SECTION PREMIÈRE
<X)MPOSITION ET DÉCOMPOSITION DES FOBGES.
Axiomes y lemmes préUminaires ^ etc.
12. Il est évident .çi^^ deux forces égales et contraires appliquées à un même point sont en équilibre.
Il est encore évident que deux forces égales et contraires appliquées aux extrémités d!une droite considérée comme une verge ins^ariahle de longueur f et agissantes dans la direction de cette droite 9 sont en équilibre; car il n'y a pas de raison pour que le mouvement naisse d'un côté plutôt que de Tautre , comme dans le premier axiome.
i6 ÉLÉMENS
Corollaire.
i3. 11 est facile ^e conclure de là que Teffet d'une foixre qui sollicite un corps ne peut être changé en quelque point de sa direction qu'on la suppose appliquée, pourvu que ce point soit un des points du corps lui-même > ou , s'il est au dehors y qu'il lui soit invariablement attaché.
Fig. 1. Car, soit une force quelconque P (fîg. i) appliquée au point A d'un corps ou système quelconque : si l'on prend , sur la direction de cette force, un autre point B invariablement lié au système , de manière que la longueur AB reste toujours constante, et si Ton applique au point B deux forces F, — ^F égales entre elles et à la force P , et agissantes dans la direction de AB y le point A sera encore sollicité de la même manière qu'auparavant; car l'effet des deux forces Y et — P' est nul de lui-même. Mais en considérant la force P et son égale et contraire^ — ^P' appliquée en B, il est manifesie que leur effet est aussi nul. On peut donc les supprimer, et il ne reste plus que la force P', qui n*est autre chose que la force P, mais appliquée au point B de sa direction ; et le point A n'a pas cessé d'être sollicité de la même manière.
DE STATIQUE. itj
On peut dêUc appliquer une force en un point
quelconque de sa direction, pourvu que, ce point
soit lié au premier point d explication par Une
ligne droite rigide et inextensible.
Remarque.
Lorsque nous changerons ainsi les points d'application des forces, nous ne répéterons pas toujours que Ton doit supposer les nouveaux points invariablement attachés aux premiers , mais il faudra toujours le sous-entendre.
Lemm£^
14. Lorsque deux forces P et Q (fig. 2) sont Fig.2. appliquées à un même point A sous un angle tjuelconque y on conçoit bien qu'une troisième force R^ appliquée convenablement au point A, pourrait faire équilibre aux deux forces P et Q ; car y en vertu des efforts combinés des deux forées P et Q, le point A tend à quitter le lieu où il est : or , il ne peut s'échapper que d'qn àieul côté, et par conséquent, si Ton applique «ne force convenable en sens contraire, ce point demeurera en équilibre.
Les trois forces P, Q, R, étant en équilihgre autour du point A , la force R e$t égale et directement opposée à la résultante des deux autres (10) r donc deux forces P et Qqui concourent ont une résultante.
i8 ÉLÉMENS
En second lieu , il est visible que cette tante doit être dans le plan de lenrs directions ' Fig. 3. AP , AQ (fig. 5) ; car il n'y a pas de raison pour qu elle ait au-dessus du plan une certaine position , plutôt que la position parfaitement sjmétrique au-dessous.
De plus, elle doit être dirigée dans l'angle PAQ des deux forces; car il est clair que le point A ne peut se mouvoir dans la partie du plan qui est au-dessus de la ligne AQ, vers D ; de même il ne peut se mouvoir au-dessus de la ligne AF, vers B; et par conséquent il ne pourra se mouvoir que dans l'angle PAQ , et la résultante R devra être dirigée dans l'intérieur de cet angle.
Remarque.
1 5. 11 n'y a qu'un seul cas où l'on puisse voir à priori quelle sera la direction de la résultante ; c^est celui où les deux forces P et Q sont égales : alors il est clair que la résultante divise en deux également l'angle qu'elles forment entre ell^; car il n'y a pas de raison pour que cette résultante fasse ^ avec l'une des composantes, un angle plus petit qu'avec l'autre.
Axiome fondamentaL
- i6. Lorsque les deux forces Vet(^ agissent dans la même direction et dans le même sens \
îi est msiblcy et Voh doit accorder comme un axiome, que ces forces s'ajoutent et donnent une résultante égale à leur somme P + Q*
Remarque.
Cet axiome est le fondement de toute la science* de Féquilibre. On peut le regarder^ si Ton veut , comme une espèce de dé^nition , ou de demande, qu'il ne faut pas essayer de démontrer, car elle est comprise dans l'idée même de, la force, considérée comme grandeur, c'est-àdire comme susceptible d'être augmentée ou diminuée. Et en effet, quelle idée pourrait-on se faire, par exemple, d'une force double ou triple d'une autre, si l'on ne regardait cette force comme la réunion actuelle de deux ou de trois forces égales qui tirent à la fois le même point dans le même sens? C'est ce qui a été naturellement sous-entendu dans tout 'ce qui précède. Au reste, cepostulatwn est le seul que la science exige; après quoi tous les. théorèmes de la Statique rationnelle ne sont plus au fond que des théorèmes de Géométrie.
Corollaire.
17. De l'axiome qui précède on peut conclure (en combinant successivement les forces deux à deux ) que la résultante de tant de forces
ao ÉI^ÉHENS
que l'on voudra , qui agissent daps une mêftie direction et dans le même sens, est égale à leur somme totale , et agit dans la niéme direction ;
Que lorsque deux forces inégales P et Q agissent en sens contraires dans une même direction /leur résultante est égale à la différence P — Q des forces y et qu elle agit c^ans le sens de la plus grande ; car on peut conoeroir dans la plus grande, que je suppose P^ par exemple»
une force égale et contraire à Q, et qui la dér^ truit. On peut supprimer ces deux foccps-là» et le pohit est actuellement ti^é par la différepiseï P — Q des deux forces P et Q.
D où Ton voit qu'en général la résyUaïïUe de tant de forces que Uon voudra y agissantes dans la même direction ^ est égale à V excès de la somme de celles qui tirent dans un sens^ sur la somme de celles qui tirent dans le sens con^ traire , et qi^eUe agit dans le sens de la plus grande somme.
Remarque.
i8. Telles sont quelques-unes des prppoaî* tions les plus élémentaires» dont on découvre la vérité à priori^ et presqu'à la première inspection. XiQ cas le plus simple de la compatitien des forces» et en même temps celui où Ton eonuait tout d'un coup la résultante » est évi-
DE STATIQUE. ai
deinttiént le ca$ de» forées qui agisseDt dansune Mèihe direction. Ncths allons donc ôommenceii là cqfnposidon des forcé» par celles qui s'y ra«^ mèiiimt itnnleâiatemeirt.
Composition des forces qui agissent suif^antdes direi^ions parallèles .
Théorème ï.
19^, St detix forces quelconques P e^ Q (fig. 4)^ (kiraUèles et dé iHéme sens, sontafi^ Fi({. 4. pUquée^ auot ejttrémiêés AetB dune droite /igide AB , je dis :
i*". Que ces êeuxjorces mit une tésulUtntei et que eette résultante doii être appliquée à la ligne AB entre les deiéx points A et h;
û^. Que cette force est parallèle aux côm-posantes T ëê(^^ et égale à leur^ùmme^
i^. AppliqnetB à yolonté aux deux poinfs A et B deux fôroes M et N i égales et contraires y et qui àgi^oll dan^ k direction AB. L'effet de ces deux fdreeb sera niil^ et par conséquent l'éifët dés deu forcés P et Q ne sefa pas changé \ mais les détint Forces M et P appliquées en A ont une résultante S appliquée au pdlnt A , et dirigée dans l'angle MAP (14)* De même leis deuîÉ forcés M et Q ont une résultante T, appliquée en B et dirigée dans l'angle NBQ. Conce*
yes qu'on ait pris œsdeax résoltaotes, et qa'on les ail appliquées toales deux au point D oà leurs directioDS Toot néoessairemeot se couper; la résultante des deux fioroes S et T sera absolument la m^e que celle des deux fiorces P et Q : or, étant api^quée en D, et deruit être dirigée dans Tan^^ ADB, die ira passer entre A. et B, en un certain point C, on l'on pourra la sujqposer appliquée.
^\ Maintenant, pour démoatrer que c^le résultante est parallèle aux forces P et Q, et égale à leur somme, imaginmis qu'au prâit D on redécompose la force S en deux composantes M' et F, par&itement égales et paialldes aux pionnières M et P; de même, qu'on redécompose la force T en deux composantes K' et Q', par&itement égales et parallèles aux premières N et Q. Les deux forces M', N' seront ^ales : de plus, elles seront directement opposées, puisque, aj^iquées à un même point D, elles sont parallèles à une même drmte BfN, et par conséquent leur effet sera absolument nul» Il ne restera donc que les deux forces V et Q^, respeclirement égales et parallèles aux forces P et Q. Or, ces deux forces étant érideroment dans une même direction, se composeront en une seule R, ^ale à leur somme P+Q' on P-f- Q : ce quil fallait démontrer.
DE STATIQIÏE. 23
Corollaire /.
20. Si les deux forces P et Q ( fig. 5 ) sont ^^- ^ ^ales entre elles, le point C d'application de la résultante sera au milieu de la ligne AB. Prenons, en effet, les deux forces M et N dont on ^t maître , égales aux forces F et Q. La résultante S des deux forces égales M et P divisera en deux également Fangle MAP (i5j ; et à cause de DÇ parallèle à la ligne AP , le triangle AQ) sera isocèle. Par une raison toute semblable, le triangle BCD sera isocèle ; et Ton aura d'une part, AC = CD, et de l'autre, CD = CE; d'où AC=CB. .
Corollaire II.
21. U résulte de là que la résultante de tant de forces parallèles qu'on voudra , égales deux à deux , et appliquées symétriquement à des distances égales du milieu d'une même droite , est égale à la somme de toutes ces forces , leur est parallèle , et passe par le milieu de la droite d'application. Car, en combinant successivement deux à deux les forces égales placées de part et d'autre à des distances égales d}i milieu de la ligne droite, leurs résultantes successives passeront toutes par ce même point, et s'ajou^
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teront ensuite, comme étant de même sens et de
même direction.
22. Et réciproquement on pourra décompo*ser toute force P appliquée k une ligne, en tant d'autres forces parallèles qu'on voudra , appliquées à différens points de cette ligne, pounm que ces forces, deux à deux^ soient égales, à égales . distances du point d'application de la force P , et que leur somme totale sôit égale à cette même force.
Théorème II.
Fig. 5. aS. £c ]^int C (fig. 6) d application de la résultante de deux forces parallèles P et Q qui agissent aux extrémités  e^ B dune droite inflexible AB^ partage cette droite dans la raison réciproque de¥ à(^: de sorte que Von a,
