CONCLUSION GÉNÉRALE PE CE CHAPITRE

Composition des forces dirigées comme on voudra dans V espace.

68. Soient tant de forces que Ton voudra , P, P^ , P^^, etc., appliquées d'une manière quelconque dans l'espace, à un corps ou système libre.

Je considère d'aoord l'une d'elles, la force P Fig. a6. (fig- 26), par exemple, qui est appliquée au point B. Ensuite, au point A, arbitrairement pris dans ce corps, ou au dehors (pourvu qu'on l'y suppose invariablement fixé) , j'applique deux forces contraires P', — F, égales et parallèles à la force P. U est clair que je n'ai rien

changé à letat du système. Mais je puis considérer maintenant , au lieu de la force P appliquée en B^ la force P' appliquée en A, et le couple (P, — P') agissant si\r la droite AB. Si , pour plus de clarté, on transporte ce couple ailleurs, dans un plan quelconque parallèle au sien , il ne restera^ au point A que la force P' égale et parallèle à la force P, et qui n'est en quelque sorte que cette même force P qu!on aurait transportée parallèlement à i^Ue-même de B en A.

Si Ton fait la même transformation pout* toutes les forces du système a Fégard du même poitit A , il est manifeste que toutes ces forces viendront s'y réunir parallèlement à elles- / mêmes , mais qull y aura de plus dans le système autant de couples appliqués provenant de chaque transformation. Or, toutes les forces appliquées au point A se composeront en une seule Ry et tous les couples en un seul couple (S, — S) (fig, 27) appliqué sur une certaine tig. ,7. droite BC.

, Ce qui nous apprend que tant de forces que ton voudra appliquées dune manière quelconque à un corps ^ peuvent toujours se réduire à une seule force et à un couple unique j lesquels seront en général situés dans des plans différens.

78 ËLÉMENS

Observons, en passant, que la quantité, la direction et le sens de la résultante R seront toujours les mêmes, en quelque lieu quon ait pris le point A^i En variant la position de ce point, la résultante R ne fera que se transporter parallèlement à elle-même en différens lieux de Tespace ; mais le plan et la grandeur du couple résultant (S, — S) changeront né* cessiùremeQt.

Corollaire I y

Qui contient les lois de V équilibré de tout

système libre.

69. Un couple ne pouvant jamais être tenu en équilibre par aucune simple foice dirigés comme on voudra dans l'espace, il résulte de ce que nous venons de dire qu'il ne pourra jamais y avoir équilibre dans le système, à moins que la résultante R des forces ne soit nulle d'elle-même, et que le moment du couple résultant (S, — S) ne soit aussi nul de luimême*

Ainsi , toutes les forces appliquées au système étant transportées parallèlement à elles-mêmes en un point quelconque du système ou de^r espace y doivent sy faire équilibre entre elles; et tous les couples quelles produisent en

se transportant en ce point doivent aussi se faire équilibre entre eux.

Remarque.

j^. TiA\^ ç<?ot , pour un système libre quelconque, de forme invariable , les deux conditions d'équilibre nécessaires et suffisantes, c^est-Jnlîre sans lesquelles Tàjuilibre ne pourra subsister y et telles qu'il aura manifesteiaeni: lieu f si eil6$ son! remplies*

Pour développer ces deux conditions , il faudra remonter à la valeur de la résultante R, et ÏL la valeur du couple résultant (S, — S) , eu conservant les lois qui lient la résultante à ses composantes , et le couple résultant aux. couples compo$ans, faire ensuite la force R et le couple (8, — S51 tous 4feux nuls , et voit quelkd relations cela établît ^ntre les forces primitives aj^Hquées au système. On obtiendra de <;ette manière les conditions de Féquilibre, expiî*mées au moyen des seules forces données imtnédktement par l'état de la question ; ce qui est la solution du problènoe qus: nous avions en vue.

liais tous ces développemens qui, d'après les principes posés ci-dessus, ne sont plus qu'une affaire de Géométrie et de calcul , feront l'objet du chapitre suivant.

8o ÉLÉMEISS

Corollaire II,

Qui contient les conditions nécessaires pour que toutes les forces appliquées au système aient une résidtante unique^ lorsqu'elles ne se font pas équilibre.

7t. Tontes les forces appliquées au âysitème étant ramenées , ainsi que nous Tenons de le voir, à une seule force et à un couple, supposons que cette force R et le couple (S , -— S) puissent se réduire à une seule force , ou , si l'on veut, qu'une force unique R' fasse équilibre au couple (S,^ — S) et à la force R.

Puisqu'il y a équilibre entre les deux forces R , R' ^t le couple (S, — S) , je dis que les deux forces R et R' doivent former un couple couttraire et équivalent au couple (S, — S), et situé dans le même plan, ou dans un plan parallèle, ce qui est ici la même chose.

Car il ne peut arriver que trois cas : ou les deux forces R et R' seront susceptibles d^ se réduire à une seule , et alors cette force ne pourra faire équilibre au couple (S, — S) ; ou elles se réduiront à une seule avec un couple , et alors ce couple et le proposé (S, — S) se réduiront à un seul, qui ne pourra pas être en équilibre avec la force ; ou bien enfin elles se

, DE STATIQUE. 8i

réduiront à un seul couple , et c'est le seul cas qui puisse arriver.

U faut donc au moins que les deux forces R et R' forment ensemble un couple. Maïs pour que ce couple fasse équilibre au couple (S, — S), il est nécessaire qu'il soit situé dans le même plan ou dans un plan parallèle, sans quoi ces deux couples se composeraient toujours en un seul qui ne pourrait jamais être nul (62), et il ny aurait pas équilibre. Donc la direction de la résultante R doit être parallèle au plan du couple résultant (S, — S) ; et par conséquent , toutes l§s forces appliquées au sjsthme ne pourront jamais se réduire à une seule ^ à moins que la résultante de ces forces transportées parallèlement à elles-mêmes en un même poir^t^ n'ait une direction parallèle au plan du couple résultant; et cela ^ en quelque lieu de Vespace qu'on ait pris d abord le point où Fon a transporté toutes les forces.

Cette condition est nécessaire , et il est clair qu'elle suffit en général; car; a moins que la résultante R ne soit nulle , on sera toujours maître d'appliquer au système une force R' qui soit égale , parallèle et opposée à la force R, et qui forme avec elle un couple (R, — R) de sens contraire à l'égard du couple (S, — S),

et d'un moment équivalent. Cette force es-

timée en sens contraire sera la résultante gé-^

nérale.

Au reste ^ on pourra prendre iniâiédiatement cette résultante ; car si la force R appliquée en A ^t parallèle au plan du couple (S^-^S), on pourra amener cç couple dans uu même plan avec la force R, et alors les trois forcefs fi> S et — S étant dans- le même plan , se Cômpôse-r rûnt toiijo.urs en une seule , égale et parallèle à R, et qui sera la résultante unique de toute$ les forces.

72. Qans le cas où la force R est égale à zéro^ il n'y a point de résultante unique. Car toutes les forces du aystème sont réduites au seul couple (S^ — S) qui ne peut jamais se réduire à une seule force. Ainsi ^ à la condition précédente qui exige que la force R &oit parallèle au plan du couple (S, — S), il faut joindre encore celle-ci , comme condition particulière : que la force R ne soit pas égale à zéro. (A moins qu'il uy ait équilibre , auquel cas la force résultante et le couple résultant étant tous deux nuls , on pourrait dire qu'il y a une résultante unique qui est 7.éro, et qui a d'ailleurs telle direction et telle position qu'on veut dans l'espace : mais nous avons exclu le cas de l'équilibre.)

Remarque I.

j5. Lorsque le couple résultant (S, — S) (fig. 28) et la force R ne sont pas dans des plans Fîg.aS. parallèles, il n'y a jamais de résultante unique. Seulement en transportant le couple (S, — S), parallèlement à son plan , on peut amener Tex* trémité B ou C de son bras de levier sur le point A , et alors les deux forces R et S appliquées en A se composent en une seule T ; et toutes les forces du système sont réduites à deux autres T et — S non situées dans le même plan.

Ce qui nous fait voir d'abord que tant de Jorces que l'on voudra^ dirigées arbitrairement dans r espace^ peuvent toujours se réduire à deux au plus y non situées dans le même plan.

Mais il est clair que cette réduction peut avoir lieu d'une infinité de manières , même sans déplacer le point A où l'on rassemble toutes les forces; car le couple (S, — iS) pourrait être changé en une infinité d'autres équivalens, et de plus tourné sur son axe dans une position quelconque , et l'on arriverait ainsi à une infinité de systèmes différens de deux réduitii non situées dans le même plan.

A la vérité , on pourrait choisir, entre ces systèmes, celui où l'une des forces serait perpendiculaire au plan du couple , et l'autre • 6..

dirigée dans ce même plan; car, imaginez la

résultante R décomposée en deux forces; Tune

V perpendiculaire , l'autre U parallèle au plan du couple es, — S) : la force U et le couple parallèle (S, — S) se réduiront toujours à une seule U' égale et parallèle à U; et toutes les forces appliquées seront réduites à deux autres

V et U' de directions rectangulaires dans l'espace. Ainsi , des forces quelconques peui^ent se

réduire à deux forces de directions perpendiculaires entre elles , et dont l'une passe en un point A dorme à volonté'. Mais cette réduction elle-même, qui souffre d'ailleurs une exception, n'a guère plus d'utilité que la précédente, et nous ne nous y arrêterons pas davantage.

Remarque II.

74. La seule .conséquence qu'il soit bon de remarquer est cette autre proposition réciproque : que deux forces non situées dans le même plan ne peuvent jamais avoir de résultante unique.

Et en effet, on peut toujours supposer que ces deux forces provieiinetit d'une autre force, et d'un couple qui ne lui était pas parallèle.

Mais si l'on veut voir la chose directement,

Fig. 19. soit AB (fig. 29) la commune perpendiculaire

aux directions des deux forces P et Q non si-

tuées dans le même plan ^ et dont aucune n est supposée nulle. Je transporte P parallèlement à elle-même de B en A, et j^aî deux forces P' et Q appliquées au même point A , et un couple (P, — F) appliqué sur AB. Or, au point A ^ les forces P' et Q qui, par hypothèse, font entre elles un certain angle QAP', se composent en une seule R dirigée dans l'intérieur de cet angle* Mais cette force R ne peut être parallèle au plan du couple (P, — P'), puisqu'elle fait avec ce plan un angle RAP' qui ne peut jamais être nul , à moins' que Q ne sôît nulle , ce qui est contre la supposition : donc (7 1) les deux forces P et Q non situées dans le même pl^n ite peuvent jamais avoir de résultante unique; proposition qu'on regarde ordinairement comme évidente , mais qui avait besoin d'être démontrée.

Remarque III.

j5. C'est, au reste, le seul cas général où l'on puisse assurer que des forces ne sont pas réductibles à une seule; car dès que Ton considère seulement trois forces, il résulte de notre théorie qu'elles peuvent avoir une résultante unique , quand bien même il n'y aurait aucune rencontre entre les directions de ces trois forces dans l'espace.

Soient ,^ en eflet, trois forces P, Q, R que je

suppose , deux à deux , non situées dans le même plan , ou même telles que , s'il y en avait deux dans le même plan , l'autre ne fût en même plan ni avec la première , ni avec la seconde.

Je choisis deux de ces forces P et Q qui ne soient pas situées dans un même plan , et je les imagine transportées en un même point A pris sur la direction de la troisième force R. Ce^ deux forces P et Q viennent s'y compc^r en une seule V^ et donnent deux couples qui se composent en un seul (S^ — S); et le plan de ce couple ne passe point par la direction AV de la force V (74)-

Cela posé^ si la résultante des deux forces V et R ^ appliquées en A , se trouvait dans le plan du couple (S, —S) qui passe au même points les trois forces proposées P, Q, R seraient réductibles à une seule (71). Or, sans changer la direction de la force R, on peut disposer du sens et de la grandeur de cette force, de manière que la résultante de V et R tourne autour du point A dans le plan de ces deux forces, et se dirige suivant l'intersection de ce plan avec*celui du couple (S, — S) , et tombe ainsi dans le plan même de ce couple. Donc, en prenant convenablement la grandeur et le sens de l'une des trois forces P, Q, R, sans rien changer à leurs positions mutuelles, on peut

«jn géuçral rendre ces trois forces réductibles à une .seules ■ ..... ' -.-, . ..v. . •..- -yv*-..'

^ Je 4is çn général, parce qu'il y a un cas particulier où la chose ne pourrait Avoir^ lieu «en supposant qu'il y çût un certain rapport donné entre P .et Q^ et qu'on s'astreignit à qe faire varier que la quantité dç la troisième fofce,iV': car, si , par ce rapport de P à Q, iL^rrivaijtque l'interseètion du plan YA.R avec lç^aniâ« couple fût la direction mémf All^de cette, jtroi^ siècle force y, on ne pourrait faire prendre à la résultante de Y et R la directioi) AR^^s^Brfaire la composante R infinie ^ ce qui.est.imppssibl^^f Mais y dans ce cas particulier^ que l'on corn-* mence par changer le rapport des deux forces P et Q ^ ou ^simplement le sens de 1 une d'elles ^ et le couple (-S^thS) ^qui résultera- de sieur translation au point A^ ne^passeiia^plùs pap>lfi direction de la.troîsièmeforceRf itar^sile^an dé>Cfi couple passait encore par la'mème droîte AR^ il.s'^asuivrait que iAR est la ! commune 8^ion.des.deux,p]ans ou sont situés les couples qui composent (&,.-r-S), et^qu'ainsMaforcé/R e9t à la fois dans jun même plauvay^c P^ el^ns uni iQémQi plan avec Q^ ce qui «sticoiïtre l'hy-

p<^èse. j . .-. 'i , .... ■ • •

,: Ainsi > quand de trois forces P, Q, R, ow

^en^ peut trous^r tout au plus ^ue deux qui

soient situées en même plan, il est toujours pos^ sible de rendre ces trois forces réductibles à une seule j sans rien changer à leurs directions dans Vespace.

Le seul cas où Ton puisse dire de trois forces, que leur position seule les rend toujours irréductibles^ est celui où, en regardant ces forces deux à deux, on ne trouve qu'une combinaison qui présente deux forces non situées en même plan. Dans une telle position, quels que soient les rapports de grandeur qu'on veuille donner à ces forces, on ne les rendra jamais capables de se réduire à une seule.

Remarque IV.

76. Comme il parait incontestable qu'un couple ne peut être en équilibre autour d'un point fixe , par exemple , autour du milieu de son bras de levier, remarquons cette diflFérence entre l'équilibre de plusieurs forces appliquées à un corps assujetti à tourner autour d'un point fixe , et l'équilibre de plusieurs couples qui seraient appliquées au même corps.

Dans le premier cas, il n'est pas nécessaire que les forces aient une résultante nulle d'ellemême; il suffit qu'elles aient une résultante • qui passe par le point fixe où elle sera détruite.

Mais^ dans le second , il faut nécessairement

DE STATIQUE. 8g

que les couples appliqués au corps donnent un couple résultant nul de lui-même , comme s'il n j avait pas de point fixe dans le corps; car^ si ce couple n'est pas nul de lui-même^ en le transportant , pour plus de claYté , de manière que le milieu de son bras de levier vienne tomber au point fixe , il est évident que ses deux forces ne pourront être en équilibre autour de ce point.

Et il est encore évident qu'elles ne seraient pas en équilibre ^ quand bien même il y aurait dans le corps un axe fixe , pourvu que le plan du couple ne passât point par cet axe, ou ne fïit point parallèle à sa direction, ce qui reviendrait au même (49)*

Ainsi , lorsque différens couples^ situés comme on voudra dans F espace , sollicitent un corps ou système assujetti à tourner autour dun point fixe y les conditions de Féquilibre sont absolument les mêmes que si le corps, était parfaite-ment libre.

Et la même chose a Keu dans le cas d'un axe fixe, si' les couples appliqués sont tellement disposés qu'ils ne puissent jamais donner un couple résultant parallèle à cet axe ; ce qu'on ne peut assurer d'une manière générale que lorsque tous les couples sont dans des plans parallèles qui rencontrent l'axe fixe en le coupant.

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