DANS \A MÉCANIQUE

Des Couples.

Dans ma Statique , j'ai nommé couple Tcnsemble de deux forces parfaitement égales, parallèles et de sens opposes. On sait que ces deux forces n'ont pas de résultante , c'est à-dire ne peuvent être tenues en équilibre par aucune simple force dirigée comme on voudra dans l'espace. A la vérité , le calcul qui donne , pour cette résultante, une force nulle appliquée à une distance infinie des composantes , ne nous apprend plus rien alors, puisqu'il donne la même expression pour deux autres forces quelconques égales , parallèles et de sens opposés, dont l'effet pourtant n'est pas le même que celui des deux premières; mais il est évident ^ à priori, que de telles forces ne peuvent avoir de résultante unique : car, si l'on pouvait assigner la position de cette résultante à Tégard de l'une des forces du couple, on lui en trouverait sur-le-champ une autre parfaitement symétrique et de sens contraire à l'égard de la seconde ;

et elie aurait à la fois deux positions différentes, ce qui est

absurde.

L'effort d'un couple ne peut être contre-balancé que par celui d*un autre couple. J'ai fait voir que cet effort a pour mesure le produit de Tune des forces par la distance qui les sépare ; de sorte qu*en nommant ce produit le moment du couple , deux couples contraires se font équilibre quand leurs moments sont égaux.

Composition des couples , analogue h la composition des forces.

J*ai d'ailleurs établi sur les couples tous les théorèmes qui correspondent à la composition des forces ; et même cette proposition (dont on fait si souvent usage) , qu'une force peut être transportée en un point quelconque de sa direction , trouve ici son analogue , qui consiste en ce qu'i^/i couple peut être transporté partout où Von voudra eians son plan, ou dans tout autre pian parallèle, et tourné comme on voudra dans ce plan , sans que son effet en soit changé.

Ainsi, des couples situés arbitrairement dans le même plan , ou dans des plans parallèles , sont des couples de même direction ; d'où l'on voit combien est illusoire l'expression que donne le calcul pour la résultante d'un couple , puisque , d'après cette propriété , il n'y aurait pas de lieu de l'espace où l'on ne pût la supposer appliquée; ce qui n'a plus aucun sens.

Mais la proposition précédente est principalement utile danâ la composition des couples, où elle permet de les rapprocher et de les disposer entre eux de la manière la plus favorable à la démonstration , et nous conduit par une voie très-simple aux théorèmes suivants :

MÉMOIHK. 3^5

1°. Deux couples situés d'une manière quelconque dans le même plan , ou dans deux plans parallèles , se composent en un seul égal h leur somme ou à leur différence y selon que ces deux couples sont de même sens ou de sens contraires.

2**. Deux couples situés d'une manière quelconque dans deux plans perpendiculaires aux deux côtés d'un parallélogramme , et représentés en grandeur par ces côtés , se composent en un seul situé dans un plan perpendiculaire à la diagonale , et représentés en grandeur par cette diagonale.

D^où Ton peut coacliue que : Trois couples perpendiculaires aux trois arêtes contiguës d'un parallélipipèdc queilconque , et représentés , pour leurs moments , par les longueurs de ces arêtes , se composent en un seul , perpendiculaire à la diagonale y et représenté pour son moment par la longueur de cette diagonale.

Ces théorèmes , comme nous le verrons tout à l'heare, renferment la théorie des moments, considérée de la manière la plus générale, et la théorie des aires, qui ne sont autre chose, dans le mouvement des corps, que les moments des forces qui les animent; mais ils se démontrent avec autant de simplicité que le parailélogramme des forces , et font descendre ainsi dans les Éléments les propositions les plus élevées de la Mécanique.

Qu'on me permette ici d'en rappeler en peu de mots Tusage dans la Statique, et, sans cesser de tendre vers Tobjet de ce Mémoire, d'y arriver dans Tordre naturel de nos idées.

Usage des Couples dans la Statique.

Une force étant appliquée en un point d'un corps ou système quelconque solide, si Ton prend un autre point quelconque dans ce corps, ou au dehors, pourvu ({u'ôn l'y suppose invariablement attaché , et qu*on applique à ce nouveau point deux forces contraires égales et parallèles à la première , il est clair que l'état du corps ne sera pas changé ; mais on pourra conûdérer actuellement , au lieu de la simple force proposée , i"* une force parfaitement égale, parallèle et de même sens, appliquée au nouveau point; 2^ un couple formé par les deux forces parallèles restantes. Si, pour plus de clarté , on transporte ce couple ailleurs > dans un plan quelconque parallèle au sien, ce qui est permis, il ne restera au point dont il s'agit qn'une force parfaitement égale et parallèle à la force primitive, et qui ne serait en quelque sorte que cette même force qu'on y aurait transportée parallèlement à elle-même.

On peut donc dire qu'une force peut être transportée parallèlement à elle-même en un point quelconque , pourvu que l'on considère le couple qu'elle engendre dans cette translation , et qui a pour mesure le produit de la force par le chemin qu'elle a parcouru.

Gela posé, tant de forces que l'on voudra étant appliquées d'une manière quelconque à un corps, si on les transporte toutes parallèlement à elles-mêmes en un même point quelconque, elles viendront s'y composer en une seule que je nommerai la résultante , et tous

MKMOIHK. 347

les couples qu'elles ont produits dans leur translation se compofieront en un seul, que je nommerai le couple résultant.

Composition générale des forces.

Ainsi, des forces dirigées d'une manière quelconque dans l'espace peuvent toujours se réduire à une seule, et h un couple unique, lesquels sont, en général, situés dans des plans différents. Sur quoi l'on peut observer que la direction , la quantité et le sens de la résultante seront toujours les mêmes en quelque lieu qu'on ait pris Ypriginç, c'est-à-dire le point où l'on a transporté toutes les forces. En variant la position de ce point, la résultanle ne fera que se transporter parallèlement à ellemém^ en divers lieux de l'espace; mais le plan et la valeur du couple changeront nécessairement.

Lois de l'équilibre.

Mais, quelle que soit la position de l'origine , un couple ne pouvant jamais être tenu en équilibre par aucune simple force dirigée comme on voudra dans l'espace , il résnlte de ce que nous venons de dire qu'il ne pourra jamais y avoir équilibre entre les forces , à moins que la résultante et le couple résultant ne soient tous les deux nuls à la fois.

Ainsi, toutes les forces appliquées au corps , étant transportées parallèlement à elles-mêmes en un point quelconqiu, daipent s'y faire équilibre entre elles , et tous les couples qu'elles produisent en se transportant en ce point dçipeHt aussi se faire équilibre entre eux.

Telles sont les propriétés générales de l'équilibre , c*estrà-dire les conditions qui existent nécessairement dans l'équilibre de tout système libre. Elles fournissent les six équations connues, entre les forces décomposées suivant trois axes quelconques dans Tespace, et entre les couples décomposés suivant trois plans différents qu'on peut supposer conduits par ces axes.

A quoi se réduisent les conditions précédentes quand il y a un point fixe dans le système.

Ces trois dernières équations suffisent , lorsqu'il y a un point fixe dans le système , en supposant qu'on ait pris ce point pour l'origine : car la résultante , se trouvant dé~ truite par sa résistance, peut avoir telle valeur qu'on voudra, et il suffit que le couple résultant soit nul. On voit bien nettement par là que la pression exercée sur le point fixe est identiquement la même que si toutes les forces du système y étaient transportées parallèlement à leurs directions , car elles y sont actuellement transportées ; et pour les couples qu'elles ont produits y comme ils doivent être en équilibre d'eux-mêmes, c'est-à-dire quand bien même le corps ne serait pas soutenu , il est évident qu'ils ne peuvent nullement charger le point

Propriété nouvelle de Véquilihre d*un corps solide.

Lorsque des forces sont en équilibre autour d'un système quelconque invariable de forme , on sait qu'elles peuvent toutes varier proportionnellement à leurs grandeurs sans cesser de se faire équilibre. Mais on voit ici

qu^elles peuvent encore s'approcher ou s'éloigner toutes d'un même point quelconque, proportionnellement à leurs distances à ce point, sans que cet équilibre soit troublé : car, si chaque force se meut ainsi parallèlement à elle-même, dans le plan formé par sa direction et le point dont il s*agit, elle augmente ou diminue le couple qu'elle donne à son égard, dans le même rapport que sa distance à ce point, et, par conséquent, tous les couples du système conservent leurs positions, et demeurent proportionnels. Ainsi, la résultante et le couple résultant, étant une fois nuls, le seront toujours, et l'équilibre subsistera.

Condition nécessaire pour qu*un système quelconque de forces ait une résultante unique.

Les forces appliquées au système étant ramenées, comme nous venons de le voir, à une seule force et à un seul couple, si la force se trouve parallèle au plan du couple, on pourra amener ce couple dans un même plan avec elle, et les réduire tous deux à une force unique : et réciproquement, comme on a démontré qu'une force et un couple ne peuvent se réduire à une force unique sans être dans le même plan ou dans de^ plans parallèles, ce qui est ici la même chose, il s'ensuit que des forces dirigées d'une manière quelconque dans l'espace ne peuvent jamais se réduire à une seule , a moins que la résultante de toutes ces forces transportées parallèlement à elles-mêmes en un point quelconque n'ait une direction parallèle au plan du couple résultant.

C'est par là qu'on peut voir comment trois forces diri-

35o MÉMOIRE.

géeè daM de$ pkns différents peuvent se cottiposer en une seules Sans qu'il y ait aucune rencontre entre leui^ directions, et côrottient une force peut se dééottiposet suivant trois directions qui ne rencontrent pas la sienne et qui ne se rencontrent pas entre elles.

Expression analytique des propriétés précédentes.

Pour soumettre les propositions précédentes au calcul , concevons à l'origine où Ton transporte toutes les forces , trois axes quelconques, que nous prendrons rectangulaires entre eux , pour plus de simplicité dans les expressions.

Soient R la résultante générale ; X , Y, Z ses trois composantes suivant les axes des x, j, z; soient a, p, 7 les trois angles respectifs que sa direction forme avec eux.

On aura, par le parallélipîpède des forces,

R' = X' -h Y' -f- Z\ et

coSa=— j cosp = — 9 cos7 = — .

Or X, Y, Z sont respectivement égales aux sommes des forces décomposées parallèlement aux trois axes des a: , j, z. On trouvera doné facilement par ces équations la valeur et la direction de la résultante générale. La première condition de T^quilibre, qui vent que cette résultante soit nulle , donnera ce qu'on nomme les trois équations de Téquilibre de translation , qui reviennent à ce que la somme des forces estimées suivant trois axes quelconques soit nulle d'elle-même par rapport à chacun de ces axes.

MÉMOIRE. 35 f

Soient G le moment du couple résultant; L , M, N lei moments respectifs des trois couples dans lesquels il se décompose perpendiculairement aux trois axes des x, j, z; soient \, yij v les trois angles que forme avec ces axes la perpendiculaire au plan de ce couple, et que nous avons nommée Y axe du couple.

On anra , par le parallélipipède des couples ,

G' = L* -f- M' + N% et

COSÀ = ~i COStt=— 5 COSt> = 7;-* tr G G

Or on Yoit (n°" 102 et 105 de la Statique) que les couples L, M, N sont respectivement égaux aux sommes des moments pris dans Tacception ordinaire par rapport aux trois axes x, j, z, c'est-à-dire aux sommes des produits qui résultent des forces projetées sur chacun des plans coordonnés, multipliées par leurs distances à Taxe qui lui est perpendiculaire : on trouvera donc facilement, par les équations ci- dessus , la valeur et la position du couple résultant.

La seconde condition générale de l'équilibre, qui veut que ce couple soit nul, donnera ce qu'on appelle les équations de Téquilibre de rotation , qui consistent en ce que la somme des moments de toutes les forces, par rapport aux irois axes coordonnés, soit nulle d'ellemême relativement n chacun de ces axes.

Que ces sortes de produits , qu'on appelle moments, «Vtaicnt au fond que la mesure de certaines forces cachées^ que les couples ont mises en évidence.

On voit ici , par l'identité des couples avec les mo-

35a MÉMOIRE,

ments tels qu^on les considère ordinairement en Statique, quel rôle jouent ces sortes de produits dans la composition générale des forces et dans les lois de leur équilibre. A la vérité, dans Téquilibre d*un corps assujetti à tourner autour d*un axe fixe, les lois connues du levier nous montraient bien ces produits comme les efforts des puissances pour faire tourner le corps autour de cet axe , puisque Ton trouvait que la somme des moments des forces qui tendent à faire tourner dans un sens doit être égale à la somme des moments de celles qui tendent à faire tourner dans le sens contraire. Mais, lorsqu'il n'y avait aucun point d*appui, et que le système était parfaitement libre dans l'espace , les moments ne restaient plus dans les conditions de l'équilibre que comme de simples expressions de calcul, et perdaient cette espèce de signification que leur donne la présence d'un axe fixe , et qui les avait fait nommer moments par les anciens géomètres. Or, par la théorie des couples, ils reparaissent dans l'équilibre des corps libres, comme dans l'équilibre des corps gênés par des obstacles. Estimés par rapport à un point quelconque du corps , ils mesurent certains efforts particuliers que l'on peut concevoir comme engendrés par les puissances qui se transportent parallèlement à elles-mêmes en ce point, et qui, tandis que ces puissances s'y composent et s'y font équilibre à leur manière, doivent aussi se composer et se faire équilibre à la leur. Ce n'est pas qu'au fond , les valeurs des moments et des couples ne soient parfaitement les mêmes. L'analyse n'a pour objet que de simples rapports, et les diverses grandeurs, sous ses formulés, ne conservent plus aucune trace des premières idées

qu'on y avait jointes. Mais, en Géométrie comme en Algèbre y la plupart des idées différentes ne sont que des transformations; les plus lumineuses et les plus fécondes sont pour nous celles qui font le mieux image, et que Tesprit combine avec le plus de facilité dans le discours et dans le calcul : or les couples ont éminemment cet avantage sur les moments; et si Ton considère que la théorie des moments se présente d'ellen^me dans la réduction générale des forces et dans les conditions de leur équilibre; que, d'un autre côté, dans la Dynamique, la composition des mouvements de rotation est aussi nécessaire que celle des mouvements de translation pour l'analyse complète du mouvement d'un corps de grandeur sensible , on verra que la composition des couples exposée ci- dessus , tant par la symétrie des théorèmes que par la simplicité des démonstrations , vient se ranger naturellement à côté de la composition des forces , et forme ainsi la seconde partie essentielle des Éléments.

Équation de condition pour qu* un système de forces ait une résultante unique.

Nous avons vu tout à l'heure que si des forces quelconques sont réductibles à une seule , la résultante générale sera parallèle au plan du couple résultant. Pour exprimer cette condition dans le calcul , il n'y a donc qu'à exprimer que l'axe du couple est perpendiculaire à la direction de la résultante, ou que le cosinus de leur inclinaison mutuelle est nul. Mais, d'après les dénominations précédentes , le cosinus de cet angle est

cos a . cos> + cos p cos |x -f cosy . cos v ; STATigm P. 23

expression qui, étant égalée à zéro, après y avoir substitué à la place des cosinus leurs valeurs, donne sur-lechamp l'équation

XL4-YM-4-ZN = o,

qui établit la relation cherchée entre les forces et leurs moments estimés par rapport aux trois axes.

Équations de condition pour qu'il y ait une résultante unique qui passe en un point donné.

Mais si Ton voulait exprimer que les forces sont réductibles à une seule qui passe en un point donné , on transporterait l'origine en ce point, et l'on exprimerait que le couple résultant y est nul. Ainsi, a^ by c étant les coordonnées de la nouvelle origine, il suffirait , dans les expressions L , M , N , de mettre x — /? , X — b ^ z — c, à la place de or , j , z ; ce qui donnerait les nouveaux moments L', M', N', et l'on aurait les trois équations

qui nous font voir que la somme des moments doit être nulle par rapport à trois axes qui se croisent au point donné.

Si le point n'est pas donné , et qu'on cherche au contraire s'il y a dans l'espace quelque point où les forces peuvent donner un couple nul , on aura les trois mêmes équations , mais où a , byC seront alors les inconnues. Or, en les éliminant , on trouvera d'abord , entre les forces proposées , Téquation de condition XL -h YM -h ZN = o, sans laquelle les trois premières ne peuvent subsister, et qui nous redonne ainsi la condition d^une résultante unique , comme cela doit être.

Des couples ou moments rapportés à différents axes.

Le couple résultant G, décomposé perpendiculairement à un axe qui forme avec le sien un angle 0 , étant égal à G cos 0; si Ton nomme >', p', v' les trois angles que cet axe forme avec ceux des coordonnées , comme on a, par la Géométrie,

COSÔ = COSXCOS^' + COSft COSf*' -f-cosv cosv',

on trouvera

G cos 6 = L cos V -+- M cos p' -+- N cos v',

formule très-simple qu'Euler a donnée dans le tome VH des Nouveaux Actes de Pétersbourg , mais à laquelle il n'était parvenu que par de longs circuits d'analyse. Cette équation nous apprend que si Con connaît les sommes L , M , N , des moments par rapj)ort à trois axes rectangulaires^ on trouvera sur-le-champ la somme des moments par rapport à un axe quelconque , en multipliant ces trois sommes respectives par les cosinus des angles que les trois axes font avec le nouvel axe donné.

C'est ainsi qu'en Géométrie , pour projeter une ligne sur un axe quelconque, on peut d'abord projeter cette ligne sur trois axes rectangulaires; projeter ensuite ces trois projections sur Taxe donné , et ajouter ensemble ces projections de projections.

Du moment maximum entre les moments rapportés aux différents axes qui passent par un même point.

Puisque la somme des moments , par rapport A un axe

qui fait, avec celui du couple résultant, un angle 0 , est

G cos Ô , il s'ensuit :

1°. Que , de tous les axes qui passent par l'origiae, l'axe du couple résultant est celui par rapport auquel la somme des moments est la plus grande;

2®. Que la somme des moments est la même par rapport à tous les axes qui font un même angle avec celui du plus grand moment , ou qui forment une surface conique décrite autour de lui sous cet angle ;

3°. Que la somme des moments est nulle par rapport à tous ceux qui font cet angle droit y ou qui forment un plan perpendiculaire à sa direction.

L'axe et la valeur du moment maximum ne sont autre chose que Taxe et la valeur du couple résultant , et se déterminent par les mêmes équations. D'où Ton voit que le carré du moment maximum est égal à la somme des carrés des moments par rapport à trois axes rectangulaires , et que son axe est la diagonale du parallélipipède construit sur les trois lignes qui représenteraient sur ces axes les grandeurs respectives des trois moments précédents.

Ce sont les résultats que Laplace avait déjà tirés de l'Analyse j ils formaient de beaux théorèmes de Mécanique, et ils ne sont plus ici que des corollaires évidents de la composition des couples.

Mais voici de nouvelles conséquences, entièrement dues à nos principes, et qui achèvent toute la théorie des moments.

MÉMOIHK. 357

Du moment minimum entre Vinfinite des moments maxima relatifs a tous les points de V espace.

Observons que tout ce que nous venons de dire est relatif à l'origine que l'on a choisie pour y transporter toutes les forces. En prenant cette origine ailleurs, la quantité, le sens de la résultante générale, ne changent pas, et sa direction demeure toujours parallèle à ellemême; mais le moment maximum varie de grandeur, et son axe sMncline sur sa première position. Pour chacun des points de l'espace , considérés successivement comme origines, il y a donc un axe autour duquel la somme des moments est un maximum relativement à tous les axes qui se croisent au même point. On pourrait donc demander en quel lieu il faudrait prendre l'origine ou le centre des moments, pour que le moment maximum y fût plus petit que partout ailleurs, et, par conséquent , fut le minimum des moments maxima relativement à tous les points de l'espace.

Pour trouver facilement la position de ce point, regardons toutes les forces comme réduites à une seule et à un couple , par rapport à un point quelconque connu , et suivons les variations qu'éprouve ce couple parle déplacement de l'origine.

D'abord il est visible qu'en déplaçant l'origine dans la direction même de la résultante générale, le couple résultant ne change pas ; car le couple que fournit la résultante en se transportant en un autre point de sa propre direction est nul de lui-même, et le couple primitif n'est pas altéré. Nous voyons donc que les moments maxima sont constants pour toutes les origines

prises le long d'une même droite parallèle à la direction de la résultante générale , et que leurs axes sont parallèles entre eux. Ainsi , tout ce que nous avons dit plus haut des moments par rapport aux axes qui se croisent en un même point subsiste de la même manière et avec ks mêmes valeurs, pour tous les points de la direction de la résultante qui y passe.

Supposons donc que Forigine s'écarte de cette direction, et soit tellement placée dans Tespace, que le couple résultant soit perpendiculaire à la direction de la résultante : je dis qu'alors ce couple est dans la position du minimum ; car si Ton déplace actuellement Torigine d^une manière quelconque , il ne pourra qu'augmenter. En effet , la résultante , en changeant de positioî\, produira un couple perpendiculaire sur le premier ; et puisque ces deux couples sont rectangulaires , ils dcnneront par leur composition le nouveau couple résistant plus grand que l'un ou l'autre d'entre eux : donc le premier couple résultant aura augmenté ; donc il se ihtr vait dans la position du minimum lorsqu'il était perp#diculaire à la direction de la résultante générale , ou lov que son axe coïncidait avec elle. ^^

Comment on détermine Vaxc du couple minimum^

Soient donc G une ligne qui représente à la fois l'axe efij valeur du couple résultant par rapport à un point connue R une autre ligne qui représente la valeur et la direction! de la résultante en ce point ; «p l'angle que forment ces deujj droites.

Pour avoir l'origine du couple résultant minimum 3 il faudra transporter la résultante R parallèlement

MÉMOIRK. 359

elle-même, dételle sorte et d'une telle quantité />, que le couple Kp qu'elle produira, étant composé avec le couple primitif G, forme un couple résultant dont l'axe soit B.

L'axe du couple Kp doit donc être dans le plan des deux lignes R et G qui font un angle «p; d'ailleurs , il est nécessairement perpendiculaire à la direction R ; donc on aura , par le parallélogramme des couples ,

Rp = G sin f , «l, pour la valeur K du couple minimum ,

K = Gcosf.

Ainsi y en élevant au sommet de Tanglecp, et sur le plan

de cet angle, une perpendiculaire p = — s~"^» ^' "™^"

nant par l'extrémité de cette perpendiculaire une parallèle à la direction de la résultante générale, on aura Taxe du minimum des moments maxima, et l'origine pourra être prise partout où Ton voudra sur cet axe. Si l'on veut tout rapporter aux trois axes coordonnés , sdent a, p, 7 les inclinaisons de R sur ces axes^ et X, ^, y celles de G sur les mêmes lignes; on aura, pour l'inclinaison mutuelle ^ de R et G ,

ces y = cos a cosX -f- cos p cos fx H- cos 7 cos V ;

bien, en mettant, au lieu des cosinus, leurs valeurs précédemment,