DES CENTRES DE GRAVITÉ

Jusqu'à présent nous avons fait abstraction de la pesanteur des corps; nous allons voir ici comment on peut avoir égard à cette propriété générale de la matière , afin d'appliquer les principes établis ci -dessus^ à l'équilibre des t;orps tels qu'ils sont dans la nature.

i35. On nomme pesanteur ou gravité cette <:ause inconnue qui fait descendre les corps vers la terre ^ lorsqu'ils sont abandonnés à euxmêmes.

La pesanteur étant une cause de mouvement, on peut là considérer comme une force.

Cette force pénètre les parties les plus intimes des corps, et agit également sur toutes leurs molécules ; car Texpérience prouve que , dans le vide , des corps quelconques de masses inégales, une balle de plomb, par exemple.

et le duvet le plus léger, tombent de la même hauteur avec la même vitesse : d^bù l'on doit conclure que les molécules d'un corps qui tombe descendent toutes de la même manière que si elles étaient simplement contiguës , sans être liées les unes aux autres. Ainsi l'action de la pesanteur s'exerce sur toutes les molécules d'un corps y et se fait sentir également à chacune d'elles.

Cependant l'intensité de la pesanteur ]|*est pas rigoureusement la même pour une même molécule placée dans des lieux diffçrens par rapport au globe terrestre : elle varie à la surface de la terre ^ depuis l'équateur où elle est la plus petite^ jusqu'au pôle où elle est la plus grande : de plus , elle diminue à la même distancf de l'équateur, à mesure que la molécule sçloigne davantage du centre de la teire; et l'on sait qu'elle décroit toujours dans le même rapport que le carré de cet éloignement augmente. Mais pour les molécules des corps que l'on considère ordinairement en Statique, il n'y a pas assez de différence entre leurs distances à l'équateur, ou au centre de la terre, pour que les variations de la pesanteur y soient sensibles. Ainsi l'on est autorisé à regarder la pesanteur comme une force constante.

La direction de la pesanteur est fort bien re-

DE.§TiàTIQUE. inS

présentée par celle d'un fîl-à^plomb en équilibre^ ou par la perpendiculaire à la surface di^s eaux tranquilles.

Cette direction dans le lieu que l'on considère se nomme ]a,^erticalej et tout plan perpendiculaire # la verticiile se nomme le plan horizontal.

La surface de la terre ,'v ou plutôt celle des mers ^ étant à peu près sphérique , les dirac-* tioas de la pesanteur vont à peu près concourir au qentre du globe. Ainsi, k mesure que l'on chemin^ sur la terre , la verticale change aussi bien que le plan horizontal : mais comme le^s distances dont il s'agit ordiuairernent dans la Statique sout très petites à Tégard du rayon de la terre, qui a près de i5oo lieues, les directions de deux verticales peu éloigqées, qui vont à peu près concourir à cette distaposy peuvent être regardées comme parallèles, sans erreur sensible.

Nous considéronis donc toutes jbes molécules égales d'un corp$ pesant, comme ^oUrcitée/s par de petites forces égales , parallèles et de même sens , et nous pourrons appliquer aux forces qui proviennent de la gravité , tout ce quç nous avons dit des forces parallèles appliquées à un assemblage de points liés entre eux d'une manière invariable.

1 34* Et d'abbrd ^ nous en conclurons que la • résultante de toutes les forces parallèles de la pesanteur leur est parallèle^ c'est-à-dire est verticale; En second lieu , qu^ elle est égale à leur somme. La quantité de cette résultante est ce que l'on nomme le poids du corps; d'où Ton voit que le poids d un corps est proportionnel au notnbre des molécules qui le composent^ ou à la quantité de matière qu'il renferme, et que l'on nomme sa masse. Ainsi, l'on distinguera le mot de pesanteur ou gravité ^ d'avec celui de poids. La pesanteur désigne, comme nous Tavons dit, la cause qui attire les corps vers la terre ; mais le poids désigne la force particulière qui en résulte pour chacun d'eux ; force qui est proportionnelle à leur masse, et égale à l'effort qu'il faudrait employer pour les soutenir.

i35. En troisième lieu, comme nous avons vu que pour les forces parallèles, appliquées à différens points , il y a un centre^ c'est-à-dire un point unique par lequel passent continuellement leurs résultantes successives, lorsque Ton incline successivement tout le groupe de ces forces dans diverses positions; il s'ensuit qu'il existe toujours, pour un corps pesant, un point

unique par le'quej passe continnellement la direction du poids ^ lorsque Ton toui*hë succès-' sivement le corps dans diverses positions à l'égard du plan horizontal. En effet, dans les diverses situations qu'on lui donne, les forces de la pesantiiur qui animent toutes les molécules ne cessent pas d'être les mêmes, d'agir aux mêmes points, et d'être parallèles , et par conséquent , leurs résultantes successives ne cessent pas de se couper en un même point. - Ce point unique par lequel passe toujours la direction du poids, quelle que soit la position du corps à l'égard du plan horizontal, se

nomme le centre de gra\>ité.

1 36. Si le centre de gravité d'un corps est fixe, il est clair que ce corps sera en équilibre autour de lui dans toutes les situations; c'està-dire que si, le faisant tourner autour de ce point, on l'amène dans une situation quelconque, et qu'on l'y laisse, le corps y demeurera : car, dans toutes ces positions, la résultante des forces de la pesanteur passera toujours par le même point fixe , et son effet sera détruit. C'est pour cela que plusieui^ auteurs ont défini le centre de gravité un point tel, que, s'il était fixé, le corps demeurerait en équilibre dans toutes les positions possibles au-

tour de lui ; mais il est plus convenable de faire voir à pnon qu'il y a toujours pour cbaque corps un tel points et par conséquent de montrer qu'il jr a un centre de gravité, avant de définir le centre de gravité lui-même.

1 37. Puisque le centre de gravité d\in corps n'est autre chose que le centre des forces parallèles de la pesanteur, appliquées à toutes les molécules de ce corps ; comme toutes ces forces sont supposées égales, il suit de l'article 87, que la distance du centre de gravité à un plan quelconque est égale à la moyenne distance de toutes les molécules du corps au même plan.

Par conséquent la position de ce centre dans les corps ne dépend nullement de la gravité , mais seulement de la manière dont toutes les molécules sont disposées les unes à l'égard des autres.

Aussi quelques géomètres ont-ils cru plus convenable de nommer le centre de gravité , le centre de masse ^ ou le centre défigure : mais nous conserverons ici l'autre dénominal ion, comme étant plus usitée , et comme rappelant mieux l'usage que Ion fait de ce point. dans la Statique.

i58. Comme on peut toujours concevoir qu'à toutes les forces de la pesanteur qui ani-

Dh STATIQUE, 179

ment les molécules d'un corps ^ on ait substitué leur résultante générale qui produit absolument le même effet, on peut considérer le centre de gravité d'un corps comme un point où toute la masse de ce corps est réunie et concentrée* Ainsi, dans la solution des problèmes, si l'on veut avoir égard à la pesanteur, on pourra regarder chaque corps comme réduit à son centre de gravité, qu'on supposera sollicité par une force égale et parallèle à son poids ; et combinant ensuite ces nouvelles forces avec celles qui sont immédiatement appliquées au système, on trouvera les conditions de réquilibre d'après les principes donnés dans les chapitres précédens, comme si tous les corps du système étaient dépourvus de pesanteur.

Il ne s'agit donc plus actuellement que de savoir déterminer les centres de gravité des différens corps ou assemblages de corps qui peuvent se présenter.

1 39. Lorsqu'on peut considérer le corps ou le système comme composé de parties dont on <:onnalt en particulier les centres de gravité et les poids respectifs , il est très facile de déterminer le i^entre de gravité de ce corps ou système.

i8o ÉLÉMENS

Car ce centre n'étant autre chose quie le point d application de la résultante générale des forces de la pesanteur appliquées à toutes les niolé* cules^ on peut concevoir que, pour le déterminer, on à d'abord cherché les points respectifs où sont appliquées les résultantes partielles des forces qui agissent sur chaque corps, et qu'ensuite on a cherché le point d'application de la résultante générale de ces diverses résultantes.

Donc, si l'on connaît déjà les centres de gravité respectifs des difFérens corps , on n'aura qu a supposer appliquées à ces points des forces parallèles et respectivement égales aux poids de ces corps , et l'on trouvera le centre de gravité du système absolument de la même manière que l'on trouverait le centre de ces forces parallèles.

On pourra donc employer dans cette recherche , ou la composition successive des forces, comme au n° 29, ou la théorie des momens, comme au n** 86.

Et puisque la distance du centre des forces parallèles à un plan se trouve en divisant la somme des momens des forces, pris par rapport au plan , par la somme de toutes les forces, il s'ensuit :

Que la distance du centre de gravité dun

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système quelconque de corps ^ à un plan^ est égale à la somme des momens de leurs poids ^ par rapport au plan, divisée par la somm£ de tous les poids : ou (comme les masses sont proportionnelles aux poids), égale à la somme des momens des masses ^ divisée par la somme de toutes les masses; en entendant par le moment d'une masse ^ le produit de cette masse par la distance de son centre de gravité au plan que Ton considère.

En calculant ainsi les distances du centre de gravité à trois plans quelconques, qu'on pourra supposer rectangulaires entre eux pour plus de simplicité, on trouvera facilement la position de ce point dans l'espace.

i4o. Dans le cas où toutes les masses du système sont égales, on trouve sur-le-champ la distance du centre de gravité à un plan quelconque , en prenant la moyenne distance des centres de gravité de tous les corps à ce plan«

1 4 1 • Lorsque le plan par rapport auquel on estime les momens passe par le centre de gravité du système, la distance de ce centre au plan est nulle; et par conséquent la somme des momens des masses ^ pris par rapport à un plan qui passe par le centre de gravité du sjrs^ tème, est toujours égale à zéro.

i83 ÉLÉMENS

C'est-à-'dire que la somme des momens des masses qui sOnt dW même côté du plan est ^ale à la somme des momens des masses qui sont de l'autre côté.

Et réciproquement , lorsque la somme des momens des masses, par rapport à un plan, est égale à zéro, le centre de gravité du système est dans ce plan.

Car la distance de ce centre au plan est nulle.

143* Il résulte de là que si les centres de gravité de tous les corps que Ton considère sont dans un même plan , le centré de gravité du système sera aussi dans ce plan ; et que si tes centres de gravité des corps sont sur une même ligne droite , le centre de gravité sera aussi sur cette droite .

Car, dans le premier cas, tous les corps ayant leurs centres de gravité dans un même plan, les momens de leurs masses par rapport a ce plan sont tous nuls ; la distance du centre de ' gravité du système à ce plan est donc nulle aussi, et par conséquent ce centre est dans le plan même.

Dans le second cas, tous les centres de gravité étant en ligne droite , si Ion fait passer deux plans quelconques par cette droite, les

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centres de gravité des différens corps seront à la fois dans ces deux plans. Le centre de gravité du système y sera donc aussi ^ et par conséquent ne pourra se trouver que dans leur intersection ^ qui est la droite proposée.

Au reste, les deux dernières conséquences que nous venons d'énoncer paraîtront évidentes d'elles niênaes , en se représentant que l'on cherche le centre de gravité du système par la composition successive des forcer ou poids appliqués aux centres de gravité respectifs des différens corps.

1 43. Lorsque tous les centres de .gravité des corps sont dans un même plan, comme le centre de gravité du système se trouve déjà dans un plan connu/il suffit, pour détermitier sa position, de chercher ses distances à deux autres plans. Or, si on les prend , pour plus de simplicité y tous deux perpendiculaires sur le premier, les distances des différens centres de gravité à ces deux plans seront lés mêmes que leurs distances aux traces de ces plans sfur le premier:

Donc , si dans le plan qui contient les centres de gravité de différens corps ^ on tire deux droites ou axes quelconques ?iôn parallèles ^ on aura les distances respectives du centre de gra^

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vite du système à ces deux droites^ en prenant les sommes respectwes des inomens de toutes les masses y par rapport à ces droites j et divi" sant par la somme de toutes les masses.

(Ayant soin de regarder pour chaque droite, comme positifs, tous les momens des masses qui sont d'un même côté de cette ligne, et comme négatiÊ les momens de celles qui sont de l'autre côté.)

On trouvera de cette manière à quelle distance , et de quel côté, le centre de gravité du système est placé à l'égard de ces deux axes, et menant alors, aux deux distances trouvées, deux parallèles à ces axes, le centre de gravité sera à leur intersection même.

i44- Lorsque les centres de gravité de tous les corps sont en ligne droite, comme le centre de gravité du système se trouve déjà sur une ligne connue, il suffit, pour le déterminer, de chercher sa distance à un seul plan. Or, si on le prend, pour plus de simplicité, perpendiculaire sur la ligne des centres, les distances des centres de gravité respectifs à ce plan seront les mêmes que leurs distances au point où ie plan coupe la ligne.

Donc, lorsque plusieurs corps ont leurs centres de gravité respectijs sur une même droite^

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la distance du centre de gravité du système^ à un point quelconque pris sur cette droite ^ est égale à la somme des momens des masses, par rapport à ce points divisée par la somme de toutes les masses.

(Eti prenant avec un même signe tous les momens des masses qui sont d'un même côté à 1 égard du point , et avec le signe contraire , les momens de celles qui se trouvent de l'autre côté.)

On saura alors à quelle distance et de quel côtjé le centre de gravité du système est placé à l'égard du point que l'on a choisi; et si l'on porte ensuite de ce côté, et à partir du point, une longueur égale à la distance trouvée , l'extrémité de cette longueur marquera sur la lilgne le centre de gravité lui-même.

145. On voit donc combien il est facile de trouver le centre de, gravité d'un corps ou système, lorsqu'on connaît ceux des différens corps qui le composent ; il nous reste à voir comment on obtiendrait les centres de gravité des corps qui ne seraient pas susceptibles d'une pareille décomposition.

A la vérité, comme on peut toujours regarder un corps comme un assemblage de points matériels qui sont eux-mêmes leurs propres

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centres de gravité^ il s'ensuit qu'on peut leur appliquer la méthode précédente, et qu'on aura généralement la distance du centre de gravit^ d un corps quelconque à un plan , en prenant la somme des momens de toutes les particules , de>ce corps y par rapport au plan, et divisant par la somme de ces particules , ou , ce qui est la même chose , en divisant par la masse' totale du corps. Mais la solution générale d^ cette question dépend du calcul intégral ; et l'on en peut voir, dans presque tous les traités de Mécanique , des applications très simples, et qui n'ont d'autres difficultés que celles du calcul intégral lui-même.

Cependant, comme il existe des considérations élémentaires très élégantes qui conduisent à la détermination des centres de gravité pour la plupart des corps dont il est question dans la Géométrie , nous nous bornerons à cette recherche, qui remplît l'objet que nous avons en vue , et qui ne nous écarte point des Élémens.

i46. D'après ce que nous avons dit (iSy), la position du centre de gi'avité dans un corps ne dépend que de la manière dont toutes les molécules de ce corps sont disposées les unes à l'égard des autres. Elle dépend donc de deux. choses : i**. de la figure du corps ou de cellei

de l'espace qu'il occupe; 2*. de la densité re-^ latîye de ses différentes parties. On voit bien, en effet , que si la figure et le volume restant les mêmes, les molécules viennent à s'écarter les unes des autres dans une certaine partie du corps , de manière qu'elles se rapprochent davantage dans une autre, les forces qui agissent sur elles n'étant plus réparties de la même manière, la position de la résultante générale changera , el par cQnséquent celle du centre de gravité du corps. Ainsi , dans la détermination dé ce point, il faudrait avoir égard, non-seulement à là figure du corps, mais encore à la loi suivant laquelle la densité varie dans toute son étendue.

Mais si , pour résoudre plus simplement la question , on suppose d'abord les corps parfaitement homogènes , ou uniformément denses en tous leurs points , la position du centre de gravité ne dépendra plus que de la figure , et la recherche des centres de gravité deviendra un simple problème de Géométrie.

C'est dans cette hypothèse de corps parfaite- . ment homogènes , que l'on détermine ordinairement les centres de gravité des lignes , des surfaces et des solides qui sont soumis à une description rigoureuse , et que l'on regarde comme doués d'une pesanteur uniforme en tous leurs points ; et quoique ce problème puisse

i88 ÉLÉMENS

paraître, au premier coup d'œil, de pure, spéculation, il est facile de voir qu'il est, en Statique , ce que la quadrature des aires , ou la cubature des solides est en Géométrie. Comme les résultats que la Géométrie nous donne sont d'autant plus exacts dans Tapplication , que les figures sont plus semblables à celles que la Géométrie suppose, ainsi dans la détermination des centres de gravité, on trouvera ces points d'autant plus près des lieux que la théorie leur assigne, que les corps seront d'une substance plus homogène, plus uniformément répandue, et terminés par des surfaces plus parfaites.