XL -h YM -4- ZN

^^ = RG '

itfoù Ton tire

^ XL -f- YM 4- ZN K = =: y

36o MÉMOIRE.

expression très- simple de la valeur du couple minimum K.

Actuellement, soient a^ by c les trois coordonnées de l'extrémité de la perpendiculaire p\ on aura d'abord «* H- 6' -f- c^ = /?% qui donne , en mettant pour p

sa valeur ,

Ensuite , comme p est à la fois perpendiculaire à R et à G , il est clair qu'on aura

âX H- ^'Y-i-cZ = o, aL + ^»M-f- cN = o;

ce qui fait trois équations au moyen desquelles on pourra déterminer a' , ^ , c , et , par conséquent , la position de l'axe du couple minimum dans l'espace.

De l'axe central des moments.

Cet axe remarquable y où la somme des moments est à la fois un maximum relativement aux axes qui se croisent au même point que lui , et un minimum relativement à ceux qui donnent les moments maxima aux divers points de l'espace , pourrait se nommer Taxe central des moments ; et cette dénomination , déjà motivée en ce qu'il jouit d'une propriété exclusive par rapport à tous les autres , se trouve pleinement justifiée , si l'on observe qu'aux mêmes distances autour de lui , les moments maxima sont les mêmes, et que leurs axes ont , à son égard , des positions semblables.

En effet , le même raisonnement qui nous a fait passer

toat à rheure du couple résultant G au couple minimum Ky nous ramène, dans Tordre inverse, de celui-ci au premier, et par les mêmes équations ,

R/? = G sin y , et K = G cos ç.

Mais ici, de quelque côté qu'on transporte la résultante R , pourvu que ce soit à une même distance p de sa position actuelle ou de l'axe central, on trouvera toujours un couple résultant G de même valeur, et une même inclinaison ^ entre son axe et la résultante ; et , de plus , le plan de ces deux droites sera toujours perpendiculaire à la ligne p : puisque , si tout cela n'avait pas lieu comme ci-dessus, en ramenant la résultante dans l'axe central , on ne retrouverait plus le même couple minimum K, ce qui ne peut pas être.

Les moments maxima sont donc constants , non-seulement pour toutes les origines prises le long d'une parallèle à la résultante y comme nous V avions déjà remarqué, mais encore pour toutes les origines prises sur le cylindre que décrirait cette droite autour de l'axe central qui lui est parallèle.

Pour les axes de ces moments, tant que l'origine ne sort pas d'une même génératrice de ce cylindre, ils demeurent parallèles entre eux et forment un plan ; mais si l'origine passe d*une génératrice à l'autre par la circonférence dun cercle , ils forment une hyperboloïde de révolution autour de l'axe central.

Les moments maxima G ne varient donc qu'avec les distances p de leurs origines à Taxe central , et les deux équations précédentes nous donnent

G= = RV' -\- K%

équation qui nous fait voir que ces moments croissent , pour les origines prises à différentes distances de l'axe central, comme les ordonnées d\me hyperbole dont ces distances seraient les abscisses : ainsi leurs valeurs augmentent sans bornes, et il n'y a pas de moment maximum maximorum ; ce qui était d'ailleurs assez évident de soi-même.

On a , de plus , tang y = -^ 9 ce qui donne les incli- K.

naisons des axes des moments maxima sur l'axe central ,

et nous montre que leurs tangentes varient dans le rapport

des distances de leurs origines à cet axe.

Remarquons encore que, dans le cas où la résultante générale est nulle, on a, par la première équation, G = K , quelle que soit la valeur de/?.

Lors donc que les forces appliquées sont telles , qu'étant transportées en un même point , elles se font équilibre entre elles, les moments maxima sont les mêmes pour tous les lieux de l'espace , et leurs axes sont tous parallèles.

Si les forces appliquées ont une résultante unique, comme on a pour cette condition cos ^ = o , l'équation K = G cos cp donne K = o ; c'est-à-dire que le moment minimum maximorum est nul , comme il est clair que cela doit être , puisque l'origine tombe alors sur la direction même de la seule force à laquelle se réduisent toutes celles du système.

Classification de tous les axes de l* espace auxquels on voudrait rapporter les moments d'un système de forces.

Telle est donc la théorie générale exposée ci-dessus, que tous les axes de l'espace auxquels on peut rapporter

les moments d*iin système quelconque de forces peuvent être distingués et classés entre eux de la manière suivante :

D'abord, si, pour simplifier les choses, nous ne considérons que les axes qui se croiseraient aux divers points qu'on peut prendre sur un même plan perpendiculaire à la direction de la résultante, nous observons :

i*'. Que, parmi tous les axes qui se croisent en un même point, il y en a un seul distingué de tous les antres, en ce que la somme des moments y est un maximum.

Les autres se classent autour de lui en diverses surfaces coniques circulaires dont il serait Taxe commun. Pour tous ceux qui forment la même surface, les moments sont égaux , et ils varient d'un cône à l'autre en raison des cosinus des angles sous lesquels ces cônes sont décrits.

2P. Parmi tous les axes qui donnent les moments maxima relativement aux divers points du plan , il y en a un seul distingué de tous les autres, en ce qu'il donne le plus petit de ces maxima , ou le minimum maximorum des moments.

Les autres axes des maxima se classent autour de lui en diverses surfaces d'hyperboloïdes de révolution dont il serait l'axe commun. Pour tous ceux qui forment la surface d'un même hyperboloïde , les moments maxima ont la même valeur, et ils varient d'un hyperboloïde à l'autre, suivant les lois que nous avons données ci- dessus.

Actuellement, tout ce que nous venons de dire relativement aux diverses origines prises dans un même plan perpendiculaire à la résultante subsiste de la

même manière , et avec les mêmes valeurs , pour tous les lieux qu'occuperaient successivement tous ces points en transportant le plan parallèlement à lui-même. Les moments maxima restent les mêmes autour des mêmes axes qui deviennent parallèles; et comme il n*y a^ parmi eux , que Taxe du moment minimum maximoram qui soit perpendiculaire au plan mobile, on voit qu'il est le seul qui n'ait absolument qu'une même position dans Tespace; que , de plus , tous les axes qui ont à son égard des positions semblables donnent les mêmes moments ; et c'est ce qui nous a fait nommer cet axe unique , \axe central des moments. .

Au reste, les résultats précédents, tirés des raisonnements les plus simples, pourraient aussi se déduire du calcul par la méthode ordinaire de maximis et mU nimis; et Ton trouve aisément, pour l'axe du moment minimum maximorum, les équations suivantes :

(N -h Yj? — Xj) Y— (M 4- X« — Zr)Z=ro, (L -+- Z^ — Yz ) Z — ( N 4- Y^ — Xj-) X = G, (M -H X3 — Z^ ) X — ( L 4- Z^ — Yz ) Y = o,

où jr , ^ , z sont les coordonnées de cette droite par rapport à trois axes autour desquels les sommes ' respectives des moments sont L , M , N , tandis que X , Y , Z sont les sommes des forces décomposées parallèlement aux mêmes axes.

L'une quelconque de ces équations est une suite nécessaire des deux autres, et, par conséquent, elles ne représentent qu'une seule et même ligne droite , laquelle est manifestement parallèle à la direction de la résultante générale des forces.

On trouve encore, ppiir le lieu de tous les points

relativement auxquels les moments maxima sont égaux et représentés par H , Téquation suivante :

(L — Yz -f- Zj)' -H (M — Zr -1- Xz)»

-H(N — Xr + Yr)' = H%

qui appartient à une surface cylindrique à base circulaire décrite autour de la première droite, ce qui est conforme à ce que nous avons vu précédemment.

Mais nous ne nous arrêterons pas à ces détails , et nous passerons sur-le-champ aux applications de la théorie des moments à la Dynamique.

Application de la théorie précédente h la Dynamique.

Soient tant de corps libres qu'on voudra qui se meuvent, sans aucune dépendance mutuelle, avec des vitesses uniformes suivant des droites quelconques, dans Tespace.

Puisque chaque corps se meut uniformément en ligne droite , la force qui Tanime demeure constante et de même direction.

Donc la résultante générale de toutes les forces qui ariiment les corps du système , et leur moment résultant par rapport à un point fixe quelconque, demeurent constamment les mêmes dans tout le cours du mouvement.

Conser\>ation des forces et conservation des moments.

Actuellement , si Ton suppose que tous ces corps , qui étaient libres, viennent tout à coup à se lier ensemble d'une manière quelconque, et à réagir encore les uns

sur les autres en vertu de nouvelles forces quelconques , «nais réciproques , c'est-à-dire telles qu'entre deux corps l'action soit toujours parfaitement égale et contraire à la réaction, ce qui comprend toutes les forces de la nature ; les mouvements individuels des différents corps seront changés , et les forces qui les animent varieront de grandeurs et de directions, et continueront de varier à chaque instant du mouvement. Mais ce qui est bien remarquable, et forme un des plus beaux principes de la Dynamique, c'est que la résultante générale de toutes ces forces , et leur moment résultant par rapport au point fixe, demeureront toujours les mêmes qu'auparavant, et seraient encore conservés si tous les corps redevenaient libres , et que chacun d'eux s'échappât en ligne droite avec la nouvelle vitesse dont il est actuellement animé.

Démonstration très-simple de ces deux lois générales.

Ce pnncipe, qui se déduit des équations différentielles du mouvement, peut aussi se démontrer par un raisonnement si simple , que je ne crois pas devoir l'omettre ici.

Il est clair, en effet, que si chaque corps, à cause de sa liaison avec les autres, ne peut plus obéir pleinement à rimpulsion qu'il a reçue, sa force se décompose en deux autres, l'une qui est détruite, et l'autre qui subsiste actuellement. Tout se passe comme à la rencontre d'un obstacle invincible, excepté que la composante, qui serait anéantie par l'obstacle, va se reporter sur les autres corps qui la détruisent par leur action. La force de chaque corps étant ainsi remplacée par (kiix semblables composantes, la résultante de

MÉMOIRK. 367

toutes ces nouvelles forces et leur moment résultant sont toujours les mêmes qu'avant cette substitution. Mais les composantes, qui se font équilibre entre elles, donnent leur résultante et leur moment résultant nuls, comme nous Tavons vu dans les lois générales de Féquilibre : donc la première résultante et le premier moment résultant sont conservés, et n*ont souffert aucune altération par l'action mutuelle des différents corps du système. Quant aux autres forces qui pourraient exister entre ces corps , comme elles sont réciproques , c'est-àdire deux à deux égales et contraires, elles ne changent rien non plus aux valeurs précédentes, car leur résultante et leur moment résultant sont évidemment nuls d'eux-mêmes.

On voit donc que , dans un système de corps qui ont reçu des impulsions primitives, et qui réagissent d'une manière quelconque les uns sur les autres^ la somme de toutes les forces qui les animent, estimées suivant une même droite, et la somme de leurs moments estimés autour d'un même axe fixe quelconque , demeurent constamment les mêmes, malgré les variations qu'éprouvent les mouvements individuels des corps, et soit que ces mouvements changent par des nuances insensiùles, soit qu'il survienne entre eux des changements brusques par l'action réciproque des corps , ou par toute autre liaison nouvelle qu'on voudrait établir subitement entre ces corps.

Ces deux propriétés générales du mouvement correspondent, en quelque sorte , aux deux propriétés générales de l'équilibre; les mêmes sommes qui doivent être nulles dans l'état d'équilibre demeurent constantes dans l'état de mouvement , et la conseï vation des forces et des nio

ments, présentée de cette manière, subsiste égatement pour toutes les lois possibles entre la force et la vitesse du corps en mouvement.

A quoi yépondent les lois précédentes dans la nature, — Conservation du mouvement du centre de gravité; conservation des aires.

Dans la nature, la force à\\n corps en mouvement se mesure par le produit de la masse et de la vitesse; et le premier principe répond à la conservation du mouvement du centre de gravité, qui consiste en ce que ce centre se meut toujours uniformément en ligne droite, et de la même manière que si tous les corps du système y étaient réunis et que les forces qui les animent s'y fussent transportées parallèlement à ellesmêmes.

En effet , puisque la somme des forces estimées suivant une même droite est constante, on peut dire que la somme des vitesses de toutes les molécules égales du système, et, par conséquent, leur moyenne vitesse pour s'éloigner d'un plan perpendiculaire à cette- droite , est aussi une quantité constante. Or, à chaque instant, les vitesses des molécules sont mesurées par les petits accroissements, positifs ou négatifs, de leurs distances au plan que je considère : ainsi, la moyenne vitesse n'est autre chose que le moyen accroissement ou l'accroissement de la moyenne de toutes ces distances, et, par conséquent, c'est la vitesse même du point qui est le centre de gravité de tout le système. Donc la vitesse de ce point, estimée suivant une droite quelconque dans l'espace, est toujours la même; et, comme elle repré-

MKMOIKK. 369

sente la moyenne vitesse de toutes les molécules , elle s'tîxprime par la somme de toutes les vitesses, divisée par leur nombre , ou par la somme de toutes les forces divisée par la masse entière du système.

Si Ton prend, pour cette droite à laquelle on rapporte les forces, la direction même de la résultante générale , on voit que le centre de gravité se meut précisément dans cette direction ; car si Ton cherchait actuellement la vitesse de ce centre , pour s'éloigner d*UTi plan quelconque mené suivant cette droite, on trouverait cette vitesse nulle, puisque la somme des forces, estimées dans un sens quelconque perpendiculaire à la résultante générale, est toujours nulle.

Ainsi , le centre de gravité du système se meut uniformément ^ en ligne droite, dans ta direction même de la résultatite générale , et sa vitesse est exprimée par cette résultante divisée par la masse entière du système.

Si cette résultante générale est nulle, et qu'ainsi toutes les forces appliquées soient réductibles à un couple , \v centre de gravité du système reste donc en repos dans l'espace , quels que soient les mouvements particuliers des différents corps qui le composent.

Si tous ces corps sont liés entre eux de manière à former un système invariable de figure, le système ne peut donc avoir qu'un mouvement de rotation autour du centre de gravité ; d'où Ton voit que l'effet d'un couple sur un corps ou système solide est de le faire tourner autour d^in point déterminé , qui ne dépend ni de la grandeur ni de la direction du couple appliqué, mais uniquement de la figure du corps, ou plutôt de la disposition mutuelle des différentes particules qui le composent. Ainsi, le centre de gravité des corps se

Statique P. 24

i'jO MÉMOIRE.

présente d'une manière aussi naturelle dans la théorie du mouvement que dans celle de l'équilibre : et il ne faut pas, avec quelques géomètres, le regarder seulement comme un point qu'il est préférable de cboi»r, parce que certaines expressions analytiques qu'on y rapporte se simplifient , ou que certaines intégrales , s'y évanouissent , mais bien comme un point dont la considération s'offre d'elle-même dans la nature , et vient , pour nous , de cette loi qui fait simplement la force proportionnelle à la vitesse. On doit dire la même chose de ces trois axes principaux de rotation , autour desquels un corps peut tourner librement , parce que les forces centrifuges s'y contre-balancent. C'est en vertu de cette même loi dont je viens de parler, qu'il y a de tels axes dans tous les corps, qu'il y en a trois, qu'ils passent au centre de gravité et qu'ils sont rectangulaires entre eux.

Mais je passe au second principe de la conservation des moments. Si Ton prend un point ûxe quelconque, et que, de ce point fixe on /oj-er, on mène à tous les corps du système des rayons vecteurs, en projetant toutes ces droites sur un plan quelconque, on verra fa* cilement que le moment de chaque force , par rapport à un axe perpendiculaire au plan de projection , et passant par le foyer , est proportionnel au produit de la masse du corps par l'aire que trace sur ce plan la projection de son rayon vecteur.

Ainsi, dans la loi de la nature, la conservation des moments revient à la conservation des aires , qui consiste • en ce que la somme des produits des corps par les aires respectives que tracent les projections de leurs rayons vecteurs sur un plan fixe quelconque mené par le foyer ,

MÉMOIRK. 371

est proportionnelle au temps , c'est-à-dire est toujours la même, en temps égal , pendant tout le mouvement du système.

Si toutes les niasses du système étaient égales entre elles y on n'aurait pas besoin de considérer leurs produits respectifs par les aires précédentes , mais simplement ces aires elles-mêmes; et le théorème reviendrait à ce que la somme des aires décrites par les rayons vecteurs autoui' du foyer est toujours égale en temps donné. G*«st ainsi qu'on peut toujours énoncer le principe des aires, mais en supposant que les masses du système soient divisées en parties égales, et qu'on ait tiré du foyer des rayons vecteurs à toutes ces parties.

Plan du maximum des ^ires.

Gela posé, puisque les aires tracées par les rayons vecteurs ne sont autre chose que les moments des forces , il s'ensuit qu'on peut appliquer à la composition des aires, tout ce que nous avons dit de la composition des moments.

Et d'abord , on voit que, parmi tous les plans menés par le même foyer, et qui reçoivent de la part des rayons vecteurs des aires différentes, il y en a un seul qui reçoit la plus grande ; et si Ton nomme L, M, N les sommes respectives des aires tracées sur trois plans rectangulaires quelconques , menés par le foyer, on aura pour la valeur G de l'aire, qui est un maximum ,

Et, à regard du plan qui la reçoit, si Ton nomme À , |x , v les trois angles respectifs qu'il forme avec les trois pre-

i^T. MÉMOIRE.

uiiers , on aura, pour les cosinus de ces angles ,

C0S>~~, COSfA=^, cosv=— ,

ce qui détermine sur-le-champ la position de ce plan remarquable.

Lorsque Ton connaît Taire maximum G, et le plan sur lequel elle tombe , on trouve facilement les aires que reçoivent les divers plans menés par le foyer. Car, 9 étant l'angle que forme un plan quelconque avec celui du maximum des aires, on a pour Taire décrite sur ce nouveau plan , G cos Ô. D'où Ton voit que les aires sont égales sur tous les plans qui font le même angle avec celui du maximum , ou qui touchent un cône décrit sous le complément de cet angle autour de Taxe perpendiculaire à ce dernier plan; que, de plus, elles sont nulles quand Tangle 9 est droit , c'est-à-dire sur tous les plans perpendiculaires à celui du maximum.

Plan du minimum ries aires maxiina.

Actuellement , parmi tous les plans qui donnent les aires maxima, relativement aux divers points de Tespace considérés comme foyers , il y en a un seul qui donne le minimum de ces maxima, ou Taire minimum maximorum.

Ce plan est perpendiculaire à la direction de la résultante générale , ou du mouvement commun qui emporte le système. Son axe , c'est-à-dire la perpendiculaire qui y serait élev^ée au foyer , se trouvera absolument de la même manière que Taxe central des moments, et le foyer pourra être pris partout où Ton

MÉMOmE. 373

voudra sur celte droite. Pour Ions les foyers (jui en seraient aux mêmes distances dans un ])lan perpendiculaire, les aires maxima auront les mêmes valeurs, et leurs plans seront perpendiculaires aux diverses génératrices d'un hyperboloide de révolution décrit autour de cet axe central. D'ailleurs, ces aires maxima et les inclinaisons de leurs plans varieront, en vertu des distances précédentes, d'après les mêmes lois que nous avons données plus haut ; et Ton trouvera sur les aires tous les théorèmes analogues à ceux qui ont été rapportés sur les moments.

Usage fie ces plans; de ceux qu il faut choisir pour y rapporter les corps du système.

Cette constance des aires décrites sur des plans qui restent immobiles au foyer nous donne d'abord l'idée de les observer sur les plans auxquels nous rapportons les différents corps , afin qu'à toutes les époques du mouvement nous puissions retrouver la position de ces plans, et reconnaître les changements survenus dans le système. Mais, d'après ce que nous venons de dire, on voit qu'il y a un choix à faire entre ces plans coordonnés. Car si un plan qui reste immobile au foyer reçoit constamment la même aire de la part des rayons vecteurs, un plan qui recevrait constamment une même aire donnée ne serait pas pour cela immobile; il pourrait se mouvoir d'une manière quelconque tangenliel- Icnient à un certain cône décrit autour du foyer. Donc , si Ton avait rapporté primitivemcnl tous les corps du système ii un certain plan, et qu'on ne sut rien autre chose de ce plan , sinon cpril recevait une aire

donnée , on ne pourrait plus reconnaître actuellement sa position dans l'espace , parce qu'il a pu chan> ger , ou , plus exactement , parce qu'il y en a une infinité d'autres qui jouissent de la même propriété que lui.

Mais si Ton savait que le plan cherché était , entre tous ceux qui passent au même foyer, celui qui recevait Taire la plus grande, on le retrouverait sur-lechamp, parce qu'il est unique, et jouit d'une propriété exclusive par rapport à tous les autres.

C'est donc ce plan qu'il faut choisir , de préférence à tous ceux qui passent en un même point ^ pour y rapporter les différents corps du système ; et , sans connaître la grandeur de l'aire qui y est décrite, on pourra retrouver sa position dans tous les temps, pourvu qu'on connaisse le point fixe d'où partaient les rayons vecteurSy ou du moins quelque autre point fixe qui soit, avec le premier, dans la direction du mouvement général ; car nous avons vu que , pour ce nouveaa foyer, le plan de l'aire maximum serait parallèle au premier.

Si l'on ne connaissait point la position de ce foyer, quand bien même on saurait que Taire maximum décrite sur le plan cherché avait une valeur donnée , on ne pourrait pas encore distinguer ce plan d'une infinité d'autres perpendiculaires aux génératrices d'un certain hyperboloïde de révolution , parce que chacun de ces plans jouirait de la même propriété de recevoir une aire égale , et maximum entre celle des plans qui se croiseraient avec lui au même point.

Mais si Ton ajoutait que Taire maximum dont il s'agit était le minimum des aires maxima relatives aux

MÉMOIRK. 375

divers foyers de l'espace, on retrouverait sur-le-clianip la position du plan cherché , parce qu*il jouit non-seulement d'une propriété exclusive par rapport à ceux qui passeraient au même foyer, mais encore d'une autre propriété exclusive par rapport à tous ceux qui auraient la première commune avec lui.

C'est donc ce nouveau plan qu'il faut choisir de préérence à tous ceux de l'espace; et l'on en pourra retrouver la position à toutes les époques, sans connaître ni la grandeur de l'aire qui y est décrite, ni le point qu'on a pris pour centre des rayons vecteurs. Mais, pour le déterminer, il faudra toujours avoir quelque point fixe d'où Ton puisse partir actuellement , et connaître en outre la grandeur et la direction de la résultante générale qui emporte le système dans l'espace.

Dans le cas des aires relatives, que l'aire minimum maxiraorum est la même que Vaire maximum autour d'un foyer quelconque.

Lorsqu'on ne connaît aucun point fixe auquel on puisse rapporter les rayons vecteurs, et qu'on partage les mouvements des corps eux-mêmes que l'on considère, on ne peut plus observer que des aires décrites autour de foyers mobiles dans la direction du mouvement général. Or ces aires sont alors les mêmes que si le mouvement général était nul , ou que le centre de gravité du système fût en repos.

On a pu voir, en effet, par l'équation G' = K'-f- R'/^S qu'un moment maximum G, relatif à une certaine origine, se compose du moment minimum maximorum K, et du moment R/^ de la résultante générale par la distance de l'axe central à cette origine. De même l'aire maximum,

par rapport à un foyer fixe , est la résultante de l'aire minimum maximorum et de Faire qui est décrite pai' le rayon vecteur de la masse entière du système, considérée comme réunie dans Taxe central , et animée , suivant cet axe, de la vitesse commune. Si donc le foyer que Ton considère, au lieu d*étre ^liA dans Tespace, se meut avec la vitesse commune parallèlement à l'axe central , cette partie des aires qui sont décrites en vertu du mouvement général disparaît d'elle-même ; et les aires observées sont parfaitement les mêmes que si la résultante générale était nulle, ou que le centre de gravité du système fût en repos dans l'espace .

Mais, quand la résultante générale est nulle, les aires maxima sont égales pour tous les foyers de l'espace, et leurs plans sont tous parallèles ; donc alors le foyer de l'aire minimum maximorum peut être pris partout où l'on voudra.

Application au système du monde.

Ainsi, dans le système du monde, comme on ne connaît aucun point û\e auquel on puisse rapporter les différents corps célestes , et qu'on ignore d'ailleurs dans quel sens et avec quelle force ce système est entraîné dans l'espace, on ne peut déterminer ni le plan ni la valeur de l'aire minimum maximorum , et l'on peut choisir simplement le plan du maximum des aires, relativement à un point quelconque qui se meuve en ligne droite avec la vitesse commune du système. On peut donc prendre le foyer au centre de gravité , qui jouit de cette propriété dans tout le cours du mouvement; et c'est ce qu'a fait l'auteur de la Mécanique céleste, qui, le premier, a

considéré ce plan dans notre système planétaire, et qui lui a donné le nom de plan invariable.

Au reste, on peut encore prendre le foyer au centre de l'un quelconque des corps considéré comme fixe à chaque instant, c'est-à-dire comme actuellement privé de sa vitesse relative : ce point , n'ayant plus alors que la vitesse commune, sera dans le même cas que le centre de gravité. Ainsi, le plan de Taire maximum relative à ce point sera parallèle au premier, et recevra la même aire.

Si donc, pour considérer également tous les corps du système, on prend successivement les aires élémentaires décrites autour de chaque corps par tous les autres , en multipliant ces diverses sommes par les masses respectives des corps qui ont servi successivement de foyers , on trouvera, en les ajoutant, tous les produits des masses prises deux à deux , multipliés par les aires qu'elles tracent dans le même temps, l'une autour de l'autre considérée comme immobile.

Le plan dont nous avons parlé jouit donc encore de cette propriété remarquable, que la somme des produits précédents y est un maximum , aussi bien que sur tous ceux qui lui sont parallèles; et l'on voit que cette somme n'est autre chose que l'aire maximum relative au centre de gravité, multipliée par la masse entière du système. C'est ainsi que Laplace présente encore la théorie de ce plan invariable , en ramenant le principe des aires à des relations entre les distances mutuelles des différents corps du système.

Ce plan forme en quelque sorte Timmuable équatcur du système du monde. Quels que soient les changements que la suite des siècles umènc entre les corps

célestes, il demeurera toujours parallèle à lui-même; et, puisqu'on en peut retrouver la position dans tous les temps, comme on retrouve celle du centre de gravité, on aura toujours, en y rapportant tous les corps du système, le moyen de comparer d'une manière précise les observations de l'Astronomie faites aux époques les plus éloignées.

Nous rappellerons encore ce corollaire remarquable de la théorie précédente, que, dans un système de molécules solides et fluides , animées primitivement par des forces quelconques et soumises à leur action mutuelle, s'il arrive qu'après un grand nombre d'oscillations ces molécules se fixent à un état permanent de rotation autour d'un axe invariable passant par leur commun centre de gravité ( et Ton conjecture avec assez de vraisemblance que c'est le cas des corps célestes), alors leur équateur, ou le plan perpendiculaire à cet axe, sera parallèle à celui qui recevait , à l'origine du temps , le maximum des aires relativement au centre de gravité.

Mais nous n'étendrons pas plus loin ces dernières considérations, qui ont été assez approfondies par le géomètre que nous avons cité. Notre objet principal était de fonder une nouvelle théorie des moments e^ des aires, d'étendre et de simplifier à la fois toute cette partie de la Mécanique , et de faire passer ainsi dans les Éléments les plus beaux théorèmes qu'on y eût trouvés jusqu'ici.

Remarque nouvelle sur les aires.

Nous finirons par faire observer, sur la loi des aires, que les plans ne sont pas les seules surfaces sur lesquelles elles se conservent sans altération pendant le mouve-

MKMOIRE. 379

ment du système. La mémo propriété appartient aussi à toute surface conique circulaire dont le sommet est placé au foyer des rayons vecteurs ; mais il faut projeter ces rayons sur le cône par des lignes parallèles à son axe.

Les aires décrites sur les surfaces de différents cônes de même axe et de même sommet seront réciproquement proportionnelles aux sinus des angles sous lesquels ces cônes sont décrits; d'où Ton voit que le cône qui recevra l'aire la plus petite sera le cône décrit sous l'angle droit autour de Taxe commun , c'est-à-dire le plan perpendiculaire à cet axe.

Entre tous les cônes semblables de même sommet, mais d*axes différents, il y en aura un seul sur la surface duquel Taire tracée par les rayons vecteurs sera un maximum.

Parmi tous ceux qui donneraient de même les aires maxima relativement aux divers foyers de l'espace , il y en aura un seul qui donnera le minimum de ces aires maxima .

Pour les axes de ces cônes remarquables, ils ne sont autre chose que les axes des moments ou des aires qui jouissent des propriétés analogues, et ils se détermineront absolument de la même manière. Enfin Fon trouvera, en considérant les aires tracées sur des cônes quelconques semblables, tous les théorèmes que nous avons donnés par rapport aux aires qui sont tracées sur de simples plans.