THEORIE ET DETERMINATION

i;équateur du système solaire.

Je vais développer dans ce Mémoire les recherches nouvelles que j'ai présentées à TAcadémie le 24 mars 1828, et qui ont pour objet l'une des questions les plus élevées du système du monde. Il s'agit de la détermination exacte du seul î)lan des aires qui soit vraiment invariable dans notre système planétaire, et qui en forme en quelque sorte l'immuable équateur ; car le plan que Laplace a nommé invariable , [et déterminé comme tel dans sa Mécanique céleste y n'est point le véritable; et nous allons voir qu'à cet égard , l'analyse <le l'auteur avait besoin d'être rectifiée. Mais, auparavant, je crois devoir rappeler les premières idées qui ont donné naissance à la théorie des aires, afin de jeter un nouveau jour sur l'origine et la suite naturelle de ces considérations.

On a vu que, dans le mouvement de plusieurs corps qui réagissent d'une manière quelconque les uns sur les autres, mais dont le système est supposé parfaitement libre de toute action étrangère, si Ton projette

sur un plan les aires que tracent, autour d'un point fixe ou foyer, les rayons vecteurs menés de ce foyer à toutes les molécules égales du système, la somme de ce^ aires projetées demeure constante , c'est-à-dire est toujours la même en temps égal, malgré les variations qu'éprouve chacune d'elles par Taction réciproque des différents corps; et c'est dans cette propriété générale du mouvement des systèmes que consiste le principe si connu de la Conservation des aires.

Les géomètres ne se sont pas élevés tout d'un coup à cette loi générale de la Dynamique. L'origine de ces idées remonte à Kepler, qui le premier imagina de considérer l'aire du secteur que décrit le rayon vecteur d'une planète dans son mouvement autour du soleil. Et si Ton cherche ce qui a pu lui donner cette idée , on trouvera , ce me semble, qu'il y parvint, non point par hasard comme on pourrait le croire d'abord , mais par une certaine marche naturelle , que je veux indiquer en passant, parce qu'elle se retrouve dans toutes nos recherches , et qu'elle résulte , pour ainsi dire , de la nature même de l'esprit humain.

Et, en effet, nous ne connaissons en toute lumière qu'une seule loi : c'est celle de la constance et de l'uniformité. C'est à cette idée simple que nous cherchons à réduire toutes les autres , et c'est uniquement dans cette réduction que consiste pour nous la science. Ainsi, quand nous étudions les choses qui changent pour découvrir ce qu'on appelle la loi de leurs variations, notre unique objet est de trouver ce qu'il peut y avoir d'uniforme et de

constant au milieu de ces choses qui varient. Que si, avec le temps et par un nouvel examen , nous venons à reconnaître que des rapports qui nous avaient paru constants sont eux-mêmes variables, il nous faut faire un nouveau pas. Mais notre marche est toujours la même; car alors ce n*est plus dans ces rapports, mais dans quelque autre formé de leur combinaison, que notre esprit va rechercher cette loi de constance qui avait , pour ainsi dire , échappé à ses premières conclusions. Tel est , je crois, le mouvement naturel de l'esprit humain, mouvement qu'on pourrait même remarquer dans la Géométrie et dans TAnalyse, mais dont TAstronomic nous offre ici rimage la plus sensible.

Ainsi , les anciens astronomes , d'après les premières apparences des mouvements célestes , avaient cru naturellement que les planètes décrivaient dans leur cours des cercles parfaits, et qu'elles les décrivaient d'un mouvement uniforme : de sorte que la ligne menée du centre à la planète et sa vitesse angulaire étaient regardées comme constantes. Malgré quelques inégalités que l'observation avait rendues sensibles , cette première loi du mouvement des planètes subsista très-longtemps, parce qu'on faisait disparaître à très-peu près ces inégalités en essayant de mieux placer le centre de ce cercle parfait qu'on avait imaginé. Mais Kepler ayant reconnu par la comparaison attentive de nombreuses observations, que le mouvement d'une planète se fait, non dans un cercle , mais dans une ellipse dont le soleil occupe un des foyers, de sorte que le rayon vecteur et l'angle qu'il décrit étaient tous deux variables ; et ne trouvant plus ainsi, ni dans ce rayon, ni dans cet angle, celte constance qu'on y avait d'abord supposée , imagina

de la retrouver dans une quantité nouvelle composée de ces deux-là ; et considérant dans cette vue la plus simple qu'on en puisse former, savoir, Taire du secteur elliptique que trace le rayon vecteur de la planète autour du soleil , il trouva enfin que cette aire était constante, c'està-dire toujours la même en temps égal , ou , en d'autres termes encore , que Taire décrite était proportionnelle au temps écoulé.

Cette loi de Kepler, qui n*était prouvée que par l'observation , Newton la démontra ensuite comme uti théorème mathématique qui doit avoir lieu dans le mouvement de tout corps attiré par une force quelconque vers un centre fixe; et, réciproquement, il fit voir que si cette description uniforme des aires est observée dans le mouvement d'un corps , elle est une preuve de Tattraction ou de la tendance de ce corps au centre des rayons vecteurs; ce qui conduit naturellement au principe de la pesanteur universelle.

Enfin, vers le milieu du siècle dernier, le chevalier d'Arcy, Daniel Bernoulli et Eiiler découvrirent presque en même temps , et sous des formes différentes , un théorème plus général, mais qui n'est en quelque sorte que celui de Newton étendu à plusieurs corps qui seraient soumis à la fois à leurs actions réciproques et à des forces quelconques dirigées vers un même point fixe. Dans le mouvement du système autour de ce point comme foyer. Taire que décrit chaque corps en particulier n'est plus constante, elle varie à chaque instant de grandeur et de position par Taction perturbatrice des autres corps. Mais en projetant toutes ces aires variables sur un même plan fixe , et les multipliant par les masses respectives des corps, on trouve cpie la somme de tes projections est <:onslante , et se

IJU SYSTÈME SOLAïai:. 385

conserve sans altération , comme dans le cas d'un seul mobile.

On voit comment les géomètres , qui démontrent et qui généralisent, ont su s'élever rapidement au j)rincipe général des aires dans un système quelconque , et, par conséquent, dans le système du monde : mais observez, en passant, que si ce principe n'eût pas été ainsi démontré et découvert à l'avance, le temps seul, et par celte même marche de l'esprit que j'ai intliquée plus haut, aurait encore pu nous y conduire. Car, à la longue , et par des observations plus précises , on aurait reconnu que Taire décrite par chaque planète n'est pas rigoureusement uniforme ; et considérant alors les différentes aires relatives aux différentes planètes, pour en faire , ce qui était naturel , la combinaison la plus simple , comme celle de Ja somme de leurs projections sur un seul et même plan , on aurait retrouvé dans l'ensemble de ces aires projetées cette constance rigoureuse qui n'était plus dans chacune d'elles.

Quoi (pi'il en soit , le principe a lieu , comme on Ta dit, dans le mouvement d'un système de corps qui réagissent d'une manière quelconque les uns sur les antres; mais, pour la rigueur du théorème, il faut l'énoncer comme je l'ai fait au commencement , c'està-dire en considérant , non ])as le produit de chaque masse par Taire que décrit le rayon vecteur mené au centre de ce corps , mais la somme des aires décrites par les rayons menés à toutes les molécules égales du système *, ce qui donne la vraie quantité, qui est rigoureuscnient constante dans tout le cours du mouvenienl.

Statiquk p. i>5

386 ÉQUATKUR

Si les corps ne sont point attirés vers un point extérieur, et tt^éprouvent que leur action ou attraction mutuelle y le foyer des rayons veclcurs peut être pris partout ou Ton voudra dans l'espace. Si ^ comme dans le système du monde, on fait abstraction du mouvement généra) qui emporte le système, pour ne considérer que les mouvements relatifs des corps, on doit placer natureHement le foyer dans leur commun centre de gravité , parce que ce point déterminé est en repos , et comme fixe , dans Tespace relatif où s'exécutent les mouvements observés des différents corps.

Maintenant, si Ton considère les divers plans de projection qu'on pourrait mener par le même foyer , et sur lesquels la somme des aires projetées aurait en général des valeurs différentes, il est aisé de voir que, parmi ces plans , il y en a une infinité où cette somme est nulle ; que tous ces plans de projection nulle se coupent suivant une seule et même droite déterminée ; que tous les plans possibles qui passent par cette droite jouissent de la même propriété , et sont les seuls qui en jouissent. Le plan perpendiculaire à cette droite est donc un plan distingué de tous les plans de l'espace par cette propriété, que la somme des aires se trouve nulle sur tous les plans qui lui sont perpendiculaires. Quant aux plans qui lui sont également inclinés, la somme des airifs y a une même valeur, et celte valeur est proportionnelle au cosinus de Tinclinaison : d'où il résulte que, sur le plan unique et distinct dont il s'agit , cette somme est la plus grande possible , ou ce qu'on appelle un maximum. Or c'est ce plan du maximum des aires que Laplace a nommé le plan ifwariable.

DU SYSTÈMK SOLAIRE. ^87

La considération de ce plan remarquable s'était déjà présentée aux géomètres dans la recherche analytique du mouvement de quelques systèmes ; et elle avait même été employée dans le problème de la rotation d*un corps solide qui tourne librement autour de son centre de gravité. En cherchant à simplifier le calcul, on était arrivé naturellement à ce plan de projection , comme à Tun des trois plans coordonnés qu'on devait choisir de préférence , afin de rendre nulle la somme des aires sur les deux autres , et de faire ainsi disparaître deux intégrales ou constantes arbitraires. Or il faut faire ici une remarque essentielle ; c'est que ce seul cas particulier de la déterininarion du plan invariable dans le mouvement d'un corps ou système solide en contient au fond toute la théorie; car, comme l'expression des aires décrites par les différents points d'un système ne dépend ni de la liaison , ni de l'attraction mutuelle de ces points , il est évident que le même calcul , ou la même transformation de coordonnées , qui détermine ce plan dans un système de points invariablement liés entre eux , le donne également dans un système de points liés entre eux d'une manière quelconque. Ainsi, l'on voit que la théorie du plan invariable se trouvait connue, parce que, cette théorie étant indépendante de la nature du système , un seul exemple qu'on en donne suffit pour la démontrer tout entière. Mais il est jusle de dire que Laplace est le premier qui ait considéré et déterminé ce plan dans notre système planétaire , et qui lui ait donné un nom.

Ce grand géomùlre a donc cherché la position que ce plan devait avoir , par rapport à Técliptique , au commencement de l'année lySo, et même celle qu'il aura en 1960 , d*après les variations calculées qu'auront subies à cette é|>oque les excentricités, les inclinaisons et les nœuds des différentes orbites des corps célestes. Et, par les formules qu'il a données à ce sujet , ou la règle qu'il énonce au chapitre II du livre IV de son Exposition du Système du Monde, il a trouvé (jue l'inclinaison du )>lan à Técliptique était de i%7689 au commencement de i^So; et la longitude de son nœud ascendant, de ii4",3979î valeurs qu'il trouve devoir être à très-peu près les mêmes en 1950, la longitude du nœud ayant seule varié de 45". C'est ce qu'on peut voir dans le chapitre XVII du livre VI de la Mécanique ce-leste.

Mais, ayant eu l'occasion d'examiner cette analyse ^ j*ai remarqué qu'elle ne pouvait être exacte que dans l'hypothèse où les planètes seraient regardées comme autant de points massifs, dont chacun serait chargé de la masse entière de la planète et de ses satellites ; et qu'ainsi , pour déterminer le plan invariable du maximum des aires, Laplace n'avait considéré que les aires <lues aux seuls mouvements de révolution des planètes autour du Soleil.

Or, en appliquant nos principes à cette détermination , j'ai reconnu que^ la position du plan invariable dans le système du monde ne dépendait pas seule-

DU SYSTKME SOI.AlttK. 389

ment des aires que dccrivent les ])laiiètcs en vertu de leurs révolutions autour cUi Soleil , mais qu'elle dépendait encore d'autres aires , auxquelles on n'avait poini songé, savoir, de celles qui sont dues aux révolutions particulières des salellitcs autour de leurs planètes pnncipales, et de celles qui naissent de la rotation de ces planètes et du Soleil lui-même sur leurs propres axes II résulte, en effet, de notre ihéorie des couples, que le plan dont il s'agit n'est au fond que celui d<* Faire qui proviendrait de la combinaison de toutes ces aires simultanées, si on les composait entre elles à la manière des simples forces appliquées sur un point; que le plan de cette a in» résultante est le seul dont ou puisse affirmer qu'il demeure immobile dans le ciel , ou qu'il reste toujours parallèle à lui-même, quels que soient les changements que la suite des siècles puisse amener dans les mouvements, dans la figure et la position mutuelle des différents corps célestes. Que si l'on ne composait entre elles qu'une partie de ces aires simultanées , on ne pourrait plus dire que Taire partielle qui en résulte est invariable de grandeur et de position dans l'espace: d'où il faut conclure que le plan invariable déterminé par Laplace peut changer, et qu'ainsi il n'est pas propre à faire reconnaître , dans la suite des temps , les changements réels qui peuvent survenir dans la position des orbes et des équateurs planétaires.

Pour remplir ce grand objet, et donner aux astronomes futurs le nu)yen de comparer avec ])récision les observations séparées par <lo longs intervalles de

temps, il faut donc recourir à ce nouveau plan que Je propose , et (jui forme en quelque sorte Timmuable équateur du système du monde. Or voici , diaprés notre théorie des couples, l'expression la plus simple de la règle qui le détermine :

« Considérez d*abord , pour chacun des corps céles- » tes , Faire résultante de celles que décrivent toutes » ses particules autour de son propre centre de gravité, » aire qui tombe sur le plan de Téquateur du corps , » et qui a pour mesure le produit de son moment » d'inertie par sa vitesse angulaire de rotation ; et » regardez maintenant les centres de ces corps comme » autant de points oii leurs masses respectives seraient » concentrées.

» Considérez ensuite , pour chaque groiqie formé d'une » p4anète et de ses satellites, Taire que chacun des corps » y décrit dans son orbite autour du centre de gravité .) de ce groupe, laquelle se trouvera en multipliant la X masse du corps par le carré du rayon vecteur et la * vitesse angulaire de révolution; et réduisez mainte- >' nant ce groupe à son centre de gravité comme à ua w seul point où toute la masse serait concentrée.

» Considérez enfin les aires que les centres de ces » groupes et ceux des corps qui n'ont ])oint de satellites > décrivent dans leurs orbites autour du commun centre '> de gravité de tout le système , et dont chacune se mesu* j» rera de même en multipliant la masse par le carré du » rayon vecteur et la vitesse angulaire de révolution.

» Si, par ce même centre de tout le système, vous M menez des lignes perpendiculaires aux plans respectifs »• de toutes les aires (|uo je viens de considérer , et prow portioTHiclles à leurs grandeurs , et que vous composiez

DU SYSTÈME SOLAIRE. Sgi

• entre elles toutes ces lignes à la manière des forces , la «» ligne résultante sera perpendiculaire au plan de Téqua- *> teur cherché , et sa loD{^ueur représentera la qiiantité de o Taire totale qui s'y décrit.

• Sur quoi il faut observer que 3es lignes composantes B dont il s^agit doivent être tirées d^un même côté de » récliptique, parce que , dans notre système , les dififé- •* rentes aires que ces lignes représentent, étant vues de » ce même côté, se décrivent toutes dans le même sens. » Ainsi, en supposant toutes ces lignes menées du » côté boréal de i'écliptique , la ligne résultante prolon- N gée de ce cx)té ii-a marquer dans le ciel le pôle b4iréal de M réquateur du système du monde. »

Par cette règle générale (ou les formules qu^on en peut facilement déduire), si l'on suppose connus les masses et les moments d'inertie des corps célistes, il est évident qu a une époque quelconque , et par les distancées et les mouvements mêmes des corps célestes observés à cette époque , on pourra déterminer la position de cet équateur par rapport au plan mobile de quelque orbite planétaire , tel , par exemple , que le pla.i de notre écliptique. Si donc on imagine que la recherche en soit faite à des époques différentes , et qu'on le trouve situé dans des positions différentes, comme on est sûr que ce plan n^aura pas changé, on conclura le changement réel survenu dans la position de Técliptique et des différentes orbites qu'on y aurait rapportées. C'est ainsi que les observations des mouvements célestes peuvent être ramenées à des termes fixes , et dégagées de Tincertitflde et de Terreur que les variations de l'écliptique et le mouvement propre des étoiles auraient pu à la longue v introduire.

Quant à ces aires nouvelles qui doivent entrer dans la détermination de notre plan invariable, on pourrait dire que colles qui viennent des niouvemenls particuliers des satellites, et même de la rotaûon de quelques planètes, sont des quantités assez petites, et que le plan invariable , déterminé en ne négligeant que ces petites quantités, différerait peu du véritable. Mais il faut remarquer que Faire due à la rotation du Soleil est une quantité considérable , et qui ne peut être omise dans aucun cas : car, en supposant d'abord le Soleil homogène , je Irouvc que cette aire vaut plus de 5o fois celle que la terre décrit en vertu de son mouvement dans son orbite annuelle. Si , comme il est vraisemblable , la densité du Soleil n'est pas uniforme, mais qu'elle augmente de la surface au centre, en raison, de la profondeur, ou bien encore , suivant cette loi de densité que Laplace emploie pour la figure de la Terre, dans le tome V de sa Mécanique céleste, et qui fait la densité proportionnelle à la racine cari'ée de la pression , je trouve que Paire décrite a encore les deux tiers de la valeur précédente. Kt dans l'hypolhésc même où la densité irait en croissant, depuis la surface, où elle serait nulle, jusq^i'au centre , où elle deviendrait infinie, comme ferait Tordonnée d'une hyperbole équilatère qui s'avancerait |wrallùlement à elle-même pour se confondre avec l'asymptote, je trouve (|ue l'aire dont il s'agit vaudrait encore la moitié de celle qui a lieu dans le cas de l'homogénéilé. De sorte que, dans celte hypothèse qui |)araît extrême, le plan invariable de Laplace, déterminé

DU SYSTKMK SOLAIRE. 3()3

sans tenir compte ile celte (juanlilc, diffèie aiilaiU du véritable que si Ton eut oublié dans le calcul au moins 25 globes tels que le nôtre, qui auraient circulé comme lui, à la même distance du Sc^leil, et dans un plan incliné d'environ 7° au plan de notre écliptique. Cette omission allure donc d'une manière très-sensible la position du plan invariable : car il est aisé de voir qu'elle change de plusieurs n)inutes son inclinaison à Técliptique, et de plusieurs degrés la longitude de son nœud ascendant. Ainsi, il paraît aussi nécessaire pour ra])plication que pour la théorie d'avoir au moins égard , dans le système dti monde, à cette partie des aires qui vient de la rotation connue du soleil.

11 peut paraître surprenant qno Laplace, (jui le premier a eu l'idée de chercher, dans le système du monde, la position d'un plan invariable déterminé par la condition que la somme des aires projetées y soit un maximum , n'ait considéré dans son analyse que les aires décrites par les planètes en vertu de leurs mouvements de révolution autour du Soleil, et qu'il ait oublié, nonseulement les aires dues aux révolutions particulières des satellites, mais encore celles qui naissent de la rotation de ces planètes et du Soleil lui-même sur leurs propres axes. Et si l'on est surpris que cette omission singidicrc ait pu avoir lieu, on ne l'est p.is moins qu'elle ait échappé jusqu'ici à ceux qui ont pu étudier ce point capital de la Mécanique céleste. Par le peu que j'ai dit, on voit bien ce qui doit manquer aux formules de Laplace : le défaut est sensible; mais ce que je cherche ici <'St la cause naturelle (pii y a fait tomber.

^94 ÉQUATEUH

Or, avec un peu de réflexion, il n'est pas difficile de remonter à la source de cette erreur, et de la trouver dans cette théorie même qii^on avait autrefois des aires ou des moments : théorie fmparfaite où Ton ne savait pas d'une manière précise ce que ces quantités représentent, je ne dis pas dans le calcul, mais dans la science des forces considérée en elle-même. Et en effet , pour Laplace comme pour les anciens auteurs, les moments ou les aires ne sont que de simples quantités numériques ou géométriques , de pures expressions d'analyse, qui se présentent dans les équations de l'équilibre ou du mouvement des systèmes, et auxquelles on aurait simplement donné un nom pour abréger le discours. Sous ce point de vue géométrique, le plan invariable que l'auteur considère n'est donc qu'un certain plan choisi entre les autres par la condition que la projection des aires y soit la plus grande; ou plutôt, «'est l'un des trois plans coordonnés , choisi de manière que la projection des aires soit nulle sur les deux autres; ce qui est une pure transformation de coordonnées, qui parait propre à simplifier le calcul , en faisant disparaître, comme on l'a dit , deux constantes arbitraires. Or on ne voit là que des quantités abstraites, de simples formules d'analyse , sans aucune idée de la naturel propre des grandeurs dont il s'agit dans la science de l'équilibre ou du mouvement des systèmes. Et , comme Tidée de considérer les aires dans le système du monde vient de cette fameuse loi de Kepler, qui n'est relative qu'aux secteurs décrits par les rayons vecteurs des planètes dans leur mouvement elliptique autour du Soleil, il est assez naturel que Laplace ne songe qu'à ces mêmes aires dues aux révolutions des planètes, et que, dans la théorie de »on

DU SYSTKMK SOLAIUK. 39'>

plan invariable, il oublie toutes les autres. Il semble d'ailleurs que ces autres aires, produites par les mouvements particuliers des satellites et par la rotation des planètes sur elles-mêmes, n'étant point tract*es, comme les premières , autour d'un même centre , mfiis se décrivant à part autour de divers centres .particuliers, elles sont en quelque sorte des aires indépendantes, et qu'elles ne doivent point entrer dans la combinaison dont il s*agit. Ainsi, en supposant même que la considération de ces quantités se fût présentée un moment à Tesprit , ou voit qu'elle aurait pu être aussitôt écartée conmie une idée étrangère, et sans qu'on en fît aucune mention. C'est ce qui explique naturellement l'omission ou Terreur dont je parle et qui a pu si facilement échapper dans l'ancienne théorie. Mais , dans nos principes , cette omission est impossible : car, pour nous, les aires ne sont point des surfaces qu'on projette sur tel ou tel plan , mais de véritables forces de rotation ou des couples qui s'exercent dans le système ; et il ne s'agit pas ici de simplifier un calcul ou de chercher un plan sur lequel la projection des aires soit un maximum^ mais bien de composer entre eux ces couples qui agissent, et de déterminer la grandeur et la position du coiq>le unique qui en résulte : couple remarquable, dont on démontre que le plan et la grandeur se conservent les mêmes dans tout le cours du mouvement, malgré les changements qui arrivent aux grandeurs et aux inclinaisons mutuelles des différents couples qui le composent. Par cette notion dynamique des aires, il suffit donc de jeter les yeux sur le système du monde pour voir que Faire maximum , ou , pour mieux dire, que Taire résultante doit être rouq>osée non-seulement de <'cllcsqui viennent du mouvement des planètes dans leurs

396 KQIJATKUR

orbites, mais encore de celles qui naissent des mouvements ])articuliers des satellites et de la rotation de tons ces corps sur leurs propres axes : car, bien que ces aires soient décrites autour de différents centres , comme elles ne sont qu'une expression géométrique des couples qui les produisent, il est évident qu'elles doivent être toutes rapportées à un seul et même foyer, et se composer ensemble comme si leurs plans y étaient tous transportés parallèlement à eux-mêmes.

Ainsi, la composition des couples , qui a étendu et simplifié toute la doctrine des aires, aura servi encore à nous faire découvrir une erreur (|ui pouvait rester longtemps cachée dans une application de la Mécanique à l'un des plus grands objets du système du monde. Cet exemple nous fait sentir toute l'importance qu'on doit attacher aux notions primitives et aux vrais principes des choses; car le calcul n'est qu'un instrument , qui ne produit rien par lui-même, et qui ne rend en quelque sorte que les idées qu'en lui confie. Si nous n'avons que des notions imparfaites, ou si l'esprit ne regarde la question que d'un point de vue borné, ni l'analyse ni le calcul ne lui apporteront plus de lumière, et ne donneront à nos résultats plus de justesse ou plus d'étendue : au contraire, on peut dire que cet art de réaliser en quelque sorte par le calcul de fausses ou de vagues conceptions n'est propre qu'à rendre l'erreur plus durable, en lui donnant, pour ainsi dire, une sorte de consistance.

Au reste, si l'on veut voir, par le calcul même, le défaut des formules de Laplacc, il n'y a qu'à considérer

DU SYSTKMK SOLAIHK. 3y7

les irois équations (pril emploie , et d'où il part eomme d'une expression exacte de la conservation des aires sur les Irois plans rectangles des axes coordonnes.

En plaçant l'origine ou le foyer des rayons vecteurs au commun centre de gravité de tous les corps /?/ , ///S /If", etc., qui composent le système proposé, et nommante, ^, z les trois coordonnées du centre du corps m ; ^\x\ ^' celles du centre de ///', etc.; et employant, pour abréger, le signe ï pour indiquer la somme de tous les termes semblables à celui qu'on écrit à la suite de ce signe , les trois équations dont il s'agit sont représentées simplement par

^ / dY ^..^ .

Istn \ X — X ~r ] ^^ ^ ^^ constant*: y

[ dr d.v\

\''W'''di)

(dx dz \

Im z — X -:-] = c' =: constante

Im [ Y z —- ] z= c = constante,

y dt dt I

Or je dis que ces formules ne sont vraies qu'autant que les coqis du système y sont réellement d<'s |)oints dont les masses respectives seraient fu , ///', ///'', etc.

Que si M , par exemple, est un corps de dimension

finie, le terme /;/ I •^' -^ *^' ^7" ) ' ^'" ^^ rapporte

dans la première équation , n'exprime pas la projection , sur le plan des xj- , de l'aire décrite autour de l'origine par le mouvement de ce corps m. Et, en effet , il est évident que celte aire est la somme de toutes celles qui sont dues au mouvement de toutes les particules du même C(»rps. Or , en uonimant X et Y les

?)C)S ÉQUATEUH

coordonnées de la particule dm par rapport aux mêmes axes, il est clair que la^ somme dont il $*agit est l'intégrale 1 ( X — ^ Y — ] dm étendue à la masse entière

du corps /w; et Ton va voir que cette intégrale n'est pas exprimée , comme on le suppose , par le terme

/ dj dx\

\ dt -^ dt )

Soient, en effet, g et 31 les deux coordonnées de la particule dm , parallèles aux x et j^*, mais rapportées an centre de gravité du corps m , de sorte que l'on ait

dy

et

Si Ton substitue ces valeurs dans l'intégrale précédente I f X — I Y — \ dm^ et si Ton observe que, l'origine des Ç et >î étant au centre de gravité de m , on a

Jldm = o , J'ndm = o , j —- dm = o , 1 — dm = o ,

dX dx dl

dY dy dyi

~dt~~dt~^lt'

dt~ dt'^ dt

on trouvera que l'intéf'rale / ( X Y — \ dm a

^ J \ dt -'* '

dt) pour valeur la somme des deux termes

df dx\ Ci ,dn dl\ ^

de sorte que la valeur de l'aire décrite diffère précisément de la valeur qu'on emploie , de l'intégrale

DU SYSTÈME SOI.AIhK. ^C)i}

I f Ç -7- — ri -- j r//w , qni exprime l*aire due à la rotation de ni sur son propre centre; quantité qui doit

« . » ' n • / ^Y dx\

être ajoutée à Taire m (.v~ v -7- » si la rotation

\ «^ " dt f

(lu corps a Heu dans le même sens que son mouvement de révolution , et qui doit en être retranchée dan* le cas contraire.

Les véritables équations qui expriment la conservation des aires dans le système sont donc, en nommant Ç la troisième coordonnée de dm relative au centre de w,

D'où Ton voit que , dans cette théorie des aires appliquée an système du monde , lorsqu'on réduisait les planètes et le Soleil lui-même à des points massifs placés dans leurs centres de gravité, on supprimait, sans s'en apercevoir, toute cette partie des aires qui naissent de leurs mouvements de rotation sur eux-mêmes. L'erreur est toute semblable à celle qui nous ferait prendre pour le moment d'inertie d'un corps relatif à un certain axe extérieur le produit de la masse de ce corps par le carré de la distance de son centre de gravité à l'axe que l'on considère ; tandisque la vraie valeur de ce moment d'inertie est égale au produit précédent , augmenté du moment d'inertie du corps par rapport à l'axe parallèle qui \>asse en son centre de gravité.

4oO KQUATKUH

Mais, indépeiidanïment de ces aires dues aux rotations du Soleil et des planètes , on avait encore oublié celles qui naissent des mouvements particuliers des satellites; car, pour en tenir compte, il ne suffit pas, comme on peut le croire , de ])rendre pour la valeur de m la masse de la planète réunie à celle de ses satellites; il faut encore ajouter les termes qui expriment les aires dues aux révolutions particulières de cette planète et de ses satellites autour de leur commun centre de gravité ; et il faudrait même ajouter les petites aires qui sont dues aux rotations des satellites sur euxmcines, si Ton voulait être dans toute la ligueur des choses.

Les formules cm|)loyées par Laplace ne peuvent donc ( même en faisant abstraction des satellites) exprimer exactement les aires décrites que dans le cas où les corps /;?, ///', m", etc., seraient privés de toute rotation sur eux-mêmes, ou bien encore seraient des points massifs (et dont il faudrait même supposer que la roiation n'est pas infinie ) ; car il n'y a que Tune ou l'autre de ces hy[)othèses qui puisse faire disparaître les termes qu'il a oubliés dans son analyse. Ces formules ne donnent donc ])oinl, et ne donneront jamais k'S valeurs des aires décrites dans le système des corps célestes, car tous ces corps sont de dimension finie, et ils tournent actuellement sur leurs axes; et quand bien même il arriverait , par quelque cause que ce fût , que chacun d'eux se condensât , et se rédttisît en quelque sorte à son centre de gravité, les aires actuelles dues

DU SYSTÈME SOLAIRE. 4o"

à leurs mouvements de rotation ne s'évanouiraient point. Par le principe même des aires , à mesure que chaque corps se condenserait, il serait , pour ainsi dire , forcé de tourner plus vite , et de manière que Taire due à sa rotation fût toujours conservée : d'où Ton voit que les expressions qui forment les premiers membres des équations de Laplace n'en seraient pas moins incomplètes qu'auparavant, et qu'ainsi ces équations ne peuvent jamais donner le plan du maximum des aires, le seul qui soit rigoureusement invariable.

A la vérité , si chaque corps était infiniment petit , et que, par conséquent, les distances de ses différentes molécules à un centre extérieur d'attraction pussent être regardées comme égales entre elles, on pourrait dire que la rotation de ce corps sur lui-même ne serait point altérée par l'attraction des autres. Et il en serait de même si chaque corps, au lieu d'être un [)oint massif, était un globe parfait de dimension finie, formé de couches concentriques dont chacune serait d'une densité uniforme dans toute son étendue; car, pour chacun de ces globes, les attractions des autres se réduisant toujours à une force simple qui passerait par le centre de ce globe , il est évident que son mouvement de rotation n'en serait pas plus troublé que dans le cas précédent. Dans l'une ou l'autre de ces deux suppositions , on pourrait donc dire que la projection des aires dues aux rotations des corps serait à part une quantité constante sur chacun des plans coordonnés; que, pai; conséquent, les projections des aires dues aux seuls mouvements de révolution seraient aussi à part

Statiquf. p. ?^

des quantités constantes sur les mêmes plans, et qu'ainsi le plan déterminé par les équations de Laplace, s'il n'est plus , comme je Tai fait voir , le plan du maximum des aires 9 est du moins un certain plan qui demeure invariable déposition, malgré Taction mutuelle des différents corps du système.

Quoique les deux hypothèses précédentes n'aient point lieu dans la nature, et qu'on puisse se dispenser de les examiner , il n'est peut-être pas inutile de montrer ici tout ce qu'elles ont de faux en elles-mêmes et de contraire à la question de philosophie naturelle dont il s'agit.

Et d'abord on pourrait remarquer que si chacun des corps célestes était un globe parfait , tel que je viens de le dire, il serait fort inutile de faire un long calcul (et dépendant même de données assez mal connues), pour trouver un plan qui fut invariable dans le système du monde : car il suffirait de prendre comme tel le plan de l'équateur de l'un de ces globes , et , par exemple, celui du Soleil, ou, ce qui serait encore plus simple et plus facile, celui de la terre que nous habitons. Il est clair que cet équateur resterait toujours parallèle à lui-même dans l'espace, et qu'on y pourrait rapporter avec précision les plans des différentes orbites des corps célestes. Cette supposition, comme on voit, ne convient guère à notre système, puisque le seul aplatissement très -petit de notre globe vers ses deux pôles suffit déjà pour déranger à chaque instant notre équateur, comme on le reconnaît dans le

DU SYSTÈME SOLAIRE. 4o^

ciel par le phénomène sensible de la précession des équinoxes.*

Mais, pour en venir à cette hypothèse imaginaire où les planètes seraient des globes parfaits, je dis que , même dans ce cas, il ne serait pas permis de proposer comme un plan qui doit rester invariable dans toute la suite des siècles, ni l'un des équateurs de ces globes, ni le plan déterminé par les formules de Laplace, où l'on ne tient pas compte des aires dues aux rotations des corps du système. Et en effet, pour affirmer qu'un tel plan demeurera invariable/il faudrait être assuré que la figure des corps ne sera point changée , soit par quelque rencontre ou choc mutuel qui pourrait survenir entre eux , soit par quelque force intérieure qui viendrait à s'y développer , ou même par quelque explosion subite qui ferait éclater le corps en plusieurs fragments, comme M Olbers^ et après lui quelques géomètres, conjecturent que cela est déjà arrivé à Tune des anciennes planètes de notre système, laquelle, en se brisant, aurait produit les quatre planètes nouvelles qu'on a nommées P allas , Cérès , Junon et Vesta. Or, la figure du corps étant ainsi changée , soit par une de ces causes, soit par tout autre qui ttous est inconnue, l'aire due à la rotation de ce corps sur lui-même commencerait d^étre altérée par l'action des autres, et cesserait d'être à part une quantité constante. Les aires dues aux mouvements de révolution cesseraient donc aussi d'être constantes, et ni l'équateur du corps ni le plan dont j'ai parlé ne seraient plus invariables de position dans l'espace. Ainsi, l'on voit que tons ces plans viendraient à changer, tandis que le nôtre resterait le même , et que la grandeur de Taire qui y tombe n'aurait pu éprouver la moindre altération par aucune

4o4 EQUATEUR

de ces causes qui auraient troublé toutes les aires individuelles qui la composent.

Tel est donc, pour un système libre de toute action étrangère, le plan imique dont l'invariabilité puisse être assurée dans toute la suite des siècles. Ce grand équateur seul, et l'aire qui s'y projette, ne dépendent ni de la liaison mutuelle des corps, ni de la loi de leur attraction, qui pourraient même changer arbitrairement, soit par degrés insensibles, soit d'une manière brusque, comme on voudra le supposer. Ainsi , dans notre système planétaire , on pourrait imaginer que la loi d'attraction devînt tout autre, ou que la gravité même vînt à cesser, ou que la figure des corps fût altérée par des forces quelconques, ou même p^fr les mouvements volontaires des êtres animés qui les habitent; on pourrait supposer que le^planètes, qui aujourd'hui nagent librement dans l'espace, vinssent tout à coup à se lier ensemble d'une manière quelconque , et , par exemple , de manière à former un système entièrement solide, etc. ; et, malgré tous ces changements, le plan invariable des aires se retrouverait exactement dans la même position qu'il occupe aujourd'hui , et qu'il a toujours occupée depuis l'origine des choses : propriété remarquable qui caractérise ce plan , et qui n'appartient à nul autre déterminé sans tenir compte de toutes les aires actuellement décrites dans le système.

On trouvera peut-être que j'insiste sur des vérités claires; mais la question mérite d'être développée ; et

DU SYSTÈME SOLAIKE. 4^5

d'ailleurs, par quelques difficultés qui ont été faites à ce sujet, j*ai pu croire que notre théorie n'avait pas été bien comprise. J'ai donc voulu montrer avec évidence que, dans notre système, il n'y a qu'un seul plan invariable, comme il n'y a qu'un seul point qui soit le centre de gravité , et une seule droite qui en marque la route dans l'espace ; que la forme des mobiles , la loi particulière de l'attraction réciproque au carré des distances, n'entrent absolument pour rien dans cette théorie, et que, par conséquent, elle ne peut être modifiée par aucune raison qu'on voudrait tirer de ces circonstances étrangères ; que d'ailleurs ce plan invariable ne saurait être déterminé avec trop de précision , et qu'il doit l'être, autant que possible, indépendamment de toute autre théorie, puisque, par l'hypothèse même, il est destiné à faire reconnaître les plus petits cffkngements qui peuvent survenir dans le système, et à rectifier ou confirmer nos autres calculs sur les variations des mouvements célestes.

DÉTERMINATION de l'cquatcur dont il s'agit.

Quant à la détermination effective de ce plan , elle suppose à la vérité que l'on connaisse, outre la proportion des masses des différents corps célestes, les valeurs de leurs moments d'inertie par rapport à leurs axes de rotation. Les masses nous sont déjà à peu près copnoes; mais les moments d'inertie ne le sont point, parce qu'ils dépendent de la loi de densité de ces corps , c'est-à-dire de la loi suivant laquelle la matière , de la surface au centre, est répandue dans chacun d'eux.

4o6 • EQUATEUR

Or c'est ce que nous ignorons entièrement, et c'est ce que le^ temps seul peut nous apprendre, comme je le montrerai tout à Theure par la comparaison même que l*on pourra faire de la théorie avec les observations. Mais, quand bien même on n'aurait pu s'élever jamais à la connaissance précise de ces éléments nécessaires du calcul, j'observe qu'il n'en convenait pas moins aux géomètres de présenter d'abord une théorie exacte, et de lui donner toute cette rigueur qui fait le caractère propre des vérités mathématiques. C'était un. premier objet qu'il fallait remplir pour l'exactitude et la perfection de la science. Mais je dis plus : c'est qu'il convient aussi aux astronomes d'en commencer dès aujourd'hui Fapplication au système du monde, en employant les meilleures données que nous ayons sur les masses des corps célestes ^t les valeurs les plus vraisemblables que nous puissions attribuer aux aires qui naissent de leur rotation sur eux-mêmes. Et, en effet, ce premier résultat du calcul et ceux que les astronomes à venir trouveront dans leur temps par des calculs semblables, étant comparés les uns aux autres, pourront servir à corriger de siècle en siècle les valeurs approchées de ces éléments qu'on n'avait pu d'abord mesurer avec précision. En observant la position- du plan invariable par rapport aux étoiles, on cherchera si, parmi les changements survenus, les uns pouvant être attribués aux mouveqients propres de quelques étoiles, les autres jae pourraient pas s'expliquer par le seul déplacement du plan que l'on considère ; et alors on essayera de rectifier de la manière la plus probable les valeurs employées dans la première détermination.

Quoique celte méthode soit conforme à celle des astronomes, et paraisse ici la seule qui puisse nous conduire, il faut avouer pourtant que, dans cette application de la théorie, l'esprit ne se trouve pas complètement satisfait. On voudrait, s'il est possible, une approximation directe et sûre, qui fut exempte d'incertitude et de tâtonnement. La difficulté paraît grande : car, ne connaissant autour de nous rien de fixe dans l'espace , et ne pouvant ainsi nous assurer des mouvements réels des corps, il ne nous reste qu'à essayer de les démêler dans les apparences , afin de rectifier successivement nos premières suppositions.

Mais, en y réfléchissant davantage, j'ai trouvé que la théorie même nous offrait une voie directe pour aller au but; et voici une conséquence nouvelle qui prouve qu'avec des observations très- précises, on peut parvenir un jour à la connaissance des masses et des moments d'inertie des corps célestes , et, par conséquent , à la détermination du plan invariable, sans rien emprunter d'ailleurs, je veux dire sans supposer aucune autre théorie ni aucune notion préalable des valeurs approchées de ces éléments qui nous sont inconnus.

Imaginez , en effet , que Ton forme à une époque quelconque l'expression analytique de la gran<leur de Taire résultante, en y mettant les valeurs des lignes, des angles et des vitesses que peut donner l'observation à cette époque, et en y laissant comme autant d'indéterminées ou d'inconnues les masses et les moments d'inertie des différents corps du système. Si vous suppose/, qu'on

4o8 EQUATEUR

répète cette opération à autant d^époques différentes qu'il y a d'inconnues à découvrir, vous aurez autant d'expressions différentes de cette aire , qui se compose de toutes les aires décrites dans le système; et comme cette résultante est toujours la même, vous pourrez égaler vos expressions deux à deux , et former ainsi autant d'équations qu'il y a d'inconnues dans la question que Ton considère. Vous pourrez donc alors déterminer ces inconnues, et de là conclure la position du plan invariable, non-seulement à cette époque, mais encore à toutes les époques antérieures où les observations auront été faites. Ainsi, la théorie se suffît, pour ainsi dire, à elle-même, et elle n'a besoin, pour être appliquée, que des données immédiates de l'observation. On peut donc, par les seuls mouvements des corps célestes, observés à différentes époques éloignées, s'élever à la connaissance de leurs masses et de leurs moments d'inertie, et cela indépendanmient de toute notion sur ces valeurs approchées , sur la nature des orbites que les corps décrivent, et même sur la loi d'attraction qui existe entre eux.

Voilà sans doute un des résultats les plus remarquables des principes généraux de la Mécanique. De ce lieu de l'espace où nous sommes confinés, nous ne pouvons mesurer que des lignes et des angles, et compter le temps qui s'écoule; mais il paraît comme impossible de mesurer les masses et les moments d'inertie de différents corps dont nous ne pouvons approcher, parce que ces quantités ne dépendent pas des seules

dixneDsions visibles de la figure , mais de la matière dont les corps sont formés , ou de la loi de leur densité , qui nous est entièrement inconnue. Cependant , s'il arrive que ces corps s'attirent suivant une loi quelconque, connue ou inconnue, qui soit constante ou même variable avec le temps, nous voyons ici qu'il suffira d'observer les distances et les mouvements de ces corps pour découvrir la proportion qui règne entre leurs masses, et même entre leurs moments d'inertie; car les observations , étant faites à autant d'époques différentes qu'il y a d'inconnues, fourniront toutes les équations nécessaires pour les déterminer.

Dans le système du monde , en regardant une planète comme très-petite par rapport au Soleil, et un satellite comme très-petit par rapport à sa planète, et supposant d'ailleui^ que chaque corps n'obéisse qu'à la force principale qui l'attire , on a reconnu de bonne heure , par les vitesses des corps comparées à leurs distances au centre de leurs révolutions , que l'attraction est en raison inverse du carré de la distance ; et de là on a tiré ia proportion des masses du Soleil et des planètes principales qui ont des satellites. Mais cette détermination , quelque ingénieuse et admirable qu'elle nous paraisse et qu'elle soit en effet, ne me semble pas tirée des vrais principes de la science , je veux dire ici des seuls principes généraux qui pourraient également la donner dans toute autre loi d'attraction. Elle est fondée sur la supposition que la masse de chaque corps peut être négligée par rapport à celle du corps principal qui l'attire , et sur la connaissance d'une loi suivant laquelle l'attraction de ce coips s'exerce

4lO EQUATEUR

à différentes distances. Or je trouve ici que la proportion des niasses peut se déterminer par la seule observation des distances et des vitesses des corps, sans aucune idée de leurs grandeurs approchées, ni de la loi suivant laquelle ils s'attirent. Il sufïït qu'ils s'attirent , et que, par cette action égale et contraire , ils troublent mutuellement les aires qu'ils décrivent autour de leur commun centre de gravité. Par cette perturbation même, les aires individuelles et les plans de ces aires sont changés avec le temps; et comme il y a une quantité qui ne change point , quand bien mcme la liaison et l'attraction des corps varieraient d'une manière quelconque , il s'ensuit qu'on peut former avec le temps assez d'équations pour déterminer les masses respectives de tous ces corps sans rien emprunter à la théorie de la gravitation universelle.

Ce n'est pas qu'on ne doive à Kepler et à Newton la même admiration et la même reconnaissance pour la découverte d'un rapport ou d'une loi qui nous apprend , dès aujourd'hui , la proportion de certaines quantités que le seul principe général des aires n'aurait pu nous donner que dans un avenir très-éloigné. Mais je ne m'occupe ici que de; la science considérée en elle-méine , dans ce qu'elle a de plus général et de plus parfait. Et d'ailleurs ces principes généraux nous seraient toujours nécessaires : car, pour les valeurs des moments d'inertie des corps célestes , il me semble que la loi connue de l'attraction ne peut rien nous apprendre , et je ne vois pas qu*on les puisse découvrir autrement que par ces principes et des observations très- exactes faites à de très-longs intervalles. .^ Ces quantités , et la position précise de l'équateur de notre système , ne peuvent donc être déterminées de bien long-

temps. Que si pourtant on voulait se borner à la considération du Soleil , dont la rotation influe beaucoup plus que celle des autres planètes sur la grandeur de l'aire résultante , il faudrait un temps moins considérable ") car il suffirait de former les expressions de cette aire à deux, époques différentes, et de les égaler, ce qui pourrait donner le moment d'inertie de ce grand corps par rapport à son axe de rotation , en supposant toutefois des obserradons aussi précises et aussi répétées que l'exige une recherche aussi délicate.

Mais, pour achever le développement de cette grande théorie, imaginons qu'avec le temps, la grandeur et le plan de l'aire résultante aient été déterminés dans notre système planétaire , et voyons ce qu'au delà de cet avenir les observations et le calcul pourraient encore nous apprendre. Il est évident que si l'on continuait de former des équations semblables aux précédentes , pour de nouvelles époques ultérieures, ces équations devraient s'accorder à donner la même valeur pour la grandeur de l'aire résultante. Si cet accord a lieu , on conclura qu'on a le véritable équaleur du système solaire, au moyen duquel on reconnaîtra les changements réels survenus dans la position mutuelle des orbites des corps célestes. Mais si les équations vienment à présenter des valeurs différentes, il faudra conclure qu'il y a dans le système quelque action étrangère qui vient , ou des comètes , ou des étoiles, ou de quelque corps invisible et ignoré dont on n'a pas tenu compte, et qu'ainsi le couple (ju'on a calcule n'est pas le couple résultant de

4 1 a EQUATEUR

tous, ceux qui animent l'ensemble des corps que l'on

considère.

Ainsi, la théorie et Tobservation continueront d'ajouter à nos connaissances. On verra si cette action des corps étrangers sur le système des planètes et du Soleil peut être ou non regardée comme insensible ; si le grand équateur de ce système demeure toujours parallèle à lui-même dans l'espace , ou bien si cet équateur change aussi à la longue, comme celui de notre globe, et si ses nœuds, par un mouvement bien plus insensible encore, rétrogradent de même sur le grand orbe que le Soleil peut décrire au* tour de quelque centre éloigné. C'est probablement ce qui arrive , car il serait hors de toute vraisemblance que les étoiles n'eussent aucune action sur le Soleil et les planètes qui l'accompagnent; et de cette action inégale sur les différents points du système doit résulter à chaque instant un couple infiniment petit qui altère insensiblement la position du couple actuel qui anime ce système.

Ainsi , notre plan invariable lui-même avec le temps pourra changer. Dans nos théorèmes mathématiques, tout est rigoureux. La conservation du mouvement du centre de gravité et celle des aires ont lieu sans la moindre altération, parce qu'on y suppose un système parfaitement libre, c'est-à-dire tel qu'il serait s'il existait seul dans Tespace. Mais, dans la nature, on ne peut plus faire cette supposition, puisque au delà de notre système solaire nous découvrons tant d'autres corps qui peuvent agir sur lui. Ne perdons jamais de vue que ces

idées de constance et d'uniformité qui plaisent tant à Tesprit dans Tétude de la nature n'ont, au fond, rien d'absolu ; elles ne conviennent qu'à ce peu d'étendue et de durée qui nous est accordé dans le temps et dans l'espace. Il en est du développement de ces grands phénomènes comme d'une courbe immense dont nous ne verrions qu'un arc d'une petite longueur, et que nous prendrions pour une ligne droite dans tout le reste de son cours. Pour arriver à la constance absolue, il faudrait remonter à tout l'ensemble des corps de cet univers , de manière qu'il ne restât plus rien d'extérieur à considérer. C'est alors qu'on pourrait dire de cet ensemble , que le mouvement du centre de gravité est rigoureusement uniforme et rectiligne, et que la résultan te générale de toutes les aires décrites est inaltérable de grandeur et de position dans l'espace absolu. Mais alors, comme il n'y aurait plus aucune raison pour que ce centre fût porté d'un côté plutôt que de tout autre, ni que l'ensemble des corps tournât dans un certain sens plutôt que dans le sens contraire, il faudrait conclure que le commun centre de gravité est parfaitement en repos , et que la résultante générale des aires est entièrement nulle. Ainsi , l'on trouverait que toutes les forces et tous les couples de l'univers se balancent : je veux dire que si tous les corps qui existent venaient à se lier entre eux de manière à former un système invariable de figure, ce grand tout deviendrait parfaitement immobile dans l'espace absolu.

Mais ces dernières considérations, qui sont si loin de notre portée, ne pourraient même, comme on le

4l4 EQUATEUR

voit , nous conduire à rien qui fût à notre usage ; car , de ce dernier centre où Ton se placerait un moment par la pensée, on ne verrait plus d'aires décrites dans un sens qui ne fussent détruites, et pour ainsi dire effacées par d'autres aires décrites en sens contraire : de sorte que la considération de toutes les aires du système ne pourrait plus donner lieu à la détermination d'aucun plan. Ainsi, les vérités qu'on veut rendre absolues, à force d'abstraire ou de généraliser, s'évanouissent en quelque sorte, ou deviennent comme des axiomes qui n'apprennent plus rien. Dans toutes nos lois les plusg'enéralesy il n'y a que celles qui conservent encore quelque chose de relatif qui puissent nous instruire , et partant nous intéresser. Pour nous , l'attraction des étoiles , même les plus voisines, jusqu'ici paraît insensible, et l'altération qu'elle pourrait causer dans la position de l'équateur de notre système ne sera, je crois, de longtemps aperçue. Il faut donc nous en tenir à la considération de cet équateur, essayer de le déterminer, reconnaître, Vil est posible, ses variations, afin d'acquérir quelque idée nouvelle sur la constitution de notre système, et sur les changements qu'il peut éprouver par l'action des eomètes et des étoiles , ou d'autres corps inconnus de cet univers.

Addition au Mémoire qui précède.

En regardant le Soleil, les planètes et leurs satellites comme un système libre de toute action étrangère , il est démontré que le nouveau plan des aires que je propose sous le nom dVguateur du système du moude

est le seul qui soit rigoureusement invariable , c*està-dire qui reste toujours parallèle à lui-même dans Tespace.

Il est certain que cet équateur n'est pas le même que le plan nommé invariable par Laplace; qu'il y a une différence de plusieurs minutes entre leurs inclinaisons au plan de Técliptique , et une différence de plusieurs degrés entre les longitudes de leurs nœuds ascendants : ce qui est ici une différence de position très-considérable .

U est encore évident que le plan de Laplace ne peut plus être nommé le plan du maximum des aires, puisque , dans sa détermination , Laplace n'a pas tenu compte de ces aires décrites qui viennent des rotations des corps célestes, et des révolutions particulières de chaque planète principale et de ses satellites autour de leur commun centre de gravité.

Ces trois points de doctrine sont incontestables, et je crois même incontestés ; mais voici ce qu'on a pu dire.

Si Ton considère la petitesse des corps célestes par rapport à leurs distances mutuelles, la presque sphéricité de ces corps, et le peu d'influence que leur attraction réciproque doit avoir pour troubler leurs rotations sur euxmêmes , il semble que tous ces corps pourraient être ici r^ardés comme autant de points massifs, et que si le plan de Laplace n'est pas le plan du maximum des aires , et par cela même n'est pas rigoureusement invariable , il est du moins un certain plan qui doit varier extrêmement peu ; et que , par rapport aux plans des orbites célestes , il est pour ainsi dire assez invariable pour nous faire reconnaître les plus petits changemets qui pourraient survenir dans la position de ces orbites : de

4l6 EQUATEUR

sorte que , pour le système du monde tel qu'il est coDstitué , le plan dont il s* agit peut conserver encore le nom de plan invariable ; ce qui paraît d'abord assez plausible.

Mais il faut bien remarquer qu'une proposition de ce genre, pour être admissible, je ne dis pas en Géométrie, mais seulement en Astronomie pratique, aurait besoin d*être fondée sur des raisons plus précises; car il ne suffirait pas de montrer que les variations du plan de Laplace sont extrêmement petites, ce qui n'est pas douteux; mais il faudrait prouver qu'elles sont beaucoup plus petites que celles des autres plans qu'on y veut rapporter dans la vue de reconnaître les petits mouvements qu'ils pourraient avoir dans l'espace. Voilà nettement ce qu'il faudrait prouver , si la chose est possible ; mais c'est ce que personne n'a encore fait, et ne pourra jamais faire, comme on va le voir tout à l'heure.

On conviendra d'abord que , pour nous , contents d'avoir substitué un plan rigoureusement invariable a la place d'un autre qui n'est point démontré tel , nous pourrions noUs dispenser d'examiner la questioit peu géométrique dont il s'agit : car il est clair que ce ne serait pas à nous , mais à ceux qui essayent de conserver au plan de Laplace la propriété d'être invariable , de faire voir qu'en effet ce plan varie si peu , qu'il convient à cet usage délicat pour lequel il est proposé. Mais, afin de leur épargner cette fausse et vaine recherche, je vais montrer que ce plan, prétendu invariable, varie ^ que sa variation n'est pas extrêmement petite, comme on pourrait le croire, mais qu'elle est du même ordre que la précession des équinoxes , mouvement sensible dans le ciel , et remarqué , il y a deux mille ans , par Hipparque , un des plus grands astronomes de l'antiquité.

Or, pour voir sans calcul, et de la manière la plus évidente," ce défaut des formules de Laplace, il n'y a qua les appliquer au cas le plus simple de tous, à celui où le système ne serait composé que de deux corps.

Ne considérons donc que la Terre et le Soleil , et supposons même, afin de rendre la chose plus manifeste, que le Soleil soit parfaitement sphérique , qu'il ne tourne point sur son axe, et que son centre agisse exactement comme un point où toute la masse serait concentrée.

Par les formules de Laplace , il est évident que le plan invariable serait le plan même de Torbite de la Terre , ou ce qu'on appelle le plan de Vécliptique : de sorte que ce plan serait immobile, ou toujours parallèle à lui-même dans l'espace. Or je dis que , dans ce cas (le plus favorable qu'on puisse imaginer pour la théorie de Laplace) , les nœuds de l'écliptique sur un plan fixe varieraient d'une manière très-sensible.

Et, en effet , soit a la grandeur de l'aire qui vient de la rotation de la Terre sur elle-même, et dont le plan est Véquateur; soit A l'aire qui vient de la révolution de la Terre autour du Soleil , et dont le plan est Vécliptique. Il est certain , par notre théorie, que le vrai plan invariable serait celui de Taire G qui serait composée des deux aires a et A. Or le plan (G) de cette aire résultante passe nécessairement par la commune intersection des plans des deux aires composantes ; et, par conséquent, il passe toujours par la commune intersection de Téquateur et de l'écliptique , ou ce qu'on appelle la ligne des nœuds. Il est donc certain qu'à une époque quelconque du mouvement , la ligne des nœuds serait située dans le plan (G) de Taire résultante. Or , comme ce plan (G) est réellement inva- Statique P. 27

4l8 ÉQLATfcUR

riable, il est évident que si le plan de Fédiptique Tétait aussi, la ligne des nœuds serait immobile dans Fespace. Mais on sait que , par la seule action du SoleO sur le sphéroïde terrestre , la ligne des nonids aurait an mouTemenl deprécessîon qui, pour fixer les idées, serait d^enyiron iS'^, si Ton évalue Faction du Soleil au& -f- ^^ ^^^^^ ^^ ^^ Lune dans la précession totale qui est de So'' par année. Donc il est impossible que le plan de Fécliptiquc soit invariable , et l'on voit même qu'il se mouvrait avec Féquateur de telle manière que leur commune intersection décrirait notre plan fixe (G) par un mouvement angulaire de i5'' par année , ou de 1 5' en soixante ans.

Ainsi, dans ce cas si simple que j'examine, le plan donné comme invariable par les formules de Laplace change d'une manière bien sensible, puisque ses noends sur notre plan ûxe s'y mouvraient exactement comme les deux points de Féquinoxe. A la vérité, Faire a due à la rotation de la Terre étant très- petite par rapport à Faire A due à sa révolution autour du Soleil , Faxe de Fécliptique ne ferait qu'un angle très-petit avec Faxe fixe de notre plan invariable (G), et, par conséquent, s'en écarterait peu; mais il est certain qu'il tournerait autour de cet axe fixe exactement avec la même vitesse que Faxe de Féquat^r. On pourrait rendre encore bien plus sensible cette variation des nœuds du plan donné par les formules de Laplace. Supposons, par exemple, que le système soit formé de ces trois corps : le Soleil , la Terre et la Lune ; et regardons même ces corps comme trois points massifs qui ne sont soumis qu'à leur action mutuelle. Par la théorie de Laplace , on trouverait que le plan invariable est le plan de Forbite que le centre de gravité de la Terre et de la Lune décrit autour du Soleil ; ce qui serait en-

core à très- peu près le plan de l'écliptique. Mais par notre théorie , oit l'on tient compte , non-seulement de l'aire T due au commun mouvement de révolution de la Terre et de la Lune autour du Soleil , mai» encore de Taire O qui vient de la révolution particulière de ces deux coi^s dans le plan de l'orbe lunaire , il est certain que le vrai plan invariable serait celui de l'aire K qui résulte de la composition des deux aires T et O , plan qui passe nécessairement par la commune intersection des plans de ces deux aires composantes, et, par conséquent, par les nœuds de l'orbe lunaire sur le plan de Laplace. Si donc ce dernier plan était invariable, il faudrait conclure [ puisque le nôtre (K) Test aussi] que la ligne des nœuds est immobile dans l'espace. Or on sait que , par l'action moyenne du Soleil , les nœuds de l'orbe lunaire rétrogradent d'environ 20® par an. Donc le plan de Laplace doit se mouvoir avec celui de l'orbe lunaire , et de telle manière que leur commune intersection décrive notre plan fixe (K) par un mouvement angulaire d'environ 20° par an , ou d'une circonférence entière en dix-huit ans.

On pourrait donner beaucoup d'autres exemples : mais ce qu'on vient de dire suffit pour montrer de quel ordre peuvent être dans notre système planétaire les variations que le plan de Laplace doit éprouver à raison de ces aires qu'il a oublié de faire entrer dans son analyse. Le mouvement de ses nœuds sur le vrai plan invariable est précisément le même que celui des nœuds du plan de l'aire composée de toutes celles qu'il a oubliées dans son calcul. J'ai dit oubliées, et non pas négligées; parce que Laplace, qui, dans sa Mécanique céleste, néglige tant de quantités, n'oublie jamais d'en faire mention , et de dire pourquoi il les néglige. Dans la théorie même dont il s'agit, il néglige,

4aO EQUATEUR DU SYSTÈME SOLAIRE, parmi les termes qui contiennent ies produits deux à deux des masses des corps célestes , tous ceux où nHentre point la masse du Soleil , et il ne manque pas d*en donner une raison (que je n'examine point iéi). Mais quant à ces aires nouvelles que j*ai le premier considérées , il n*en dit pas un seul mot: et pourtant il arrive que ces quantités , non-seulement sont bien plus grandes que celles qu'il néglige , mais encore surpassent de beaucoup plusieurs de celles qu'il conserve, telles que les aires décrites par Mercure , Vénus , Mars et la Terre autour du Soleil. J'ai donc dû supposer que ce grand géomètre avait oublié les aires qui viennent de la rotation des corps célestes sur euxmêmes , et des révolutions particulières de leurs satellites : car ceux qui prétendent qu'il y a songé y mais qu'iV les a volontairement omises comme n*étant d'aucune influence dans cette théorie, lui prêtent une faute, lorsque moimême je n'ai parlé que d'un oubli.