Si toutes les forces étaient égales et de
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même sens^ l'expression
Px + PV+P^:c^ + etc.
p + P' + p'^ + etc. '
qui donne la distance du centre à un plan quelconque, deviendrait
Vx + Par^ + Px'^ + etc. x + x +x'* + etc.
~"p^p+p+etc. n *
n étant le nombre des forces parallèles.
Ainsi la distance du centre au plan serait égale à la somme des distances de tous les points d'application, divisée par leur nombre , ou, si l'on veut y égale à la moyenne distance de tous les points d'application; d'où Ton voit que, dans le cas où les forces sont égales , le centre des forces est un point dont la position ne dépend plus que de la figure formée par les points d'application.
De Véquilibre des forces qui agissent dans un même plan suwant des directions quelconques.
Fig. 32. 88, Soient ?', P", P^^ etc. (fig. 52) les diôerentes forces situées d'une manière quelconque dans un même plan. D'un point quelconque A pris dans ce plan, abaissons sur leui*s directions respectives des perpendiculaires AB, AC^
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AD, etc. ^ qui les rencontrent en B, G^ D^etc; et nommons p'^ p'y p"\ etc. ^ ces perpendiculaires.
U est clair que la force P' pourra se décomposer en une autre égale, parallèle et de même sens appliquée en  , et en un couple dont le moment sei;^«P^xAB, ou Yp\ De même la force P'' se décomposera en une autre égale et parallèle et de même sens appliquée en A, et en un couple dont le moment sera P'^x AC, ou ^.p'^ y et ainsi de auite pour toutes les autres forces P''', etc. ^
Or, pour qu'il y ait équilibre , il faut que la résultante de toutes les forces appliquées en A soit nulle d'elle-même , et que le moment résultant de tous les momens Py, Py, P'V, etc., soit aussi nul de lui-même.
. Cette dernière condition est très facile à exprimer, car tous les couples étant dans un même plan , le couple résultant est égal à la somme des couples composans , et l'on a surle-champ
py + py 4. p^y 4. etc. = o.
Pour exprimer Tautre condition, imaginonis qu'on décompose les forces P', P*, P"', etc. , appliquées en A , chacune en deux autres suivant deux lignes quelconques AX, AY qui se cou-
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petit en A dans ie plan des forces. Nommons X' et Y^ les deux composantes de P' suivant les axes respectifs AX, AY : de même, X", Y", X'", Y''', etc- ; les composantes analogues des autres forces F', P'", etc. > suivant les mêmes axeSi Toutes les forces X', X", X'", etc., étant dans une même droite AX, se ctt]:^>oseront en une seule X=s X' -fX'' H- X'^' 4-etc. ; de même les forces Y', Y", Y''', etc. , se compose* seront en une seule Y= Y'+Y^H-Y^'+etc, et ces deux résultantes partielles se composeront en une seule R qui sera la résultante générale. Il faudra donc pour l'équilibre qu'on ait R=5o. Mais les deux forces X et Y agissant suivant deux lignés qui se coupent, ne peuvent donner une résultante nulle , à moins qu'elles ne soient nulles elles-mêmes , chacune en particulier (^37). Et par conséquent la condition R:i=o exige ces deux équations : X=o, Yc=o, cest-à-dire
X'+X" + X'"4-etc. =0, Y' j-Y"-l-Y''^-l-etc. = o.
Y' + Y" + Y''^ + etc. =
Les forces P', P", P''', etc., appliquées au point A étant parfaitement égales et parallèles aux forces primitives appliquées dans le plan , il est clair que les composantes X', Y', X'', Y", X'", Y'", etc. , sont , pour la quantité , parfais
tement les mêmes que si l'on avait décomposé les forces primitives P^, P", P'", etc. , chacune en son lieu. Et par conséquent les conditions de l'équilibre entre tant de forces que Ton voudra, situées dans un même plan, sont :
I®. Que la somme des forces décomposées parallèlement à deux axes qui se coupent dans le plan soit nulle par rapport à chacun de ces axes;
Q?. Que la somme des momens des forces par rapport à un point quelconque du plan soit nulle d'elle-même.
89. Si l'on trouvait que la dernière condition a lieu par rapport à un certain point connu , et que les deux autres ont aussi lieu par rapport aux directions de deux axes connus qu'on peut toujours supposer menés par ce point, il y aurait équilibre dans le système; et, puisqu'il y aurait équilibre, les mêmes conditions auraient lieu par rapport à tous les points et à tous les axes possibles , pris dans le plan des forces.
Corollaire.
90. Si les forces P', P^, P'^', ne sont pas en équilibre entre elles , mais qu'elles soient susceptibles de se réduire à une seule R, de sorte
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que — R soit une force capable de les tenir en Àjuilibre , l'ëquation des momens aura lieu en y introduisant la force — R. Donc^ en désignant par r la distance de cette force au point A^ on aura Téquation
— Rr+Py+Fy'+Py + etc. = o,
ou
Rr= Py + Vy + T'Y' + etc. ;
c'est-à-dit-e que le moment de la résultante y par rapport à un point quelconque du plan des forces y est égal à la somme des momens des composantes' par rapport au même point. Ce qui donne le théorème connu des momens.
Si le point ^ par rapport auquel on prend les momens y et qu'on nomme ordinairement le centre des momens ^ tombait sur la direction même de la résultante R , la perpendiculaire r serait nulle; par conséquent le moment Rr serait nul aussi , et l'on aurait
o = V'p' + Py -H P'V' + etc.
Ce qui nous fait voir que, par rapport à un point quelconque de la direction de la résul" tante^ la somme des momens de tant de forces que Von voudra situées dans un même plan ^ est toujours égale à zéro.
