CHAPITRE IL

DES CONblTIONS DE L'ÉQUILIBRE.

77. Nous venons de voir (68) qu'on peut Fig. a6. transformer chaque force P (fîg. 26) qui ^git sur un système en un certain point B, qu une autre fdrce P' égale ^ parallèle et de mèjne sens, appliquée çn un autre point A pris à volonté dans lespace , et en un couple (P, — P) appli* que sur ABy et dont l'énergie est mesurée par }e moment PxAI» AI étant une pierpendicula^re abaissée du. point A sur la direction ide la force P; que> de cette manière,. le système p^ut être CjOnsidéré comme çolliçité par la rér sultante de toutes les forces .qui se seraienten quelque sorte transportées parallèleipe)[)t,à elles-mêmes au point A^ et par le couj^lei résultant de tous les couples qui naissent dç ce$ tmn^ormatious. Nous ayons . vu que. pour l'é^ quijibre,; cette résultante, et Je iiioment du couple résultant doivent être nvls tous les deux a 4a lois* i . '1^ I l'^i-' '

Nous pourrions développer sur-le-champ ces

deux conditions dans le cas général d'un corps ou système sollicité par tant de forces que loa voudra dans l'espace , et déduire de là les conditions de l'équilibre dans tous les cas particuliers qui peuvent se présenter : inais, conune notre marche doit toujours être unifornie daqs le courant de ce chapitre , ou plutôt cpmmç elle n'offrira qu'une même et continuelle apr plication d'un même principe^ nous aimons mieux passer en revue plusieurs questions simples ^^ avant que de traiter la question générale. Cela nous fournira d'ailleurs l'occasion de répandre plusieurs propositions sur les momens^ dont on fait beaucoup d'uçage dans la Statique. ^ Une fois parvenu au théorème général de l'équilibre^ on pourra s!y, arrêter, et Tony trouvera comprises tputes les propositions qui aur Iront été précédemment expliquées.

t)e VéquiUbre des forces parallèles qui sont situées dans un même plan.

78. Soient P, P', P" (fig. 5o), etc., les diffé- Fig. 3o. rentes forces parallèles. D'un point A pris où l'on voudra dans leur plan y 'abaissons une perpendiculaire commune sur leurs directions, et ^i les coupe aux points respectif B^ Ç, D^ etc.

Considérant d'abord la force P, j'applique au point A deux forces contraires P, — P, égales et parallèles à la première ; ainsi , j'ai , au lieu de la simple force P appliquée en B^ une force égale et parallèle appliquée en A , et un couple (P> — P) agissant sur AB et dont le moment est P X AB. Je substitue de même , au lieu de la force P' appliquée en C^ une force égale et parallèle et de même sens appliquée en A ^ et un couple (P', — P') appliqué sur AC et dont le moment est P x AC : de même pour la force F', etc.

Si , pour plus de clarté , on transporte tous les couples ailleurs dans le même plan , il ne restera au point A que les forces P, P', FVetc. , égales et parallèles aux forces primitives appliquées en B, C, D, etc., et de même sens.

Or, pour qu'il y ait équilibre, il faut, i^.que la résultante des forces appliquées en A soit nulle d'elle-même. Mais toutes ces forces agissant dans une même direction , leur résultante est égale à leur somme (*), et par conséquent, l'on aura

P^- P'+P' + etc. =o,

première équation de l'équilibre.

('*'} Il faut prendre ce mot ici et ailleurs dans le sens de la remarque suivante (79).

2"*. Il faut que ]e moment résultant de tous les momens des couples soit aussi nul de luimême; mais ce moment résultant est égal à la .somme des momens composans , puisque tous les couples sont dans un même plan. Donc^ ea nommant, pour abréger, /?, p% p", etc., les bras de levier respectifs AB, AC, AD, etc. , ou aura

Yp' + P'/?' + Py + etc. = o ,

seconde équation de l'équilibre.

Remarque.

79. Il est clair que dans la première équation , si l'on regarde les forces qui tirent dans un même sens comme positives, il faut re-.

garder celles qui tirent dans le sens contraire comme négatives. Nous regarderons désormais comme positives les forces telles que P' qui tirent au-dessus de la droite AD, et par conséquent comme négatives les forces telles que P, P",.-*. qui tirent au-dessous; et de cette manière on pourra dire que la somme des forces doit être nulle pour l'équilibre.

P our les signes des momens Pp, P'p', .... de la seconde équation, il faut faire attention à deux choses : i"*. au signe de la force; 2*". au signe du bras de levier.

Supposons, en effet, que la force P, sans

cesser d'agir du même côté du point A , vienne à changer de signe ; il est clair que le couple nouveau qu'elle produira a l'égard du point A sera d'un sens contraire à celui du premier : ainsi y le moment Vp change de signe ^ lorsque la force P en (Change.

Concevons maintenant que la force P^ sans changer de signe , vienne à agir au point B' de l'autre côté du point A. Il est visible que le couple nouveau qu'elle produira à l'égard du point A sera d'un sens contraire à celui du premier^ et par conséquent le moment ¥p change de signe' lorsque le seul bra6 de levier p en change.

'DdâCf en prenant les bras de levier tels que AB qui sont à droite du point A comme positifs, par exemple , il faudra prendre les bras de levier tels que AB^ qui tomberaient à gauche comme négatifs; et l'on pourra toujours dire que la somme des momens doit être nulle en donnant des signes convenables aux forces et aux bras de levier.

Corollaire.

•80. Supposons que les forces P,P',P, etc., ne soient pas en équilibre, mais qu'elles aient une résultante unique R, et que par conséquent — R ^it une force capable de leur faire équilibre.

DE STATIQUE. gS

hé^ deux équations précédentes devront avoir liéU-^i Ton y fait entrer la force — R. On aura donc d'abord

P + F + F + etç. — R=o,

ou bien

R = P + P' + P^'4-etc.;

ce qtii iQôtis apprend que la résultante est égale Il ta somme des composantes , ce que nous savions déjà.

En second lieu , si Ion nomme r la distance de la résultante au point A^ on aura

Pp + Py + F/+etc.— Rr = o,

ou bien

Rr = Pp + P>' + Py + etc.

Ce qui nous fait voir que le produit de la ré* sul tante, par sa distance r à un point quel-r conque A pris dans le plan des forces, est égal k la somme de tous les produits semblables de$ composantes par leurs distances respectives à ce même point.

Eu divisant cette équation par R , et mettant à la place de cette quantité sa valeur P-f-P( + P" + etc. , on aura

Pp + py -H>-y + etc.

P + P' + P" + etc. •

g6 ÉLÉMENS

Ce qui donnera la distance de la résultante au point A , et par conséquent fera connaître sa position , puisque l'on sait d'ailleurs qu'elle doit èite parallèle aux composantes.

Remarque.

8i. Les produits P^^ P'/?', etc.^ sont ce c[ue l'on nomme ordinairement les momens des forces; mais on n'attache pas au mot de moment d'autre idée que celle d'un simple produit^ qui résulte de deux nombres ^ dont Tun exprime la force et l'autre sa distance à un point : au lieu que le moment est pour nous la mesure d'une force particulière , c'est-à-dire de l'énergie du couple qui provient de la force ^ lorsqu'on la transporte parallèlement à elle-même au point que l'on considère. Mais comme ici, et dans la plupart des ouvrages de Statique , le moment exprime une même quantité numérique^ à la différence près de l'idée que nous y joignons, nous avons cru devoir conserver ce mot, qui est consacré par l'usage , et qui rend d'ailleurs assez bien notre idée , puisque le mot latin momentum d'où vient moment^ veut dire aussi poids ^ force ^ ou plus exactement , ce que vaut une force à raison de sa grandeur et du bras de levier par lequel elle agit.

Au reste , lorsque nous ne voudrons parler

que du simple produit numérique d'une force . par sa distance à un point , à un axe perpendiculaire y ou à un plah parallèle à sa direction y nous dirons aussi 1% moment de la force par rapport au point ^ ou à Faxe^ ou au plan parallèle : et cela n'introduira aucune équivoque ' dans le discours , puisque l'on pourra entendre, si l'on veut, par ce produit, le moment du couple qui naîtrait de la force transportée pa- rallèlement à elle-même au point , ou sur l'axe, ou dans le plan que l'on considère.

De cette manière , l'équation précédente

Rr = P/> + F/>' + Py + etc. ,

peut s'exprimer ainsi :

La somme des momens de tant de forces pa^ ralleles qu'on voudra , par rapport à un point quelconque de leur plan , est égale au moment de leur résultante par rapport au même point; ce qui est le théorème connu des momens, pour les forces parallèles qui sont situées dans un même plan.

De Véquilïbre des forces parallèles qui agissent sur différens points dun corps dans F espace .

82. Soient P, F, P", etc. ffig. 5i), les diffé- Fig. 3i. rentes forces parallèles. Je mène à volonté deux

plans ZAY^ ZAX parallèles aux directions des forces y et qui se coupent suivant ÂZ à angle droit Tun sur l'autre » pour plus de simplicité» Cela posé , considérant d'abord la force P appliquée en B, j'abaisse une perpendiculaire BH sur la commune intersection AZ , et appliquant en . H deux forces contraires P, — P égales et parallèles à la première , je considère au lieu de la force P appliquée en B , une force égale et parallèle et de même sens appliquée en H , et un couple (P, — P) agissant sur BH. Si Ton fait la même transformation pour les autres forces P', P", etc. , et que, pour plus de clarté, on conçoive tous les couples transportés ailleurs, chacun dans son plan , il ne restera dans Taxe AZ que les forces P, P', P^, etc. , respectivement égales et parallèles aux forces primitives, et de même sens.

Or, la première condition de l'équilibre est que la résultante de toutes ces forces soit nulle d'elle-même ; et comme elles agissent dans une même droite , leur résultante est égale à leur somme ; et par conséquent , il faut qu'on ait

P4.P'+P'' + etc. = o.

La seconde condition de l'équilibre est que le moment résultant de tous les momens des couples soit aussi nul de lui-même. Mais ce mo^

ment résultant ne se trouve pas, comme tout à l'heure , en ajoutant les momens çomposaujE» ^ car les couples ne sont pas dans un même pl9n ni dans des plans parallèles.

Four l'obtenir, considérant d'abord le couple (P, — P) que je suppose ramené dans sa prçrmière position sur BH, j'abaisse, du poiat B deux perpendiculaires BG, BI sur les deux plans ZAY, ZÂX; et achevant le parallélogramme BGHI, je décompose le couple (P, — P), appliqué sur la diagonale BH, en deux autres , composés de forces égales , mais* appliqués respectivement sur les deux côtés HI et GH (58); ainsi y en nommant x et^* ces lignes, ou leui^ égales BG et Bl, le moment proposé P xBH, sera décomposé en deux autres Vcc , Yy situés dans les plans respectii^ ZAX , ZA Y.

Si l'on nomme de mênie or' et y les deux perpendiculaires abaissées du point d'application de la force P' sur les ^%vl% plans, le moment du couple (P', — P') pourra se décomposer dans ces deux plans en deux momens P'a:',P'/';'et ainsi de suite pour tous les couples.

Mais les momens qui sont dans le plan )ZAX se réduiroiU à un seul Jj , égal à leur spmme Pa:+P'.r'+PV'+-etc.; tous c^jux qui seront dans le plan ZAY se réduiront de mèm^ k un seul M égala leur somme Pj^-Py+Pyr+retc^

et ces deux momens résultans L et M se composeront enfîn en un seul G qui sera le moment total : donc il faudra , pour l'équilibre ^ qu'on ait G= o. Mais les deux momens L et M^ étant situés dans des plans qui se coupent ^ ne peuvent jamais donner un moment résultant nul, à moins qu'ils ne soient nuls^ chacun en particulier (62); et y partant, la seconde condition générale de l'équilibre G=o exige ces deux équations : L=o, M=o, c'est-à-dire,

P^-hPV +PV + etc. = o, Pj + ^y + Py + etc. = o.

Ce qui nous fait voir que pour Véqidlibre dun groupe de forces parallèles y il faut ces trois conditions particulières : que la somme de toutes les forces soit nulle, et que la somme de leurs momens par rapport à deux plans parallèles à leurs directions soit nulle d'elle^ même pour chacun de ces plans.

Remarque.

83. Dans les équations précédentes , nous regarderons comme positives les forces qui tirent de bas en haut , et par conséquent comme négatives celles qui tirent dans le sens contraire.

Pour les signes des momens, il est clair qu'ils

DE STATIQUE. loi

changent en même temps que ceux des* forces.

Mais y d'un autre côté, si une force telle que P, sans changer de signe, vient à agir en B' de l'autre côté du plan ZÂX, elle produira un couple d'un sens contraire à celui du premier ; et par conséquent , le moment change encore de signe lorsque le seul bras de levier en change. Donc si f par rapport à un plan , on regarde les bras de levier qui tombent d'un côté comme positifs , il faudra regarder ceux qui tombent de l'autre côté comme négatifs; et l'on poun^a toujours dire que la somme des momens est nulle f en donnant des signes convenables aux forces et aux bras de levier.

Corollaire I. \

84. Supposons que les forces P, F, P*, etc., ne soient pas en équilibre, mais qu'elles aient une résultante unique R, et que par conséquent — -R soit une force capable de leur faire équilibre. Les trois équations précédentes devront avoir lieu en y introduisant la force --^R. On aura donc d'abord

R = P + F + F' + etc.,

ce qui donne la valeur de la résultante.

Si l'on nomme ensuite p et q les distances

respectives de cette résultante aux deux plails

ZAY^ ZAX , on aura

Kp = Pa:H- PV + Fa:^ 4- etc. , R<y = P;r + py +ip*/ + çtc.j

d*où , en mettant pour R sa valeur, on tire

"x" + etc.

P"^ P+F + P^ + etc.

^ pr+py-i-ïy+etc.

ï — P4.P' + P* 4- etc. '

ce qui donnera les distances de la résultante à deux plans , et fera connaître sa position dans l'espace j car, sî Ton mène aux deux distaftces trouvées deux plans respectivement parallèles aux premiers, la direction de la résultante qui doit se trouver à la fois dans ces deux plans , ne sera autre chose que leur intersection même.

85. On voit que les équations précédentes nous fournissent ces deux conséquences , qu'on peut énoncer ainsi , conformément à l'usage :

La somme des momens de tant de forces pa-* raltèles que Von voudra , par rapport à un plan quelconque parallèle à leurs directions ^ e^t égale au moment dé leur résultante.

Et la distance de la résultante à ce plan est égale à la somme des momens des forces, divi^ séè par la somme de toutes les farces.

DE STATIQUE. io3

Corollaire II,

Du centre des forces parallèles.

86. Puisque le centre des forces parallèles est situé sur la direction de la résultante , il est clair que la distance de ce centre à un plan quelconque parallèle aux forces se trouvera comme la distance de la résultante à ce plan , cVst-à-dire en divisant la somme des momens« par rapport au plan , par la somme de toutes les forces.

Si Ton veut avoir ensuite la distance de ce centre à un plan quelconque , on concevra que les forces, sans changer de grandeur, sans cesser d'être parallèles et de passer aux mêmes points, soient tournées toutes parallèlement à ce nou-* veau plan ; et Ton aura pour cette seconde distance la somme des nouveaux momens divisée par la sonmie de toutes les forces.

On fera la même opération pour un troisième plan, et si l'on mène alors aux trois distances trouvées, trois plans respectivement parallèles aux trois premiers ^ le centre des forces devant se trouver à la fois dans* ces trois plans , sera déterminé par leur intersection .