SECTION II

COMPOSITION Et DÉCOMPOSlTIOBï DES COUPLES.

47 . Pour abréger le discours , nous appellerons couple Tensemble de deux, forces, telles que P et — P (fig. 17), égales, parallèles et Fig. 17. contraires , mais non appliquées au même point. La perpendiculaire commune AB, menée entre les directions des deux forces, sera le bras de levier du couple, et le produit P x AB de l'une des forces par le bras du levier, en sera nommé le monient.

Quelle que soit l'action de deux forces telles que P et — • P , sur le corps auquel elles sont appliquées, nous avonis vu (27) que cette action ne peut être contre-balancée par celle d'aucune simple force appliquée comme on voudra au même corps, et que par conséquent l'effort d'un couple ne peut être comparé d'aucune manière à une simple force. Pour distinguer cette nouvelle cause de mouvement, qui est en quelque sorte d'une nature particulière , on

pourrait lui donner un nom particulier : mais celui de couple nous suffit , et peut très bien désigner à la fois l'ensemble des deux forces contraires dont il s'agit^ et le genre .d'effort auquel ce couple donne naissance.

Au reste, comme on verra tout à l'heure que Tefforf d un couple est mesuré par son twomenty on pourra souvent substituer ce second mot au premier, ou les prendre quelquefois l'un pour l'autre.

La composition des couples formera la seconde partie essentielle des principes de notre Statique, et se reproduira dans le cours de cet Ouvrage presque aussi souvent que la composition des forces. On en verra bientôt dériver tes lois de l'équilibre d'une manière si naturelle et si simple, que l'on nous pardonnera d'avoir paru nous arrêter ici à l'examen d'un cas singulier, lorsque nous tendions peut-être le plus directement possible vers le but principal.

Ce que nous allons dire sur les couples est tout-à-fait indépendant de l'effet qu'ils produisent sur les corps; mais lorsquW voudra se' faire une idée des sens respectifs de différens couples situés dans le même plan, on pourra se représenter que les milieux de leurs bras de levier sont fixes : alors l'effet de chaque couple sera visiblement de faire tourner le corps au-

tour du milieu de son bras de levier^ et l'on distinguera facilement le sens des couples , en distinguant les couples qui tendent à faire tourner dans un sens y d'avec ceux qui tendent à faire tourner dans le sens contraire. Mais ne perdons pas de vue qu'il p'y aura réellement aucun poiot fixe (à moins que nous n'en avertissions expressément) y et que l'idée de rotalion^ qui jusqu'ici est purement accessoire y ne servira qu'à faire image au besoin.

Translation des couples.

y 4S* Nous avons vu plus haut qu'une force peut être transportée eu un point quelconque de sa direction y pourvu que ce point soit lié au premier d'une manière invariaUe : voici une proposition analogue pour les couples^ qui n'est pas moins remarquable que la première^ et dont nous ferons le plus grand usage par la suite.

JLempfie^

'49- Un couple quelconque peut être trans- * porté partout où Von voudra dans son plan^ ou dans tout autre plan parallèle y et tourné comme ori voudra dans ce plan^ sans que son effet sur le corps auquel il est appliqué en soit changé^ poun^u qiCon suppose le nouveau bras de levier invariablement attaché au premier.

5o ÉLÉMENS

Pour démontrer plus facilement celle proposition^ nous la décomposerons en deux antres.

Fig. 18. Soit d'abord le couple (P, — P) (fig. 18) applique perpendiculairement sur ÂB; prenons où Ton voudra , dans le plan de ce couple ou dans tout autre plan parallèle , la droite CD égale et parallèle à AB [i joignons AD et BC, qui seront dans un même plan et se coopèrent visiblement an milieu I de leurs loi^enrs res^ pectives; et supposons enfin les droites AB et CD liées entre elles d'une manière invariable.

Si Von applique sur la ligne CD^ parallèlement aux forces P et — P , denx coujJes contraii^ (F, — • P'), (P^, — F') , égaux entre enx et au couple proposé (P, — P), il est évident que ces deux couples se détruiront d'euxmêmes, et que par conséquent leffei du couple (P, — P) ne sera pas changé. Mais, d'un antre coté , il est facile de voir que les deux couples (P, ~ P) et ,F', — F ) se détruisent aussi d'eux**mèmes; car le point I étant k la fois le milieu des deux lignes AD et BC» les deux forves égales et parallèles P et P", appliquée sur AD y ilonnent nue résultante par^teiuent égale et opposée à la résultante des denx foives— Pet — ' P", appliqueeii snr feC. O» peut

DE STATIQUE. Si

^dotic supprimer les deux couples (P, — P), {P", — P''), et il ne reste plus que le couple {P', — P') appliqué sur CD , lequel n'est autre <:hose que le couple primitif qu'on aurait^ pour ainsi dire^ transporté parallèlement à lui-même, de manière que son bras de levier AJB fut venu 4ans la position parallèle CD.

Soit, en second lieu, le couple (P, — P) (fig. 19) appliqué perpendiculairement sur AB. Fig. 19. Tirons dans le plan dé ce couple, sous un angle quelconque avec AC > la droite CD = AB , et supposons que ces deux droites se coupent au milieu I de leurs longueurs respectives, ût soient invariablement fixées» entre elles.

Si l'on applique à angle droit sur CD deux couples contraires (P', — P'), (P" — P'') égaux entre eux et au couple proposé (P, — P) , ces • deux couples sïe détruiront d'eux-mêmes , et par conséquent l'effet du couple (P, — P) ne sera pas changé. Mais» d'un autre côté, les deux couples (P, — P), (P",— P'O, se détruir sent aussi d'eux-mêmes ; car, avec un peu d'attention , on voit que les deux forces égales P et — P" qui se rencontrent en G , donnent une résultante égale et directement opposée à la résultante des deux forces — P et P'' qui se rencontrent en H. On peut donc supprimer les deux couples (P, — P) , (P", — P'O, et il ne

reste plus que le couple (P', — P') appliqué sur CD, lequel n'est , pour ainsi dire y que le, couple primitif qu'on aurait tourné dans son plan^ de manière que son bras de levier AB fut venu dans la position oblique CD.

> De ces deux propositions réunies , on peut

conclure qu'un couple quelconque , sans que son effet soit changé, peut être transporté dan« son plan , ou dans tout au tre plan parallèle , en telle position qu'on voudra : car on peut d'abord le transporter parallèlement à ses forces dans le plan donné, de manière que le milieu de son bras de levier tombe au poiot donné qu'on voudra, et l'on peut ensuite lé tourner autour de ce point, de manière à l'amener dans la position donnée ; ou , réciproquement , on peut le tourner d'abord dans son plan , de manière que ses forces deviennent parallèles aux nouvelles directions qu'on veut leur donner, et ensuite le transporter immédiatement dans la position donnée.

Transformation des couples ; leur mesure.

Lemme.

Fig.20, 5o. Un couple quelconque (P, — P) (fig. 20) appliqué sur un bras de levier AB^ peut être

changé en un autre (Q, — (^ de même senSy appliqué sur un bras de levier BC différent du premier^ pourvu qu'on ait P : Q :: BC : AB^ OM P X AB = Q X BC j c'est-à-dire pourvu que les momens de ces couples soient égaux.

Prenons, en effet, sur le prolongement de ÂB une partie quelconque BC, et appliquons sur BC parallèlement aux forces P et — P, deux couples (Q , — Q) , (Q', — Q') égaux et contraires : leur effet sera absolument nul ^ et par conséquent celui du couple (P, — P) ne sera pas changé. Mais, d un autre côté, si Ton suppose que les forces P et Q, et par conséquent P et Q', sont en raison inverse des lignes AB et BC, leur résultante, qui est égale à P+Q'^ passe en B , et détruit évidemment les forces contraires. — P, — Q' qui s'y trouvent. On peut donc supprimer les quatre forces P, Q', — P, — Q', et îl ne reste plus que le couple (Q, — Q) appliqué sur BC, lequel remplace le couple proposé (P, — P) appliqué sur AB.

Corollaire.

5i . Il n'est pas difficile de conclure de là que les efforts des couples sont proportionnels à leurs momens.

En effet. Ton peut voir d'abord que deux

Fig.ai. couples (P,—P), (Q,— Q) (fig. 2i), qui agissent sur les bras de levier égaux AB, CD, sont entre eux comme les forces P et Q de ces couples : car si Ton suppose les forces P et Q entre elles ^ conune deux nombres entiers , comme 5 et 5 par exemple ^ en partageant chaque force P et — P en 5 forces égales y et chaque force Q et — Q en 5 forces égales entre elles et aux premières , on pourra considérer le couple (P, — P) comme la somme de 5 couples égaux et de même seus , appliqués par£aiitement Tun sur l'autre ^ et le couple (Q, — Q) comme la somme de 3 couples égaux entre eux et aux premiers , aussi appliqués l'un sur l'antre. Les intensités des couples (P, -* P)^ (Q, — Q), seront donc entre elles comme 5 à 3 , ou comme P à Q. Si les forces P et Q sont incommensurables y on fera le raisonnement connu, etc.

Maintenant soient deux couples quelconques (P, — P) , (Q , — Q) ; soient p le bras de levier du premier, et q le bras de levier du second : le couple (Q, — Q) agissant sur la ligne ç, est

équivalent au couple T- Q , — Q J > ^î 2igî"

rait sur la ligne p ; car les momens sont égaux de part et d'autre , le premier étant Q^r, et le

ieoond, -Q.p==Q^, Ainsi, au lieu des deux

couplies proposés , oa a ces deux-cji (P, — P) ,

(-Q, — ~ Q j qui ont nn même bras de levier p.

Mais les intensités M et N de ces deux couples sont entre elles comme leurs forces, et par

conséquent l'on a M : N :: P : ^ Q , ou bien

M : N :: Tp : Qç.

Sa. Puisque deux couples sont entre eux dans le rapport de leurs mômens, il s'ensuit que le moment d'un couple est la mesure de son effort ou de son intensité : car si Ton prend pour unité de couple , celui qui est compose de deux forces égales à l'unité de force, appliquées sur un bras de levier égal à l'unité de ligne, le couple (P, — P) au bras de levier p, contiendra autant de fois l'unité de couple , que le moment P X p contiendra le moment i X i, c'est-à-dii-e contiendra l'unité.

Remarque,

55. Pour comparer entre elles les grandeurs ou les intensités des couples , on pourrait prendre aussi , au lieu des produits Pp, Qgr des forces par leurs bras de levier rectangulaires , les produits de ces mêmes forces par des bras de levier obliques sur leurs directions. Mais il faudrait pour tous les couples que les hv^

de levier fissent le même angle avec les forces^. U est clair qu'alors les bras de levier obliques seraient tous proportionnels aux bras de levier rectangulaires^ et que par conséquent les nouveaux momens seraient proportioîmels aux premiers.

Nous emploierons quelquefois ces nouveaux momens dans la mesure relative de diflerens couples; mais nous regarderons toujours les autres comme la mesure absolue de leurs intensités.

Composition des couples situés dans un même plan ^\ ou dans des plans poh rallhles .

Théorème I.

54. Deux couples situés^ comme on voudra, dans le même plan ou dans des plans parallèles y se composent toujours en un seul y qui est égal à leursomm£j s'ils tendent à faire tourner dans le même sens, ou égal à leur différence s'ils tendent à faire tourner en sens contraires.

En effet , on peut d abord ramener ces deux couples dans un même plan , ensuite ramener leurs forces au parallélisme ^ enfin les changer en deux autres équivalens qui auraient un

même bras de levier, et alors les appliquer l'un sur l'autre.

Soient P et Q les forces composantes dési deux couples; p et q, ieurs bras de levier respectifs ; et soit D la longueur du bras de levier commun aux deux couples transformes. Au lieu du couple (P, — P) au moment Pp, on substituera le couple équivalent (P', — P') , dont le moment P'D serait égal à Pp. On substituera de méme^ à la place du couple (Q,— Q) au moment Qj, le couple (Q', — Q') au moment QT) = Q^ ; et ces deux couples transformés étant appliqués l'un sur l'autre , sur le même bras de levier D, on aura un couple unique résultant , [(P'+ Q') , — (P' + Q')] , dont le moment sera

(F + Q')D, ou P'D+Q'D=Pp + Qj.

Ainsi, le moment résultant sera égal à la somme des momens composans, ou bien à leur diflerence, selon que les forces P' et Q', qui agiront à la même extrémité du bras de levier D , seront de même sens , ou de sens contraires

Corollaire.

On voit donc 9 en combinant ainsi les couples deux à deux , que tant de couples qu'on voudra^ situés d'une manière quelconque dans un

58 ÉLÉMËNS

même plan ou dans des plans parallèles, se réduiront toujours à un seul égal à la somme de ceux qui tendent à faire tourner dans un sens, moins la somme de ceux qui tendent à faire tourner dans le sens contraire.

Et réciproquement , on pourra décomposer un couple donné en autant d'autres qu'on voudra, situés dans le même jJan ou dans des plans parallèles. On pourra même prendre à.

Tolonté tous ces couples , hors un seul ; c^ il suffira que la somme de ceux qui agissent dans le même sens, moins la somme de ceux qm agissent en sens contraire , soit égale au couple proposé.

Composition des couples situés dans des

plans quelconques.

Théorème II.

55. \Deux couples situés , comme on voudra y dans deux plans qui se coupent sous un angle quelconque^ se composent toujours en un seul.

Et si l'on représente les momens de ces cou-pl^s par les longueurs respectives de deux droites tirées sous un angle égal à celui des deux plans ^ et qu'on achève le parallélogramme , le moment du couple résultant sera

DE STATIQUE. , Sg

représenté par la diagonale de ce parailélogramme ^ et le plan de ce couple partagera V angle que font entre eux les plans des couples composanSj comme la diagonale du parallélo'^ gramme partage F angle que font les deux côtes adjacens.

Soient en effet les deux couples proposes, situes dans les deux plans AGM, AGN(fig. 22), Fig. m. qui se rencontrent suivant AGj et supposons qu'on ait d'abord change ces deux couples en deux autres respectivement équivalens , qui auraient un même bras de levier.

En quelque lieu que soit situé le couple (P, — P) dans le plan AGM, on poun^a le ramener dans ce plan à angle droit sur Tintersection AG, de manière que son bras de levier AB tombe sur l'intersection AG(49). ^^ niême, en quelque lieu que soit situé le couple (Q, — Q) dans le plan AGN , on pourra le ramener aussi à angle droit sur là même intersection , et de manière que son bras de levier, égal au premier, coïncide avec lui en AB.

Alors les deux forces P et Q appliquées eu A, se composeront en une seule R appliquée au même point A , et représentée par la diagonale AR du parallélogramme construit sur les deux lignes AP, AQ , qui représentent les forces P et Q,^ Les deux forces — P, — Q ap-

6o ÉLÉMENS

pliquées en B^ se composeront aussi en une seule — R appliquée en B , parfaitement égale, parallèle et contraire à là première ; et l'on aura, au lieu des deux couples (P, — P), (Q, — Q), le couple unique (R, — R) appliqué sur le même bras de levier AB.

Puisque ces trois couples ont un même bras de levier, leurs momens respectifs sont proportionnels aux valeurs des trois forces P, Q, R. Donc, si l'on représente les momens des deux couples composans par les deux lignes AP, AQ qui leur sont proportionnelles , le moment du couple résultant sera représenté par la diagonale AR du parallélogramme APRQ construit sur ces lignes. Or, il est .visible que les angles formés par les trois lignes AP, AQ,"AR, mesurent les angles que font les trois plans; donc le plan du couple résultant partage Tangle des deux autres plans, comme la diagonale AR partage l'angle PAQ des deux côlés adjacens AP, AQ. Donc, etc.

Corollaire.

56. On pourra donc toujours réduire à un seul tant de couples que Ton voudra, appli-* qués à un corps d'une manière quelconque dans l'espace : car, en les composant successivement deux à deuxp comme nous venons de faire,

on arrivera nécessairement à un couple unique dont on connaîtra le plan et la grandeur, et qui sera équivalent à tous les autres.

Réciproquement, on peut toujours décomposer un couple en deux autres situés dans deux plans donnés , pourvu que ces plans et celui du couple proposé se rencontrent suivant une même droite (ou suivant des droites parallèles; car en transportant le plan>de l'un de ces couples parallèlement à lui-même , ce qui est permis (49) , on rassemblerait leurs trois intersections parallèles en une seule).

Remarque I.

5j. Pour opérer cette décomposition, on n^aura qu'à suivre dans l'ordre inverse le procédé que nous venons de donner pour la composition de deux couples ; ou bien l'on emploiera la méthode suivante, qui est très simple, et dont nous nous servirons quelquefois.

Soit AZ (fig. 23) la commune intersection pig. aS. des trois plans : menons à volonté un plan YAX qui les coupe suivant les trois lignes respectives AY, AV, AX; et soit ZAV le plan du couple proposé.

En quelque lieu que ce couple (P, — P) soit situe dans le plan ZAV, on peut le placer

6a ÉLÉMENS

de manière qne ses forces soient parallèles à l'intersection AZ, et que la direction de Tune d'elles, comme de la force — P, coïncide avec cette même intersection. Alors la direction de l'autre force P rencontrera quelque part en B la droite AV, et l'on aura le couple (P, — P) appliqué d^une manière quelconque sur AB^ comme on le voit dans la figure. Maintenant formons, suivant les directions AY, AX, avec AB comme diagonale , le parallélogramme BCAD; et à l'un des angles C ou D, en D par exemple, appliquons deux forces contraires P', — P', égales et parallèles aux forces P et — P du couple proposé. L'effet de ce couple ne sera pas changé. Mais actuellement , au lieu du couple (P, — P) appliqué sur la diagonale AB, on peut en considérer deux autres : l'un (P', — P) appliqué sur le côté AD dans l'un des plans donnés ZAY; l'autre (P, — P'), appliqué sur BD parallèlement à l'autre plan ZAX. Or, ce couple peut être transporté parallèlement à lui-même dans ce plan ZAX, sur le côté AC = BD; et l'on aura alors, au lieu du couple (P, — P) appliqué sur la diagonale AB, deux couples (F, — P), (P,— P')^ composés de forces égales et parallèles aqx premières, appliqués dans les deux plans donnés sur les côtés AD^ AC.

Remarque II.

58^ Si l'on supposait que le plan YAX fut inené perpendiculairement à la commune intersection ÂZ des plans des trois couples y les forces de ces couples seraient perpendiculaires • aux lignes AY, AV, AX , et comme ces forces sont égales , les momens des couples seraient proportionnels à leurs bras de levier AD, AB, AC ; et d'après ce que nous venons de dire , on retomberait sur le théorème précédent (55); ce qui fournit , comme on voit , une nouvelle démonstration de ce théorème.

Remarque III.

59. Cette double démonstration vient de la double manière dont on peut transformer les deux couples avant de les composer. Dans la première, on commence par leur donner un mêmfe bras de levier avec, des forces différentes; dans la Seconde, on leur donne les mêmes forces avec des bras drfférens.

Il y aurait une troisième démonstration qui se ferait sans rien changer aux deux couples proposés. Car soient (P, — P) et (Q, — Q), (fig. 23 bis) y deux couples appliqués perpen- ^»?'/*^ diculairement au plan du triangle ABC, sur

les bras respectifs AB, AG; et supposons que les deux forces P et Q qui tirent en B et G soient de même sens. II est clair que ces deux forces se composent en une seule P-|-Q de même sens , et appliquée au point g qui divise la base BG dans la raison réciproque de P à Q. Les deux forces — P et — Q qui tirent en A se composent de même en une seule — (P+Q) appliquée au point A; et si Ton Êiit, pour abréger, P+Q=R, on a le couple résultant (R , — R) appliqué sur Ag dans un plan perpendiculaire au triangle ABC.

Maintenant , que du point g, on mène deux parallèles aux côtés AB et AC , et qu'on achève ainsi le parallélogramme Algm-^ il s agirait de prouver que les momens de nos trois couples, savoir :

PxAB, QxAC, RxAg,

sont entre eux comme les cotés A/, Am et la diagonale Ag de ce parallélogramme. Or c'est ce qui est facile ; car en mettant , au lieu des forces P, Q, R, les trois lignes Cg, Bg, BC, qui leur sont proportionnelles, ou voit que ces mo^ meus sont entre eux comme les trois produits

C§:XAB, BgxAC. BCxA-.

Mais k$ triangles semblables donnent :

Cg X ABsrBG X A/, et % X AC=BC X Am, Substituant ces deux nouveaux produits a la place des deux premierSy et supprimant partout le facteur commun BG, on a les trois momens dont il s'agit dans la proportion des simples lignes A/^ km, Ag; ce qti'il fallait démontrer.

On peut varier encore ces démonstrations ;' mais il y a une manière bien plus simple de présenter la composition des couples , comme nous allons le voir dans l'article suivant.

Expression plus simple des théorèmes qui concernent la composition des couples.

60 • Au lieu de déterminer la position d'un couple par celle de son plan, on peut la déterminer par la direction d'une droite quelconque perpendiculaire à ce plan , et que l'on pourra, nommer Y axe du couple. Puisqu'un couple peut être supposé appliqué où l'on voudra ' dans son plan ou dans tout autre plan parallèle (49) , il est visible que l'on connaîtra là position d'un couple dans l'espace, lorsque l'on connaîtra la direction de son axe : car en élevant où l'on voudra sur cet axe un plan

6é ÉLÉMEKS

perpendiculaire, on paurra prendre ce |^laa pour celui du couple proposé.

Ainsi la position cle différais couples pardU lèles peut être donnée par une seule droite perpendiculaire h tous ces coujdes, ^t qui en sera, pour ainsi dire. Ta» commun.

Si les couples sont situés dans des plans quelconques , on supposera d'abord , pour plus de clarté, qu'ils soient transportés dans des plans respectivement parallèles , tous conduits par un seul et même point A , pris à volonté dans Fespace, et qui deviendra le commun centre de tous ces couples : et si l'on prend ce point pour l'origine des perpendiculaires qu'on élevé h ces plans respectifs, la position des différens couples se trouvera donnée par celle d'autant de droites partant d'un seul point , et faisant entre elles les mêmes angles que les plans des couples proposés,

Pe plus^ si , à partir de ce point A , on porte sur ces droites des longueurs AL, AM, AN, etc., proportionnelles aux momens respectifs de ces couples, que je désigne ici par les simples let-* très ij, M, N, etc. , chacune de ces lignes terminées f telle que AL , suffira pour représenter à 1^ fois Taxe et la grandeur du couple L qui lui correspond.

Enfin, si l'on veut que la même ligne AL

DE SÏATIQUE. 6«j

laisse euoore indiquer le sens dans lequel ce couple agît (ce qui est. nécessaire pour achever Ift détermination complète du couf^e), il n'y aura qu^à faire une conventio» toute semblable \k celle qui regarde les simples forces» Or, pour une simple force P appliquée en A et qu'on représente par une certaine ligne ÂP, celte convention consiste, comme on l'a dit (ti*^ n), en ce que l'action de cette force a toujours lieu de A vers P, ou que la force tire ^ A en P. Ici / pour un couple L appliqué autour du centre A, et dont je représente faxe et la grandeur par la ligné terminée AL > je supposerai toujours que le sens du couple ou de la rotation qu'il tend à produire est tel que, si Ton se plaçait au point L, considéré comme le nord, pour regafrder devant soi le point A , considéré comme le midi /on verrait la rotation se faire de l'orient à l'occident, ou de la gauche à la droite , comme se fait à nos yeux le mouvement du soleil. Cest d'ailleurs le sens ordinaire dont la main fait tourner la plupart des instrumens de rotation; et c'est dans ce sens convenu qu'agira pour nous le couple représenté par la ligne AL.

Oh peut adopter, si l'on veut, la convention contraire , pourvu qu'on s'y conforme avec le même soin pour tous les couples dont il s'agit

dahis une même figure, ou dans l'énoncé d^uné

même proposition.

Au reste , on Toit qu'une des deux conventions, comme la première, nous suffit; car s'il fallait indiquer dans la figure un couple L' contraire à L, on le représenterait de même par une ligne AL^ mais portée de l'autre côté du point A sur le prolongement de la première, n est clair, en effet, que ce second couple qui, yu du point U , ferait tourner dai^ le sens convenu, c'est-à-*dire de gauche à droite , étant vu du point L, ferait tourner de droite à gauche , et serait réellement contraire au premier.

Par cette manière de déterminer les couples et d'en indiquer les sens simultanés, on voit donc que la représentation géométrique de tant de couples qu'on voudra , appliqués sur un corps dans des plans quelconques, devient parfaitement la même que celle d'autant de simples forces appliquées sur un point; et l'on va prouver tout a l'heure que leur composition peut s'exprimer par des lois toutes semblables. Tout se réduit en effet à la démonstration du théorème suivant, qui remplace le théorème II, et qu'on peut nommer \e parah lélogramme des couples.

DE STAÏIQUE. 69

Théorème.

61 . Si deux couples L e^ M sont représentés pour leurs axes et pour leurs grandeurs par les deux côtés AL et AM d'un parallélogramme ALGM ^ ces deux couples se composent en un seul G représenté pour son axe et pour sa grandeur par la diagonale AG de ce parallélogramme.

En effet , que du point A et dans te plan du parallélogramme ALGM (fig. 24) f on mène Fig. i\. deux lignes IV ^ mm' perpendiculaires et proportionnelles aux deux côtés respectifs AL et AM , et qui sioient toutes deux coupées par leur mrlievi au point A. Si Ton achève les paralltélogrammes A/g^/n, Al'g'm', il est clair que ces parallélogrammes seront égaux entre eux , et semblables au premier ALGM ^ et que par conséquent la ligne gg' sera aussi perpendiculaii'e ^ et proportionnelle a la diagonale AG, et coupée en son milieu au point A.

Maintenant, que sur ces lignes //', mm\ comme bras de levier, et dans des plans perpendiculaires à la figure, on applique deux couples composés de forces égales , le premier (P,— P) sur la ligne ll\ et le second (P,— P) sur mm' } et supposons, pour nous conformer à la convention ci-dessus (60), que ces couples

^o ÉLÉMEI4S

tendent tous deux k faire tourner de gauche à droite quand on les regarde Tun après l'autre des points L et M. U est évident que ces deux coii^ples peuvent être pris pour ceux que les côtés AL et AM représentent : car i^. ils sont situés dans ^ des plans perpendiculaires à ces côtés; 2^. ils ont des momens proportionnels aux mêmes côtés ; et S"", leurs seoa simultanés sont conformes à la convention établie.

Or, il est aisé de voir que ces deux couples se composent en un seul , représenté de même par la diagonale AG. En effet , les deux forces F et P appliquées en let ^ se composent en une seule 2P parallèle et de même sens , appliquée au point c, qui est le milieu de Im, et par conséquent, le milieu de Ag. Dé même les deux forces — ^ P et — P en Z' et m', se composent en une seule -^— aP appliquée en c', milieu de Ag'; et Ton a le couple résultant ( 2P, — aP) appliqué sur la ligne ce', ou simplement , le couple (P, — P) appliqué sur la ligne double gg'. Or ce couple est évidemment perpendiculaire et proportionnel à la diagonale AG, et fait aussi tourner de gauche à droite quand on le regarde du poiqt G. Donc, etc.

Nous aurions pu tirer ce théorème de lune des démonstrations qui précèdent , mais nous avons préféré d'^n faire ici là démonstration

DE STATIQUE. -ji

iminédiate ^ etsnr une nouyeUe figure, où Ton vit très cbâremeat les sens relatifs qae dohrent avoir ensemble les trois couples ^e Tony considère.

Bemarque I.

62. On voit ici, par un raisonnement toutà-fait semblable à celui du n* Sy, que si deux coupliE» avisent danâ de^ plaûs qui se cOupent , ott qui ne sont pohit pâr&Hèles , ils tie pëtivent jamais donner un couple résultant ndl> à moins qu'ils ne soient unis tous les dettt * à la fois.

Remarque II.

65. Lorsque les plans des couples composans sont rectanguhiires etltre eux, les deux axes ÂL et ÂM sont aussi rectangulaires^ et dans

le i^ctâittgle AL6M , oti û A€r sst AL -4^ AM ;

de plus, si Ton nomme a et fi les âï^es qtie fait la diagoilsfle A6 avec les éetJi± ti&Véd ^^j^cens AL, AM, on a

AL = AG.cosâ&, AM=AG.cos/3.

Donc en désignant simplement les trois momens respectifs par les lettres L, M, G, on a , pour le moment G , G* == L* + M% d'où

^% ÉLÉMËNS

et, pour les angles et et fi que son axe fait avec les axes des deux autres, L = Gcosflty M=;:Gcos/3, d'où

cosa^^g:, cos/3 = g.

Remarque III.

ÇtU générial/si l'on nomme 9 l'angle quç font entrç eui^ les deux couples composans, o^ leurs axes AL et AM , on aura dans le parallélogramme ALGM ,

AG = AL + AM+ 2ALX AM.cos(p^

et par conséquent

^• = L* + M'H-2LMcos(p;

ce qui donne le couple résultant G par les couples composans L et M , et leur inclinaison mutuelle ^.

Si l'angle <p est nul , on a çps 4^ == i , et il vient

ce qui s'accprde avçc cç qu'on a déjà vu : car les deuTi: couples sont alors dans le même plan et de même sens, et ils se composent en un seul égal à leur somme.

Si l'angle ^ est égal à deux droits, on a

DE STATIQUE. ^a

cos ^=: — I , et il vient G= L — M ; ce qui doit être; car les deux couples sont alors de sens contraires^ et ils se composent en un seul égal à leur jiifiFérence.

Lorsque ^ est un angle droite cos ^zszo ,

pt Ton a G=v/L*4-M% comme ci-dessus.

Remarque IV.

De la composition de deux couples ^1 il est bien facile de s'élever à la composition de tant de couples qu'on voudra , et il est évident qu'on aura des théorèmes tout semblables à ceux qui regardent les simples forces autour d'un point : cependant je crois devoir énoncer et démontrer comme théorème ^ le corollaire suivant, à cause du grand usage qu'on en peut faire en Mécanique.

Théorème.

64. Trois couples représentés y pour leurs axes et pour leurs grandeurs, par les trois arêtes çontiguës d'un parallélépipède, se composent toujours en un seul représenté , pour son axe et pour sa grandeur, par la diagonale de ce parallélépipède.

Soit en eJËFet A... G (fig. 25) le parallélépi- Fig.25. pède; AL; AM, AN, les côtés qui représen-

lent à la fois les axes et les momens des Ikms

couples.

Les deux ooa{^ représeatés par les deux côtés ÂL, AM du parallélogramme ALOM, se composeront en ua seul^ représenté, pour son axe et pour sa grandeur, par la diagonale AO de ce parallélogramme. Maintenant ce couple,' et le troisième représenté par AN , se composeront en un seul représenté par la diagonale AG du parallélogramme ANGO. Or, cette diagonale est en même temps celle du parallélépipède; donc, etc.

65. On voit encore ici, par le noènoc raiscm*nement que celui du u''4^, que si trois cou* pies agissent dans trois plans qui forment un angle solide ou qui se coupent en un point unique, ils ne peuvent jamais avoir un couple résultant nul , à moins qu'ils ne soient nuls en même temps tous les trois.

Remarque.

66w Lorsque le parallélépipède est rectan-^ gulaire, en nommant L, M, N les momens eomposans , et G le moment résultant , ou a manifestement G* = L» + M* -f- N*.

En*. désignant par A, f&, p les trois angles que 1& diagonale , ou plutôt que Taxe du couple ré-

DE STATIQUE. jS

sultant fait avec les trois axes des couples corn-* posans^ on a

LccGcosA, M=:6cos;t^ N:=s6co8y; d'où

COSA = ç, COSfJi=s:^, COSysE^.

Donc^ s'il s'agit de calculer le moment ré* sultant G de trois momens L, M» N^ dont les axes sont rectangulaires, on aura pour sa valeur, G=\/L'+ M'+N*, et pour les angles ^9/^9 ^f ^1^6 son axe fait avec les trois axes des momens composans ,

cos A = j

COSft =

cos V =

S11 s'agit, au contraire, de décomposer un couple G en trois autres, situés dans trois plans rectangulaires entre eux, ou dont les trois axes soient rectangulaires , on aura , pour les valeurs respectives des momens composans, li = .GcosA, M = Gcos/A, N=Gcosy; A, iEt , y étant les trois angles que Taxe du couple donné fait avec ceux des couples composans cherchés.

67. Au reste ^ nous ne nous arrêterons pasr sur ces détails : nous remarquerons seulement qu'entre les sept quantités L, M, N, G, cosA^ cos lA , cos Vf on a quatre équations qui sont : G*=L*-f-M*+N% L=GcosX, M=Gcosfi, N=:Gcos V, au moyen desquelles, connaissant d'ailleurs trois de ces quantités^ on pourra déterminer les quatre autres* '

U ùnt pourtant excepter le cas où l'on ne connaîtrait que les trois angles ^, ix, v; alors on ne pourrait obtenir que les rapports des momens L^ M^ N, G.