Dans l'équation

py + Fy + ?"'p"' + etc. =: o ,

qui exprime la seconde condition générale de l'équilibre , il faudra distinguer les momens des couples qui agissent dans un sens^ d'avec les > momens de ceux qui agissent dans le sens contraire, et leur donner des signes différens.

Mais pour plus de clarté et d^ précision , nous allons reproduire cette équation sous une autre forme.

Manière plus simple de présenter les conditions

précédentes.

92. Soient B', B", B^", etc. (fig. 33), les points Fig. 33. où les forces P', P", V", etc. , sont immédiatement appliquées dans le plan. Soient x^ etjr'

les deux coordonnées AG^ et G'B' du point B', . par rapport aux deux axes quelconques AX ^ AY; ûc^' et y les deux coordonnées analogues du point B^', et ainsi de suite. Supposons que l'on décompose d'abord toutes les forces P', V',!?'", etc., parallèlement aux deux axes AX^ AYj et nommant, comme plus haut, X' et Y' les deux composantes de P'; X" et Y" les deux eomposantes de P'^ etc., ne considérons plus.

au lieu des forces données P', P", P''', etc.,

que les deux groupes X', X", X''', etc.. Y', Y",

Y%etc.

D'abord les forces parallèles X', X", X'", etc., étant transportées parallèlement à elles-mêmes dans Taxe AX, s'y composeront en une seule égale à leur somme. Les forces parallèles Y', Y'', Y% etc. , étant transportées de même dans Taxe AY, s'y composeront aussi en une seul^ '< égale à leur somme.

Ces deux résultantes partielles se composeront en une seule appliquée en A ^ et par la première condition générale de l'équilibre, qui veut que cette résultante soit nulle , on aura , comme ci*dessus, les deux équations :

X' + X''-f.X"H-etc. = o, Y'+Y'' + Y'" + etc, = o.

Il faut exprimer ensuite que la somme des niomens des couples formés par toutes ces forces à l'égard du point A est nulle d'elle-même* Mais en observant que Taxe AX fait avec les directions des forces Y', Y", etc., des angles égaux entre eux et à ceux que l'axe AY forme avec les directions des forces X', X", etc., on voit sur-le-champ qu'on peut prendre les produits Xy , Xy, etc. , Y V, Y V^ etc. , pour momens, dans la mesure relative des différens

DE .STATIQUE. iiï

couples. Donc, puisque leur somme doit être nulle, ot^ aura Téquatioa

Xy+Xy+etc. +YV+ YV'H-etc. ==o.

Cette équation remplace la précédente (91) P>' + Py + ^'"p"' + etc. = ;

mais^ au lieu des perpendiculaires/?',/)",/?''', etc., qu'il faut abaisser du point A sur les directions respectives des forces, elle contient les coordonnées des points où les forces sont inimé-» dia tendent appliquées dans le plan. Elle a de plus cet avantage , que les termes Xy, X'^' Y'œ'y etc. , prendront d eux-mêmes les signes qui conviennent aux sens respectifs des couples dont ils représentent les momens , si l'on a soin de donner aux forces et aux coordonnées des signes convenables.

On pouiTa prendre, comme en Géométrie, les abscisses x' j x' y etc. , positives à la droite de l'origine , et par conséquent négatives à la gauche ; le^ ordonnées 7^, /', etc., positives au-dessus de Taxe des abscisses , et par conséquent négatives au-dessous.

Quant aux forces , ii est cl ai r que , dans chaque groupe , il faudra donner des signes contraires à celles qui agissent en sens contraires.

Mais en œnsidérant dans le premier groupe

ÎI2 ÉLÉMEMS

une force telle que X" qui tire à droite de Taxe AY^ et dans le second » une force telle que Y'^ qui tire au-dessous de Taxe AX , il est £icile de yoir que ces deux forces donnent à Fégard du point A des couples de même sens , lorsque leurs coordonnées AH" et A G' ou^' et x' sont de même signe. Donc^ il faudra que les forces du premier groupe qui tirent adroite de l'axe des ordonnées y aient le même signe que les forces du second qui tirent au-dessous de Taxe des abscisses; donc, si Ton regarde les premières comme positives , on regardera aussi les secondes comme positives ; et de cette manière , tous les momens écrits sous le même signe dans l'équation précédente prendront des signes relatifs aux sens des couples. *

95. Mais si dans le premier groupe X', X% X'", etc. , regardant toujours comme positives les forces qui tirent à droite de Taxe des ordonnées^ ou qui tendent à augmenter les abscisses de leurs points d'application , on voulait , pour la symétrie, regarder aussi comme positives dans le second groupe Y', Y", Y"', etc. , les forces qui tirent au-dessus de Taxe des abscisses , ou qui tendent à augmenter les ordonnées de leurs points d'application , il faudrait alors donner un signe contraire à toute la partie

DE STATIQUE. ii3

des momens relatifs à ce groupe. £t Téquation précédente se mettrait sous cette forme :

Xy + Xy +etc. — Y'o:'— Y V— etc. =o.

Nous retiendrons désormais cette expression, de préférence à la première , parce que, dans les deux groupes, les forces positives seront celles qui tendent à augmenter les coordonnées de leurs points d'application , et les forces négatives , celles qui tendent à diminuer les mêmes coordonnées.

Corollaire I.

94. SI les deux axes AX , AY (fig. 34) étaient Fig. 34, l\ angle droit, les abscisses et les ordonnées

elles-mêmes deviendraient les bras de levier des couples, et les momens Xy, etc., \'x\ etc., donneraient la mesure absolue de leurs efforts. De plus, en nommant a! l'angle que fait la direction de la force P' avec l'axe des abscisses , on aurait , pour la composante X' parallèle à cet axe, P' cos a'. On aurait, pour l'autre composante Y', P' sin aJ.

En nommant de même a'' l'angle de la direction de la force P" avec l'axe des abscisses , on aurait X"=P"cos a!', Y'^=P" sin a\ et ainsi de suite ; et les équations précédentes deviendraient '

,i4 ÉLÉMENS

P'cosy + P"cosa''-|-P'''costf '"+ etc. = o , P' sîn a^ + P" sin a" + P'" sin a'"'4- etc. = o /

Y\y cos tf' —ùc' sîn a') + P"( /cos ^'— a? sin a') + P'"Cr'" cos <' — •^'" sin a'") + etc. = p.

Dans ces équations 'on n'aurait pas besoin de fatre attention aux signes des forces , mais seulement à ceux des abscisses et des ordonnées. On regarderait toutes les forces P", P", P'",étc., comme essentiellement positives : les signes des sinus et des cosinus donneraient les signes relatifs des composantes P'cosce^, etc., P' sin a', etc., comme cela est facile à observer, si l'on veut se donner la peine de faire parcourir une circonférence entièrç à la direction d'une force telle que P', autour de son point d'application B'.

Remarque.

C'est de cette manière que l'on donne ordinairement les équations de l'équilibre pour des forces quelconques situées dans un même plan. Ces équations renferment, sous l'expression la plus simple, les premières données de la question, savoir : les quantités des forces, leurs directions, parles angles qu'elles font avec une drqite fixe de position , et leurs points immédiats d'application , par leurs coordonnées reo-

DE STATIQUE.' itS

tàngles* Nous aurions donc pu les présenter les premières^ et même nous abstenir de considérer le^ autres par rapport à des axes obliques; mais comme on les démontre quelquefois par cette considération que les deux groupes de forces sont rectangulaires entre eux, nous avons été bien aise de faire voir qu'elles ne sont qu'un cas particuKer de celles qu'on trouve par rapport à des axes obliques quelconques , et que la rectangularité des forces n'y entre pour rien. Nous reviendrons encore sur cette remarque.

Corollaire II.

g5. Supposons qu'il ny ait point équilibre entre les forces P', P", P'", etc., et que ces forces soient susceptibles de se réduire à une seule R, qui sera leur résultante.

A lors les trois équations de l'équilibre auront lieu en y introduisant la force — R.

Soit donc et l'angle que fait la direction de cette force avec l'axe des abscisses ixely les deux coordonnées d'un ^oint quelconque de cette direction.

En faisant, pour abréger,

Fcosa' + P"cos«f'H-P'"cosa"'+etc.= X, P'sin ct'+P" sina''-l-P"'sina'"+ etc.= Y,

it6 ÉLÉMENS

ctF(ycosa— x'8ina')4-FCr'cosa"— x"sin«f) -f.P"'(^'» cosa'"— x'» sin et'") -f- etc. =G ',

on aura d abord

X— Rcosa = o, Y — Rsinâtso^ d'où l'on tirera , à cause de sin* et + cos* jS = i ,

cosa=:— :==i, sin a

ce qui fera connaître la quantité de la résultante^ et l'angle d que sa direction fait avec l'axe des abscisses.

On aura ensuite

G — ^{j cos et — a: sin a) = o ;

ou bien y en mettant pour Rcos ol et Rsin a, leurs valeurs X et Y,

G — ILy + Y^ -=1 G.

Comme on n'a qu'une équation pour déterminer les deux coordonnées x et y^ on sera maître de preftdre Tune ou l'autre à volonté. Supposant, par exemple, tr=o, auquel cas on demande le point où la résultante coupe l'axe «

des j^ on aura

DE STATIQUE. rij}

Si Fon suppose 7*= O9 auquel cas on cherche là distance x du point où la direction de la résultante coupe l'axe des abscisses ^ on aura -.

On aura donc tout ce qu'il faudra pour déterminer la quantité et la position de la résultante de tant de forces que l'on voudra , situées dans un même plan.

Si Ton n'a trouvé qu'une seule équation pour les deux coordonnées x ^\y du point d'applî^ cation de la résultante , c'est que , cette résultante pouvant être appliquée à l'un quelconque des points de sa direction, il est impossible que le calcul donne l'un de ces points plutôt que l'autre. Il ne peut donc donner que leur lieu géométrique; et l'équation précédente

est , à proprement parler, l'équation de la direction de la résultante.

Remarque..

96. Dans les trois questions I, II, III, que nous venons d^ traiter ci -dessus, toutes les forces étant ramenées à une seule R et à un seul couple (S,— S), il y aura toujours une

ii8 ÉLÉMEI^S

résoltante unique /si la force R n'est pas nulle. Car, la force R et le couple (S^t-^S) seront toujours dans un même plan ou dans des; plans parallèles^ et par conséquent (71) se composeront toujours eh une seule force. Ainsi, la seule condition nécessaire pour que des forces parallèles ou des forces situées dans un même plan aient une résultante unique, est que la résultante de ces forces transportées parallèlement à elles-mêmes en un point quelconque ne soit pas nulle.

Si cette résultante est nulle , alors toutes les forces du système seront ramenées à un couple dont on connaîtra le plan et la grandeur, et ' Ton ne pourra leur faire équilibre qu^au moyen d'un couple équivalent et de sens, inverse , situé dans le même plan ou dans tout autre plan parallèle.

Passons maintenant au cas le plus général.

Des conditions de V équilibre entre tant de forces que Von voudra^ dirigées dune manière quelconque dans Vespace.

Fig. 35. 97- Soient F, P'', P"^, etc. (fig. 35), les différentes forces. D'un point A pris arbitrairement dans l'espace, menons trois aixes quelconques

DE STATIQUE. ;ii9

AX, AY^ AZ qui neisoient pas dans un même |)lan, et décomposons chaque force en trois autres jespectivement parallèles à ces axes« <, ■ . NommonjS X', Y', TJ les trois^ compQsautes de FjX", Y", Z'^ les trois composantes de P%et ainsi de suite. Nous aurons alors^ au lieu des forées P', P-', P% etcw appliquées au sjstèine, trois groupes de forces parallèles : le premier, composé des forces X',:!î^', ^X'^V^^c., parallèli^s àlaxe AX; le second, composé des forcés. Y'> Y", Y'", etc. , parallèles à Taxe AY; et le troisième, composé des forces Z% Tl*j 7J^\ etc., parallèles à l'axe AZ.

Cela posé : si Ton transporte toutes ces forces parallèlement à elles-mêmes au point A, celles du premier gi^upe iront se réunir dans Taxe AX, et s y composeront en une seule X égaile à leur .somme ; celles du second iront ide même se réunir dans l'axe AY,.et s'y composeront eo line seule Y égale à leur somme; en fîn, , celli^s du troisième se réuniront dans l'axe AZ, et ^'jf composeront en une seule Zégaleà leur somipe^ Maintenant ces trois résultantes partielles :X , Y, Z se composeront en )une seule R appliquée en A, et représentée par la diagonale du paral^ léiépipède construit sur les trois lignes qui représenteraientt ces forces en grandeur et. en direction. > *

lao ÉLÉMËNS

Or, par la première condition générale de l'équilibre , il faut que cette résultante soit nulle d'elle-même. Mais les trois forces X, Y, Z^ agissant suivant des lignes qui ne sont pas dans un même plan, ne peuvent jamais donner une r&ultante nulle , à moins qu'elles ne soient nulles chacune en particulier (42) ; et par conséquent la condition R=o exige ces trois équations particulières , X = o, Y=o, Z = o, c'est-à-dire

X' 4. X'' -t- X''' -t- etc. = G, Y'+Y''+Y"'+etc. = o, • Z' + Z'' + Z''' + etc. = G.

Ce qui nous apprend que pour l'équilibre de tant de forces que l'on voudra , appliquées d'une manière quelconque à un corps ou système de figure invariable, il faut d'abord ces trois conditions particulières : que la somme des forces décomposées parallèlement à trois axes quelconques soit nulle par rapport à chacun de ces axes.

Par la seconde condition générale de l'équilibre, il faut que le couple résultant de tous les couples formés par' les forces à l'égard du point A , soit aussi nul de lui-même. Développons maintenant cette seconde condition.

Soit B' le point d'application de la force P',

DE STATIQUE. laj

et par conséquent le point d'application des trois composantes X', \% TJ\ nommons oc\y\^ ses trois cooixionnées AC , CH , HB', par rapport aux trois axes AX, AY, AZ. Nommons de même a:", /•", z" les trois coordonnées du point d'application B" des trois composantes X'^Y", Z"; et ainsi de suite.

Considérant d'abord le groupe des forces Z', Z", Z'", etc. , je remarque que la force TI appliquée en B', a produit un couple (Z', — TI) appliqué sur AB', ou bien (en concevant la force Z' appliquée au point H* où sa direction rencontre le plan YAX) a produit un couple (Z', — TI) appliqué sur la diagonale AH d'un parallélogramme ACHD, dont les deux côtés AC, AD sont égaux aux coordonnées x' et y. Or^ ce couple peut se décomposer en deux autres composés de forces égales et parallèles aux premières, mais appliqués sur les deux côtés AC, AD ou oc\ y\ dans les plans respectifs XAZ, YAZ (Sy).

Si Ton fait la même décomposition de tous les couples provenant du groupe Z',Z",Z'", etc., dans les deux plans parallèles à ce groupe, et les décompositions semblables de tous ceux qui proviennent des deux autres groupes, par rapport aux deux plans analogues , il est manifeste que tons les couples du système seront réduits

laa ÉLÉMENS

à d'autres, situés dans les trois plans coordonnés.

Or, dans chaque plan , les couples se réduiront à un seul, égal à leur somme. Ces trois couples résultans partiels se composeront en un seul qui sera le couple résultant général , €t qui devra être nul pour l'équilibre. Mais ces trois couples étant situés dans trois plans qui forment un angle solide , ne peuvent jamais donner un couple résultant nul , à moins qu'ils ne soient nuls chacun en particulier(65);donc,> pour chacun des trois plans , la somme des momens des couples doit être nulle d'elle-mènœ.

Mais, dans le plan YAZ, on trouvera d'abord les couples '

(Z',-Z'), (Z',Z'), CZ-,-Z'", etc., appliqués sur les lignes respectives

y, y, y, etc.;.

ensuite , les couples

(Y',-YO, (Y",-Y'0, (Y"',-Y"'), etc., appliqués sur les lignes respectives

z', z'^, A etc..

Et comme l'axe AY fait , avec les directions des forces Z', Z'', Z'", etc. , des angles égaux entre eux et à ceux que forme Taxe A Z avec les

DE STATIQUE. i23

directions des forces Y', Y'', Y'", etc. , on pourra prendre les produits TJy\ etc., YV, etc. , pour momens, dans la mesure relative des couples siiuës dans le plan YAZ. Donc, puisque leur somme doit être nulle, on aura (gS)

YV+YV+etc— Zy — Zy— etc.= o.

On trouvera de même, pour les deux autres plans,

Z V + Z V + etc. — X'^'— X V— etc. = a, Xy+Xy + etc— YV— YV— etc. = o ;

ce qui nous fait voir que pour Téquilibre du système , outre les trois équations trouvées cidessus , il nous en faut encore trois autres qui expriment que la somme des produits des composantes parallèles au plan de deux axes^ par leurs coordonnées relatwes au troisième axe, doit être nulle d'elle-même pour chacun des trois plans.

98. Dans les équations précédentes, on prendra les signes des coordonnées » comme en Géométrie , positives dans un même coin XA YZ , et négatives dans le coin opposé.

Parmi les forces, on regardera , dans chaque groupe , comme positives celles qui tendent à augmenter les coordonnées de leurs points d'ap-

ia4 ÉLÉMËNS

plication ; comme négatives^ celles qui tendeat

à les diminuer (gS).

Remarque.

99. Si Ton trouvait que les six équations précédentes ont lieu par rapport à trois axes particuliers non situés dans le même plan, il y aurait équilibre dans le système, et par conséquent les mêmes équations auraient lieu par rapport à tous les axes possibles.

Corollaire I.