DE LA

PRÉSENTÉE A l'iNSTITIIT LE I () MAI l834.

Voici une des questions (|ui ni'onl le plus souvent occupé, et, si l'on me |)erniet de ])arler ainsi , une des choses que j'ai le plus désiré de savoir en Dynamique.

Tout le monde se fait une idi^ claire du mouvement d'un point, c'est-à-dire du mouvement d'un corpuscule qu'on suppose infmimcnt petit, et qu'on réduit en quelque sorte par la pensée à un point mathématique; car il ne reste plus alors qu'à se représenter la ligne, droite ou courbe, que ce point peut décrire, et la vitesse avec laquelle il se meut suivant cette ligne. Mais s'il s'agit du mouvement d'un corps de grandeur sensible et de figure quelconqucy il faut convenir qu'on ne s'en fait (ju'une idée très-obscure.

A la vérité, cette idée paraît d'abord •s'ctI a ircir ou se résoudre naturellement en deux autres. Kn effet, si Ton s'attache à regardei* un seul et même point du corps,

on peut suivre, d'un côté, le mouvement de ce point qui ne peut décrire qu'une certaine ligne dans l'espace , et, de l'autre côté, le mouvement du corps qui ne peut que tourner en même temps sur ce point comme autour d'un centre fixe. Mais ce second mouvement, c'est-à-dire celui d'un corps mobile autour d'un point sur lequel il a la liberté de pirouetter dans tous les sens , ne présente luimême qu'une idée très-obscure.

Ce n'est pas qu'en rapportant les points du corps à des plans ou objets fixes dans l'espace, on n'ait su trouver ce qu'on appelle les équations différentielles de ce mouvement, el même qu'on ne soit venu à bout d'intégrer ces équations , ou du moins d'en ramener les intégrales aux quadratures, dans le cas simple d'un corps libre de toute action étrangère. Euler et d'Alembert à peu près dans le même temps, et par des méthodes différentes, ont les premiers résolu cette importante et difficile question de la Mécanique : et l'on sait que, depuis, l'illustre Lagrange a repris de nouveau ce fameux problème, pour l'approfondir et le développer à sa manière, je veux dire par une suite de formules et de transformations analytiques qui présentent beaucoup d'ordre et de symétrie. Mais il faut convenir que, dans toutes ces solutions, on ne voit guère que des calculs , sans aucune image nette de la rotation du corps. On peut bien , par ces calculs plus ûu moins longs et compliqués, parvenir à déterminer le lieu où se trouvera le corps au bout d'un temps donné : mais on ne voit point du tout comment le corps y arrive; on le perd entièrement de vue , tandis qu'on voudrait l'observer, et le Siiivre, pour ainsi dire, des yeux dans tout le cours de sa rotation.

Or c*est cette idée claire du mouvement de rotation que j'ai tâché de découvrir, afin de mettre sous les yeux ce que personne ne s'était encore représenté.

Il en résulte une solution toute nouvelle du problème de la rotation d'un corps abandonné à lui-même, soit qu'il tourne librement sur son centre de gravité, ou sur tout autre point fixe autour duquel il serait forcé de se mouvoir : véritable solution du problème, en ce qu'elle fait image, et qu'on y voit le mouvement du corps avec autant de clarté que le mouvement d*un point. Et si de cette démonstration géométrique de la rotation des corps on veut passer au calcul pour mesurer toutes les différentes propriétés ou affections de ce mouvement, on n'a plus que des formules directes et toujours claires, parce que chacune d'elles n'y est que l'expression d'un théorème dynamique dont on a l'idée , et qui tend à son objet. Ainsi, notre analyse présente encore cet avantage, que tout s'y exprime et s'y développe par les seules données immédiates du problème, sans aucun mélange de ces angles ou de ces coordonnées étrangères qui ne tiennent point à la nature de la question , et qui ne viennent que de la méthode indirecte qu'on emploie pour la résoudre. Car c'est une remarque (pie nous pouvons faire dans toutes nos recherches mathématiques : ces quantités auxiliaires, ces calculs longs et difficiles où l'on se trouve entraîné, y sont presque toujours la preuve que notre esprit n'a point, dès le commencement, considéré les choses en elles>mêmes et d'une vue assez directe, puisqu'il nous faut tant d'artiiices et de détours pour y arriver ; tandis que tout s*abrége et se simplifie sitôt qu'on se place au vrai point de vue.

J'ai donc pensé qu'une solution si simple, et si propre

à jeter un nouveau jour sur les questions les plus difficiles de la Dynamique, pouvait servir à Tavancement réel de la science, et méritait ainsi Tattenlion des géomètres; et c'est cette considération philosophique qui ra*a surtout déterminé à composer le nouveau Mémoire que j'ai l'honneur de présenter aujourd'hui à l'Académie.

Je le divise en trois parties principales : dans la première, je considère le mouvement du corps en lui-même, et les forces qui seraient capables de le produire ; dans la seconde, je donne la solution du problème de la rotation des corps libres; et dans la troisième, je développe les calculs qui se rapportent à cette solution.

Mais, pour donner une idée plus précise de ce travail, je vais exposer en peu de mots les notions simples et les premiers principes de notre théorie nouvelle , et parcourir ensuite les théorèmes les plus remarquables qui en sont l'objet et le résultat.

9U MOUVEMENT DES CORPS CONSIDÉRÉ EN LUI-MEME; ET DES FORCES CAPABLES d'uN MOUVEMENT DONNE.

Idée de la rotation simple et de la vitesse angulaire.

Le seul mouvement de rotation dont nous ayons une idée claire est celui d'un corps qui tourne sur un axe immobile; car on voit clairement toutes les circonférences de cercles que les points du corps décrivent autour de cet axe, et qu'ils peuvent réellement décrire ensemble,.

c'est-à-dire sans que leur disposition mutuelle, ou ce qu'on peut nommer la figure du corps , soit en rien changée.

T^ous avons également une idée nette de la quantité ou de la mesure de cette rotation : car, comme tous les points décrivent en même temps des arcs semblables , le rapport de la vitesse d'un point au rayon du cercle qu'il décrit est le même pour tous les points du corps ; et c'est ce rapport constant qui fait la mesure, ou ce qu'on appelle la vitesse angulaire de la rotation.

Composition des mouvements de rotation.

De ces notions simples , et des premiers éléments de la Géométrie, on peut conclure que si, par deux causes quelconques, un corps tendait à tourner à la fois autour des deux côtés d'un parallélogramme avec deux vitesses angulaires proportionnelles aux longueurs de ces côtés, le corps tournerait sur la diagonale avec une vitesse angulaire proportionnelle à la longueur de cette diagonale.

D'où il résulte que des rotations autour de différents axes qui passent en un même point se composent exactement par la même loi que de simples forces appliquées en ce point.

Et cette similitude de composition n'est pas bornée à des rotations dont les axes se croisent en un même point; mais, ce qui est fort remarquable, elle s'étend à des rotations autour d'axes qui seraient situés d'une manière quelconque dans l'espace.

Ainsi, deux rotations autour de deux axes parallèles se composent en une seule, égale à leur somme, autour

49^ THÉORIK ISOUVKLLE

d'un axe parallèle , et qui divise la distance des deux premiers en raison inverse des deux rotations composantes. Si ces deux rotations sont de sens contraires , la rotation résultante est égale à leur différence , et la position de son axe se trouve comme s'il s*agissait de deux forces parallèles qui agissent en sens contraires.

Si ces deux rotations parallèles et contraires sont égales , elles ne peuvent jamais se réduire à une seule. Elles forment alors ce qu'on peut nommer un couple de rotations : c'est, pour ainsi dire, une rotation sui generis, et qui ne peut jamais être ramenée à une rotation simple autour d'aucun axe, quelqu'il soit. Et, en effet, il est très-aisé de voir que le résultat d'un tel couple serait de donner au corps un pur mouvement de translation dansTespace, suivant une direction perpendiculaire au plan de ce couple, et mesuré par son moment, c'est-à-dire par le produit d'une des deux rotations multipliée par la distance qui sépare leurs axes parallèles. Un couple de rotations équivaut donc à une simple force qu'on appliquerait au centre de gravité du corps , suivant une direction perpendiculaire au plan de ce couple, et qu'on prendrait égale à son moment multiplié par la masse du corps.

De tels couples peuvent se transformer en d'autres équivalents, se tourner et se transporter comme on voudra dans leurs plans, ou dans d'autres plans parallèles, sans que le mouvement du corps en soit changé : ils se composent et se décomposent exactement par la même loi que les couples de forces; et l'on peut leur appliquer, sans en rien excepter, tous les théorèmes qui concernent les couples ordinaires.

Du parallélogramme des rotations simples et du parallélogramme des couples de rotations , résulte la composition

de tant de rotations qu'on voudra autour d'axes situés d'une manière quelconque dans l'espace; et cette composition générale est entièrement semblable à celle des forces.

Ainsi, comme tant de forces qu'on voudra se peuvent toujours réduire à une seule passant par un point quelconque donné, et à un seul couple ; de même tant de rotations qu'on voudra, autour de différents axes situés d'une manière quelconque dans l'espace , peuvent toujours se réduire à une seule rotation autour d'un axe passant par un point pris à volonté , et à un seul couple de deux rotations égales et contraires autour de deux axes parallèles entre eux. Et si, comme pour les forces, on veut une réduction où il n'y ait rien d'arbitraire, on pourra toujours choisir le point dont il s'agit, de manière que le plan du couple de rotations soit perpendiculaire à l'axe de la rotation résultante , lequel devient ainsi ce qu'on pourrait nommer Vaxe central des couples de rotations (*).

Gomme un couple de rotations équivaut à une pure translation du corps suivant la direction de l'axe de ce

(*) On voit la parfaite symétrie de cette composition des rotations et de celle des simples forces. Elles sont presque identiques : car si l'on avait primitivement donné le nom àe force à la cause capable de faire tourner sur un axe , on aurait eu, pour ces nouvelles forces y une Statique toute semblable. Seulement, dans celle-ci, les simples forces (toujours considérées comme transportées au centre du corps) auraient répondu à nos couples dans la Statiquo ordinaire , et les couples auraient répQndu à nos simples forces. Mais il était bien plus simple et plus naturel de commencer, comme on Ta fait , par donner le nom de force à la cause capable d^un pur mouvement de translation, et de voir ensuite dans lo couple la cause d'un pur mouvement de rotation.

couple , on voit que tout le mouvement du corps se réduit, en dernière analyse, à tourner sur un certain axe déterminé, et à glisser en mêmejtemps le long de cet axe. Ce qui est, comme nous le verrons plus loin , le mouvement le plus général que puisse avoir un corps dans l'espace absolu.

Voilà , en peu de mots , tout ce qui regarde l'idée de la rotation simple sur un axe , et la composition de semblables rotations autour de différents axes situés d'une manière quelconque dans Tespace. Mais il faut se faire maintenant une idée de la rotation d'un corps autour d'un point sur lequel il semble pirouetter en tous sens.

Idée de la rotation autour d*un point.

Le mouvement d'un corps qui tourne sur un axe immobile étant le seul dont nous ayons une idée claire , c'est donc à cette idée qu'il faut tâcher de réduire celle du mouvement d'un corps qui pirouette d'une manière quelconque autour d'un point fixe.

Or on fait voir que ce mouvement, quel qu'il soit, si on ne le regarde que durant un instant, n'est autre chose qu'une rotation simple autour d'un certain axe passant par le point fixe, et dont la direction reste immobile pendant cet instant. D'où l'on conclut que, dans l'instant suivant, c'est de même une rotation simple, mais autour d'un autre axe; et ain^i de suite d'un instant à l'autre : de sorte que le mouvement du corps peut être considéré comme une suite de ces rotations simples et dont chacune ne présente à l'esprit qu'une idée nette. C'est ainsi que , pour se faire l'idée du mouvement d'un point en ligne courbe , on se représente ce point comme décrivant les

côtés successifs d'un polygone infinitésimal inscrit à cette courbe. Et il en est de Vaxe instantané de rotation dans le mouvement ;des corps, comme de la tangente à la courbe dans le mouvement du point qui la décrit.

Image sensible de 'cette rotation,

. Quoique l'analyse précédente soit exacte , et que je me sois efforcé de |la rendre^claire ,*il me semble que l'idée d'un corps tournant sur un axe qui varie sans cesse est encore un peu obscure ; je veux dire qu'on ne voit pas bien ce qui arrive au corps , et qu'on a de la peine à le suivre dans cette espèce de rotation changeante. Il faut donc tâcher d'éclaircir encore cette idée, et de présenter à l'esprit quelque image plus nette et plus sensible.

Or je fais voir de la manière la plus simple , que la rotation d'un corps sur un axe qui varie sans cesse de position autour d'un même point fixe^ n'est autre chose que le mouvement d'un certain cône , dont le sommet est en ce point y et qui roule actuellement, sans glisser, sur la surface d'un autre^cône fixe de même sommet.

Je veux dire que le cône mobile, considéré comme attaché au corps et l'entraînant avec soi , s'il vient à rouler sur l'autre cône qui est fixe dans l'espace absolu , fera décrire à ce corps le mouvement précis dont on le suppose animé ; que la ligne de contact de ces deux cônes sera à chaque instant l'axe autour duquel le corps tourne dans cet instant, ou cequejl'on appelle Vaxe instantané : d'où l'on voit comment cet axe est à la fois mobile dans le corps et dans l'espace absolu, décrivant dans l'espace la surface du cône^fixe, et dans l'intérieur du corps la surface du cône mobile dont on vient de parler.

Tel est , je crois , le plus haut point de clarté où Ton puisse porter l'idée si complexe et si obscure du mouvemeul d'un corps qui tourne d'une manière quelconque autour d'un centre fixe. Il nV a point de mouvement de cette nature qu'on ne puisse exactement produire en faisant rouler un certain cône sur un autre cône fixe de même sommet ; de sorte que si l'on imagine tous les cônes possibles qu'on ferait ainsi rouler l'un sur l'autre , on a l'image fidèle de tous les mouvements possibles dont un corps soit capable autour d'un point sur lequel il a la liberté de pirouetter en tous sens.

Et même, s'il s'agissait d'un mouvement de rotation qui fut discontinu , c'est-à-dire où l'axe de rotation , au lieu de varier de position par degrés insensibles , sauterait brusquement d'une position à la suivante par un angle fini , on pourrait également imiter le mouvement du corps en prenant y an lieu de deux cônes, deux pyramides de même sommet et de faces respectivement égales , et faisant rouler l'une sur l'autre , de manière que la pyramide nîobile, tournant sur la commune arête, vînt appliquer Tune après l'autre toutes ses différentes faces sur les faces respectivement égales de la pyramide fixe.

Si le mouvement du corps est donné, il est clair que ces deux cônes ou pyramides sont aussi donnés, aussi bien que la vitesse angulaire de rotation sur la ligne de contact, et , par conséquent , la vitesse avec laquelle l'axe instantané trace à la fois les deux surfaces : et réciproquement, si de ces différentes choses qu'on peut considérer dans l'étude de ce mouvement , trois quelconques sont connues, on peut dire que la quatrième l'est aussi, et le mouvement du corps entièrement déterminé.

Ainsi, la terre tourne en un jour sur son axe, tandis

que cet axe décrit, en sens contraire, un cône droit, autour de Taxe de l'écliptique , et avec une vitesse mesurée par le mouvement rétrograde des équinoxes , et qui est d'environ quarante- deux tierces centésimales par jour ; on peut donc déterminer dans la Terre le cône qui , roulant sur le premier, et dans Tintérieur de sa surface , ferait décrire à la Terre le mouvement précis qu'on y observe. Et il est facile de voir que , sur le globe , la circonférence du cercle qui sert de base à ce petit cône mobile est à celle du cercle qui sert de base au cône fixe, comme un jour est au temps de la révolution complète des équinoxes : ce qui ne donne que quelques pieds de longueur (*) à la petite circonférence que le pôle instantané de rotation de la Terre décrit chaque jour à sa surface. (Tout ceci dans rhypothèse d'une précession diurne uniforme.)

Idée du mouvement le plus général que puisse avoir un corps dans Vespace absolu.

De ridée simple d'un pur mouvement de translation qui emporte à chaque instant toutes les molécules égales du corps par de petites lignes égales et parallèles dans l'espace, et de l'idée simple de la rotation du corps autour d'un axe qui reste immobile pendant cet instant , résulte l'idée complexe du mouvement le plus général que puisse avoir un corps dans l'espace absolu. Il n'y a rien de plus clair que cette résolution d'un mouvement quelconque en deux autres que l'on conçoit parfaitement et qu'on peut même considérer à part , parce qu'ils sont tels que si, à chaque instant, on les exécutait l'un après l'autre,

(* ) 5 pieds 2 pouces environ.

on amènerait chaque point du corps au même lieu où il arrive par son mouvement naturel au bout de Pinstant que Ton considère.

Mais on pourrait être curieux de se faire une image de ce mouvement réel et unique qui anime le corps, afin de voir en quelque sorte la nature des courbes simultanées que les différents points décrivent, et peuvent réellement décrire ensemble sans que la figure du corps en soit changée.

Or, puisqu'un mouvement de translation peut toujours être considéré comme un couple de rotations égales parallèles et contraires , il s'ensuit que le mouvement d'un corps, quel qu'il soit, peut toujours être réduit à une simple rotation autour d'un axe passant par un point pris à volonté dans Tespace , et à un certain couple de rotations dont le plan sera généralement incliné à cet axe. Mais, au lieu de prendre le pointa volonté, on peut toujours le choisir de manière que le plan du couple soit perpendiculaire à la direction de Taxe de la rotation simple ; et alors tout le mouvement est réduit à une rotation sur un certain axe déterminé et à une translation le long de cet axe. D'où il résulte que ce mouvement est exactement le même que celui d'une vis qui tourne dans son écrou. Tous les points du corps décrivent donc , sur des cylindres concentriques, de petits arcs d'hélices qui ont toutes le même pas. Dans l'instant suivant, c'est une autre vis d'un autre axe et d'un pas différent ; et ainsi de suite. D'où l'on voit comment se forment les courbes simultanées que tous ces points décrivent dans l'espace, et le long desquelles ils se meuvent comme dans autant de canaux curvilignes où ils seraient enfermés.

Quelquefois le pas de cette vis est nul, et alors tout le

mouvement se réduit à une simple rotation autour de l'axe de cette vis , lequel devient ce qu'on appelle un axe spontané de rotation.

Mais , en général , le pas de la vis n^est pas nid , et il n*y a point d'axe spontané proprement dit : c'est-à-dire que dans le corps il n'y a pas de ligne droite dont tous les points demeurent immobiles pendant un instant. Mais il 7 a toujours ce qu'on pourrait nommer un axe spontané glissant, c'est-à-dire une suite de points tombant en ligne droite, qui n'ont d'autre mouvement qu'une simple translation le long de cette droite.

Telles sont les notions les plus simples et les images les plus claires qu'on puisse se former du mouvement des corps. Le pur mouvement de translation , et le pur mouvement de rotation sur un axe, se conçoivent d'euxmêmes. Un mouvement quelconque se peut toujours réduire, et cela d'une infinité de manières, à deux pareils mouvements. Or, parmi cette infinité de réductions , il y en a toujours une qui nous présente l'axe de la rotation dans la direction même de la translation : de sorte que le mouvement le plus général d'un corps est y comme on l'a dit, celui d'une certaine vis qui tourne actuellement dans son écrou.

Après avoir considéré le mouvement des corps en luimême, et sous un point de vue purement géométrique , je vais chercher les forces capables de le produire, afin de voir réciproquement quel est le mouvement que doit prendre un corps en vertu de forces quelconques données : ce qui est le problème naturel de la Dynamique.

Statique P. 32

Des forces capables d'un mouvement donné.

Quel que soit le mouvement d'un corps , il existe toujours des forces capables de le produire.

Car, dans le mouvement du corps , on peut considérer chaque molécule comme si elle était en repos, mais animée par une force capable de lui donner la vitesse actuelle qu'on lui suppose. Donc Vinfinité des forces semblables , appliquées individuellement à toutes les molécules égales du corps , sont capables d'y produire le mouvement qu'on j observe; et cela même d'une manière spontanée, je veux dire quand bien même ces molécules ne seraient pas liées entre^ elles , et, par conséquent, sans exciter, dans les liens qui les unissent, aucune traction brusque qui tendit à les rompre.

Telles sont les forces élémentaires capables d'un mouvement donné sur un système de molécules libres , ou liées entre elles comme on voudra.

Mais si ces molécules forment , comme je le suppose ici, un système invariable de figure, il sera permis de composer entre elles toutes ces forces élémentaires, et de les remplacer ainsi, par une seule force et un seul couple, lesquels seront également capables du mouvement donné sur le corps solide dont il s'agit.

Voyons donc quelle esl cette force et quel est ce couple dont l'ensemble répond à un mouvement donné.

Et d'abord, si le corps n'a dans l'espace qu'un pur moui^ement de translation , de manière que toutes les molécules égales aient des vitesses égales, parallèles et de même sens, il est manifeste que toutes les forces élémentaires capables de produire ces vitesses sont aussi égales, parallèles et oc même sens, et , par conséquent, réductibles

à une seule force parallèle et de même sens , égale à leur somme, et qui passe par le centre de gravité du corps. D'où Ton voit, réciproquement, que Veffet dt une force quelconque appliquée comme on voudra au centre de gravité d'un corps , est d'en transporter toutes les parties dans sa propre direction , et avec une vitesse mesurée par la grandeur de cette force divisée par la masse entière du corps. Ce qui est, pour ainsi dire, évident de soi-même. En second lieu , si le corps n'a qu'un pur mouvement de rotation sur un axe quelconque, il est évident que les vitesses, et, par conséquent, les forces dont les molécules sont individuellement animées, sont toutes proportionnelles aux distances des molécules à cet axe, et de directions tout à la fois perpendiculaires à ces distances et à Taxe dont il s'agit. Or ces forces élémentaires sont toujours réductibles à une seule et à un couple. Mais si l'axe passe par le centre de gravité du corps , la force est nulle, et tout se réduit à un couple , dont le plan est en général incliné à cet axe. Si, de plus, l'axe est un de ces trois axes rectangulaires qui existent dans tous les corps , et qu'on appelle les trois axes principaux , on trouve que le couj>le est perpendiculaire à cet axe, et qu'il a pour mesure le produit de la vitesse angulaire par le moment d'inertie du corps autour de cet axe principal. D'où l'on conclut réciproquement , que Veffet d'un couple appliqué sur un corps dans un plan perpendiculaire à l'un de ses trois axes principaux , est défaire tourner le corps sur cet axe lui-même, avec une vitesse angulaire égale au moment du couple divisé par le moment (l'inertie du corps autour de cet axe. Or ce seul théorème particulier donne sur-le-champ l'effet d'un couple appliqué sur un corps dans tel plan qu'on voudra.

5oO ""^T^^rT THÉORIE NOUVELLE

Et , en effet , quel que soit ce couple, on peut toujours le décomposer en trois autres respectivement perpendiculaires aux trois axes principaux du corps ; et divisant chacun d'eux par le moment d'inertie relatif à son axe, on aura les trois vitesses angulaires respectives avec lesquelles ces trois couples tendraient à faire tourner sur leurs axes. Si donc , à partir du centre , on porte sur ces directions trois lignes pour représenter à la fois les axes et les grandeurs de ces trois rotations, et qu'on achève le parallélipîpède , on aura , dans la diagonale , Taxe et la grandeur de la rotation à laquelle le couple proposé donne naissance au premier instant ; ce qui est , comme on le voit , de la plus grande simplicité.

Du mouvement que prend un corps en vertu de forces quelconques données.

Quelles que soient ces forces, on peut toujours les réduire à une seule passant par le centre de gravité du corps, et à un seul couple. Or l'effet de la force est un pur mouvement de translation suivant la direction même de cette force , et l'effet du couple est d'imprimer au corps une rotation autour d'un certain axe passant par le centre de gravité , et dont la direction est déterminée par ce qu'on vient de dire tout à l'heure.

Mais on peut avoir une expression bien plus claire de ce qui regarde la direction que prend l'axe instantané par rapport au plan du couple qui lui donne naissance; et c'est ce que l'on va voir dans l'article suivant.

De l'ellipsoïde central des corps.

Si l'on observe que les trois composants du couple proposé donnent trois rotations qui sont proportionnelles

DE LA ROTATION DES CORPS. 5o I

à ces couples et réciproques aux moments d^inertie autour des trois axes, on reconnaît, par la Géométrie, que Taxe de la rotation résultante se dirige suivant le diamètre qui serait conjugué au plan du. couple dans un ellipsoïde dont les axes seraient de longueurs réciproques aux racines carrées des moments dlnertie du corps autour des mêmes axes.

J'imagine donc qu'autour du centre de gravité du corps, et sur les directions de ces trois axes principaux y on construise un ellipsoïde avec des axes dont les carrés soient réciproques aux trois moments d'inertie du corps autour des mêmes axes ; et j'observe en passant que cet ellipsoïde jouira, dans toute son étendue, de cette propriété remarquable, que le moment d'inertie du corps autour de l'un quelconque de ces diamètres y sera réciproque au carré de la longueur de ce diamètre.

Or, quelles que soient la figure et la constitution d'un corps, il y a toujours dans ce corps un centre de gravité et trois axes principaux aussi nettement déterminés que dans le corps le plus homogène et le plus régulier. On peut donc toujours y concevoir décrit un ellipsoïde tel que je viens de le délinir, et qui a ce triple avantage : de mettre à la fois sous nos yeux le centre et les axes principaux du corps; de nous donner tous les moments d'inertie qu'on pourrait avoir à considérer, en montrant chacun d'eux, autour d'un axe ou diamètre quelconque, comme exprimé par une même fonction simple de la longueur de ce diamètre; et enfin, de nous offrir une expression facile de ce qui regarde la position de l'axe instantané, par rapport à celle du couple d'impulsion. Or c'est cet ellipsoïde , dont la considération va jeter le plus grand jour sur la théorie de la rotation des corps, que je nommerai désormais Vellipsoùle central.

5o2 THÉORIE NOUVELLE

Expression claire du mouvement que prend un corps en vertu d'un couple quelconque.

Supposons qu'un corps en repos soit frappé par un couple dans un plan quelconque , mené par le centre de gravité , et qu'on peut regarder comme un plan diamétral de l'ellipsoïde central du corps : on vient de voir que Taxe instantané de la rotation à laquelle ce couple donne naissance n'est autre chose que le diamètre conjugué au plan de ce couple dans Tellipsoïde que Ton considère ; et il est clair d'ailleurs que la vitesse angulaire sera mesurée par le moment du couple estimé perpendiculairement à ce diamètre, et divisé par le moment d'inertie du corps autour du même diamètre.

Comme un couple peut toujours être transporté dans un plan quelconque parallèle au sien sans que son effet sur le corps en soit changé , on peut toujours supposer que le plan du couple d'impulsion , au lieu d'être conduit par le centre , soit mené tangent à la surface de notre ellipsoïde; et alors on peut dire :

Que si un corps est frappe par un couple situé dans un plan quelconque tangent à l'ellipsoïde central dt ce corps, le pôle instantané de la rotation à laquelle ce couple donne naissance est précisément au point de contact.

Et réciproquement , que si un corps tourne sur un diamètre quelconque de son ellipsoïde central, le couple actuel qui l'anime est dans le plan tangent au pôle.

Ce qui nous paraît un des théorèmes les plus élégants qu'on puisse offrir en Dynamique sur la théorie si difficile et si obscure de la rotation des corps.

On voit toutes les conséquences claires et faciles qui

DE LA ROTATION DKS CORPS. 5o3

découlent de cette lumineuse proposition : mais je ne veux point ici m'y arrêtée; il faut que j'avance, et que, par le seul raisonnement, j'arrive de suite à la solution complète du problème qu'on se propose : car il ne s'agit pas seulement de déterminer la rotation du corps au premier instant, mais de voir encore comment celte rotation change d'un instant à l'autre, et de peindre, pour ainsi dire, le mouvement du corps dans toute la suite de son cours.

SOLUTION UU PRr)BLEUF. IIE LA ROTATION l>liS CORTS LIBRES.

Et d'abord, il est clair que cet axe de rotation que l'on nomme instantané n'est, en effet, immobile qu'un instant; car de la rotation même qu'on suppose autour de cet axe naissent , pour toutes les molécules égales du cor[)s , des forces centrifuges proportionnelles aux rayons des cercles que ces molécules tendent à décrire, et dirigées suivant ces rayons. Or Taxe dont il s'agit n'étant point, par hypothèse , un axe principal du corps, ces forces centrifuges ne se font point équilibre entre elles. Transportées parallèlement à elles-mêmes au centre de gravité , elles donnent bien une résultante qui est nulle, mais leur couple résultant ne l'est point. Il provient donc de la rotation même du corps un couple accélérateur Aont Y nKori^ à chaque instant, imprime à ce corps une rotation infiniment petite , laquelle se compose avec la rotation actuelle «(ui l'anime, et fait ainsi varier l'axe et la grandeur «le cette rotation.

Pour étudier lo mouvement du corps, il faut donc

5o4 THÉORIE NOUVELLE

commencer par chercher ce couple accélérateur qui provient des forces centrifuges. Or il est très-facile de voir directement, ou de conclure du principe général de la conservation des couples , que si Ton considère deux lignes, dont Tune représente Taxe et la grandeur du couple d'impulsion , et Tautre Taxe et la grandeur de la rotation instantanée , le couple accélérateur dû aux forces centrifuges est toujours représenté, et pour son plan, et pour sa quantité, par la surface du parallélogramme construit sur les deux lignes dont il s'agit : théorème simple et remarquable, qui renferme à lui seul toute la théorie de la rotation des corps, et qui, traduit en analyse, donne sur-le-champ les trois équations si élégantes que Ton doit à Euler , mais qu'on ne démontre ordinairement que par de longs circuits de formules algébriques.

Le couple accélérateur , né des forces centrifuges , étant donc toujours situé dans le plan conduit par Taxe instantané et Taxe du couple d'impulsion , la droite sur laquelle il tend à faire tourner le corps n'est autre chose que le diamètre conjugué au plan de ces deux axes; et, par conséquent , c'est le diamètre qui est à la fois conjugué à l'axe instantané et à sa projection sur le plan du couple. D'oij je conclus d'abord que l'aûre sur lequel les forces centrifuges font tourner est toujours situé dans le plan même du couple d'impulsion .

Donc , si l'on prend deux lignes dont l'une représente celte rotation infiniment petite, l'autre la rotation actuelle, et qu'on achève le parallélogramme, afin d'avoir, dans la diagonale , la ligne qui représente la rotation au bout d!un instant, il est clair que l'extrémité de cette diagonale reste toujours k la même hauteur au-dessus du plan du couple. D'où l'on tire sur-le-champ ces deux corollaires: le pre-

DE LA ROTATION DES CORPS. 5o5

mier , c'est que , dans tout le cours du mouvement y la vitesse angulaire est proportionnelle h la longueur même du rayon qui vadu centre au pôle instantané sur la surface de /Wlipsoïde central ; le second , c'est que le plan du couple ^ considéré sans cesse comme tangent au pôle , reste toujours à la même distance du centre de cet ellipsoïde.

Mais ce centre est immobile dans l'espace absolu , et le plan du couple toujours parallèle à lui-même : donc ce plan , qui touche sans cesse l'ellipsoïde central au pôle instantané de rotation , est toujours un seul et même plan fixe dans l'espace absolu.

Donc le mouvement du corps, ou, ce qui est la même chose, le mouvement de l'ellipsoïde central, est dételle nature , que cet ellipsoïde reste en contact avec un même plan fixe dans l'espace absolu; qu'il tourne à chaque instant sur le rayon vecteur qui va du centre au point de contact , et qu'il tourne avec une vitesse angulaire proportionnelle à la longueur même de ce rayon.

Cet ellipsoïde ne fait donc que rouler, sans glisser, sur le plan fixe que l'on considère: car, comme tout son mouvement consiste à tourner pendant un instant sur la ligne menée du centre au point de contact, l'ellipsoïde amène, au bout de cet instant , un nouveau point de sa surface en contact avec ce plan ; et ce nouveau point , qui devient le pôle de la rotation pour l'instant suivant, reste à son tour immobile pendant cet instant ; et ainsi de suite à l'infini. D'où il est manifeste qu'aucun de ces points par lesquels l'ellipsoïde vient se mettre en contact avec le plan fixe ne peut jamais glisser sur ce même plan.

Telle est donc l'idée claire et nouvelle qu'on peut se former du mouvement si complique et si obscur d'un corps de figure quelconque qui tourne librement , soit

5o6 THÉORIb: INOUVKLLE

autour de son centre de gravité , soit autour d*un point

fixe quelconque, en vertu d'un couple dont il a reçu

primitivement Timpulsion dans tel plan donné qu'on

voudra.

« Considérez le centre de gravité du corps, ou, si le w corps n'est pas libre , le point fixe qui fait le centre de » sa rotation. Autour de ce point, et sur les directions » des trois sytes principaux d'inertie qui s'y rapportent, » imaginez un ellipsoïde construit avec trois axes de lon- » gueurs réciproques aux bras de l'inertie du corps au- ») tour des mêmes axes, et faites maintenant abstraction » de la figure du corps pour n'y plus voir que celle » de cet ellipsoïde que j'ai nommé Vellipsoï.de central.

» Si vous supposez que cet ellipsoïde , dont le centre ») est retenu immobile au même point de l'espace, roule » sans glisser sur un plan fixe avec lequel on Ta mis en » contact, vous aurez la représentation exacte du mouw vement géométrique que suit le corps en vertu du cou- » pie qui l'a frappé dans le plan fixe que l'on considère ; » et si vous ajoutez que la vitesse angulaire avec laquelle » il tourne à chaque instant sur le rayon mené du centre » au point de contact est proportionnelle à la longueur »> même de ce rayon , vous aurez à la fois le mouvement » géométrique et dynamique de ce corps : c'est-à-dire » que vous verrez avec clarté, non-seulement la suite » continue des lieux que le corps doit venir occuper, » mais encore la proportion des temps qu'il met à les » parcourir. Ce qui est l'idée complète du mouvement » du corps considéré dans le cours infini de sa rotation. »

DK LA ROTATION DES COP^PS. 5o7

Réflexion générale.

Nous voilà donc conduits par le seul raisonnement à une idée claire que les jçéomètres n'ont pu tirer des formules de l'analyse. C'est un nouvel exemple qui montre l'avantage (le cette méthode simple et naturelle de considérer les choses en elles-mêmes, et sans les perdre de vue dans le cours du raisonnement ; car, si Ton se contente,, comme on le fait d'ordinaire-, de traduire les problèmes en équations , et qu'on s'en rapporte ensuite aux transformations du calcul pour mettre au jour la solution qu'on a en vue , on trouvera le plus souvent que cette solution est encore plus cachée dans ces symboles analytiques, qu'elle ne l'était dans la nature même de la question proposée. Ce n'est donc point dans le calcul que réside cet art qui nous fait découvrir, mais dans cette considération attentive des choses, oïl l'esprit cherche avant tout à s'en faire une idée, en essayant, par l'analyse proprement dite, de les décomposer en d'autres plus simples, afin de les revoir ensuite comme si elles étaient formées par la réunion de ces choses simples dont il a une pleine connaissance. Ce n'est pas que les choses soient composées de celte manièix?,. mais c'est notre seule manière de les voir, de nous en. faire une idée, et partant de les connaître. Ainsi, notre vraie méthode n'est que cet heureux mélange de l'analyse et de la synthèse, où le calcul n'est employé que comme un instrument : instrument précieux et nécessaire sans doute, parce qu'il assure et facilite notre marche, mais qui n'a par lui-même aucune vertu propre ; qui ne dirige point l'esprit, mais que l'esprit doit diriger comme tout autre instrumenl.

5o8 THKORIE NOUVELLE

Ce qui a pu faire illusion à quelques esprits sur cette espèce de force qu'ils supposent aux formules de l'analyse, c'est qu'on en retire , avec assez de facilité , des vérités déjà connues, et qu'on y a, pour ainsi dire, soi-même introduites ; et il semble alors que l'analyse nous donne ce qu'elle ne fait que nous rendre dans un autre langage. Quand un théorème est connu , on n'a qu'à l'exprimer par des équations : si le théorème est vrai, chacune d'elles ne peut manquer d'être exacte , aussi bien que les transformées qu'on en peut déduire; et si l'on arrive ainsi à quelque formule évidente ou bien établie d'ailleurs , on n'a qu'à prendre cette expression comme un point de départ, à revenir sur ses pas, et le calcul seul paraît avoir conduit comme de lui-même au théorème dont il s'agit. Mais c'est en cela que le lecteur est trompé. Ainsi, pour prendre un exemple dans la question même qui fait l'objet de ce Mémoire, il est bien clair qu'aujourd'hui rien ne serait plus aisé que de retrouver nos idées dans les expressions analytiques d'Euler ou de Lagrange, et même de les en dégager avec un air de facilité qui ferait croire que ces foripules devaient les produire spontanément. Cependant, comme ces idées ont échappé jusqu'ici à tant de géomètres qui ont transformé ces formules de tant de manières, il faut convenir que cette analyse ne les donnait point y puisque, pour les y voir, il aura fallu attendre qu'un autre y parvînt par une voie toute différente.

Nous aurions bien d'autres réflexions à faire et de plus grands exemples à produire , si nous voulions montrer, d'une part , tout ce que l'esprit doit de lumière à cette méthode naturelle , telle que je l'ai définie plus haut et qui constitue notre véritable analyse ; et de l'autre, le peu de vérités nouvelles qu'on a su tirer de ces formules analy

DE LA ROTATION DES COBPS. SoQ

tiques où l'on croit enfermer une question , et quelquefois raérae une science tout entière. Sans doute la science y est contenue, comme elle le serait dans tout autre principe énoncé en termes généraux ; mais la difficulté reste de Ten faire sortir, et cette difficulté n*en devient-elle pas plus grande? Et, par exemple, ne faut-il pas déjà connaître et la Mécanique et les artifices du calcul , pour tirer de la seule formule générale des vitesses virtuelles , je ne dis pas quelque nouveau théorème (ce dont je ne vois guère d'exemples) , mais seulement les propositions particulières qui nous sont le mieux connues ? La traduction n'est-elle pas ici plus difficile que le texte lui-même, je veux dire que la considération immédiate des choses que Ton veut étudier? L'illustre auteur qui a voulu transformer la Mécanique en une question de calcul a sans doute rempli son objet avec toute la clarté et toute l'élégance qu'on en pouvait attendre. Mais si la véritable analyse brille quelque part dans la Mécanique analjrtique, j'oserai dire que c'est bien moins dans ces calculs que l'auteur range avec tant d'ordre et de symétrie , que dans ces courts passages où il rapproche les méthodes, et dans ces admirables préfaces qu'il a placées à la tête des différents livres de son ouvrage, où il examine et discute les principes fondamentaux de la science , et fait l'histoire instructive du mouvement de l'esprit humain dans cette suite délicate d'idées fines et de solutions ingénieuses qui ont peu à peu formé la Mécanique. C'est par là surtout que ce bel ouvrage pourra servir aux progrès ultérieurs de l'esprit, en lui montrant la route qu'il a suivie , et qui est encore la route où il doit continuer de marcher. Car, encore une fois, gardons-nous de croire qu'une science soit faite quand on l'a réduite à des formules analytiques. Rien ne nous

5lO THÉORIE NOUVFXLE

dispense d*étudier les choses en elles-mêmes , et de nous bien rendre compte des idées qui font l'objet de nos spéculations. N'oublions point que les résultats de nos calculs ont presque toujours besoin d'être vérifiés d'un autre côté, par quelque raisonnement simple , ou par Texpérience. Que si le calcul seul peut quelquefois nous offrir une vérité nouvelle , il ne faut pas croire que sur ce point même l'esprit n'ait plus rien à faire; mais, au contraire^ il faut songer que , cette vérité étant indépendante des méthodes ou des artifices qui ont pu nous y conduire, il existe certainement quelque démonstration simple qui pourrait la porter à l'évidence ; ce qui doit être le grand objet et le dernier résultat de la science mathématique.

Qu'on me pardonne ces réflexions, que je fais, j'ose le dire, dans Tunique intérêt de la science. Je connais le caractère propre et distinctif de l'analyse algébrique, et je pourrais même dire avec précision en quoi cet art a pu perfectionner la logique ordinaire du discours ; je sais tout ce que les bons esprits doivent au calcul , mais je tâche d'éclairer ceux qui se trompent sur la nature de cet instrument, et en même temps de prévenir l'abus que d'autres en peuvent faire en profitant de cette illusion même. Car, sitôt qu'un auteur ingénieux a su parvenir à quelque vérité nouvelle, n'esl-il pas à craindre que le calculateur le plus stérile ne s'empresse d'aller vite la rechercher dans ses formules, comme pour la découvrir une seconde fois, et à ^ manière, qu'il dit être la bonne et la véritable ; de telle sorte qu'on ne s'en croie plus redevable qu'à son analyse, et que l'auteur lui-même, quelquefois peu exercé, ou même étranger à ce langage et à ces symboles , sous lesquels on lui dérobe ses idées , ose à peine réclamer ce qui lui ap» partient, et se retire presque confus, comme s'il avait mal

DE LA ROTATION DES CORPS. 5ll

ioTenté ce qu'il a si bien découvert ? Singulier artifice y que je n'ai pas besoin de caractériser davantage, mais qu'il est bon de signaler comme un des plus nuisibles aux progrès des sciences , parce qu'il est sans contredit un des plus propres à décourager les inventeurs !

Mais je n'étendrai pas plus loin ces réflexions : et si le peu qu'on a dit est assez sensible par les exemples qui précèdent , on les verra se confirmer encore par ceux qui pourront suivre.