P:Q::BC:AC

Supposons en second lieu , que les deux forces P et Q ne soient pas commensurables.

Je remarque d'abord que si la résultante de

f'g- 7- deux forces quelconques P et Q (fig» 7 ) appliquées aux points A et B , tombe en C ^ la résuU tante de laforce P et d'une force Q-f- 1 > Q tombera entre le point C et le point B ; c'estrà-dire que le point d'application de la résultante s'approchera du point d'application de la composante qui aura augmenté. En effet, pour trouver la résultante des deux composantes P et .Q-I-I9 on peut prendre d'abord la résultante R de P et Qy qui passe au point C, par hypothèse, et ensuite celle de R et de I , dont le point d'application sera entre C et B (19).

, Maintenant, si la résultante des deux forces

Fig. 8. incommensurables P et Q (fig. 8) ne passe pas au point G qui est tel qu'on a P : Q : : BC : AC, elle passera en un autre point situé entre A et C , ou entre C et B. Supposons que ce soit en G entre A et C. Partagez la ligne AB en parties égales toutes plus petites que GC , il y aura au moins un point de division entre C et G. Soit I ce point : les deuit lignes AI et BI seront corn* mensurables , et le point I pourra être considéré comme le point d'application de la résultante de deux forces P et Q' qui seraient telles qu'on aurait P : Q' :: BI : AI, ce qui donne

Q' < Q ( puisqu'oa a par hypothèse P î Q :: BC : AC). Mais la résultante clés deux forces P et Q' passant en I , celle des deux forces P et Q > Q', passera entre I et B , et ne pourra tomber en G contre l'hypothèse.

On ferait voir absolument de ^la même manière quelle ne peut tomber entre C et B; et par conséquent elle passe nécessairement en C.

Corollaire /.

a^^ Lorsque trois forces parallèles P^ Q, K (fig. 9) sont en équilibre sur une ligne AB^ TuneFig. 9. d'entre elles est égale et directement opposée à la résultante des deux autres* Ainsi la force Q^ par exemple , prise en sens contraire , est la ré* sultante des deux forces P et R. Comme les deux forces P et Q tirent dans le même sens , la force R est égale à P-f- Q> et par conséquent Q = R— Ç; d'où il suit que la résultante de deux forces parallèles qui agissent en sens contraires est égale à leur difïerence, et tire du même Côté que la plus grande.

25. Les deux forces P et R étant données ainsi que la distance AC qui sépare leurs points d'application , si Ton demande le point d'application de la résultante Q , on fera cette pra« portion, P : Q :: BC : AC j d où l'on tire P+Q :

a8 ÉLÉMEKS

Q::BC+AC:AC,c'e»t.à^ireR:Q::AB:AC; pfôpôrtidft qttl fetti èonuAlite AB/et |>ar ébnnséqttéflt 1er {^bt B<

Corollaire II.

!kt. ]$U{>(KMohâ que lès deu* forc^ 1^ et R ^iênt égâfei^, ïà V^strlfàitte Q iferâ zé]^, et là dis^ tance KlS de éon pôîiit d'âpplïéattôn sëf a , {lài* Fd

proportion ci-dessils, Siâ^^^ (f est-à-dîre infinie.

Si )e$ deuk fortras P et R ^ aa lieii d'ÂQ:*e. ega-^ les ^: différaient d'tme qndcyâté très «petite,, hi résultante Q^ qui est é^le h cettcf diffiàfeoce^ sê^

rif t ttès petite , et ïa distaùce AB == £2^ ^e^

raijt très grande , à cause du dénominateur Q très petit : ainsi y plus les deux forces s'approchent de l'égalité , plus la résultante diminue y et plus la distance du point où èlie est appliquéç augmente. De sorte que, lorsque les deux forces deviennent parfaitement égales, la résultante est nulle, et la distance du point d'application, infinie; ce qui parait annoncer qu'il n'y a plus alors de rééultante, ou, en termes plus clairs , qu'on rie p^i/t pas trouver actuellem'ent une force uniqiie qui fasse équilibre à deux forces égales, parallèles et de sens op-* posés.

DE STATIQUE. i^

^T. M^i^y pppr ttfî U\mv m^wn pu^ge sur

CQtte dernièrç qqiiséquçiice , im^ginoDs', s'il est possible^ qu'une fpr<;ç npiquçK fskasiç çquilibr^ aux deux forces P et — P, parfaitement égales, parallèles et contrw^^e

D'abord , quelle que soit la position de cette force unique à l'égard des deux proposées» on lui trouvera suivle^chapfip » dans un sens con-* traîfef, une auti^ position toute semblable à, Pëgard d^s mêmes forces ; car tout est égal de part et d'autre. Si donc une force R fait équili*^ bpç aux AeoK forces P et ^— ^ P» il y a une autre force— «R égale ^ parallèle et de sens opposé» qui lepr fer^t aù$si équilibrç. Ajoutez cette seconde force — R , et pour ne rien changer , dé-» truisçz-la immédiatement par une force R' ^ale et contraire. Il y ^ura donc équilibre entre les cinq forces R, P,— P,— R et R'. Mai* il y H équilibre entre les trois forces P, — P et — R : donc il y aurait équilibre entre les deux forces restantes R et R'; ce qui est impossible » puisque ces deuiç forces égales et parallèles agissent dans le même sens (19).

Ainsi les deux forces P et — P ne peuvent être tenues en équilibre p^r aucune simple force, et par conséquent elles n'ont point de résultante uniqu e .

Nous reviendrons bientôt sur ces sortes de

3a ÉLÉMENS

forces, dont la considération , qui n'avait paru jusqu'ici que comme un cas singulier, fera la seconde partie essentieUe de nos Élémens.

Corollaire III.

28. De même que Ton compose en une setde deux forces parallèles qui agissent à des points donnés d'une ligne , on peut aussi décomposer une force quelconque R (fig. 6) , apj^quée à un point C d'une droite inflexible, en deux au* très P et Q qui lui soient parallèles , et qui agissent en des points donnés A et B de cette droite. Il ne s'agit pour cela que de partager la force R en deux autres qui soient entre elles dans le rapport des distances BC et AC ; et pour trouver la force Q, par exemple, on se servira de la proportion R : Q :: AB : AC, dans laquelle il n'y a que Q d'inconnue. La force P sera égale àR-Q.

Si le point C d'application de la force R (fig. 10) qu'on veut décomposer ne tombait pas entre A et B , points d'application donnés des composantes P et Q que l'on cherche , on aurait de même la proportion R : Q :: AB : AC, qui ferait connaître la force Qj mais la force P serait égale à R -j- Q«

DE STATIQUE. 3i

Corollaire IV.

29. Quand on sait déterminer la résultante cle deux forces parallèles^ on peut facilement trouver celle de tant de forces parallèles qu'on voudra^ appliquées aux di£Pérens points d'un système quelconque de figure invariable.

Soient y par exemple, les quatre forces parallèles P, P', P", P'''(fig. ^ï)> appliquées res- Fig.n. pectivement aux quatre points Â, B, C, D , situés d'unemanière quelconque dans l'espace ^ et liés entre eux d'une manière invariable. En considérant ces forces deux à deux', elles sont situées dans un même plan. Ainsi l'on peut prendre d'abord la résultante X des deux forces P et F' ; elle sera égale à leur somme P + P' , et passera en un point I de la Jigne AB, qu'on trouvera en divisant AB dans la raison inverse de P à Y . La résultante X étant ainsi déterminée , on joitidra le point I oii elle agit, au point C de la troisième force P". Les deux forces X et P'' étant parallèles, on en prendra la résultante X', comme nous avons fait tout à l'heure : cette résultante sera égale à leur somme X-f-P'', et le point F où elle devra être appliquée se trouvera en divisant la droite CI , dans la rai-*son réciproque de X à P'^ Joignant enfiti le point F au point D d'application de la qua-

trième force P'", et divisaat la droite FD ea deux parties réciproquement proportionnelles aux forces X'etP''^ on aura le point fi d application de la résultante générale R, qui sera pa«rallèle aux deux forces X' et P'''^ et par coiiaé«quent à toutes les composantes; égale à leur somme X'4~P'''f ^t par conséquent à la somme de toutes les composantes.

Le raisonnement que nous venons de faire s'étend manifestement à un nombre quelconque de forcés parallèles.

Si parmi les forces P, F, P", etc. , les unes agissaient dans un sens^ et les autres^ dans le sena contraire f on commencerait par prendre la résultante de toutes «telles qui agissent dans le mâme sens; on chercherait ensuite la résultante de celles qui agissent dans le sens contraire; et toutes les forces étant alors réduites à deux forces parallèles et de sens contraires, on en trouverait la résultante par ce que nous avons dit plus haut*

5a. On peut donc , en général , déterminer la position et la quantité de la résultante de tant de forces parallèles qu'on voudra; cette résultante sera parallèle aux forces ^ et égale à T excès de la somme de celles qui tirent dans un sens y sur la somme de celles qui tirent dans le sens contraire.

J'ai dît en général, parce qu'il peut amver que la résultante des forces qui tirent dans un sens soit par&îtement égale à la résultante de ceHes qui tirent dans le sens contraire, sans lui être directement opposée ; et alors il n'y a pas de résultante unique , comme nous l'avons vu plus haut.

Corollaire f^.

5i. Supposons que les quatre forces P, P',

F', P'", sans changer de grandeurs , sans cesser

d'être parallèles et de passer aux mêmes points

respectifs Â, B, C, D, viennent à prendre les positions p , p\ />", p!" dans l'espace.

Si l'on en cherche la résultante , eu suivant le même ordre que plus haut, on trouvera d'abord que la résultante x Ae pet p'j passe au même point I que la résultante X de P et P', et qu'elle lui est égale. Elle passera par le même point, parce que son point d'application doit diviser la même droite ÂB dans la raison réciproque A.e p à p' , qui est la même que celle de P à P'. Elle lui sera égale, parce qu'on aura P4-F=/7-+-p'' Oï^ trouvera de même que la résultante x' de X et p", passera au même point F que la résultante X' de X et P", et qu'elle lui sera égale, et ainsi de suite : de sorte que la résultante générale des quatre forces /?, p\

34 ËLÉMEKS

P"* P'"* P^ss^ï'a au même poiat que la résultante des quatre forces P, P', F', P''' j et cela est général , quel que soit le nombre des forces ; d'où Ton peut conclure ce théorème remarquable:

32, 5/ Pon considère un sjstème quelconque de forces parallèles ^ appliquées à un assemblage de points A^ B^ C^ D^ etc.j et qu'on in^ cline successivement tout le système de ces forces dans diverses situations , de manière que les mêmes forces passent toujours par les mêmes points f et conservent leurs grandeurs et leur parallélisme j les résultantes générales qu^on trouvera successivement dans chacune de- ces positions se crùisewnt toutes au même point.

Ce point d'intersection des résultantes successives se nomme le centre des forces pand" lèles. Nous aurons occasion d'en parler plus loin , . quand il sera question des centres de gravité.

On peut remarquer, au reste, que dans la démonstration précédente , il n'est pas nécessaire de supposer que les forces conservent toujours les mêmes grandeui^s : il suffit que, dans les positions successives du groupe ^ elles demeurent proportionnelles.

Composition des forces dont les directions concourent en un même point.

TTiéorème III.

35. La résultante de deux forces quelcon-quesF et Q (fig. 12) appliquées à Un même^i^-^^' point A sous un angle quelconque ^ est dirigée suivant la diagonale du parallélogramme ABCD construit sur les deux lignes AB^ AC , qui re^ présentent les forces V et Q en grandeur et en direction.

D'abord y nous avons vu (14) que cette re'sultante doit être dans le plan des deux forces* P et Q ; en second lieu , qu elle doit être appliquée au point A , puisque cette résultante^ par hypothèse^ doit solliciter le point A absolument de la même manière que les deux forces P et Q.

Je dis maintenant qu'elle doit passer au point D f extrémité de la diagonale AD. .

Prenons, en' effet, sur le prolongement de la ligne BD la partie DG = DC, et achevons le losange CDGH. Appliquons aux points G et ti, et dans la direction de GH, deux forces Q' et Q'' contraires , égales entre eïlcB et a la force Q, Il est facile de voir que la résultante des quatre forces P, Q, Q' et Q* doit passer au point D.

a6 ÉLÉMENS

Cajr, !•. à cause de Q' = Q, les deux forces parallèles P et Q' sont entre elles comme les côtés ABy AC, ou comme DC et DB^ ou bien, à cause de DC=:DG, comme les lignes DG et DB, et par conséquent (9.5) leur résultante S passe en D ; 2*. les deux forces Q et Q* étant égales , leur résultante T, prolongée , divise en deux également langle CHG du losange CDGH , et va passer aussi par le point D, où l'on peut la supposer appliquée. Donc la résultante générale qui est celle des deux forces S et T passe au point D.

Mais les deux forces Q' et Q" appliquées sur GH étant parfaitement égales et contraires, leur effet est absolument nul , et la résultante des quatre forces P, Q , Q' et Q'' est identiquement la même que celle des deux forces P et Q. Donc, puisque la première passe en D, celle des deux forces P et Q passe aussi au même point.

Puisque la résultante passe à la fois par les deux points A et D , elle est donc nécessairement dirigée suivant la diagonale AD.

Corollaire.

54- Concluons de là que si Ton connaissait seulement les directions des deux forces P et

Fia. i3. Q (fig* * ^) ' ^* ^^^'^ ^^ '^^^ résultante R , on pourrait déterminer le rapport de la force P à

la force Q, Car, en prenant sur la direction de ^ la résultante un point quelconque D, et ruenant de ce point deux parallèles DC et DB aux directions des composantes P et Q , et, qui rencontrent ces directions en C et B^ on aurait nécessairement P : Q :: ÂB : AC. Sans quoi Ion aurait P est à Q comme AB est à une ligne AO plus petite ou plus grande que AC; et alors la résultante des deux forces P et Q serait dirigée suivant la diagonale AI d^un parallélogramme AOIB différent du parallélogramme ABDC , ce qui est contre l'hypothèse.

Théorème IV.

55, La résultante de deux forces queleou" (pÂSS F et Q (fig. 14) appliquées à un même Fig. 14. point Aj est représentée en grahdeur et en di-

rection par la diagonale du parallélogramme ABDC^ construit sur les deux lignes AB^ AC qui représentent ces Jorces en grandeur et en direction.

Nou§ avons déjà vu que cette résultante est dirigée suivant la diagonale ; reste à faire voir qu'elle est représentée en quantité par la diagonale elle-même.

Soit R cette résultante : supposez qu'elle soit appliquée au point A sur le prolongement de la diagonale DA , en sens contraire de son ac-

tion. Les trois forces P, Q , R sei*ont en équili-* bre sur le point A. Donc lune d'elles^ la force Qy par exemple y sera égale et directenient opposée à la résultante des deux autres P et R. Donc la direction de la force Q , prolongée , sera celle de la résultante des deux forces F et R. Donc si, du point B, vous menez à la direction AR , la parallèle BG qui rencontre .en G le prolongement de QA , et du point G, à la direction AP, la parallèle GH qui rencontre en H la direction de la force R , les deux forces P et R seront entre elles comme les côtés AB, AH du parallélogramme ABGH (34). Mais la ligne AB représente actuellement la force P; donc la ligne AH repr^nte la force R. Or, par les parallèles^ on a AH=BGrAD; donc, etc.

Corollaire I.

56. Puisque les trois forces P, Q, R sont entre elles comme les trois lignes AB , AC, AD, et que dans le parallélogramme ABDC, on a AB=CD, on peut dire que ces trois forces sont entre elles comme les trois côlés CD, CA et A D du triangle ACD. Mais ces trois côtés sont entre eux comme les sinus des angles opposés CAD , CD A , ACD , et à cause des parallèles , l'angle CDA= l'angle BAD, Taugle ACD est supplément de l'angle BAC, et par conséquent

a le même sinus ; on a donc

P : Q: R :: sinCAD : sinBAD : sin BAC.

D'où Ton peut conclure que la résultante de deux forces F et Q étant représentée par le sinus de 1 angle formé par leurs directions , les deux forces P et Q sont représentées réciproquement par les sinus des deux angles adjacens à la direction de la résultante; ou, si Ton veut, cha^ cune des forces P^ Q , R est comme le sinus de T angle formé par les directions des deux autres.

Remarque.

Sy. On peut voir par là, et mieux encore par la considération immédiate du parallélogramme des forces , que lorsque deux forces agissent sur un même point sous un angle qui n'est pas ^al à deux droits, elles ne peuvent jamais donner une résultante nulle, à moins qu elles ne soient nulles elles-mêmes chacune en particulier.

Car , si aucune des deux forces n'était nulle, on pourrait construire un parallélogramme sur les deux lignes qui les représentent en grandeur et en direction, et la diagonale de ce parallélogramme serait la résultante.

Si l'une d'elles seulement était nulle , la se- «onde serait la résultante , et par conséquent la résultante ne peut être nulle, à moins que les

4o ÉLÉMENS

composantes ne soient toutes deux nulles en même temps.

Lorsque les deux composantes agissent sous un angle égal à deux angles droits , elles sont alors contraires ^ et la résultante n'est pas nulle dans le seul cas où ces deux composantes sont nulles toutes deux, mais encore dans celui où elles sont égales.

Corollaire IL

38. On peut toujours décomposer une force ' donnée R en deux autres P et Q dirigées sui- Fig. i5, yantdes lignes données ÂP,ÂQ(fig. i5),pourvu que ces directions et celles de la force R soient comprises dans un même plan et concourent au mêtne point A; car, prenant sur la direction de la force R une partie AD qui représente sa quantité, et par le point D menant les droites DC, I>B parallèles aux directions données AP, AQ , on formera un parallélogramme ABDC , dont les côtés AB, AC représenteront les forces demandées P et Q.

Si l'on veut calculer immédiatement leurs grandeurs, on pourra faire ces deux proportions ;

R : P :: si n BAC : sinCAD, R : Q:: sinBAC : sinBAD,

dans lesquelles il n y a que P et Q d'inconnues.

DE STATIQUE. 4i

Remarque.

59. Sî l'angle BAC était droit , on aurait , en supposant le rayon= i, sîn BAC= 1 ; sin CAD ==cos BAD, .et réciproquement, sîn BAD = cos CAD j et les deux proportions ci-dessus deviendraient

R : P :: I : cos BAD, R : Q :: I : cos CAD.

D'où P= R • cos BAD, et Q=:R . cos CAD.

Il résulte de là que lorsqu'on décompose une force en deux autres qui agissent suivant des directions rectangulaires entre elles, on trouve chaque composante en multipliant la force proposée par le cosinus de l'angle qu'elle fait avec la direction de cette composante.

Chaque composante est représentée par la projection de la résultante sur sa direction, et c'est ce qu'on appelle souvent la force estimée suivant cette direction. Ainsi R. cos BAD, ou la composante P, est la force R estimée suivant la direction AP.

Corollaire III.

40. Quand on sait déterminer la résultante de deux forces appliquées à un point, on peut déterminer celle de tant de forces P, Q, R, S, etc..

qu^on voudra^ appliquées à un même point A,.et dirigées d'une manière arbitraire dans Tespace; car, en considérant d'abord deux quel-* conques de ces forces , comme les forces P et Q, par exemple, ces deux forces seront dans un même plan, et l'on en déterminera la résulr tante comme nous l'avons fait tout à Theure.

Soit X cette résultante; on prendra semblablement la résultante de la force X et d^une autre telle que R. Combinant ensuite cette résultante^ que je désigne par Y, avec une nouvelle force S, on aura leur résultante Z qui sera celle des quatre forces P, Q, R, S ; et continuant ainsi , on arrivera nécessairement à la résultante générale.

Si toutes les forces P, Q, R, S, etc., sont dans un même plan , les résultantes successives X, Y, Z, etc., seront dans ce même plan, et par conséquent la résultante générale y sera aussi .

Si toutes les forces sont en équilibre, la résultante générale sera nulle.

Par cette composition successive de plusieurs forces autour d'un même point, on voit encore que, si Ton décrit dans l'espace un contour polygonal dont les côtés successifs soient parallèles et proportionnels à ces forces , la droite qui ferme ce contour et achève ainsi le poly-

gone y est parallèle et proportîounelle à la résultante générale de toutes les forces ; de sorte . que si le polygone se trouve fermé de luimême^ la résultante est nulle ^ et toutes les fiDirces sont en équilibre autour du point qu'elles sollicitent.

Le théorème suivant n'est au fond qu'un cas particulier de cette élégante proposition ; mais, comnie il est d'un fréquent usage en Mécanique, nous allons l'énoncer et le démontrer expressément.

Théorème V.

4i. Si trois Jorces Xj Y^ Z appliquées à un même point A (fig. i6) dans V espace sont re- Fig. i(x présentées par les trois lignes AB, AC^ AD^ et qu'on achète Je parallélépipède A... .F^ la résultante R de ces trois forces sera représentée par la diagonale AF de ce parallélépipède.

En effet, les deux forces X et Y, qui sont représentées par les deux côtés du parallélogramme ABGC, donneront pour résultante une force P représentée par la diagonale AG de ce parallélogramme.

Ensuite , à cause de AD égale et parallèle à GF, la figure AGFD sera un parallélogramme, et par conséquent les deux forces P et Z donneront une résultante R représentée par la dia-

gonaleÂF, laquelle est jen même temps la diagonale du parallélépipède proposé.

Remarque.

4a • Observons sur- le- champ ^ comme au n* 5j, que tant que les trois forces X, Y, Z ne seront pas dans un même plan^ elles ne pourront jamais donner une résultante nulle , à moins qu'elles ne soient nulles elles-mêmes en particulier.

Car^ si aucune d'elles n'était nulle ^ on pourrait construire le parallélépipède sur les lignes qui les représentent en grandeur et en direction^ et la diagonale serait la résultante.

Si l'une d'elles seulement était nuUe^ les deux autres qui , par hypothèse , ne sont pas en ligne droite, auraient une résultante.

Enfin, si deux d'entre elles seulement étaient nulles, la troisième serait la résultante, et par conséquent les composantes X, Y, Z doivent être nulles toutes trois, pour donner une résultante nulle.

Corollaire 1.

43. On voit par le théorème précédent (qu'on pourrait nommer le parallélépipède des forces) qu'une force quelconque donnée R est toujours décomposable en trois autres X, Y . Z respec-

livemeut parallèles à trois lignes données dans l'espace y pourvu que deux de celles-ci ne soient pas parallèles.

Car, en prenant la partie AF pour représenter la quantité de la force R, et menant par le point A d'application trois lignes parallèles aux droites données chacune à chacune, on conduira par le point A trois plans indéfinis XY, XZ, YZ, et par le point F trois autres plans respectivement parallèles aux premiers ; et ces six plans détermineront le parallélépipède dont les trois arêtes contiguës AB, AC, AD , représenteront les trois composantes X , Y, Z.

Corollaire II.

44- Si le parallélépipède est rectangulaire , on aura, dans le rectangle ADFG, AF = AD + AGj mais, dans le rectangle ABGC, on a AG = AC + AB ; donc en substituant cette

valeur de AG, on aura