PRÉLIMINAIRE

1 . L'idée que nous avons des corps est telle, que nous ne supposons pas qu'ils aient besoin de mouvement pour exister. Ainsi , quoiqu'il n'y ait peut-être pas dans l'univers une seule molécule qui jouisse d^un repos absolu, même \ dans un temps limité très court, nous n'en concevons pas moins clairement qu'un corps peut exister en repos.

Mais si lin corps est une fois en repos, il jdemeurera toujours, à moins qu'une cause étrangère ne vienne l'en tirer : car , comme le mouvement ne peut avoir lieu que dans une certaine direction, il n'y aura pas de raison pour que' le corps se meuve d'un côté plutôt que de tout autre ; et par conséquent il ne se

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mouvra point. Donc, si un corps en repos vient à se mouvoir, on peut être assuré que ce n'est qu'en vertu d'une cause étrangère qui agit sur lui. Cette cause,, quelle quelle soit, qui ne nous est connue que par ses effets , nous l'ap-pelons force ou puissance.

La force est donc une cause quelconque de moui^ement.

3. Sans connaître la force en elle-même , nous concevons encore très clairement qu'elle agit suivant une certaine direction , et avec une certaine, intensité.

Nous acquérons presque en naissant l'idée de la direction de la force et de son intensité. Le sentiment de la pesanteur qui nous sollicite toujours du même côté, la vue d'un corps qui tombe ou qui reste suspendu au bout d'un fil , la différence des poids que la main éprouve , et une foule d'autres phénomènes aussi simples, nous donnent une idée de la direction et de l'intensité de la force, aussi incontestable que celle de notre existence.

Ainsi, nous regarderons comme évident que toute force agit au point ou elle est appliquée ^ suivant une certaine direction et as^ec une certaine intensité.

5. Maintenant y si nous représentons les directions des forces par des lignes droites, et leurs intensités par des longueurs proportionnelles prises sui" ces lignes, ou par des nombres, il est clair que les forces pourront être soumises au calcul comme toutes les autres grandeurs; et de là résulte ce problème général dont la solution est l'objet de la Mécanique :

Un corps ou système quelconque de corps étant sollicité par de certaines forces données , trousser le moui^ement que ce corps prendra dans Vespace,

Et réciproquement : Quelles doivent être les relations des forces qui agissent sur un système ^ pour que ce système prenne dans F espace un mouvement donné; ce qui est au fond la même question que la précédente;

4- Pour résoudre ce problème général , on commence par résoudre ce cas particulier où l'on demanderait quelles doivent être les relations des forces , pour que le système auquel elles sont appliquées prenne un mouvement égal à zéro, c*est-à-dire demeure en équilibre. Ce problème une fois résolu, il est très facile d'y ramener l'autre; et voilà pourquoi l'on

Cette distinction^ qui esjt nulle dans J'état, rigoureux des choses^ devient Sensible dans }es équilibres que la nature nous offre : presque aucun corps n'e&t exactement en équilibre ; et lorsqu'il nous parait dans cette situation^ il existe néanmoins entre les forces qui le sollici- ^ tent une lutte perpétuelle qui le fait osciller iniiniment peu^ et le ramène continuellement à une position unique qu'il abandonne toujours. Mais j dans la solution mathématique des pro^ blêmes j oh doit regarder un corps en équilibre comme s'il était en repos ;^ et réciproquement^ si un corps est en repos ^ ou sollicité par des forces quelconques^ on peut lui supposer appliquées telles nouvelles forces qu'on voudra ^ qui soient en équilibre d'elles-mêmes j ef l'état du corps ne sera point changé.

On verra bientôt de nombreuses applications de cette remarque.

j. Ces notions préliminaires étant posées, voyons comment on peut procéder à la recher^ che des conditions de l'équilibre pour un système quelconque de corps, de figure invariable , sollicité par des forces quelconques P, Q , ^ R, S , etc. , appliquées en des points donnés a^ bj c^ d^ elc.,. du système.

On supposera d'abord que tous les cor]ps sont sans pesanteur , c'est-à-dire tels qu'ils seraient s'ils existaient seuls dans l'espace ; de sorte qu'il n'y aura plus a considérer que les efforts des seules forces appliquées P, Q, R^ S, etc., qui devront se contre-ba|ancer mutuellenient dans le cak de l'équilibare.

Ensuite il est facile de voir qu'il suffira de trouver les conditions de l'équilibre pour le simple système des points d'application a, b, c^ d, etc., regardés comme un assemblage de points liés entre eux d'uuje manière inva** riable.

En effet, si Ton désigne par a', 6', e\ dy etc., les mêmes points a , 6 , c , ^^ etc. , du système, mais considérés seulement comme des points unis par des lignes droites, rigides et inextensibles, et si Ton suppose que les forces P, Q, R, S, etc., les maintiennent en équilibre, il est évident que les mêmes force&P, Q, 1R, S, etc., maintiendront aussi le système en équilibre ; car on pourrait imaginer que le système a été placé sur les points a', h\ c', d^ etc. , de manière que les points a^ h, c^ dj etc. , coïncident actuellement avec eux. Le système étant laissé en repos dans cette situation, l'équilibre des points a' y h\ c', d ^ etc., ne sera point troublé. Mais il est clair que l'équilibre subsisterait en-

core^ SI, au lieu de supposer les points a et n% b et b', c et (f, etc.^ coïncidens , on les supposait unis d'une manière invincible, de sorte que a ne pût se séparer de a', b de b\ c de c\ et ainsi des autres ; d'où il résulte que les conditions de l'équilibre entre des forceis P , Q , R , S, etc., appliquées à un système quelconque de corps , sont les mêmes conditions qui auraient lieu entre les mêmes forces P, Q, R, S, etc., appliquées au simple système des points d'application a, b, c, d, etc., liés entre eux d'une manière invariable.

Ainsi ^ lorsque l'on cherchera les relations de certaines forces qui se font équilibre autour d'un système quelconque solide, on pourra faire abstraction de tous les corps du système , et supposer qu'il ne reste plus que les points d'application a, ô, c^ rf, etc;, qu'on imaginera liés entre eux dé manière à ne pouvoir changer leurs distances mutuelles.

D'après ce^ considérations, Ton dégage du problème et le poids et le volume des corps, et la question devient plus simple.

Par la suite , nous rendrons aux corps leur pesanteur, et nous aurons égard à leurs poids respectifs, comme à de nouvelles forces qu'il faudrait Combiner avec les autres, pour avoip réquilibre. Nous pourrons , de cette ma-

nière, appliquer les résultat^ de la Statique a l'équilibre des corps naturels qui sont touà pesans.

8. Maintenant ^ puisqu'il ne reste plus à con-« sidérer dans l'équilibre des forces que trois choses, savoir: leurs intensités, leurs directions et leurs points d'application , il est visible que les conditions de lequilibre ne sont autre chose que les relations mutuelles qui doivent, exister entre ces trois choses, pour que l'équilibre ait lieu dans le système. Or » on peut déjà comprendre , et l'on verra bientôt que ces relations peuvent être exprimées par des équations où Ton ferait entrer immédiatement les intensités des forces, leurs directions, au moyen des angleis qu'elles forment avec des droites fixes dans l'espace, et lents pointsd'application, au mojen des coordonnées qui en déterminent les positions respectives.

Cest ainsi qu^on peut se faire une idée du problème dé la Statique , et se mettre au iait de l'état dé la question .

Mais Voti pourra observer que , dans tout ce que nous venons de dire , il ne s'agit que d'un corps libre dans l'espace , tandis que Ton conçoit bien qu'un corps pourrait être assujetti h

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de certaines conditions^ comme ^ par exemple^ de tourner autour d'un point ou d'un axe fixe, de s'appuyer constamment sur une surface impénétrable , etc. Mais Ton verra par la suite que les résistances qu'un corps éprouve à cause des conditions étrangères qui l'assujettissent^ peuvent toujours être remplacées par des forces convenables, et qu'après cette substitution de forces à la place des résistances , le corps peut être regardé comme libre dans/l'espace ; ainsi il était inutile de compliquer au commence-ment la question.

g* Pour découvrir actuellement la route qui peut nous conduire aux conditions de l'équilibre , représentons-nous un corps ou système tenu en équilibre par des forces quelconques P, Q, R, S, etc., dirigées comme on voudra dans l'espace.

Puisque toutes ces forces se font équilibre , on voit que l'une quelconque d'entre elles, la force P, par exemple, s*oppose seule à l'action de toutes les autres Q, R, S, etc.; d'où il parait que l'effet de ces dernières est de solliciter le système absolument comme une simple force égale et contraire à la force P.

DE STATIQUE. ii

C est en effet ce qui a lieu , et ce qu'on peut porter à la dernière évidence au moyen de la remarque précédente (6), et de cet ai^iome » que deux forces égales et opposées se; font nécessairement équilibre (12).

Car^ supposons que l'on applique au système une force P' parfaitement égale et contraire à la force P. Les forces P et P' étant en équilibre, leur effet est nul de lui-même , et l'on peut regarder le corps comme n'étant plus soumis qu'à l'action des forces Q, R, S, etc. Mais y d^un autre côté, la force P faisant équilibre aux forces Q, R, S, etc., leur effet est aussi nul de lui-même, et l'on peut regarder le corps comme n'étant plus soumis qu'à l'action de la simple force P^ L'état du corps est donc identiquement le même, soit qu'on le suppose sollicité par les forces Q, R, S, etc. , soit qu'on le suppose sollicité par la seule force P' égale et contraire à celle qui leur, ferait équilibre.

Donc, puisqu'il peut arriver qu'une seule force soit capable de produire sur un corps le même effet que plusieurs , et en tienne parfaitement lieu, notre premier soin doit être de chercher à réduire les forces appliquées au pluâ petit nombre possible , et d'observer surtout la loi de cette réduction. Alors lescondi-

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tions de Téquilibre entre toutes les forces se ra-^ mèneront aux conditions de l'équilibre entre ces forces finales équivalentes aux premières ^ et deviendront plus faciles à exprimer.

lo. Cette force» qui est capable de produire sur uii corps le même effet que plusieurs autres forces combinées , et qui peut à elle seule en tenir parfaitement lieu , se nomme leur résul^ tante. [D'où Ton voit, en rappelant ce qui a été dit plus haut y que si plusieurs forces se font actuellement équilibre sur un corps y Tuaé quelconque d entre elles est égale et directe-ment opposée à la résultante de toutes les autres.

Les autres forces , à l'égard de la résultante , se nomment 1^ composantes. La loi d'après laquelle on trouve la résultante de plusieurs forces se nomme la composition des forces. Là même loi (mais prise dans l'ordre inverse), d'après laquelle on substitue à une seule plusieurs forces capables du même effet , ou dont la première serait la résultante , se nomme la décomposition de,s forces.

Nous allons donc commencer par ces deux recherches, qui, au fond, n'en forment qu'une seule , Celle de la loi qui lie la résultante à ses composantes.

BÇ STATIQUE. , i3

II. Souvent^ pour abréger le discours, nous appellerons forces parallèles , des forces dont les directions sont parallèles; forcés concourantes, des forces dont tes directions concourent, etc.

Nous désignerons ordinairement les forces par les lettres P, Q, R^ S , etc. , placées sur les lignes qui représentent leurs directions; et si une lettre, telle que A, indique le; point d'application dune force, telle que P, par exemple, nous supposerons toujours que l'action de cette force a lieu de A vers la lettre P, ou que la force tire de A en P.

Si, pour représenter la quantité de cette force, on prend , sur sa direction, et à partir du point A, une certaine ligne terminée AB, on supposera de même que cette*Hgne est portée du xôté où le point d'application A tend à se mouvoir . Ainsi , quand on dira simplement d'une force, qu'elle est représentée en grandeur et en direction par une certaine ligne terminée qui part du point d'application , il faudra sous-entendre que la force tire fie point vers l'extrémité de la ligne qui la représente. '

On pourrait adopter l'hjpothèsé contraire, c'est-à-dire supposer que la force représentée par la \\gne Pi^ pousseXe point d'application A

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pour réloîgner de l'extrémité B de la lîgae qui la représente : car il ne s'agit ici que d'une simple convention dont on est le maître ; et l'on peut faire indifféremment Tune ou Tautre. Mais, une fois qu'elle est faite, il faut avoir soin de s'y conformer dans la figure, pour toutes les forces que Ton considère, afin de donner à chacune d'elles le sens qu'elle doit avoir, et à l'énoncé du théorème toute son exactitude.

DE STATIQUE. i5

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