DE L*ÉQVILIBRE ET DU MOUVEMENT DES SYSTÈMES

Le principe des vitesses virtuelles est connu depuis longtemps, aussi bien que la plupart des principes généraux de la Mécanique. Galilée observa le premier , dans les machines , cette fameuse propriété des vitesses virtuelles, c'est-à-dire cette relation si connue qui existe entre les forces appliquées et les vitesses que prendraient leurs points d'application si Ton venait à troubler infiniment peu l'équilibre de la machine. Jean Bernoulli vit toute l'étendue de ce principe , et l'énonça avec cette grande généralité qu'on lui donne aujourd'hui. Varignon et la plupart des géomètres prirent soin de le vérifier dans presque toutes les questions de la Statique ; et quoiqu'on n'en eût point de démonstration générale, il fut universellement regardé comme une loi fondamentale de l'équilibre des systèmes.

Mais jusqu'à Lagrange, les géomètres s'étaient plus appliqués à démontrer ou à étendre les principes généraux de la science , qu'à en tirer une règle générale pour la solution des problèmes; oU'plutôt ils ne s'étaient pas encore proposé ce grand problème, qui est à lui seul toute la Mécanique.

422 ÉQUILIBRK

Ce fut alors une heureuse idée de partir sur-le-champ du principe des vitesses virtuelles comme d'un axiome^ et, sans s'arrêter davantage ù le considérer en lui-même , de ne songer qu'à en tirer une méthode uniforme de calcul pour former les équations de l'équilibre et du mouvement dans tous les systèmes possibles. On franchit par là toutes les difficultés de la Mécanique : évitant , pour ainsi dire , de faire la science elle-même , on la transforma en une question de calcul ; et cette transformation, l'objet et le résultat de la Mécanique analytique , parut comme un exemple frappant de la puissance de l'Analyse.

Cependant, comme dans cet Ouvrage on ne fut d'abord attentif qu'à considérer ce beau développement de la Mécanique qui semblait sortir tout entière d'une seule et même formule, on crut naturellement que la science était faite, et qu'il ne restait plus qu'à chercher la démonstration du principe des vitesses virtuelles. Mais cette recherche ramena toutes les difficultés qu'on avait franchies par le principe même. Cette loi si générale, où se mêlent des idées vagues et étrangères de mouvements infiniment petits et de perturbation d'équilibre, ne fk en quelque sorte que s'obscurcir à l'examen ; et le livre de Lagrange n'offrant plus alors rien de clair que la marche des calculs , on vit bien que les nuages n'avaient paru levés sur le cours de la Mécanique que parce qu'ils étaient , pour ainsi dire, rassemblés à l'origine même de cette science.

Une démonstration générale du principe des vitesses virtuelles devait au fond revenir à établir la Mécanique entière sur une autre base : car la démonstration d'une loi qui embrasse toute une science ne peut être autre

ET MOUVEMENT DEîi SYSTÈMES. 4^3

chose que la réduction de cette science à une autre loi aussi générale , mais évidente , ou du moins plus simple que la première, et qui partant la rende inutile. Ainsi, par cela même que le principe des vitesses virtuelles renferme toute la Mécanique , comme il a besoin d'une démonstration approfondie, il ne peut lui servir de base première. Chercher à le démontrer pour l'heureux usage qu'on en a fait, c'est chercher à s'en passer pour cet usage même , soit en trouvant quelque autre loi aussi féconde, mais plus claire , soit en fondant sur les principes ordinaires une théorie générale de l'équilibre , dont la propriété des vitesses virtuelles ne devient plus alors qu'un simple corollaire.

Ainsi y dans cet état où Lagrange avait porté la science, ce n'était point la démonstration du principe des vitesses virtuelles qu'il fallait chercher immédiatement. La Mécanique analytique, telle que Tauteur Ta conçue, est au fond ce qu'elle doit être; et la démonstration du principe des vitesses virtuelles n'y manque point , puisque^ si l'on essayait de la mettre à la tête de ce livre d'une manière générale et bien développée, l'ouvrage se trouverait fait deux fois : je veux dire que cette démonstration comprendrait déjà toute la Mécanique. On doit donc considérer que Lagrange s'est placé tout d'un coup sur un des points élevés de la science , afin de découvrir quelque règle générale pour résoudre, ou du moins pour mettre en équations tous les problèmes de la Mécanique; et cet objet est parfaitement rempli. Mais, pour former la science elle-même, il faut élever une théorie qui domine également tous les points de vue d'où l'on peut l'envisager. 11 faut aller directement, non pas au principe obscur des vitesses virtuelles, mais à cette règle claire (|u'on

4 ^4 ÉQUlLlfiHE

en a su tirer pour la solution des problèmes; et cette recherche directe , naturelle , la seule propre à satisfaire notre esprit, fait l'objet principal du Mémoire qu'on va lire.

Propriétés de l'équilibre communes à tous les systèmes libres.

L'un des premiers éléments de la théorie générale de l'équilibre est cet axiome: que si des forces se font actuellement équilibre sur un système quelconque de figure variable , Féquilibre ne cessera point en supposant que le système soit rendu tout à coup invariable , ou vienne, pour ainsi dire, à se solidifier lui-même.

Les conditions de l'équilibre des corps solides doivent donc se retrouver dans l'équilibre de tous les systèmes possibles, et c'est pour cela qu'on peut les nommer les propriétés générales de Téquilibre.

On a présenté ces conditions de plusieurs manières; mais on peut remarquer qu'elles se réduisent à cette condition unique , que les forces appliquées aux divers points du système soient décomposables , suivant les droites qui les Joignent, en forces deu^ à deux égales et contraires. C'est la possibilité àe cette décomposition, qui exige les six équations ordinaires de l'équilibre, comme on le verra tout à l'heure.

D'abord le théorème est évident pour l'équilibre de deux forces ; il faut que ces deux forces soient parfaitement égales et contraires.

11 est bien aisé à' en conclure que , pour trois forces , si l'on joint leurs points d'application par trois lignes^ droites, il faudra nécessairement, pour l'équilibre, que ces forces

soient décomposables en d^autres deux à deux égales et contraires dans ces trois lignes.

Actuellement y si Ton a un nombre quelconque de forces , que Ton prenne trois quelconques de leurs points d*application , les trois lignes qui les joignent, et toutes celles qui, partant des autres points, viendraient aboutir à c«ux-là , on pourra se représenter ces trois premiers points comme les angles de la commune base de plusieurs pyramides triangulaires dont les autres points seraient les sommets.

Cela posé , on peut toujours commencer par décomposer les forces appliquées à ces sommets, chacune en trois autres 9 suivant les trois arêtes qui y aboutissent.

Ensuite , on est le maître de décomposer les trois forces > qui sont aux coins de la commune base, en forces qui soient égales et contraires aux premières, et en d'autres. Si Ton supprime les forces égales et contraires dans . les arêtes, il ne reste plus que trois forces appliquées aux trois angles de la base. Mais, puisqu'il y a équilibre, ces forces restantes doivent être décomposables , suivant les trois côtés de cette base , en forces deux à deux égales et contraires.

Donc toutes les forces étaient décomposables, suivant les droites qui joignent leurs points d^application , en forces deux à deux égales et contraires dans chacune d'elles; et cette décomposition est déterminée lorsqu'elle ne se fait, comme on le suppose ici , que par Zh — 6 distances mutuelles, h étant le nombre total des points du système.

Lorsqu'on veut faire entrer dans le calcul non- seulement les quantités des forces appliquées, mais encore leurs inclinaisons muluelles , on se donne , au lieu de

4l6 ÉQUILIBRE

chaque force , ses trois composantes parallèles à trois axes connus. Alors , pour exprimer qu'en chaque point chaque force est décomposée en d'autres suivant les arêtes qui y aboutissent, il faut trois équations où ces dernières composantes sont les inconnues. Il faudrait donc en tout 3 A équations pour les h points du système. Mais si Ton veut que les composantes soient deux à deux égales et contraires dans les Zh — 6 arêtes , elles ne formeront que 3 A — 6 inconnues. Donc , en les éliminant , il restera entre les forces données six équations de condition , pour que leur décomposition en forces égales et contraires soit possible, et, par conséquent, pour qu'il y ait équilibre. Ce sont les six équations connues: nous les avons données ailleurs par une autre métaphysique qui a de grands avantages ; mais j'ai été bien aise d'en indiquer en passant cette démonstration nouvelle , parce qu'on y découvre un nouveau sens, et qu'ici ces équations ne sont pas obtenues séparément et par des considérations particulières , mais s'offrent à la fois toutes six comme l'expression d'une seule et unique condition , qui est la possibilité que les forces appliquées se décomposent en d'autres égales et contraires suivant les distances mutuelles des différents points.

Cette décomposition est donc nécessaire dans l'équilibre de tous les systèmes possibles; et quand les distances mutuelles des points du système sont toutes invariables, elle suffit y de quelque façon qu'elle s'opère d'ailleurs , je veux dire quelle que soit la proportion des composantes dans les distances mutuelles successives.

Mais lorsque, aucune de ces lignes n'étant invariable à part , c'est simplement une fonction de leurs longueurs qui doit demeurer constante , aloi*s la décomposition pré-

cédente (qui est toujours nécessaire) ne suffit plus pour assurer l'équilibre du système ; il faut encore qu'il règne d'une droite à l'autre , entre les valeurs des forces égales et contraires , une certaine proportion qui dépend de la nature de la fonction proposée. Or c'est précisément cette proportion qu'il s'agit de découvrir ici; et c'est dans la manière générale de la déduire de la fonction proposée que consiste la loi fondamentale de l'équilibre des systèmes.

D'un système où les points ne sont liés que par une seule équation entre leurs distances mutuelles.

Ne considérons d'abord que quatre points , et leurs distances /w, /i, /?, 7, r, s qui sont comme les arêtes d'une pyramide triangulaire dont ces points seraient les sommets.

Représentons par /(/w, «,/?, (7, r^ s)z=z L = const. la fonction quelconque d^ ces distances qui doit demeurer constante , en sorte qu'on ait toujours cette équation , dans quelques positions respectives que puissent passer les divers points du système.

Cela posé, soient, s'il est possible, quatre forces qui tiennent ces quatre points en équilibre. Si on les conçoit décomposées, chacune en trois autres suivant les trois arêtes contiguës , il résulte de ce qu'on vient de dire , que les deux composantes qu'on trouvera dans chaque arête seront nécessairement égales et contraires, sans quoi il n'y aurait point équilibre, mémo en supposant toutes ces arêtes devenues roides.

IJ ne reste donc qu'à trouver la proportion des composantes autour de chaque sommet de la pyramide.

Pour cela , je suppose que trois quelconques des points deviennent parfaitement fixes dans l'espace. L'équilibre n'est pas troublé ; mais , à cause de Féquation proposée, le quatrième n'a plus que la liberté de se mouvoir sur une certaine surface courbe , et il a entièrement cette liberté. Donc il est nécessaire que la force unique P qui le presse soit actuellement perpendiculaire à cette surface (*).

Or, m^ Hy p étant les trois arêtes qui se terminent au point que l'on considère , la surface qu'il a la liberté de décrire quand les trois autres deviennent fixes , est donnée par l'équation

y (/;/,/?,/?, <7, /', s) = const,

lorsqu'on y regarde ///, //,/? comme seules variables

La normale à cette surface se trouve donc en prenant les trois /onctions primes f (m) , /^ (/?) , /*' {p) de la fonction proposée relativement aux trois lignes ou rayons m, n, p; portant sur eux trois longueurs respectives proportionnelles à ces fonctions primes, avec cette attention de les porter sur les rayons mêmes, pour les fonctions primes qui auront le même signe, et sur leurs prolongements, pour les fonctions qui auront le signe contraire : si l'on achève le rhomboïde, la diagonale donne la direction de la normale , comme cela se voit par la géométrie (**).

Donc , puisque la force appliquée au point qtie l'on

(*) Voyez, sur ce principe, la note 1.

(**) On ïrouvera plus loin la démonstration de ce théorèn&e.

considère, doit agir suivant cette direction , ses trois composantes suivant les arêtes m , n^ p sont nécessairement proportionnelles aux trois fonctions primes /' (/w) ,

/'{"), f'ip)-

On verrait de même qu'au point où se terminent les trois arêtes /w, 7, r, les trois composantes de la force qui le sollicite sont proportionnelles aux trois fonc tioTÈS primes/' (m) , /' (q), /'{r); et ainsi de suite.

Donc les forces égales et contraires dans les six arêtes ^y ^9 Py 1 1 '■> ^ sont toutes proportionnelles aux six fonctions primes /'{m) , /' (/»), /'(;?), /' (q) , /' (r) ,

Donc il est démontré , en toute rigueur, que si quatre corps ou points sont liés entre eux par la condition qu'une fonction quelconque de leurs distances mutuelles demeure constante, ces corps ne peuvent être en équilibre, à moins qu'ils ne soient sollicités les uns vers les autres, suivant leurs distances mutuelles, par des forces proportionnelles aux fonctions primes de la fonction donnée relativement à ces distances , ou , ce qui est la même chose, à moins qu'ils ne soient sollicités par quatre forces P , Q , R , S , qui puissent se décomposer en celles-là ; et , comme cette condition détermine entièrement les forces, il s'ensuit que de telles forces se feront réellement équilibre ; ou il faudrait dire que l'équilibre n*est pas possible sur le système, ce qui est inadmissible. Car imaginez, pour un moment, que trois de nos quatre points soient vraiment fixes ; il est clair que le quatrième , qui ne pourrait plus alors se mouvoir que sur une surface déterminée , serait tenu en équilibre par une force quelconque* normale à cette surface, et il est certain qu'en même temps les trois points fixes ressentiraient de certaines

43o ÉQUILIBRE

pressions déterminées. Or, à présent, qu'on rende libres ces trois points fixes , mais qu'on les soutienne aussitôt par trois forces égales et contraires aux trois pressions qu'ils avaient à détruire, et Téquilibre ne sera pas troublé. Donc il existe quatre forces qui peuvent tenir en équilibre nos quatre points , quoiqu'ils ne soient liés entre eux que par une seule équation; et ces quatre forces sont précisément celles qu'on a trouvées plus haut.

On a considéré sous la fonction les six distances mutuelles /w, «,/?, q^ /*, s y des quatrej corps ; mais le raisonnement serait le même si cette fonction ne renfermait qu'une partie quelconque de ces distances. Seulement on trouverait que les forces sont nulles le long des distances <[ui n'entrent pas dans la fonction.

Par exemple, que des trois distances /w, riy p du premier point aux trois autres, il n'entre que les deux premières m et n dans la fonction proposée; alors la surface que ce point peut décrire, quand les autres sont fixement arrêtés , est donnée par Téquation .... y(/?î, 72 , y , , . .) = cor/st,, en y regardant m et n comme seules variables. C'est une surface de révolution autour de la ligne qui joint les deux corps d'où partent les deux rayons vecteurs m et n, La normale à cette surface est donc simplement la diagonale d'un parallélogramme construit sur deux lignes proportionnelles à/' {rn)^f' (n), dont on aurait prolongé ces rayons vecteurs. La force qui doit agir suivant cette normale se décompose donc entièrement , suivant les distances m et /z , en deux autres proportionnelles /' (w),/' (/î), et ne donne point de <;omposante suivant la distance /? , qui n'entre point dans la fonction.

Si, des trois distances /;/, //, /? du premier point aux

autres , il n'y en avait qu'une seule m sous la fonction , la surface qu'il pourrait décrire quand les autres sont fixes serait donnée par l'équation /"(w, y, r, . . .) = const,^ en y regardant m comme seule variable , ce qui écjuivaut à m =:± con&t. C'est alors une sphère dont la ligne m est le rayon, et, par conséquent, la normale. La force qui doit agir suivant cette ligne y reste donc tout entière, et ses deux composantes sont nulles suivant les distances n et/? : d'où l'on voit qu'il ne peut y avoir aucune action directe entre les corps suivant leurs distances mutuelles que la fonction ne renferme pas.

Soient actuellement tant de points que l'on voudra, et

/(/?i,/î,/?,<7, r,...)=:Z = const.

une équation quelconque entre leurs distances mutuelles iif,iiy/i,<7,r,...;et s'il y a dans cette équation plus de 3^ — 6 distances mutuelles, h étant le nombre des points, qu'on élimine ces lignes superflues, ou qu'on les suppose éliminées au moyen des équations qui ont lieu d'elles-mêmes entre les lignes qui joignent des points deux à deux dans l'espace : on pourra se représenter, comme ci-dessus , toutes ces distances mutuelles comme les arêtes de pyramides triangulaires successives qui s'appuieraient toutes sur une même base.

Cela posé , soit le système tenu en équilibre par des forces P, Q, R, S,. . . respectivement appliquées à ses différents points.

D'abord toutes ces forces doivent être décomposables , suivant les lignes /w, //, />, 7, r,. . . en forces deux à deux égales et contraires, sans quoi il ne pourrait pas y avoir équilibre , comme on l'a démontré plus haut.

Cette décomposition supposée faite (et elle aura lieu

ici d*une manière déterminée), il ne s*agit plus, pour connaître les forces, que de trouver là proportion nécessaire de leurs composantes. Or je dis qu'elles sont entre elles comme les fonctions primes de la fonction proposée relativement aux lignes /w, «,/?, 7, r,... où elles sont dirigées.

En effet , considérons à part quatre points qui forment les angles de Tune de nos pyramides , et supposons , pour un moment , que , leurs distances mutuelles restant seules variables dans Téquation, toutes les autres y deviennent constantes ; il est clair que le jeu de ces quatre corps devient le même que s'ils étaient restés seuls dans l'espace, mais liés entre eux par Téquation proposée, où Ton regarderait leurs seules distances mutuelles comme variables, et toutes les autres lignes comme de simples nombres donnés. Cela résulte de la supposition même, et se voit aussi très-bien dans la figure , en se représentant les six arêtes de notre pyramide restées seules variables. D'abord , le point qui fait le sommet de cette pyramide ne tient point aux autres arêtes devenues invariables ; et pour les trois points à la base, ils ne sont pas plus gênés par ces arêtes, qui descendent sur eux trois à trois, des autres points du système, que si elles n'y étaient réellement pas. Car, bien que ces lignes soient devenues isolément roides , comme on les suppose restées mobiles autour de leurs points d'intersection , qui eux-mêmes sont mobiles dans l'espace, il est visible' qu'elles se prêtent d'elles-mêmes aux mouvements des trois points où elles aboutissent , et ne font que les suivre, sans les gêner, dans toutes les positions où ils peuvent passer quand on fait varier leurs seules distances mutuelles dans l'équation proposée.

Donc, en vertu de ce qui a été démontré, il faudrait , pour réquilibre particulier du système de nos quatre points, qu'ils fussent sollicités les uns vers les autres par des forces proportionnelles aux fonctions primes de la fonction donnée, prises relativement à leurs distances mutuelles.

Mais il est clair que cette proportion doit se retrouver absolument la même dans Téquilibre général du système ; car si l'équilibre est supposé y exister, il y subsiste toujours en supposant telles arêtes que l'on voudra devenues roides , et supprimant alors toutes les forces égales et contraires qui se détruiraient dVlies-mémes dans l'es arêtes. Les forces restantes appliquées au système partiel le long des arêtes ou distances mutuelles restées variables , doivent donc suivre nécessairement la loi de réquilibre de ce système.

Donc, an moment de l'équilibre général, on est sûr que les composantes contraires qu'on trouverait dans les arêtes de Tune quelconque de nos pyramides sont proportionnelles aux fonctions primes de la fonction donnée relativement à ces lignes. Donc, à cause des arêtes communes aux pyramides successives, cette proportion s'étend <l*une arête à l'autre dans toute la figure du système ; et tous les points sont nécessairement sollicités les uns vers les autres, suivant leurs distances mutuelles /w, /?,/?, <7, r, . . . qui entrent dans la fonction , par des forces propoi^tionnelles aux fonctions primes f {m) , f («) , /' (p) , /' (?) , /' (r) , etc. , de cette fonction, relativement à ces distances m y n^py çr, r, ... Ce qu'il fallait démontrer.

Si donc , aux différents points du système , on prend sur les lignes /w, «, /?, q^ r, . . . des longueurs quel- Statique P. a8

conques toutes proportionnelles aux fonctions primes f'{m) , f'[n) , /' (p) , /' {q) , /' (r) , etc. , qui se rapportent à ces lignes 9 ces longueurs représenteront les composantes des forces qui doivent être appliquées à ces points respectifs; de sorte qu'en les réduisant en chaque point à une seule P , on aura la force unique qui doit y être appliquée pour Téquilibre du système.

La manière la plus simple de trouver l'expression de ces forces P , Q , R , . . . , est de chercher, pour chacune d'elles P , ses trois composantes X , Y , Z , parallèles à trois rectangulaires dans l'espace.

Soient x, /, z les trois coordonnées du premier point par rapport à ces axes; w, /z, p^ etc. , ses distances aux autres points dont les coordonnées soient a/, y, z'; œ\y\ z" ; x'\ y'", z'\ etc.; on aura

m= sl{x — a/y + (r — xj + (z — zj , n = sl[x ~ x'J -^ {y ^y"Y + (^ ~ z'j ,

;, = v/(^ - x"y + {y ^yj -h (z - zy,

etc. ;

et les fonctions primes de ces expressions, prises par

, > , , . dm dn

rapport a or, et que nous représenterons par -j— , — j

dx dx

dp

-^î etc., seront les cosinus des angles que les droites

font avec l'axe des .r.

Les forces /'(/w), /'(«), /'(;?), etc., appliquées au point que Ton considère suivant ces droites, donneront donc, parallèlement à Taxe des jt, les composantes respectives

KT MOUVKMKNT DKS SYSTÈMES. /|35

lesquelles se réduiront à une seule X égale à leur

somme,

-. , - dni ^, , .du ^, , V dij /'(->^4-/'W5- + /'(/,)J + etc.:

or cette expi^ssion 'n'est autre chose que la fonction prime de la fonction proposée /(/w, 'î , /> , 9 , '',) • • » ou X, prise relativement à j:, et que nous représenterons

amplement par (-t-)*

Ainsi y la force appliquée au premier point aura sa composante X, suivant Taxe des x, représentée par

{— -p c'est-à-dire par la fonction prime de la fonction donnée L , relativement à la coordonnée du point le long de cet axe.

On aura de même pour les deux autres composantes Y, Z, suivant les axes des /, z, les expressions

( — 1 5 ( -7- ) i ^ sorte que la force elle-même P sera représentée par

Si l'on considère la surface courbe représentée par réquation L'=zconst,y quand on y regarde j^, /, 3

comme seules variables , on sait que ( ;7- ) 9 ( ^T" ) ' \J\ ^®°* proportionnelles aux cosinus des trois angles que fait avec les axes la normale à cette surface (♦).

(*) Celte analyse contient la dôraonstralion {générale du thco-

lia orr«*

dirigée perpendiculairement à la surface courbe que le point où elle agit pourrait décrire si tous les autres devenaient fixes; ce qui doit être et ce qu*on pouvait supposer à priori, comme dans le cas du système de quatre points, où Ton est parti de cette vérité comme principe.

Donc, en appliquant ce qu'on vient de dire aux différents points du système, les forces P, Q, etc., qui les sollicitent, sont toutes proportionnelles aux fonctions

v/(l)'+(fy-(fy-

etc. ,

rèmc de géométrie dont on a parlé pins haut ( p. 4^8). Il cd résulte que les lignc8/'(ni),y (/i;, /'(;>),eic , étant composces à la manière des forces , donnent pour ré»ultunte la nurniuie à la surface courbe décrite par le point où wi , n^p, 7, clc, aboutissent comme rayons vecteurs. C'est ce rapprochement curieux , entre la composition des forces et la dcterminalion des normales, qui amône , en Mécanique, ces fonctions primes de la fonction donnée, comme Tcxprcssion naturelle des forces capables de se faire équilibre. Car il faut, en chaque |>oiui, que les forces appliquées soient proportionnelles à ces fonctions ^rimr5, afin de donner leur résultante dirigée suivant la normale à la surface que ce point peut décrire quand on arrête tous les autres; et c'est ensuite la nécessité de Téquilibre dans chaque partie du sysiènie qui (ait passer celle proportion d'un point à Taulredan*. toute Iv'tHiidue de la figure.

et chacune dVlles est normale à la surface courbe que son point (inapplication pourrait décrire, en vertu de Téquation L-=const. , si Ton supposait tous les autres fixement arrêtés.

Cette démonstration nous paraît nette et rigoureuse $ elle est même dégagée de cette espèce d^axiome, que, dans les systèmes, les points ne peuvent agir les uns sur les autres que suivant les droites qui les joignent. En effet, pour obtenir les forces totales qui doivent être appliquées aux points respectifs du système, nous sommes bien maîtres d'imaginer chacune d'elles comme décomposée en d'autres suivant telles lignes que nous voulons choisir, et qui, pour chaque point, sont au nombre de trois au moins; et puisque nous avons trouvé la proportion nécessaire de toutes ces composantes, il s'ensuit que nous avons trouvé les vraies forces de l'équilibre, et que cet équilibre est unique.

Cependant voici une difficulté apparente qu'il nVst peut-être pas inutile de proposer et de résoudre, parce que sa solution très-simple met le théorème dans un nouveau jour.

Quand le système n'est composé que de quatre points, il faut nécessairement leurs six distances mutuelles pour déterminer la pyramide dont ils sont les angles; et, par conséquent, il n'y a aucune équation de condition y c'est-à-dire qui existe d'elle-même entre ces distances.

Mais, lorsque le nombre des points est supérieur à quatre, il y a plus de distances mutuelles qu'il n'en faut pour assurer la figure du système ; et l'on a , entre toutes les distances, autant d'équntiuns de condition que de lignes superflues. On peut donc alors éliminer de la

fonction proposée /*(/«, n, p, 7, r, . . .), ou y introduire telles de ces lignes qu'on voudra , et que toutefois la combinaison de ces équations pourra permettre. Ainsi, Ton pourra varier les distances qui entrent sous cette fonction , et la forme de cette fonction de plusieurs manières.

Or, suivant qu'on voudra présenter cette fonction entre telles ou telles distances mutuelles, on trouvera telles ou telles forces suivant ces distances, d'où il paraît que les forces totales P, Q, etc., qui en résulteraient à chaque point, pourraient bien n'être pas les mêmes dans ces différents cas, quoiqu*au fond la liaison des points n'ait pas été changée, et que le cas de l'équilibre soit unicjue.

Pour détruire sur-le-champ cette difficulté, j'observe que, si une fonction des distances mutuelles de plusieurs points peut 'quelquefois être écrite de plusieurs façons , selon les distances que l'on y veut choisir, cette fonction néanmoins reste toujours identique y si on la regarde comme une fonction des coordonnées j? , jr ? z de tous les points. En effet, les équations de condition qui ont lieu entre les distances mutuelles w, «, /?, 7, r, . . . ne sont autre chose que des identités, lorsqu'on vient à y substituer, au lieu de ces droites, leurs expressions par les coordonnées .r, /, z; ;r', j', z', etc., des différents points qu'elles unissent. Ainsi, quoique au moyen de ces équations, la fonction proposée L puisse être changée en w, «, /7, 7, r, . . . , elle demeure toujours la même en ^, r, s; j:', j', z', etc.; les expressions (dL\ (dL\ jdL\ IdL'

sont donc aussi toujours les mêmes. Or, comme on sera toujours conduit à ces expressions pour les composantes X, Y, etc., de quelque manière permise que la même fonction L ait été écrite en w, /i, /?, r/, r,. . ,, il s^ensuit qu'on parviendra toujours aux mêmes forces P, Q, R, etc. , pour l'équilibre du système , comme cela doit être.

Ceci nous fait voir encore que si la fonction proposée Ly ou/(my n, p, q^ r,. ..) est présentée entre plus de lignes m, n, p^ q^ r,, . . qu'il n'en faut pour la figure, il sera inutile d'éliminer les autres, comme on l'a supposé fait , au commencement , pour la clarté de

la démonstration. Les fonctions (;7")'(-7-)' (t")'

(dL\ ldL\ [dix , . .

\^)' \7F^]'* l"/^)' ^^^ ' qu'on en tirerait pour

l'expression des forces de l'équilibre, seraient identiquement les mêmes que si Ton n'avait pas fait l'éliminatien; et, par conséquent, on les obtiendra tout de suite, sans rien changer à la forme sous laquelle la fonction est donnée.

A l'égard des actions réciproques des différents points, si l'on sait que, dans le système dont on s'occupe, il ne peut y avoir de communication directe entre les h points que par leurs 3// — 6 distances mutuelles qui entrent sous la fonction, on conclura de ce qui a été démontré , que ces points agiront réellement les uns sur les autres, suivant ces distances m , /i , /?, ^ , r,. . ., en raison des fonctions primes f'[in)y /' (/i), /' (/?), /'('/),/'('•). etc.

Mais, de même que la fonction proiK)sée peut être présentée indifféremment entre telles ou telles dis-

44o ÉQUILIBRE

tances muiuellies, de même la communication des points peut être établie suivant telles ou telles de ces lignes sans que la liaison générale de ces points soit changée. Si donc on ignore de quelle manière le système est exécuté, on ne pourra pas dire, d'après la seule fonction f(pi j n, p^ q ^. , ,)y quelles sont les réactions véritables des différents points, parce qu*on ne saura pas si les liens qui pourraient donner lieu à ces actions directes sont établis précisément le long des distances mutuelles /n, /i, /?, 7, ^f - - y qui paraissent dans la fonction. Ainsi, cette fonction qui, sous quelque forme qu'elle soit donnée , caractérise le système , et suffit pour faire connaître sur-le-champ les forces uniques P, Q, R, etc., ou

î etc. ,

qui doivent être appliquées aux différents points, ne suffit pas pour apprendre comment ces forces se distribuent réellement des uns aux autres : il faut encore regarder la construction du système lui-même, et voir suivant quelles distances mutuelles la communication est réellement établie. S'il arrive qu'elle se fasse précisément par les mêmes distances que celles qui sont dans la fonction donnée, on prendra sur-le-champ les fonctions primes relatives à ces distances , et l'on aura les réactions véri(ables des différents points. Mab si la communication s'opère par d'autres lignes, il faudra commencer par éliminer de la fonction toutes les distances mutuelles le long desquelles il n'y a pas de lien inunédiat dans la construction du système (ce

qui pourra toujoui^ se faire au moyen des équations de condition entre ces droites), et ks fonctions primes de cette fonction nouvelle par rapport aux distances mutuelles qui y restent seront les expressions des actions réciproques qui auront véritablement lieu entre les corps.

Tel est l'esprit de cette loi fondamentale qui contient toute la science des forces. Avant d'aller plus loin , il me paraît à propos d'en faire quelques applications simples, où l'on voie à la fois la rapidité des solutions et ridentité de la théorie avec les premiers principes de l'équilibre.

Considérons d*abord trois points liés entre eux par la condition que la somme de leurs distances mutuelles rHy fij p doive demeurer constante.

La fonction /(m, n^ p) sera donc ici w -f- /? 4-/? ; en prenant les fonctions primes^ on aura

Ce qai nous apprend que chacun des trois points doit être sollicité vers les deux autres par des forces égales ; que, par conséquent, les trois forces, P, Q, R, qu'il faut appliquer à ces points, sont représentées en grandeurs et en directions par les diagonal«s de trois losanges construits avec les mêmes côtés sous les trois angles du triangle.

C'est la loi de l'équilibre de trois points où passeraient , comme dans des anneaux , un même fil inextensible le long duquel ils pourraient couler librement. Quand ces points se meuvent de manière que le fil reste tendu , la somme de leurs dislances mutuelles demeure conslnnto, conformément à l'équation « -h « -+- /^ = const, ; et chacun d'eux , lorsqu'on le

44'^ ÉQUILIBKK

suppose seul mobile, n'a plus que la liberté de se mouvoir sur un ellipsoïde de révolution dont les deux autres sont les foyers. C'est pour cela que chacune des forces appliquées divise en deux parties égales l'angle formé par les distances de son point d'application aux •deux autres ; car cette force doit être normale à l'ellipsoïde dont il s'agit, et dans cette surface la normale divise en deux parties égales l'angle formé par les rayons vecteurs.

On peut remarquer que le fil inextensible ne représente pas complètement la liaison que l'équation suppose; car ce fil fait simplement que la somme des distances des points ne peut pas devenir plus grande , mais il ne Tempêche pas de devenir moindre. Ainsi, pour l'équilibre des trois corps unis par le fil, il faut encore ajouter que les forces doivent agir de manière à ce que le fil soit tendu; au lieu que, dans l'équilibre du système défini par l'équation /w -f- /z 4- /? = const, , elles peuvent agir indifféremment, ou pour tendre le fil, ou pour le comprimer: de sorte que l'espèce de fil flexible que le calcul suppose est tout à la fois inextensible et incontractile.

Si c^était simplement la somme des distances m et n des deux premiers cqrps au troisième qui dût demeurer constante, on aurait

/(m , n) = m -{- n = const, ,

d'où y (jn) = f [n) =z i . Ainsi , il faudrait appliquer aux deux premiers corps deux forces égales, suivant leurs distances m et n , au troisième ; et à celui-ci , une force égale et contraire à leur résultante ; et il n'y aurait point de force suivant la distance p, ((ui n'entre pas sous la fonction.

C'est, en effet, le cas de trois corps dont l*un pourrait couler comme un anneau le long du fil, tandis que les deux autres seraient fixement attachés à ses deux bouts. Quand les deux corps extrêmes sont supposes fixes, celui du milieu n'a plus que la liberté de décrire un ellipsoïde de révolution autour d'eux comme foyers; mais ceux-ci décrivent simplement des sphères autour de lui, comme centre, quand ils sont regardés, Tun après Tautre, comme seuls mobiles. Voilà pourquoi la force appliquée au corps qui peut glisser le long du fil divise en deux également l'angle formé par les deux portions de ce fil, tandis que chacune des deux autres forces agit vers le corps du milieu, dans la direction du fil luimême.

S'il y avait plus de trois corps unis entre eux par un même fil, le long duquel ils pussent couler librement , en nommant /w , /i, /?, y, r,... les portions successives de ce fil, on aurait

/(w, 72,/?, 7, r,,,,)=m -}-n -i-p -h.7 H- /-+... = const,,

et, par conséquent,

/' (m) =/' (n) = /' ip) = /' (-/) = /' (r) = etc. = . ,

comme ci-dessus : d'où Ton voit que le fil doit être également tendu dans toute sa longueur; que chacune des forces divise en deux parties égales l'angle du polygone funiculaire 011 elle est appliquée, et qu'elles sont toutes proportionnelles aux cosinus des moitiés de ces angles; etc.

Supposons actuellement que nos trois corps soient tellement liés, que la somme des carrés do leurs dislances mutuelles reste consîante.

444 KQUIUIJUE

La fonrlion / (//* , n y p) sera ici m^ -h n- -\- jP ; et Ton aura

/'(//i) = 2///, f'{n)z=in, f'{p)=zip.

Il faudra donc, pour Téquilibre, que chaque corps soit sollicité vers les deux autres par des forces proportionnelles à ses distances à ces deux corps; d'où il est facile de voir que les trois forces uniques P, Q , R , qui agiraient sur ces points respectifs, sont dirigées vers leur centre de gravité, en les supposant de masses égales, et sont proportionnelles à leurs distances à ce centre.

C'est, en effet, ce qui résulterait du plus simple raisonnement; car, en vertu de Téquation

m^ -\- n^ -\- p^ = const, , si Ton suppose deux des points devenus fixes, le troisième n'a plus que la liberté de décrire une sphère dont le centre est au milieu de la droite qui joint les deux autres : or la force qui le sollicite, dans le cas de l'équilibre, doit être normale à cette surface, et, par conséquent, les trois forces doivent être dirigées des trois angles du triangle vers les milieux des côtés opposés , et se croiser ainsi au centre de gravité de ce triangle; il est clair ensuite qu'elles sout entre elles comme les distances des angles à ce point.

Mais ici on ne peut plus construire le système comme on l'a fait dans l'exemple précédent; il faudrait un fil d'une espèce particulière, où les corps pussent rouler de manière tpie la somme des carrés de leurs distances fût toujours la même, et nous ne connaissons pas de fil qui ait celle propriété. Mais, de qudqut; façon fju'un pareil système puisse être rxé-

El' MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 445

ciité, qu'il soit même possible ou non, peu importe à la théorie; notre objet n'est pas de le faire, mais de trouver les forces d'écjuilibre qui résultent nécessairement d« sa défmition , et le problème est résolu dans toute sa pureté.

Que si Ton avait un plus grand nombre de corps Iié« de manière que la somme des carrés de toutes leurs distances mutuelles dût demeurer constante, on verrait de même que, pour l'équilibre, tous ces corps doivent être sollicités les uns vers les autres proportionnellement à ]eui*s distances ; de sorte que les forces totales qui les animent respectivement sont dirigées vers le centre de gravité de tous ces points, considérés comme égaux en masse , et sont proportionnelles aux distances de ces points à ce commun centre.

Si la fonction des distances mutuelles était

1 1 1 h.--» en prenant les fonctions primes ,

on aurait

et tous les corps, dans le cas de l'équilibre, devraient être sollicités les uns vers les autres en raison inverse des carrés de leurs distances mutuelles, etc., etc.

On pourrait multiplier les exemples; mais ceux-ci suffisent, et je rêvions à la question générale.

D'un système où les points sont liés par plusieurs équations quelconques entre leurs distances mutuelles.

Supposons actuellement que les points du système soient tellement liés qu'on ait toujours entre leurs distances mutuelles les équations suivantes :

/(/w, /î, /?, 17, /-,...)= L :=. const. , y (/w, n, py qy /',...) = M-=i const,, ^(w, /?, p, 7, /-,...)= N =1 const., etc.,

de sorte que le système puisse affecter toutes les figures où ces équations subsistent, et n'en puisse affecter aucune où elles cesseraient d'avoir lieu.

Premièrement , par cela seul que les points du système sont liés entre eux par la première équation Ltj=i const., on peut leur appliquer les forces respectives

dL\'

etc.;

\ désignant un coefficient quelconque indéterminé, et chaque force étant normale à la surface représentée par réqualion L = const. , lorsqu'on y regarde les trois coordonnées du point d'application comme seules variables; et l'on est sur que ces forces se font équilibre sur le système.

En second lîeii, parce que les points sont liés entre eux par la seconde équation M = const,, on peut leur appliquer encore les forces respectives

, I idMy idMy idMy

I IdMy IdMy IdM

etc. j

\L étant un nouveau coefficient indéterminé , et chacune , de ces forces étant normale à la surface représentée par Téquation M = const, y lorsqu'on y regarde les coordonnées du point d'application coït me seules variables.

De même , en désignant par v un coefficient indéterminé comme les précédents, on peut encore appliquer aux points du système les forces respectives

IdNy JdN

dNV (dNy

I idN

/ (dNY i dN\' fdNy

etc.,

dirigées suivant les normales aux surfaces respectives représentées par l'équation N = const,, lorsqu'on y regarde successivement, etc.

Et ainsi de suite pour les autres équations qui lient les points du système.

Il est bien manifeste qu'il y aura équilibre en vertu de toutes ces forces, puisqu'il y aurait équilibre en particulier dans chaque groupe relatif à chaque équation.

Mais on pourrait demander si ces forces, ou leurs résultantes aux différents points, sont les seules qui puissent se faire équilibre sur le système; si, par la simultanéité des équations L ■= const.y M-=i const.,- N = const., etc., les points ne pourraient pas devenir capables d'autres résistances que des résistances composées de celles qui naîtraient successivement de ces équations, si elles avaient lieu l'une après Tautre.

Pour répondre à cette question , j'observe qu'au moment de l'équilibre du système, chaque équation peut être regardée comme tenant lieu de certaines forces : car si l'on venait à supprimer tout à coup cette équation, réquilibre serait rompu; mais il est clair qu'il y aurait de certaines forces propres à empêcher cette rupture , et qui remplaceraient parfaitement l'équation absente. Si donc on imagine que toutes les équations, hors la première , soient actuellement remplacées par des forces convenables, les points ne se trouvant plus liés entre eux que par la seule équation L =: const., il est nécessaire que toutes les forces appliquées soient réductibles à des forces proportionnelles aux fonctions

v/(fHfHfy'

etc.;

d'où l'on voit que cette équation, dans Téquilibre du système, ne peut tenir lieu que des mêmes forces dont elle pourrait tenir lieu si elle était seule. Ainsi, les forces qui peuvent se faire équilibre sur un système défini par plusieurs équations ne sont autre chose que les forces composées de celles qui s'y feraient équilibre séparément en vertu de chaque équation (*).

Lorsque les points du système ne sont liés que par une seule équation, le cas de l'équilibre est unique; je veux dire qu'il n'y a, pour chaque figure où peut passer le système^ que des forces P, Q, R, etc., de directions et de proportions déterminées , qui puissent s'y faire équilibre. Mais lorsqu'il y a deux équations L •=. const,^ M=: const., l'équilibre n'est plus unique; et il y a pour une même figure une infinité de groupes de forces qui peuvent se faire équilibre sur le système. En effet , au moyen des deux indéterminées > et p qui affectent les deux composantes

de chaque force , on peut varier les directions et la proportion de ces forces d'une infinité de manières. Seulement il faut observer que chacune d'elles ne sortira pas d'un plan déterminé : car la première composante est normale à la surface représentée par l'équation L=:cortst.f lorsqu'on y regarde les coordonnées du point comme seules variables; la seconde est normale à la surface

( *) Voir, sur co point , la ISotiî II.

Statique P. 29

45o ÉQUILIBRE

représentée par Téquation ilf = const,, loi*sqiron y regarde les mêmes coordonnées comme seules variables. La résultante est donc située dans le plan perpendiculaire à rintersection de ces deux surfaces. C'est , en efl'et , ce quf doit avoir lieu ; car, si Ton vient à fixer tous les points du système, hor» celui dont il s'agit, il n'aura plus que la liberté de se mouvoir le long de cette intersection , comme dans un canal infiniment étroit ; or, l'équilibre n'étant point troublé par l'hypothèse , il faut nécessairement que la force appliquée soit actuellement perpendiculaire à Id direction de ce canal.

Quand il y a plus de deux équations qui lient le» pointa du système, l'indétermination du cas de l'équilibre est encore plus étendue; et, pour les points dont les coordonnées se trouvent à la fois dans trois équations, le» forces appliquées peuvent avoir des directions quelconques. Les trois indéterminées >, p, v, qui affectent alors les trois composantes de chaque force, peuvent donner à cette force une direction arbitraire dans l'espace. C'est ce qui s'accorde encore avec notre principe ; car si l'on suppose devenus fixes tous les points hors celui que je considère, comme ses coordonnées entrent à la fois dans trois équations, ce point ne conserve plus aucune liberté dans l'espace ; ainsi , la force qui le sollicite n'est obligée à aucune direction déterminée (*).

(^) Au reste, il faut bien entendre ceci : les directions des forces ne sont pas toutes indéterminées ; sUl n'y avait, par exemple, que trois équations, une fois que Ton aurait disposé de A, /a, y pour donner à Tune des forces une direction arbitraire, les direefioos dt \& proportion des autres seraient nécessairement déterminées.

Et MOUVEMENT DKS SYSTÈMES. 45 1

D'un système où les points sont liés par des équations quelconques entre leurs coordonnées.

Jusqu'ici nous n'avons considéré qu'un système eniièrement libre, c'est-à-dire dont les points ne se trouvent liés que par des équations entre leurs distances mutuelles; mais il est bien facile d'étendre la loi que nous avons trouvée à un système où les points seraient liés par des équations entre leurs coordonnées relatives à trois axes fixes dans l'espace. Ce n'est pas que les fonctions Ly Af , Ny etc. , des distances mutuelles m^n ^p^q^ etc. , ne puissent être regardées comme fonctions des coordonnées Xy 7, z ; x', y, z' , etc. , au moyen des expres-

sions ^{x — x'Y -+-(/ — yy -f- (2 -— 2')', etc. , qu'on y sabstituerait à la place des lignes m , etc. ; mais elles ne contiennent alors ces coordonnées .r , j, z ; a/, 7', z', etc. , que d'une certaine manière, et nous voulons passer au cas où elles en seraient des fonctions quelconques.

Pour cela , reprenons notre système libre de l'article précédent, et, choisissant à volonté trois points de ce système , menons de chacun des autres trois lignes à ces points, et supposons, ce dont on est toujours le maître, que, dans les équations Z = const,, M-=i const,, N= const., etc., il n'entre que ces distances et celles qui joignent nos trois points deux à deux.

Si l'on suppose alors que ces trois points deviennent fixes , les forces de l'équilibre n'en sont pas moins exprimées par les mêmes fonctions qu'auparavant; seulement les trois points devenus fixes supporteront des pressions égales et contraires aux forces qu'il aurait fallu

y appliquer s'ils étaient restés libres avec les autres. Actuellement, faisons abstraction de ces trois points , c'està-dire regardons les autres comme formant à eux seuls un système qui est celui que nous avons en vue. Les équations entre leurs distances aux trois points fixes deviendront des équations quelconques entre les coordonnées qui déterminent leurs lieux dans l'espace : cependant les forces de l'équilibre seront exprimées comme auparavant. Ces forces, il est vrai, ne se feront plus équilibre entre elles seules , comme dans le cas du système libre, oii nous les avons vues se décomposer en forces 9 deux à deux égales, et contraires, suivant les droites qui joignent les points ; et même il pourra souvent arriver qu'il n'y ait aucune action directe entre ces mêmes points. Mais, pour concevoir alors comment l'équilibre s'opère, il faudra supposer qu'on restitue ces trois points fixes avec lesquels les premiers sont en liaison tacite ; et c'est par ces points , comme par des espèces de poulies de renvoi , que ceux du système réagiront les uns sur les autres, et entretiendront la loi de leurs résistances respectives de la même manière que si tout était libre dans Tespace.

Voilà précisément ce qui arrive quand on considère un système dont les points sont liés par des équations quelconques entre leurs coordonnées. On ne voit actuellement que les points dont les coordonnées paraissent dans ces équations, et Ton ne peut plus expliquer l'équilibre entre ces seuls corps : c'est qu'en se donnant une équation quelconque entre les coordonnées de plusieurs points, on introduit tacitement des objets fixes extérieurs , auxquels les points se trouvent liés, et souvent par lesquels seuls ils peuvent

se communiquer leur action réciproque. Mais si Ton imagine alors qu'on ait pris trois points quelconques dans l'espace, et qu'on ait changé les coordonnées primitives en d'autres qui soient, pour chaque point, ses distances à ces trois foyers , en ajoutant ces trois points au système, et considérant le tout comme libre, on trouvera pour les forces la même expression que nous avons donnée plus haut; et si Ton ne veut plus compter ensuite les trois forces appliquées aux trois foyers, parce qu'en les supposant fixes, ils n'ont pas besoin d'être retenus par des forces actuelles, et qu'ils trouvent en eux-mêmes les résistances nécessaires pour l'équilibre, on n'aura égard , comme on le fait ordinairement , qu'à celles des points du système proposé, lesquelles auront entre elles les mêmes relations qu'auparavant, et se déduiront immédiatement des équations données, sans leur faire subir aucune transformation.

Et de là résulte enfin ce théorème , qui est l'objet principal du Mémoire :

Quelles que soient les équations Z = o, etc., qui régnent entre les coordonnées des différents points d'un système, chacune d'elles, pour l'équilibre, demande qu'on applique à ces points, le long de leurs coordonnées , des forces quelconques proportionnelles aux fonctions primes de cette fonction L , relativement h ces coordonnées respectives.

Ainsi , en représentant par X = o , il/ = o , etc. , des équations quelconques entre les coordonnées ^, j, z\ ^i^j «', etc., des différents points, et par X, fx, etc., des coefficients quelconques indéterminés, on aura pour les forces totales, X, Y, Z; X', Y', Z', etc. , qui doivent être appliquées à ces points suivant leurs coor-

données :

{dM\

Yz

(dM\

(dM\

/dM\

/dM\

etc.

etc. ,

etc.,

■ etc.

etc.

etc.

etc. /

Si Ton élimine de ces équations les indéterminées >, fA, etc. , il restera les conditions de l'équilibre proprement dites, c'est-à-dire les relations qui doivent avoir lieu entre les seules forces appliquées et les coordonnées de leurs points d'application pour l'équilibre du système.

Les équations (A) sont en même nombre que les coordonnées de tous les points , et les indéterminées > , fx, etc., en même nombre que les équations de condition Zr= o, M =iOj etc. Le nombre des conditions de l'équilibre est donc égal à celui de toutes les coordonnées, moins le nombre des équations qui les lient ; par conséquent , les conditions de l'équilibre diminuent à mesure que celles de la liaison augmentent. Mais comme, pour un système entièrement libre et dont le nombre de points est A , il ne pourrait pas y avoir plus de 3 A — 6 équations de condition, auquel cas la figure serait entièirement déterminée, il s'ensuit que, pour l'équilibre d'un tel système, il reste toujours six conditions nécessaires , comme nous le savions d^ailleurs.

£o général , on voit que les équations de Téquilibre , réunies aux équations de condition , suffiront pour résoudre tous les problèmes qu'on pourra se proposer sur réquilibre du système. Par exemple, on peut se donner les forces appliquées X, Y, Z; X', Y', Z', etc., et demander la figure que doit prendre le système pour se mettre en équilibre en vertu de ces forces. Dans ce cas, les équations réunies dont je viens de parler, et dont le nombre est égal à celui de toutes ies coordonnées, serviront à les faire connaître, et, par conséquent , les lieux des différents corps dans l'espace. Mais si Ton se donnjiit 4a figure du système , c'est-à-dire les coordonnées de tous les points , et qu'on demandât les forces capables de faire prendre au système cette figure , comme les forces X , Y, Z ; X', Y', 'L\ etc. , qui seraient alors les inconnues , ne se trouvent que dans les équations de l'équilibre, et n'entrent point dans les équations de condition , on aurait iDoins d'équations que ^d'inconnues , et le problème demeuresait indéterminé ; d'où Ton voit que , pour une même figure du système, il y a une infinité de groupes de forces capables de s'y faire équilibre ; ce qui s'accorde encore avec ce que nous avons trouvé précédemment \ etc. , etc.

Mais je passe à la conclusion générale , où l'on rappelle sous un même point de vue le problème de l'équilibre et celui du mouvement.

Conclusion de ce Mémoire,

Les lois de l'équilibre et du mouvement d'un point bbre sont connues et parfaitement démontrées; mais, s'il

y a plusieurs points liés entre eux par des conditions quelconques, quelles seront les lois de Téquilibre et du mouvement de tout le système ? Voilà le problème général de la Mécanique.

Or l'idée la plus naturelle dans cette recherche est de considérer que, si tout le système est actuellement en équilibre, chaque point doit être en équilibre de lui-même, en vertu des forces qui lui sont immédiatement appliquées , et des résistances qu'il éprouve de la part des autres, à cause de sa liaison avec eux. Et de même, quand le système entre en mouvement, chaque point doit se mouvoir comme s'il était libre, et qu'il obéit aux forces qui le sollicitent et aux forces de résistance dont nous venons de parler. Si donc on savait évaluer ces résistances mutuelles , on n'aurait qu'à les combiner avec les forces immédiatement données par l'étal de la question , et , posant les équations de l*équilibre ou du mouvement pour chaque point, comme s'il était parfaitement libre , on aurait tout ce qui serait nécessaire pour déterminer l'état du système dans l'espace, et le problème serait résolu.

Toute la Mécanique se réduit donc à savoir estimer les résistances réciproques que peuvent se prêter les différents points d'un système , en vertu des conditions qui les lient.

Mais , pour donner là-dessus une règle générale , il faut nécessairement concevoir ces conditions exprimées sous une forme générale. Il faut commencer par établir une définition générale des systèmes ; sans quoi la Mécanique ne serait plus que l'énumération des cas particuliers d'équilibre et de mouvement que Ton saurait résoudre, cl il n'y aurait pas plus lieu de s'en propo-

ser le problème général, que, dans la Géométrie, de chercher une règle générale des tangentes , si Ton ne supposait avant tout les courbes définies par leurs équations.

Or, en supposant que les conditions qui lient entre eux plusieurs corps, et qui en font un système, consistent en ce que , dans toutes les positions où peuvent passer ces corps, il y ait des fonctions quelconques de leurs coordonnées qui doivent toujours demeurer nulles ou constantes , nous avons démontré qu'en vertu de chacune d'elles, les corps sont rendus capables, suivant leurs coordonnées, de résistances simultanées proportionnelles aux fonctions primes de cette fonction , relativement à ces coordonnées respectives.

On n'aura donc, pour résoudre les problèmes, qu'à prendre les résistances mutuelles des corps , d'après cette règle générale ; à combiner ces forces avec celles qui leur sont immédiatement appliquées , et à traiter séparément chacun d'eux comme s'il était libre.

Ainsi , des équations précédentes (A) , les trois jiremières peuvent être regardées comme les équations de l'équilibre du premier point , qui serait libre , mais sollicité à la fois par les forces appliquées X , Y, Z , et par les forces contraires

r (dL\ (dM\ 1

qui naissent des équations L = o^ Mz=zOy etc.

De même les trois équations suivantes peuvent être considérées comme , etc. ; et ainsi des autres.

Quant aux équations du mouvement, on les formera en

égalant l'expression générale --r-^ de la force accélératrice

suivant chaque coordonnée x , à la force appliquée X , combinée avec la résistance suivant cette même coordonnée ; et Ton aura , pour le premier point ,

^'•^ ^ . ldL\ fdM\

d^z ^ , ldL\ (dM\

«t de même , pour le second point , d^xf

rf.»=^'+^

(dL\ ldM\

^y ^r, ^ I^L\ (dM\

«»t ainsi de suite pour les autres points du système.

Telles sont les équations générales du mouvement, d'où il s'agira de tirer, par le calcul intégral, la solution des problèmes qu'on pourra se proposer sur le mouvement du système.

De la loi de l'équilibre établie ci-dessus, nous aurions bien pu conclure que si Ton trouble infiniment peu l'équilibre d'un système quelconque de corps, de manière que les conditions de la liaison ne soient pas violées, la somme des moments de toutes les forces

appliquées, c'est-à-dire, suivant l'acception de Galilée, ia somme de leurs produits par les chemins respectifs que parcourent leurs points d'application dans le sens de ces forces, doit toujours être égale à zéro; ce qui constitue le principe des vitesses virtuelles. Mais ce principe n'est plus alors qu'un simple corollaire de la théorie précédente, lequel, pour là solution des problèmes, n'aurait d'autre avantage que de nous ramener à la règle générale d'où nous l'aurions tiré lui-même, et ne se ferait même bien entendre que par cette règle.

On voit encore qu'il a été inutile de rappeler le fameux principe de d'Alembert, qui réduit la Dynamique à la Statique. En vertu de ce principe, si l'on décompose chaque mouvement imprimé en deux autres, dont le premier soit celui que le corps prendra réellement , tous les seconds doivent se faire équilibre entre eux ; c'est-àdire que si l'on décompose chaque mouvement imprimé , en deux , dont l'un soit celui que le corps perd , l'autre sera celui qu'il prendra. Mais cela revient immédiatement à ce qu'on vient de dire , savoir, que le mouvement réel de chaque point est le résultat de son mouvement imprimé , et de la résistance qu'il éprouve par sa liaison avec les autres ; ce qui est évident de soi-même. Ainsi, le principe de d'Alembert n'est, au fond , que cette idée simple, qu'on remarque à peine dans la suite du raisonnement, et qui ne revêt la forme d'un principe que par un certain tour d'expression qu'on lui donne.

Cependant, comme on a vu que, pour avoir le mouvement de chaque point, il faut connaître la résistance qu'il peut éprouver de la part des autres, et que, d'un autre côté , ces résistances mutuelles ne sont autre chose que des forces qui se font équilibre à chaque instant sur

46o ÉQUILIBRE

le système , dans les figures successives où il passe , il en résulte non-seulement que les lois du mouvement peuvent être ramenées à celles de l'équilibre, comme on le savait déjà par le principe de d' Alembert , mais encore qu'elles doivent y revenir nécessairement d'elles-mêmes ; que dans l'étude ordonnée des diverses parties de la Mécanique , on ne peut pas traiter l'équilibre comme un cas particulier du mouvement, et qu'il est dans la nature des choses que la Dynamique soit fondée sur la Statique.

ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES. /(6l