre la pression verticale P -+- Q qiill supporte, comnje dans le levier ordinaire, éprouve encore , dans le sens du levier,

une pression P' - Q' , égale à —^ ^j— - ;

et l'autre point fixe/éprouve une pression égale et parallèle, et de sens contraire : de sorte qu'il y a , sur Taxe F/* qui joindrait les points fixes, un couple dont le moment est P x Kl — Q x GH, c est-à-dire égal à la différence des moments des forces appliquées, et qui tend à renverser la maclûne. ^

suit