Si les trois axes AX, AY, AZ étaient

rectangulaires entre eux , les coordonnées deviendraient les bras de levier des couples, et les produits Z'j', Y'x'y H'z', etc. , etc., les expressions absolues de leurs momens.

De plus, en nommant a', (?\y' les trois angles que la direction de la force P' fait avec les trois axes respectifs AX, A Y, AZ, ou plutôt avec trois parallèles à ces axes, on aurait pour les trois composantes de P' (45) ,

X'=Fcosa', Y'=Fcos/3', Z^==l?'cosy\

En nommant de même a", ^", y", etc. , les an-^ gles analogues des directions des forces P", etc*^^

DE STATIQUE. laS

avec les mêmes axes , on aurait

X'=P"cosa% Y"=P"cosj8% Z"=P'cos/,çtc,,

et les équations précédentes deviendraient

Fcosa' + F'cosa"+P'''cosa'''+etc.=o, P' cos jS' +P"cos jS" + P'^'cos j8'"+ etc. == o , P'cos>' +P''cosy'+P'"cosy"+etc. = o ,

P'(z'cosi8'— .j'cos^O+PV'cos/S''— y'cos>") +P'"(s'"cos/3"'— y cosj '") +etc. = o,

P'(a:'cosy— z'cosaO + P"(a:"cosy'— is"cosa'0 +P'V"cosy"— z'"cosO+ etc. = o ,

F(j'cosa'-^a:'cos j8';+P"(y'cos a"— a:"cosi8") +P'"(/"cosa'"— a:'"cosi8''') + etc. = o.

Remarque,

loi . C'est sous cette forme que l'on présente ordinairement les six équations de l'équilibre. Elles renferment d'une manière très simple les quantités des forces P', P", 1?"\ etc., leurs points d'application , au moyen de leurs coordonnées rectangles par rapport à trois axes , et leurs directions , parles cosinus des angles qu'elles font avec ces axes.

Gomme on a coutume d'attribuer aux forces rectangulaires une certaine indépendance d'effets, qui ne leur appartient pas plus qu'à celles

qui agissent sous un angle quelconque^ pourvu qu'il ne soit pas nul , il est bon de remarquer que les équations d'équilibre par rapport à des axes rectangulaires , ne sont qu'une simple con«^ séquence de celles quW trouve par rapport à des axes obliques quelconques, et que par conséquent le principe de l'indépendance entre les effets des forces rectangulaires ne doit entrer pour rien dans leur démonstration.

Observons d'ailleurs que d'après ce principe un peu vague, on pourrait être conduit par un raisonnement très simple à une erreur très grossière : car en considérant , par exemple^ deux groupes de forces rectangulaires , situés dans un même plan , si l'on suppose qu'il y a indépendance entre les effets de ces deux groupes, on en conclura que lorsque leur système est en équilibre , chaque groupe doit être en équilibre de lui-même , ce qui n'est pas vrai.

Et il en est de même dans le cas de trois groupes de forces, rectangulaires dans l'espace, dont le système peut être en équilibre , sans qti'il y ait équilibre en particulier dans chaque groupe > et même dans aucun d'eux.

Il faudrait donc , dans ces deux cas , ne faire de ce principe qu'un usage restreint , et ne considérer l'indépendance des effets que relati-^ vement aux mouvemens de translation que lef

forces peuvent (laoner au système ; ou bien il . fâudpa avoii: soin de ne l'appliquer qu'au cas de deux groupes 9 l'un composé de forces perpendiculaires à un même plan^ et l'autre ^ de forces quelconques situées dans ce i3lan , auquel cas l'indépendance des effets a lieu d'une manière absolue. Mais, comme cette indépendance aurait lieu tout de méme^ si le premier groupe tombait sur le plan du second sous un autre angle quelconque, pourvu qu'il ne fût •pas nul, il. s'ensuit qu'elle n'a pas lieu, parce ^ que les groupes font un angle droit , mais seurfeiperlt parce qu'ils font un angle* Ainsi, dans tou$ les cas, le raisonnement qui prouve le principe en question étant foridé sur ce que les forces font un angle droit, tombe de lui-même, parce qu'il n'est fondé sur rien. .

Corollaire IL

Ï02. On peut donner aux trois dernières équations de l'équilibre une forme plus simple, en y introduisant, à la place des coordonnées des points d'application , les plus courtes distances^ des directions des forces aux trois, axes rectangulaires. •'

' En *ffét/dans la première éijuation, à la place du térine P'(z' cas &' — y cos>'), qui exprime la somme des momens des deux forces

P' cos /3', P' cos y, par rapport air point où leur plan irait couper Taxe des Xj on peut en substituer un autre qui exprime le moment de leur résultante par rapport au même point (90).

Les deux forces P'cos j8', P' cos y, étant rectangulaires entre elles, on a pour le carré de leur résultante , P'* cos*j8' + P'* cos* y\ ou • . . ,P'*(cos'j8'+ cos*}/') ; ou bien (à cause de cos*a'+ cos*/S'+ cos*>'= 1), P'*(i — cosV), c'est-à-dire P'*sin*a'.

La résultante est donc P' sin d. La distance • de cette résultante à l'axe des x étant nommée/?'^ on aura pour son moment, Yp sin a', qui remplace le terme P'(z' cos /3' — y^ cos 5^') ; on aura de même P"p" sin a'', etc. , à la place des termes suivans de la première équation , en désignant par p^ y etc. , les distances respectives des résultantes analogues à la première , par rapport à Taxe des x.

La première équation sera donc mise sous cette forme :

Yp' sin a'+Pysina"+P>'"sina'''+etc — o.

Or, il est visible que pj p^\ /?'", etc., ne sont autre chose que les plus courtes distances des forces P', P'', P'", etc., à l'axe des x) caria force P' sin a', qui est située dans un plan perpendiculaire à cet axe , étant composée avec la force

V cos a', perpendiculaire au même plan , devrait donner pour résultante la force P' qui est, dans Tespace. La force P'sin af, n'est donc autre chose que la projection de la force P' sur un plan perpendiculaire à l'axe des x, ei par conséquent la plus courte distance /?' de cette projection à l'axe des x n'est autre chose que la plus courte distance deia fordé F' au même axe. Si l'on désigne par q% j", q'", etc., et par r', r", r^", etc. , les plus courtes distances des forces P', P'', P'", etc. , aux axes respectif desj^ et des z , on trouvera de même pour les deux autres équations >

P Ysin i8'4-P Y'sm iS''+ 1?'^ sin fi'"+ etc.= o, PVsiny+PVsin>"+P'V"siny''4-etc. =0.

io3. La projection d'une force sur un plan ^, multipliée par sa distance à un axe perpendiculaire au plan , est ce que l'on nomme ordinairement le moment de la force par rapport à l'axe; et de cette manière on énonce ainsi les trois équations précédentes de l'équilibre :

La somme des momens des forces doit être nuUepar rapport à chacun des trois axes^ dans le cas de Véquilihre.

Corollaire III.

io4« Si y dans les six équations de 1 équilibre

i3o ÉLÉMENS

on vent supposer qne les forces P', P", P'^', etc. sont toutes parallèles , on tontes sîtnées dans nn même plan , etc. , etc. » et qu'on mette à la place des coordonnées x% jr', z', etc. , et des angles a% j8', y, etc. , les valeurs qui conviennent à ces suppositions 9 on retombera sur les équations d'équiKbre précédemment trouvées poor ces différens cas^ et l'on en tirera les mêmes conséquences.

io5. Si l'on suppose 9 par exemjde, que les directions des forces P', P'', 1?"\ etc. , coucourent toutes au même point ^ et qu'on ait pris ce point pour l'origine des coordonnées , les cosinus des angles et', ^\y\ etc., seront proportionnels aux coordonnées respectives o/,^', z', etc., des points d'application \ de sorte que l'on aura :

x'\f :: cosûc' : cos/3', x': z' :: cosa': cosy,etc.,

ou y cos a! — x' cos j8' = o ,

x' cos y' — z' cos a' = o , •etc.

Les trois dernières équations de l'équilibre- dispiuraitront donc d'elles-mêmes , et l'on n'aura plus que les trois premières, qui nous font voir que pour Véquilibre dun système de forces dont les directions concourent toutes vers un même point ^ il est nécessaire et il suffit que

DE SÎATIQUE. i3i

là somme des forces décomposées suivant trois cuves soit égale à zéro par rapport à chacun de ces àjoes; et c'est ce que Ton savait d'ailleurs imisfediatement.

Si l'on suppose que les forces?^, P", F", elc, ne forment ensemble que des couples ; comnïe alors cii^qùe force P', inclinée sur l^axd des x d'un certain angle a/^ aura dans le système soti égale , mais inclinée au mémie axe de fatiglë 200° +• a\ il n'y aura pas de terme P' cas ^ qui ne trouve son égal et contraire dans la premièrç équation de l'équilibre : et la même chose aura lieu pour les deux autres. Ainsi les trois premières équations disparaîtront d'ellesmêmes^ et l'on n'aura plus quef les trois dernières ; d'où il résulte que, pour F équilibre de tant de couples qu'on voudra appliqués sur Un corps y il esi nécessaire et il suffit que la somme de ces couples décomposés perpendiculairement à trois accès ^ soit égale à zéro par rapport q. chacun de ces axes : ce qui était d'aiUeurs aussi clair que la proposition précédente.

Corollaire If^.

Recherche de Ut résultante de toutes les forces V ^ Y'y^'"^ etc. ^ lorsque ces forces ne sont pas en équilibre^ et qu'elles sont susceptibles de se réduire à une seule.

i32 ÉLÉMENS

^. io6. Supposons qu'il n'y ait point équilibre entre les forces P', F', P''', etc. ; et soit , s'il est possible, la force — R capable de leur faire équilibre , et par conséquent R leur résultante.

Les six équations précédentes devront avoir lieu en y Êûsant entrer la force — R.

Soient donc a, fi^ y les trois angles que forme la direction de la résultante avec les trois axes coordonnés. En faisant, pour abréger,

Fcosa'4-F'cosa"4-P"'cosa'''+etc. = X, P' cos /S' rf-I^'cos i8'''+ P''' cos fi'" + etc. = Y , Fcosy +F'cosy' 4- P"'cosy'' + etc. = Z,

on aura d'abord ces trois équations :

X— Rcosflt=o, Y — Rcosj8=o, Z — ^Rcos>=o;

d'où Ton tirera ( en observant que cos* a -f-cos* j84-cos*^ = i) ,

pour la quantité de la résultante. On aura ensuite y pour les angles a, jS^ y, que sa direction fait avec les trois axes ,

cos a

cos B = =^ ,

cos y = ■ =r.=r .

DE STATIQUE. i33

En second lieu, nommant Xyj^ z les trois coordonnées de l'un quelconque des points de cette direction, et faisant, pour abréger,

F(«' cos j8'— ycos^O-*- P"(a"cos /S"— y cos >") -f-P"'(2"'cos jS"'— y"cos7«')4. etc. =L,

P'(ar'cosy— z'cos «') + I*"(^"cos>'"— z"cos a*) -f.P"'(a/"co^"'~z"*^cosa"') 4- etc. = M ,

P'C/cos *'— j:^cos /87+F'0"cosa"— ar''cos iS"). +P'"(;''*cos a'"— a/''cos.i8î'';,+ etc. = N».

ea aura

L — R|a cos j3 — j*cos >.)= o , .

M — R (x cos ^ — z cos a) =o, N — R(;rcos« — a:cos/3) = o;.

ou bien,.

M— 2Ja: 4" Xz = o > N-;Xy+Ya:=o.

Or, si Ton élimine ^ entre ces trois équations,, deux des inconnues Xy y y z^ on arrivera à cette équation

XL4-YM^.ZN = o,

qui ne contient plus d'inconnue, et qui exprime kl relation qui doit avoir lieu entre les résultantes partielles X , Y, Z , et les trois momens^

i34 ËLÉMENS

résolUDS partiels L, M, N, pour cjue les trois équations précédentes puissent subsister k la fois, et par conséquent pour que toutes leii forces du système puissent avoir une résultante.

107. Si cçtte équation de condition a lieu, les valeurs des trois coordonnées Xy j^ z, se présenteront sous la forme àe%, parce que la résultante pouvant être appliquée à tel point de sa direction qu'on \ç voudra , il est impossible que le calcul détermine l'un de ces points plutôt que tout autre» Il ne peut doncdoâner que leur lieu géométrique, et les trois équations précédentes ne sont autre chose que les équations des trois projection^ de la résultante sur les plans coordonnés. Par conséquent , Tune de ces équations est une suite nécessaire dés deux autres, et Ton n'a, à proprement parler, que deux équations entre les trois indéterminées oc ,jr, z; d'où il suit qu'elles doivent se présenter sous la forme de f .

108. On se donnera donc à volonté Tune de ces trois quantités , et Ton déterminera alprs les deux autres , au moyen des équations précédentes.

Si Ion suppose, par exemple, a: ==s o , auquel cas on demande le point où la direction de la résultante traverse le plan vertical YAZ ^ on

aura pour les deux coordonnées de ce poipf,

Si l'on

suppose jr=

, on aura

JC =

Sî l'on

suppose z =

, on aura

XSi

C'est-*-à-dire qu'en considérant le point où fa direction de ia résultante coupe le plan de deax axes y les distances respectives de ce poiiit à ces deux axes se trouvent en divisant les sommes respectives des momens des forées > par rapport à ces axes, par la somme des fbro^ estimées suivant le troi^ème. : <-

On aura donc , d'après ce que nous venons de dire, tout ce qu^S faudra pour déterminer la quantité de la Résultante et sa position dans l'espace 9 si toutes les forces appliquées au système sont susceptibles de «e réduire à une seule ) et cela aura touj^ours lieu , si l'équafion de condition , XL H- YM + ZN :??: o ; est satisËûte ^ pourvu que les trois résultantesi X , Y^ Z, ne soient pas nulles à la fois; car, si ees trois forces sont nulles, il est clair que lès

i36 ÉLÉMENS

forces P', V", P*, etc. , seront réduites aux trois couples représentés en grandeur par L , M, N; lesquels ne peuvent jamais se réduire qu'à un autre couple.

C'est ce que le calcul précédent aurait pu aussi nous indiquer, quoique d^une manière un peu obscure : et en effet, dans le cas de X, Y, Z nulles à la fois, on trouverait , par les équations ci-dessus , que les points de rencontre de la résultante avec les plans coordonnés sont tous trois à une distance infinie de l'origine. Or c'est ôe qui ne peut plus s'expliquer en Géométrie; eàr, pour imaginer une droite qui rencontre à Finfini les trois plans coordonnés , il faudrait imaginer une droite qui fût à la fois parallèle à trois plans qui ne se coupent qu'en un point, ce qui est absurde : d'où Ton voit que l'bypothèse d'une résultante unique est alors impossible

Corollaire V.

Réduction générale des forces.

109. Mais dans tous les cas, on peut ré*duire toutes les forces apfJiquées au système, à une seule passant par l'origine , et ii un couple dont il est facile de déterminer le plan et la quantité : réduction qui ne laisse de nuage dans aucun cas.

En effet ^ on aura pour la résultante R des forces transportées à l'origine

et pour les trois angles cl^ fi, y^ que sa direc-^ tion forme avec les trois axes,

cos a

En second lieu, L, M, N représentant respectivement les trois couples résultans, situés dans les trois plans perpendiculaires aux axes des oc^ jr, z, si l'on nomme G le moment du couple résultant , bn aura pour sa quantité ,

et pour les angles X^ /jl, v, qu'iyie perpendi* culaire au plan de ce couple , ou que.Voûce du' couple forme avec les trois axes respectifs des

COSA=g^, COS/t=rjj, cosv==^.

Corollaire F^I.

lïo. Si Ton voulait exprimer directement que toutes les forces P', P'', P*, etc, , ont une résultante unique; d'après ce que nous avons vu dans le premier chapitre (n* 7 1 ), il faudrait

i38 ELÉMENS

exprimer que la résultante R et le couple résultant sont dans des plans parallèles , ou ^ œ qui est la même chose , que Taxe du couple est perpendiculaire à la direction de la résultante. Or, Affi,y étant les trois angles de la di* rection de la force R , ayec les trois axes des ^fjf^i et Ay fe, y, les angles analogues que Taxe du couplé fait avec les mêmes lignes, ou sait par la Géométrie (*) que ces deux droites seront rectangulaires dans l'espace , si Ton a

cos a cos A 4" cos /3 cosft -^ cos 7 cos y =0.

Donc, en mettant à la place des cosinus leurs valeurs trouvées ci-dessus , et multipliant toute l'équation par RG , on aura

comme nous l'ayons trouvé plus haut*

Il faut toujours sous-entendre que la force R n'est pas nulle , ou qu'on a

inégalité qui exige simplement que les trois forces X , Y, Z ne soient pas nulles à la fois.

Ainsi , cette condition que le calcul nous avait offerte dans la recherche de la résultante

(*) Voyez ci-après, n** 11 3.

DE STATIQUE. iSg

générale , n'est autre chose que l'expression dq celle que nous avions .trouvée directement dans le premier chapitre, pour que des forces qui ne se font pas équilibre puissent toujours se composer en une seule.

Remarque.

1 11 . Pour exprimer que des forces quelconques sont susceptibles de se réduire à une seule^ on avait donné ces trois équations déterminées ^

X(YV+) ~Y(XV+) = 0,1 Y (ZV+) ^ Z (XV +) = o,> (A)

.z(xy+)-x(zy+) = o,)

qui ne sont pas, comme on voit, celles de la direction de la résultante (106), mais où X,Y, Z ont les mêmes valeurs, et où je désigne , pour abréger, la somme desproduits YV, VVV^tc., pàf (YV-f-)î et ainsi des autres.

Mais ces trois équations sont à la fois insuffisantes et trop nombreuses ; elles peuvent avoir lieu toutes trois, sans qu'il y ait une résul«* tante unique , et il peut y avoir une résultante unique , sans qu'elles aient lieu toutes trois , ni même aucune d'elles.

Cela parait assez clairement à l'inspection même de ces équations comparées à l'équation unique que nous venons de donner; mais on

i4o ËLÉMENS

peut encore s'en rendre compte en suivant le raisonnement diaprés lequel on les trouvé, et en examinant ce qu'elles signifient.

En effet , après avoir réduit toutes les forces appliquées au système à trois groupes de forces parallèles aux trois axes coordonnés, et ces trois groupes à trois résultantes partielles X, Y, Z> parallèles aux mêmes axes, on suppose que ces trois forces doivent se rencontrer en un même point , pour qu'elles puissent se composer en une seule ; et pour cela , on exprime que les résultantes partielles prises deux à deux sont à égales distances du plan qui leur est parallèle; ce qui donne les trois équations (A), au moyen desqueUes les trois forces doivent en effet eoncourir au même point , et par con-^ séquent se composer en une seule.

Mais, d'abord , on omet le cas où les trois groupes ne pourraient pas se réduire respectivement à de simples forces, mais se réduiraient à des couples : alors les trois résultantes partielles étant nulles, les trois équations de condition seraient satisfaites, et pourtant il n'y aurait pas de résultante unique, mais bien un couple résultant. Ainsi ces trois équations sont insuffisantes.

D'un autre côté, elles exigent trop; car, en» supposant que les trois groupes se réduisent à

DE statique: i4i

trois simples forces^ on voit qu'il n'est pas nécessaire , pour qu'elles puissent se composer en une. seule ^ qu'elles se rencontrent toutes trois en un même point : il suffirait simplement que deux d'entre elles se rencontrassent , et que la troisième allât rencontrer quelque part la direction de leur résultante. Mais, ce qui est plus remarquable , cela même n'est pas nécessaire ; car les trois forces X , Y, Z peuvent se réduire a une seule , sans qu'il y ait aucune rencontre entre leurs directions dans l'espace : c^est ce qu'on a vu directement au n** yS.

Si l'on voulait voir la même chose par nôtres analyse, soit a la plus courte distance de Y kZ, b celle de Z à X, et c celle de X à Y ; et pour simplifier, prenons l'axe des x suivant la droite ^ , et celui des z , suivant la force Z ; on trouvera dans cette hypothèse , L = o , M= — Xc, et N = X6 — Y a; et l'écpiation de condition XL-f-YM-4-ZN=o deviendra

XYc — XZ6-f-YZ^ = o.

Or, il est évident qu'on peut trouver trois forces X, Y, Z dans une infinité de proportions différentes, qui satisfassent à cette équation, et qui, par conséquent aient une résultante unicpie, quelles que soient les distances mutuelles a, b,c de leurs directions dans l'espace.

ï4ft ÉLÉMENS

Et comme on n'a qu'une seule équation , ou voit même qu'on peut se donner à volonté deux de ces forces, et déterminer ensuite la troisième en conséquence de cette équation.

Qu'on suppose , par exemple , les deux forces X et Z représentées par les lignes a et c ; on trouvera que la troisième force Y doit être représentée par la moitié de b. Ainsi, voilà trois forces, entre autres, qui sont situées en trois arêtes , deux à- deux non parallèles et non contiguës, d'un même rhomboïde rectangle, et qui pourtant ont une résultante unique : et il est même aisé de voir que cette résultante passe au milieu de la plus courte distance b qui sépare les forces X et Z proportionnelles aux lignes net c.

On peut faire une foule d'aulres exemples ; il suffit de ne pas se donner deux forces dans le rapport particulier qui, d'après l'équation précédente , rendrait la troisième force infinie.

Au reste , ce qu'on vient de dire pour trois forces rectangulaires dans l'espace, s'appliquerait de même à trois forces parallèles à trois axes obliques quelconques; car, relativement à ces axes obliques, si l'on cherchait par la même analyse qu'au n* io6, la condition générale d'une résultante unique, on trouverait une équation toute semblable à la précédente , et

qui 9 pour le cas de nos trois forces 5 donnerait ^^ement XYe — X2^-f-YZa=o; d'où Ton tirerait les mètnes conséquences : en observant que y dans cette équation, a, b, c ne représentent plus les distances mutuelles des trois forces obliques X, Y, Z, mais trois lignes dont chacune va de l'une à l'autre force parallèlement à la troisième.

Si des trois lignes a,bf c, i\y en avait deux nulles y sans que la troisième le fut , l'équation précédente serait réduite à un seul terme, qu'on ne pourrait rendre nul, sans faire quelqu'une des trois forces égale à zéro : d'où il résulte que, si trois forces finies sont situées dema-^ nière que la direction de Fune d'elles ren-^ contre les directions des deux autres qui ne sont point en même plan, ces trois forces ne $ont jamais réductibles à une seule; résultat qui ^'accorde avec ce qu'on a dit à la fin du n® 75.

On Voit donc, pour revenir à notre objet, que des trois équations (A) qu'on avait données avant notre théorie , il n'y en a aucune qui soit nécessaire pour la condition qu'on avaiît en vue, et qu'elles sont tout-à-^faît étrangères à la question dont il s'agit. Mais il y a encore une autre remarque assez curieuse à faire sur ces équations.

Si on les ajoute ensemble, ce qui est assez

i44 ÉLÉMENS

naturel à cause de leur symétrie , et ce que Fauteur même avait fait^ il arrive que la somme de ces trois équations revient précisément à la nôtre XL +YM + ZN=o. Ainsi, l'on avait rencontré par hasard la véritable 'équation du problème, et il est clair qu'on ne s'en était point aperçu; car on aurait vu sans doute que, la somme de trois quantités pouvant être nulle d'une infinité de manières , sans qu'aucune d'elles le soit en particulier, il pouvait y avoir une résultante unique, sans qu'aucune des trois équations regardées comme nécessaires, fut Satisfaite; d'où l'on aurait conclu qu'elles n'étaient pas nécessaires , et qu'il fallait les supprimer avec l'analyse défectueuse qui y avait conduit. Mais, avant notre théorie, on ne savait pas précisément en quoi consistait la condition générale d'une résultante unique.

Quoiqu'on ait depuis rectifié cette analyse par celle que j'ai donnée au n^ io6, je n'ai pas cru cette petite discussion inutile, non-seulement parce qu'elle éclaire un point important de la composition des forces, et qu'elle fait voir la fausse supposition sur laquelle on s'appuyait ; mais parce que ce paralogisme subsiste encore, et s'est reproduit jusqu'Ici dans un ouvrage célèbre où l'auteur des équations (A) parait l'avoir emprunté.

Corollaire VII^

1 1:2. Lorsqu'on a les trois équations L=Oy M=o , N=o 5 le moment G du couple résultant est nul, et les forces appliquées au système se réduisent à une seule R dont la directionpasse par Forigine.

Et comme le moment G ne peut être nul , à moins que les trois momens résultans partiels L , M y N ne soient'nuls à la fois, il s'ensuit que si l'on voulait exprimer que des forces quelconques se réduisent à une seule qui passe en un point donné , il faudrait, en supposant qu'on ait pris ce point pour origine , poser les trois équations L = o, M=o, N=o.

Remarque^

II 3. Nous terminerons cet article général par un théorème important sur la manière d'estimer les forces suivant une direction donnée, et leurs momens , par rapport à un axe donné, lorsque l'on connaît déjà ces forces et leurs momens estimés par rapport à trois axes rectangulaires.

Mais démontrons d'abord la proposition sur

laquelle on s'appuie au n' 110, et dont nous

nous seiTÎrons encore ici.

l46 ÉLÉMEMS

Soient deux droites situées d'une manière quelconque dans 1 espace. Nommons tt, fi^y les trois angles que fait la première avec les trois axes coordonnés; À^ fJL, v^ les angles analogues de la seconde avec les mêmes axes : je dis qu'on aura pour Tangle que ces deux

• droites forment entre elles ,

cos fi = cos a cos A +cos /? cosjte+ cos ^^cos v.

En effet, transportons, pour plus de simplicité, nos deux droites parallèlement à ellesmêmes jusqu'à l'origine : les angles tt, j3, y, À^ /it , V et l'angle G ne changeront pas. Prenons sur la première , à partir de l'origine, une longueur arbitraire d, dont Textrémité aura pour coor-

• données Jo,x, z. Prenons de même sur la seconde une autre longueur quelconque d, dont l'extrémité aura pour cooixionnées x, y, z. Si l'on joint ces deux extrémités par une droite H, on aura un triangle dont les trois côtés seront rf;, D et h; et puisque 6 est Tangle compris entre les deux premiers , on aura , comme on le sait ,

H* = rf* 4- D* — 2(fD cos 9 ; mais on a

. et H* = (x— x)»-f(7— y)*+(2 — z)*;

substituant dans la première équation , rédui^sant ^ et dégageant cos , il vient

ÔJCX + rY A- ZL

OU bien

a D • a B ' rf D '

mais on a évidemment

j = cosa, •^=cos/3, "=:cos5^, et de même

donc

cosd = cosacos A -j- cos /3 cos /A + cos 5. cos V,

Si Ton veut exprimer que les deux droites d et D sont rectangulaires entre elles ^ il faut poser cos â =r= o 9 et par conséquent

cos CL cos X + cos ]S cos fJL + COS y cos V = o ,

ce que nous avions supposé au n^ i xo.