DES CONDITIONS DE L'ÉQUILIBRE

Lorsque le corps ou système sur lequel les forces agissent ri est pas entière-ment libre dans l'espace, mais se troui^e gêné par des obstacles.

Nous allons examiner trois cas principaux auxquels il est facile de ramener tous les autres^ comme on pourra le voir par la suite.

i5o ÉLÉMENS

De V équilibre dun corps qui n'a que la liberté de tourner en tous sens autour (tun point fixe.

Les six équations de l'équilibre d'un corps ou système libre sont^ comme nous l'avons, trouvé ci-dessus,

X=:0, Yî=:0, Z = 0,

Il 6. Supposons maintenant qu'il y ait un point fixe dans le système , et qu'on Tait pris pour l'origine des coordonnées. Il est clair qu'il pourrait alors y avoir équilibre sans que ces six équations fussent satisfaites; car, quoique le point fixe soit par lui-même incapable de produire le moindre effort , il peut néanmoins anéantir ceux des puissances dont la résultante irait y aboutir, et par là tenir lieu de nouvelles forces dans le système.

Mais , quelles que soient les forces dont ua point fixe puisse tenir lieu par sa résistance ^ il est bien manifeste qu'elles doivent toutes passer par ce même point ; que , par conséquent , on peut toujours les y concevoir comme composées en une seule , et imaginer ainsi , à

DE STATIQUE. i6i

la place du point fixe/uûe force unique r qui remplace sa résistance y et considérer alors le système comme parfaitement libre dans Tes* pace.

Les six équations précédentes devront donc avoir lieu si l'on y introduit la nouvelle force r.

Or, cette force étant immédiatement appliquée à l'origine , fournira trois nouvelles composantes, X, Y, z, dans les trois axes, et ne fournira aucun couple nouveau dans les trois plans. Les six équations de l'équilibre seront donc

X4-x=o, Y-}-Ys=so, Z4-z = o, L = o, M = o, N=o.

Les trois résultantes partielles X, Y, Z pourront donc avoir telles valeurs qu'on voudra.

Car, en supposant la résistance du point fixe indéfinie dans tous les sens , les trois forces x , Y, z prendront telles valeurs et tels signes qu'on voudra, et, s'égalant toujours, en quelque sorte, aux trois forces contraires X, Y, Z, appliquées au même point, rendront toujours les trois premières équations satisfaites.

Mais il faudra que les trois momens résultans partiels L, M, N soient toujours nuls d'euxmêmes, ce qui nous fait voir que, pour Véqui-libre d'un corps qui na que la liberté de tourner

i52 ÉLËMENS

autour dun point fixe / il est nécessaire et il suffit que la somme des momens des forces par rapport à trois axes rectangulaires menés par ce point, soit nulle cTelle-même relativement à chacun de ces trois axes.

117. Lorsque toutes les forces appliquées au corps sont parallèles^ on peut mener par le point -fixe deux plans parallèles à leurs directions , et décomposer tous les couples dans ces deux plans. Il suffit donc alors pour Téquilibre du système^ que la somme des momens soit nulle par rapport à deux axes perpendiculaires à ces plans.

Lorsque toutes les forces sont dans un même plan avec le point fixe , tous les couples à l'égard de ce point sont aussi dans ce plan ; et il suffit alors que la somme des momens soit nulle par rapport à un seul axe perpendiculaire a ce plan.

Remarque.

II 8* Nous savons que les trois équations L=o, M=o, N==:o^ quiassurenty dans le cas général y l'équilibre du système, expriment d'une autre manière (112) que les forces appliquées doivent avoir une résultante unique qui passe par le point fixe. Donc, si l'on avait voulu partir de cette conséquence comme principe,,

DE STATIQUE. i53

c'est-à-dire regarder d'abord comme évident que les forces appliquées ne peuvent se faire équilibre autour du point fixe, à moins qu'elles n'aient une résultante unique dirigée vers ce point , on en aurait conclu réciproquement que Ton doit avoir pour Téquilibre les trois équations L=o, M=o, N=o; ce qui nous aurait conduits au même résultat.

Corollaire.

De la pression exercée par les forces sur le

point fixe.

119. Quoique nous ayons supposé le point fixe susceptible d'une résistance indéfinie en tous sens, cependant lorsque des forces données se font actuellement équilibre sur cet appui , il n'a besoin que d'une certaine résistance déterminée. Cette résistance actuelle , prise en sens contraire , est ce que Ion nomme la pression qu'il éprouve de la part des forces du système.

Ainsi , pour calculer cette pression, onrfaura qu'à déterminer la force — r. Mais l'on a, par les équations ci-dessus, pour ses trois composantes — X, — Y, — z dans les trois axes,

D'où il suit que la pression est égale à la ré--

i54 ÉLÉMENS

sulUmte de toutes les forces du système^ trans^

portées parallèlement à elles^-mêmes au point

fixe.

Et c'est ce qu'il était facile de reconnaître d'abord ; car le point fixe ne peut être pressé que par les forces qui s'y sont transportées parallèlement à elles-mêmes ^ et par les couples qu'elles ont formés à l'égard de ce point ; mais puisque ces couples doivent être en équilibre d'eux-mêmes, c'est-à-dîre seraient en équilibre quand bien même le corps serait entièrement libre, il s'ensuit qu'ils ne peuvent nullement charger le point fixe , et que par conséquent ce point n'est pressé que par la résultante des premières forces.

De V équilibre dun corps qui n'a que la liberté de tourner autour de la ligne qui Joint deux point fixes.

> ig. 36. 1 2o, Soient A et B (fig. 36) les deux points fisses. Prenons AB pour l'un des trois axes, pour celui des abscisses , par exemple ; et le point fixe A pour l'origine.

Quelles que soient les forces dont chacun des points fixes puisse tenir lieu par sa résistance , on peut toujours les concevoir comme réduites

DE STATIQUE. ï55

à deux forces retr^ immédiatemeat appliquées a ces points , et substituant ainsi , à la place des deux points A et B, les deux forces respectives r et 1^ qui remplacent leurs résistances actuelles^ considérer le système comme parfaitement libre dans l'espace.

Les six équations de Téquilibre doivent donc avoir lieu en y introduisant les deux nouvelles forces r et r'.

Or, la force r immédiatement appliquée à Torigine A ^ donnera trois composantes x, y, z, dans les axes , et ne donnera aucun couple dans les plans.

La force r' appliquée en B donnera trois composantes x', y', z', la première dans l'axe des abscisses , les deux autres dans les plans respectif XY^ XZ. La force x' qui tombe dans l'axe des abscisses , étant transportée h l'origine , donnera un couple nul ; mais les deux forces y' et z' transportées à l'origine donneront deux couples , dans les plans respectifs XY^ XZ adjacens à l'axe de rotation ; et les momens de ces couples seront (en faisant AB= a), v'a^z'a.

Les équations de l'équilibre seront donc

Les cinq quantités X, Y, Z, M, N pourront

i56 ÉLÉMENS

donc avoir telles valeurs qu'on voudra ; car, en supposant la résistance des deux points fixes indéfinie en tous sens, les quantités x, y, z , x',y', z' auront telles valeurs et tels signes qu'on voudra, et les trois premières équations, ainsi que les deux dernières, seront toujours satisfaites* Mais il faudra qu'on ait toujours pour les seules forces appliquées au système, l'équation L= G ; ce qui nous apprend que les conditions de V équilibre dun corps assujetti à tourner autour d'un axe fixe se réduisent à ce que la somme des momens des forces estimés par rapport à cet axe soit nulle delle-mém^.

Remarque.

121. Si les deux points A et B n'étaient pas arrêtés en tous sens, mais pouvaient couler ensemble dans la direction AB , comme si on les supposait unis entre eux, et renfermés dans un canal infiniment étroit AB, leurs résistances x et x' dans le sens de. l'axe des abscisses seraient nulles d'elles-mêmes, et l'on aurait encore l'équation X=o; de manière que, lorsque le corps a la liberté de se mouvoir dans le sens de Taxe de rotation , outre la première condition énoncée ci-dessus, il faut encore que la somme des forces décomposées parallèlement à cet axe soit nulle d'elle-même.

Corollaire.

Des pressions exercées par les forces sur les

deux points Jixes.

122. Ces pressions n'étant autre chose que les deux résistances actuelles r et r' des deux points fixes, estimées en sens contraires , on aura pour déterminer leurs composantes — x , — Y, — z ; — x', -^ y', — z' parallèles aux trois axes f les cinq équations

Mais comme il y a six inconnues, il parait d'abord que les deux pressions — r et — r' .

•seront indéterminées, ou du moins que l'on pourra disposer à volonté de l'une de leurs six composantes. Cependant, si Ton observe que les deux inconnues — x, — x' n'entrent que dans la première équation, on voit que les quatre autres seront déterminées par les équations restantes. En effet, l'on aura sur-le-champ par les deux dernières équations ,

i58 ËLÉMENS

et substituant dans les deux précédentes , on

aura

Ya + Hf Za — M

Ainsi rindétermination ne portera que sur les deux composantes — ^x, — x', dont la somme seulement sera déterminée par la première équation X -+• x -f- x' = o.

Les deux forces. — y, — z perpendiculaires à Taxe de rotation au point A ^ se composeront en

une seule \/y* -|- z* perpendiculaire au même axe, et qui fera avec les axes des^, z des angles t dont les cosinus respectifs seront

V/y* + Z» Vf + Z*

Les deux forces — y', — t! perpendiculaires à l'axe de rotation au point B, se composeront

de même en une seule V^y'* -|- z'* perpendiculaire au même axe , et qui fera avec les axes des j^ et z des angles dont les cosinus respectifs seront

Ainsi les deux pressions normales à l'axe, aux points respectifs A et B, seront nécessairement déterminées de grandeur et de direction; et

DE STATIQUE. i5g

par conséquent les pressions absolues — r et — 1"^ n^auront que cette indétermination particulière, savoir, qu'il faudra les choisir de telle sorte qu étant décomposées chacune en deux autres, l'une dans l'afxe, et Tautre perpendiculaii^e à cet axe, les deux forces normales aient les valeurs et les directions que nous venons de donner, et les deux forces situées dans Taxe fassent une somme constante égale à X.

125. Pour voir à quoi tient cette indétermination , qui dépend de celle des deux résistances actuelles x, x'que les points fixes A et B doivent opposer dans le sens de la ligne qui les joint, on peut remarquer que ces deux points, qu'on peut supposer unis par une verge inflexible , se prêtent un appui réciproque , de manière que chacun d'eux a toujours, ou par lui-même, ou par le secours de l'autre , la résistance actuelle dont il a besoin pour l'équilibre, pourvu que la somme de ces résistances soit suffisante. On ne peut donc pas demander, et il est impossible que le calcul détermine des valeurs pî^rticulières , pour deux résistances qui, passant tacitement , en tout ou en partie , de l'un à l'autre point, se confondent en une seule et même résistance.

i6o ÉLÉMENS

De l'équilibre dim corps qui s'appuie contre

un plan inébranlable.

I24* Prenons ce plan pour celui des x^y^ que l'on nomme le plan horizontal ; et supposant d'abord que le corps ne s'appuie contre ce plan que par un seul point A^ regardons ce point d'appui comme Torigine des coordonnées. Il est facile de voir que lorsqu'une force presse un point contre un plan, cette force peut toujours se concevoir comme décomposée en deux autres, l'une perpendiculaire au plan, et l'autre située dans ce plan. La première est né^ cessairement détruite par la résistance du plan ; car il n'y a pas de raison pour qu'elle meuve le point d'un côté plutôt que d'un autre dans le plan, et d'ailleurs elle ne peut le mouvoir à travers; mais la seconde obtient tout son effet, parce que son action ne peut être altérée par la présence d'un plan le long duquel elle s'exerce. Le plan résistant ne peut donc dé-^ truire que des forces dont les directions lui sont normales, et par conséquent sa résistance ne peut faire naître que de telles forces dans le système.

Soit donc z la résistance actuelle du point

DE STATIQUE. i6t

d'appui dans l'axe desz. Les équations de l'équilibre deviendront :

Les trois dernières nous font voir (n* ii^i) que les forces appliquées au corps doivent se réduire à une seule qui passe parTorigîne, c'està-dire par le point d'appui ;

Les deux premières, que cette résultante doit être verticale, é'est- à-dire perpendiculaire au plan fixe ;

Et la troisième, Z-|-z==o, que cette résultante Z peut avoir une valeur quelconque, pourvu qu'elle soit de signe contraire à la résistance z du plan ; c'est-à-dire qu'en supposant , ce que nous ferons désormais, que le corps soit placé au-dessus du plan des x, ^, il faut que la force z ne soît pas positive ; sans quoi , tendant à soulever le corps au-dessus du plan, elle n'y ferait naître aucune résistance, et le plan ne servirait à rien pour l'équilibre : de manière qu'il faudrait les mêmes conditions que si le système était parfaitement libre.

125. Supposons actuellement que le corps s appuie par un second point B. Prenons AB pour l'axe des x, et le point A pour l'origine.

i62 ÉLÉMËNS

Xe point A fait naitrc une résistance z dans Taxe même des z. Le point B fera naître une résistance z dans le plan xz, et donne^ra dans ce plan an couple dont le moment sera^ en faisant AB=a', z'a\

Les équations de 1 équilibre seront donc

Ces équations nous font voir que l'équation de condition XLH-YM + ZN = o est satisfaite^ ainsi que l'inégalité y/XT+Y^ + Z* > o ^puisque les deux résistances z et z' ne pouvant être supposées toutes deux nulles^ et étant de même signe, la force Z ne peut être nulle). Les forces appliquées au système doivent donc avoir une résultante unique.

Les deux premières équations montrent que cette résultante doit être verticale , c'est-à-dire perpendiculaire au plan fixe; et la troisième, Z + z + z'= o , qu'elle peut avoir telle valeur qu'on voudra, pourvu qu'elle ne soit pas positive.

Enfin, si l'on cherclie les valeurs des deux coordonnées p et q du point où sa direction doit rencontrer le plan horizontal , comme on a (io8)

*DE STATIQUE. î63

«n menant à la place des quantités L ^ M ^ Z , leurs valeurs tirj^es des équations précédentes ^ on aura

Donc f puisque l'on a ^ = o, il faut que le point où elle rencontre le plan horizontal tombe sur la ligne des abscisses^ c'est-à-dire sur la ligpe qui joint les deux points d'appui j et puisque

Ton ^p^=:a , y à cause de > toujours

< I , on a /7 toujours <ia' ^ et par conséquent la direction de la résultante doit toujours tom-* ber entre les deux points d'apptii A et B.

^ 1 26. Supposons enfin que le c«rps s'appuie contre le plan par tant de nouveaux points qu'on voudra, C, D, etc., qui soient tous placés d'un même côté à l'égard de la droite AB, qui est toujours regardée comme l'axe des abscisses X. Conservant pour les deux points A et B les dénominations précédentes, nommons ii' et V les deux coordonnées du point Cj a!" et b'" celle du point D, et ainsi de suite.' La résistance z" du point C , étant transportée à l'origine , donnera deux couples dans les plans

i64 ' ÉLÉMENS •

verticaux XZ, YZ, dont les momens ^ront

zV, tI'V; la résistance z'"du point D donnera

de même deux couples dans les mêmef plans,

et dont les momens seront z^'V, z'''i'", et ainsi

de suite. Les équations de ^équilibre iéront

donc

• •* X=o, Y=o, ZH-z+z'+z"+z'"+etc.=o,

L — z''i"— z'"V" — etc. = o ,

M+zV4-zV' + 2i'V''+etc.=o, N=o. -

Ces équations nous font voir d'abord, comme dans Tarticle précédent , que toutes les forces appliquées au système doivent se réduire à une seule, perpendiculaire au plan fixe, et dont la valeur ne Soit pas positive.

En second lieu , je dis que sa direction doit rencontrer ce plan dans l'intérieur du polygone formé par les points d'appui A, B, C, D, etc.

En effet, si Ton nomme, comme ci -dessus, q l'ordonnée du point , oii cette résultante rencontre le plan horizontal ; comme on a

(j = —j— , en mettant pour L et Z leurs valeurs

tirées des équations précédentes, on aura

z"b" + z^b'" -4- etc.

^ ~ z + z'-f-z" + 7* + etc/

Or, les résistances z, z', z", z'^', etc., étant

DE STATIQUE. \ i'65

toutes positives, et les prdohnées i", i"', etc. , » toutes de même signe, puisque les points C, * D, etc.'^ sont, par hypothèse , tous placés du ' même côté de Taxe j^s abscisses , il s'ensuit que TArdonnée q sera de même signe que ces ordonnées, et que par conséquent le point O sera , it l'égard de la ligne-AB qui joint lesdeux points d'appui A et B, du même «côté que les autres C , D , etc. Donc , puisqu'on aurait pu prendre pour l'axe de^ abscisses toute autre droite AC , BD , etc. , qui , joignant deux points d'appui , laisse tous les autres d'un même côté^ on peut conclure que le point O doit se trouver^ à l'égard de chacune de ces lignes , du même côté que les autres points 4'âppui , et par conséquent doit tomber nécessairement dans rin-> térieur du polygone formé par tous les points

d'appui.

Corollaire.

Des pressions exercées par la résultante des forces du système sur les' différens points dappui.

i2j. Ces pressions, estimées en sens con-* traire, ne sont autre chose que les résistances z, z', z", z'", etc., dont les points d'appui A, B, C, D, etc., ont actuellement besoin pour l'équilibre. On aura donc, pour les détermî-

lee A ÉLÉMENS

aer, les trois équations :

L— ÔV— 4V — etc. = o, M + flV+ flV+ a'^'z''* + etc. = o. ,

Mais comme on «t'a qne ces trois éqasrtions, avec cette seule condition que les incoiinties z^ ni y z", 7!^ y etc., doivent être toutes positives^ il s'ensuit que les diverses pressions exercées s«r le plan demeurent indéterminées lorsqu'il y a plus de trois apptife , et même lorsqu'il vlJ en a que trois , s'ils tombent en ligne droite. Car, en supposant que lé troisième point G tombe avec les deux autres A et B sur Taxe des abscisses, rordonnée ^^ devient nulle, et Tinconnue 2'' disparaissant d'elle-même dans Féquation L — iV'=o, il ne reste plus que deux équations pour calculer les trois inconnues Z; z', z", qui sont encore indéterminées.

On pourra donc , dans ce cas , se donner à volonté l'une des pressions , et , dans le cas général , se donner les pressions de tous les points d'appui, hors trois. On calculera ensuite ces dernières pressions par les équations précédentes; et pourvu que, dans les différentes hypothèses que l'on fera , le calcul ne mène à aucune pression positive , le problème sera toujours bien résolu.

Remarque.

1 28. Mais SI nous trouvons , d'après les principes établis ci -dessus^ que les pressions sont indéterminées lorsqull y a plus de trois points d'appui, d'un autre côté, en considérant à priori un corps appuyé contre un plan par un nombre quelconque de poihts, etteilti en équilibre par une forée normale à ce plan , il nous parait évident que chaque point de contact dort être actuellement pressé, et que, s^îl est pressé, c'est avec une certaine force tout-à-fait détermhiée , ce qui serait absurde autrement : et de là résulte une eSJ^ce de paradoxe qui ne parait pas facile à expliquer.

Cardoûs-nous d'abord d'en conclure, avec d'Alembert, qu€l la théorie contiue j usqu'ici est îtïàuâ&sante pour résoudre le problème en qxxéèr^ tiou ; car nous allons voir que ce problème est indéterminé par l'hypothèse même que l'on à faite, et que la théorie donne tout ce qu'on peiit dfemànder sans se contredire soî-inêraè.

En efifel, si l'on fait attention qu'il s'agît, par hypothèse , dun corps dont la Kgurè est parfaitement invariable, on peut concevoir les points âe contact de ce corps , comrtle unis entre eux parmi plan parfaitement inflexible, lequel repose sur les points fixes A , B, C, D, etc. Or,

i68 ËLÉMËNS

lorsqu'il y a plus de trois points d'appui ^ ou seulement trois quand ils tombent en ligne droite, il n'est pas difficile de voir que certaines parties des pressions qu'on supposerait exercées, par le plau sur ces points, peuvent être imaginées comme se reportant indifféremment des uns aux autres, de manière qu'on ne puisse demander, ni ce qu'elles sont en elles-mêmq^, ni sur quels points d'appui elles s'exercent de pré^ férence, sans détruire l'hypothèse de l'inflexibilité parfaite du plan <]ui unit les points du corps.

Fig 37. Ainsi (fîg. 37), pour nous faire mieux cogiprendre par un exemple , suf^spns qu'il s'agisse d'un corps appuyé par trois points en ligne droite, et considérons ces points comme liés entre eux par une verge inflexible qui repose sur les trois points fixes A, B, C. Quand bien même ou saurait que cette verge est actuellement poussée aux trois points respectifs A, B, C, par trois forces normales P, Q, R, parallèles entre elles , on ne serait pas en droit d'en conclure que les pressions exercées sur les points d'appui sont respectivement égales aux forces P, Q, R : car il serait toujours permis de concevoir dans les deux forces extrêmes P et R , deux parties u et U qui ne pressent point du tout sur les appuis A et C. Si l'on prend en

effet ces denx^parties dans la raison. inverse de leurs distances AB et CB au point B^ à cause de la raideur parfaite de la verge ^ on peut concevoir que ces deux forces vont presser actueRement le point d'appui B, conjointement avec la force Q; de sorte qu'il y a ici une pres- . sion indéterminée u + u', qu'où peut supposer exister indifféremment , ou, tout entière en B^ ou , en deux parties u et u', sur les points A et C^ sans qu'on pjiiisse dire ni ce qu'elle est, ni oii elfe se trouve de préférence^ à moins de détruire l'hypothèse de l'inflexibilité parfaîte de la verge qui joint les points de contact du corps. •

1 29. Au reste^ cette indétermination singulière est du même genre que celle que nous avons observée et expliquée au n** laS. Les pressions ou résistances actuelles dont les différens points d'appui ont besoin pour l'équilibre, ne sont indéterminées dans le cas où il y a plus de trois points d'appui , ou seulement trois , quand ils tombent en ligne droite, que parce qu'il y a alors des appuis intermédiaires qui peuvent prêter aux appuis placés de part et d'autre certaines parties de leurs résistances ; de manière que , par la liaison parfaite de ces appuis, on ne peut plus distinguer leurs résis-

tances individoelles d'avec ceHos qu'ils pourraient empranter mutuellement les uns des autres. *

Et la théorie nous fait voir que , poiwu que ces points aient des résistances individifelles qui satisfassent ensemble aux trois équations données ci-dessus/^ de quelque autre manière permise par les mêmes équations^ que Ton yeuille répartir les forces de pression sur ces différens points y chacun d'eux trouvera toujours, ou dans sa résistance propre, ou dans cette résistance unie avec celle qu'il empruntera des antres points d^appui , la résistance actuelle dont il aura hesoin poui* détruire la pression qu'on lui suppose.

n n'en est pas de même dans le cas de deux points d'appui , et dans celui de trois non en ligne dix)ite : les résistances actuelles sont déterminées, et doÎTent l'être ; car, chaque point d'appui se trouvant seul à côté de l'autre, ou, dans le second cas, à côté de la ligne qui joint les deux autres , il est visible qu'il ne peut avoir que sa résistance propre , et ne pourrait pas en emprunter des appuis voisins , si elle n'était pas suffisante.

i3o. Ijc paradoxe que nous venons de itisoudre est d'autant plus frappant , que dans la

DE STATIQ^UE. 171

nature^ les pressions exercées par les corps aux cUflFérens points de contact sont nécessairement déterminées dans tous les ^ cas ^ ce qui serait absurde autrement.

Mais tous les corps sont plus ou moins flexibles et élastique^ ; et lorsqu'ils sont pressés les uns contre les autres par différens points situés dans le même plan , la pression totale se distribue d'une manière particulière en vertu de ces propriétés physiques, et des trois équations données ci-dessus (127), auxquelles les pressions individuelles doivent toujours satisfaire : or, il faudrait savoir tenir compte de ces propriétés, pour trouver en tout autant d^équations qu'il y a de points de contact, et connaître par Ih les diverses pressions; et c'est une question très délicate de Physique, que nous ne chercherons pas à discuter ici.

1 5 1 • Ce que nous avons dit sur l'équilibre d'un corps qui s'appuie contre un seul plan peut aisément s'appliquer à un corps qui s'appuierait contre plusieurs plans à la fois. Chacun de ces plans fera naître aux différens points de contact des résistances normales à sa surface ; et en introduisant dans les six équations de l'équilibre ces nouvelles forces indéterminées, on parviendra facilement aux conditions

172 l^LÉMËNS

que dpivent remplir les forces immédiatement appliquées.

iSn. Si le corps s'appuie en différeus points contre une ou plusieurs surfaces courbes quelconques , on pourra supposer qu'il s'appuie sur les plans tangens menés aux surfaces en ces points. Ainsi y connaissant les équations de ces surfaces^ on cherchera celle des plans tangens ou des normales aux divers points de contact : on introduira dans les équations de l'équilibre autant de forces indéterminées ^ dirigées suivant ces normales^ et le problème reviendra au précédent.

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