DES CENTRES DE GRAVITÉ DES FIGURES

Lemme.

147. Toute Jigure dans laquelle il se trouve un point tel^ quun plan quelconque mené par ce point coupe la Jigure en deux parties parfaitement symétriques y a son centre de gravité en ce point y que Von nomme ordinairement le centre de figure.

En effet, si l'on fait passer un plan quelconque par le centre de la figure, comme ce plan la coupe en deux parties parfaitement sy-

métriques^ il n'y a pas de raison pour que le centre de gravité, qui est un point unique, et dont la position ne dépend que de la figure, se trouve d'un côté de ce plan plutôt que de l'autre; donc il sera dans ce plan. Le centre de gravité devant donc se trouver à la fois dans tous les plans que l'on pourrait conduire par le centre de figure , sera en ce point même , qui est la commune intersection de tous ces plans.

148. Il résulte de là, i*. que le centre de gravité d'une ligne droite est au milieu de sa longueur ;

2^. Que le centre de gravité de l'aire d'un parallélogramme quelconque est à l'intersection de ses deux diagonales^ ou au milieu de l'une d'elles;

3". Que le centre de gravité de la solidité d'un parallélépipède est à l'intersection de ses quatre diagonales, ou au milieu de l'une d'elles.

On pourrait encore en conclure que le centre de gravité du contour ou de l'aire d'un cercle est au centre de ce cercle; que le centre de gravité de la surface ou de la solidité d'une sphère est au centre de cette sphère; que celui de la surface ou de la solidité d'un cylindre à bases parallèles est au milieu de son axe; etc.

190 ÉLËMËNS

Mais on remarquera surtout les trois premiers corollaires sur les centres de gravité de la ligne droite , du parallélogramme et du parallélépipède^ parce que l'on peut regarder ces figures comme fes élémens de toutes les autres.

Problème I.

1 49- Troui^er le centre de grayité du contour dun polygone quelconque^ et en général dun assemblage de droites disposées comme on voudra dans l'espace.

On regardera chaque droite comme concentrée en son centre de gravité, lequel est au milieu de sa longueur; et Ton n'aura plus à considérer qu'un assemblage de points représentés , pour leurs poids respectifs, par les longueurs des lignes dont ils sont les centres de gravité.

On trouvera donc le centre de gravité du système par* la composition successive de ces poids, ou parla théorie des momens, comme il a été dit plus haut.

i5o. On pourra souvent, par des considérations particulières, déterminer les centres de gravité plus facilement que par la méthode générale.

DE STATIQUE. igi

SU s'agît, par exemple, de trouver le centre de gravité du contour d'un triangle, on n'aura qu'à joindre les milieux des trois côtés par trois lignes , ce qui formera un triangle semblable au triangle proposé; et partageant les angles de ce triangle eu deux parties égales par des droites , ces droites se couperont au centre de gravité cherché.

C'est-à-dire que le centre de gravité du contour d'un triangle n'est autre chose que le centre du cercle inscrit au triangle formé par les lignes qui joignent les milieux des trois côtés.

Problème II.

1 5 1 . T\x)u^er le centre de gravité de Vaire dun polygone quelconque ^ et en général dun assemblage défigures planes et rectiUgnes disposées comme on voudra dans F espace.

Tous les polygones pouvant se décomposer en triangles, nous allonsl" voir d'abord comment on trouve le centre de gravité d'un triangle quelconque. Après quoi, prenant les centres de gfavité de tous les triangles qui composent le système proposé, nous n'aurons plus à considérer qu'un assemblage de points donnés de position, et dont les poids respectifs seront représentés par les aires des triangles dont ils

iga ÉLÉMENS

sont les centres de gravité; et le problème se résoudra comme le précédent.

Du centre de grai^ité du triangle.

Fig. 38. i52. Soit ABC (fig. 38) le triangle proposé : considérons sa surface comme composée d'une infinité de tranches parallèles à la base BC. Il est visible que la ligne droite AD menée du sommet A au milieu D de la base, divisera toutes ces tranches en deux parties égales.

Leurs centres de gravité respectifs seront doue tous sur la droite AD, et par conséquent celui de leur système , c'est-à-dire celui du triangle^ y sera aussi.

Far un raisonnement tout-à-fait semblable^ on ferait voir que le centre de gravité du triangle doit aussi se trouver sur la ligne BE qui serait menée du sommet de Fanglc B au milieu E du côte opposé AC.

Le centre de gravité devant donc se trouver à la fois sur les deux lignes AD, BE, sera nécessairement à leur intersection G.

Mais si l'on joint DE, puisque les points D et E sont les milieux respectifs des côtés CB, CA, la droite DE sera parallèle à AB et en sera la moitié. Or, si DE est moitié de AB, à cause des triangles semblables DGE, AGB, le côte DG sera aussi moitié de son homologue AG.

DE STATIQUE. i^

Donc, DG sera le tiers de AD, et A6 en sera les deux tiers. . ^

Donc , le centre de gravité de Faire diun triangle quelconque est • situé sur une ligne menée de Vnn quelconque des trois angles au fnilieu de la base opposée^ et se trouve au tiers de cette ligne à partir de la base^ ou aux deux tiers à partir du sommet de V angle.

La démonstration précédente est si natarelle et si simple , que nous n'avons pas cru devoir Tomeltre ici. On pourrait lui donner toute la rigueur possible y au moyen de cette méthode connue, dont les exemples sont si multipliés dans les élémens de Géométrie ; mais le lecteur peut y suppléer.

Au reste, voici une démonstration nouvelle qui ne laisse rien à désirer du côté de l'exactitude.

1 55. Par le milieu D de la base BC du triangle ABC (fig. 39), menez aux deux autres côtés les Fîg. 9. parallèles DE , DF qui les rencontrent en E et F : le triangle proposé sera décomposé en un parallélogramme AEDF, et deux triangles DEC, DFB, parfaitement égaux entre eux, et semblables au premier.

Le moment du triangle ABC par rapport à

une ligne quelconque menée dans son plan ,

1^4 ÉLÉMËNS

sera donc égal à la somme des momens du parallélogramme et des deux triangles»

Soit a l'aire d'un de ces triangles y 4^ sera celle du triangle proposé. Donc, si Ton nomme a:

la distance du centre de gravité de ce triangle à la base BG y on aura I^ax pour son momeift par rapport à celte ligne.

Soit h la hauteur du triangle ; - sera la distance du centre de gravité du parallélogramme à la base ; et comme, son aire est la^ son mor

ment sera aa x -, c'est-à-dire ^.

Ensuite , les deux triangles BFD, DEC ont visiblement leurs centres de gravité à même distance de la base BC; donc, si l'on nomme x^ cette distance , la somme de leurs momens sera lax' *

On aura donc ^ax^=iah^^ax\ où bien, en divisant par 4<^,

Si l'on supposait y avec Archimède, que, dans les triangles semblables, les centres de gravité sont des points semblablement placés; alors, comme les dimensions du triangle BFD ou DEC sont moitiés de celles du triangle ABC,

on aurait a:' =- ; et substituant dans lequa-

DE STATIQUE. i^

tion précédente, on troi^verait sur-le-champ^

Ce qui ferait voir que le centre de gravité dkin triangle se trouve placé au-dessus de chaque côté, à une distance égale au tiers de la hauteur de l'angle Opposé, et que par conséquent il est au point déterminé ci-dessos.

Mais on peut parvenir à cette conclusion sans aucune hypothèse : Car, puisque Ton a trouvé pour le triangle ABC

X étant la distance de son centre de gravité à la base BC , et x' la distanee du centime de gravité du triangle BFD à sa base BD: en imaginant que Fon fasse, dans le triangle BFD la même construction que Ton a faite dansi le triangle ABC , si Von nomme x" la distance analogue à

* celle qu'on a nommée x'^ et si Ton observe que .. t^, liiauteur du nouveau triangle est deux fois

* .^us petite que celle du prenïier, on aura

Et continuant la même cpnstruction , on

trouTera

6XC* y CcC« j

x^*^ x^^^ etc. ^ désignant les distances des centres de gravité à la base dans les triangles successifs, distances qui din>inuent sans cesse, et dont la dernière peut être rendue moindre que toute grandeur donnée y puisqu'elle est toujours plus petite que la hauteur du triangle dans lequel on la considère.

On aura donc, en substituant successivement dans la première équation, à la place de x\ x^'y x'"y etc. , leurs valeurs,

.^ = 7 + 7-7 + 7-7-7 + etc. . à l'infini :

d'où or = ^ , ce qu*il fallait démontrer.

Bemarqùe.

i54- Soient trois masses égales ayant, leurs' centres de gravité situés aux trois angles res- Fifç 38. pectifs du triangle ABC (fig. 38). Le centre de gravité de ces trois corps sera le même que / xehii dii triangle.

DE S.TAHQUE. 197

Car, poui; trouver celui des troiç corps, il ny a qu a prendre d^abord le centre de gravité de deux quelconques d'entre eux ^ cebii des deux corps Bet G^p^r exemple , lequel est au point D,. milieu de BC ; ensuite joignant DA , on n'a qu'à diviser cette droite au point G dans la raison réciproque de 2 à i .

Or,, cette construction donne aussi le centre de gravijté du triangle ABC.

Il résulte de là et du n* i4o> que la distance du centre de gravité d'un triangle à un plan situé d'une manière quelconque dans l'espace, est égale à la moyenne distance de sçs trois angles au même plan.

Centre de granité du trapèze^

i55. Si l'on prolonge jusqu'à leur rencontre les deux côtés du trapèze, on forme deux triangles semblables de même sommet, et qui ont pour bases les deux bases du trapèze : et comme la ligne qui va du sommet commun au milieu de là base inférieure passe au milieu de la base supérieure , il s'ensuit que cette ligne passe à la fois par les centres de gravité des deux triangles, et par conséquent par celui du trapèze qui en est la différence. Le centre de gravité du trapèze est donc sur la ligne qui joint les milieux de ses deux, bases parallèles : ainsi

198 ÉLÉMEISS.

il ne reste qu'à troHver sa distance à Tnne ou à Vautre de ces bases ^ ou, si Ton veut, le rapport de ces deux distances.

IVommons x la distance inconnue de ce point à la base inférieure y et H et A les hauteurs des deux triangles semblables. Si l'on représente par H* l'aire ^ on le poids du grand triangle 9 A* sera le poids du petit, et H* — h^ , celui du trapèze. Le moment du premier de ces poids y par rapport à la base inférieure ,

sera donc H* • -^ : le moment du second sera

h^ f X -H H — n\y et lé moment du troisième,

(H* — h^)x. Ainsi, en égalant le premier de ces momens à la somme des deux autres , on aura , pour déterminer x , Féquation :

3 (H*— h^)x = H» — SAfl + 7h\

Si Ton cherche de même la distance^" du centre de gravité à la base supérieure, ou si Ton observe simplement que cette distance^ est formée de (H- — h) diminuée à& Xy on trouvera

Comparant ces deux équations, membre à membre, et ôtant, dune part, le facteur commun 5(H* — A'), et, de l'autre, le facteur com-

mua ^H-»-A)% oa trouvera^ pour le rapport chercbe ,

ou bien , lUiettant à la place des hauteurs H et A des deux triangles , leurs bases B et 6 qui sont dans Iç même rapport , on aura la proportion

dL<s(h résulte ce théorème :

Le centre de grwité d'un trapèze est sur la ligne qui va du milieu de fune de ses bases au milieu de^t autre ^ et il coupe cette ligné dans le rapport des deux sommes qtion trouve, en ajoutant dun côté, à la première base deux Jais la seconde, et d'un autre côté, à la seconde base, deux fois la première.

On peut tirer de là cetie construction très simple : prolongez y vers la droite , Tune des deux bases, d'une longueur égale à l'autre; et celle-cî » yers la gauche , d une longueur égale à la première ; et menez la ligne qui joint les extrémités de ces deux prolongemens ; elle coupera celle qui joint les milieux des. deux bases au centre de gravité du trapèze.

On peut remarquer que la proportion précédente Ile dépend point de la hauteur du trapèze ; mais uniquement du rapport des deux

ÉLÉHENS

bases : de sorte qu elle est la même pour tous les trapèzes possibles de bases proportionnelles.

Si les bases sont égales, on a x:=.jr*^ ce qui doit être , car le trapèze est alors un parallélogramme dont le centre est également éloigné de ces deux bases opposées.

Si l'une des bases b devient nulle , on a

j z=i!ix; et en efièt le trapèze devient un

triangle dont la base est B, et dont le centre

est deux fois pi us près de la base que du sommet.

Problème III.

1 56. Trouver le centre de gnunté de la so* Udité dun polyèdre quelconque y et en généràly {Tun assemblage de polyèdres disposés comme on voudra dans l'espace.

Tous les polyèdres pouvant se décomposer en pyramides triangulaires, nous allons voir d'abord comment on trouve le centre de gravité d'une pyramide triangulaire. Après quoi, prenant les centres de gravité de toutes les pyramides qui composent le système proposé, Ton n'aura plus qu'à chercher le centre de gravité d'un assemblage de points, représentés pour leurs poids par les volumes des pyramides respectives dont ils sont les centres de gravité j et le problème se résoudi*a comme il a été dit t'i-dessus.

DE STATIQUE. aoj

Du centre de gravité de la pjramide.

157. Soit ÂBCD (fig. 40} une pyramide Fig. 40. triangulaire quelconque. Si nous considérons cette*pyramide comme composée d'une infinité de tranches parallèles à la base BGD, il est visible qu'une droite menée de l'angle A en un point quelconque de la base^ couperait toutes ces tranches et la base elle-même ^ en des points semblablement placés . : donc » ;Bi cette droite est menée au centre de gi^vité I de la base, elle passera par tous les centres de gravité des tranches parallèles. Le centre de gravité du système de ces tranches, et par co'nséquent celui de la pyramide , devra donc se trouver sur la droite AI.

Mais, par un raisonnement tout-à-fait semblable, on voit que le centre de gravité de la pyramide doit aussi se trouver sur la ligpe GH qui serait menée de l'angle G au centre de gravité H de la face opposée : donc il sera nécessairement à l'intersection G de ces deux droites.

Ainsi les deux lignés AI et CH doivent nécessairement se rencontrer : et c'est ce que l'on voit d'ailleurs indépendamment de la considératioa du centre de gravité j car si Ton tire CI, cette, droite ira couper le côté BD en*son milieu £, puisque le point I est le centre de gravité

du triaugle BCD ; par là même raison ^ si Ton

tire AH, cette droite ira rencontrer BD au

même point E, et par conséquent les deux

droites AI , CH seront dans un même plan , qui

est celui du triangle AEG y et elles se couperont

nécessairement.

Actuellement, si Ton remarque que le point I est au tiers de EC , et le point H au tiers de EÂ {iS2)y il est clair qu'en joignant IH , cette droife sera parallèle à AG, et e^ sera le tiers. Mais si la droite IH est le tiers de AG, k cause dés triangles semblables IGH , AGG , le côté IG sera le tiers de son homologue GA> ou bien sera le quart de lA , et AG en sera les trois quarts.

Donc , le centre de gravité cCune pjrranàde triangulaire est situé sur une ligne menée de Vun quelconque des trois angles au centre de gras^ité de la base opposée; il est au quart de cette ligne, à partir de la base, ou aux trois quarts, à partir du sommet de l'angle.

Remarque.

i58. On peut aussi appliquera la pyramide

triangulaire une démonslration analogue à

celle que Ton a donnée pour le triangle.

Mais pour cela considérons d abord le prisme

Fig.41. triangulaire : soit ABCabc (fig. 40 le prisme.

DE STATIQUE. ao3

Par le nÂlieu E du côte ÂB de sa base ABC, conduisons deux plans E¥f, EDd parallèles auic faces respectives BCc^, AC^a. Nous dëcoinp(H serons ce prinne en deux autres, et un pandlélépipède.

Si Ton: nomme a la solidité de l'un de ties deuK prismes, lesquels sont parfaitement ëgau^c, on aura j^a pour ceUe do prisme proposé , et ûa pour celle du parallélépipède.

Cela posé, soit x la distance du centre de gravité du prisme total à la £sice BAab; ^on aura ^ax pour son moment par rapport à cette face. Soit 'de même, pour les deux prismes partiels , or' les distances de leurs centres de gravité au même plan, distances qui sont parfai-*tement égales entre elles ; on aura 200/ pour la somme, de leurs mbmens. Enfin , nommait A la hauteur de l'arête Ce au--dessus du plan parallèle BAab , le moment du parallélépipède

sera évidemment 2a -, ou simplement ah. On aura donc ^ax z=l ah-^^ 2ax\ et par consé^

quent jr= 7 H ; et si Ton applique mot à

mot tout ce qu'on a dit (i55), on trouvera

Ce qui fait voir que le centre de gravité d'un prisme triangulaire est, à l'égard die chaque

ao4 ËLÉMENS

îàce, au tiers de la hauteur de larèté parallèle à cette face; d'où il est facile de conclure qn il eft sur la ligue Gg qui joint les centres de gravite dos deux bases* Et d'ailleurs il est aisé de voir que ce point tombe au milieu I de cette droite Gg, que je nommerai pour un moment Taxe du pnsme. En effet , imaginez le prisme partagé en un nombre quelconque de prismes égaux par de& plans parallèles à la base , et soit J" la distance du centre de gravité de Ttiudc ces pc^tits prismes au milieu de son axe. Il est clair que le centre de gravité de leur système , et par conséquent celui du prisme total , se trouvera atlssi à la même distance S" du milieu I de son axe Gg. Or, quelque petite que soit la longueur d'un prisme, il est évident que le ceulre de gravité est toujours dans l'intérieur du solide : donc, puisque la longueur de chaque prisme partiel peut être rendue moindre que toute grandeur donnée , la distance 01:= J^ est moindre que tout ce qu'on voudra, et par conséquent nulle.

iSg. Actuellement, soit une pyramide triau-

Fig. 4a. gulaire ABCD (fîg. 42). Par le point L, milieu

de AC, faites passer la seclioii LMK parallèle à

. la base BCû, et la section LEF parallèle à la face

ABD. Menez KH parallèle à LE, et joignez EH.

DE STATIQUE. aoS #

La pyramide proposée sera décomposée en deux prismes équivalehs/ Tun dont la- base est EDH, l'autre dont la base est LEF, ej; en deux pyramides triangulaires ALMK, IlCEF parfai-r tement égales entre elles , et semblables à la pyramide proposée.

Cela posé , égalons le moment de la pyramide totale, par rapport à la base BCD, à la somme des momens des deux prismes et des deux pyramides partielles, par rapport au même plan. ,

Soit a la solidité de Tune de ces deux pyramides , 8a sera celle de la pyramide entière , et si l'on nomme a: la distance de son centre . de gravité à la base, on aura 8aa: pour son moment.

Soit h la hauteur de la pyramide entière ; le prisme dont la base est EDH aura son centre

de gravité élevé , au-dessus de la base , de - . ;

et comme sa solidité est 5a y son moment serai

5a y. Le second prisme, dont la base est LEF,

aura son centre de gravité élevé au-dessus du

plan BCD de = .- (i58); et comme sa solidité

est 5a , son moment sera 5a ^.

Enfin , si Ion nomme ûc' la hauteur du centre

io6 ÉLÉMENS

de gravité de la pj^ramide LCEF an-dessu» de la base BCD, la hauteur du centre de gravité de la secondé pyramide ÂLMK sera évidem*

ment a?' H — , et Ton aura^ pour la somme des

raomens de ces pyramides ,

oa:' + ^fa?' + -\ ou — -I-2/ïj:'.

On aura donc en réunissant ^

^ San . 3ah , ah . «

8ax = -^ -h -g- + — + 2flx'; réduisant 9 et divisant par 8a,

Si l'on supposait que^ dans les pyramides semblables, les centres de gravité sont des points semblablement placés, comme les dimensions de la pyramîdeLCEF sont deux fois plus petites que celles de la pyramide proposée ADCD, on aurait

et substituant dans Téquation précédente , on trouverait

Ce qui nous ferait voir que, dans toute pyramide triangulaire, le centre de gravité est élevé

DE STATIQUE. ao7

au-dessus de chaque face au quart de la hauteur de Faugle oppose ; d'où il est facile de conclure qu'il est au point déterminé ci-dessus. Mais on petit parvenir à l'équation précédente sans aucune hypothèse.

En effet, si l'on imagine que l'on ait fait dans la petite pyramide LCEF la même construction que l'on a faite dans la pyramide ABCD , en nommant x^^ la distance analogue à celle qu'on . a nommée x^ ^ et observant que la hauteur de la nouvelle pyramide n'est que la moitié de la hauteur h de la première, on aura, comme cidessus ,

et continuant la même construction dans les pyramides successives, on trouvera tP.

x'"^ ;7*% etc. , désignant les distances successives des centres de gravité des pyramides a la •hase. Or, ces distances diminuent sans cé^se, et deviennent plus petites que toute grandeur donnée , puisqu'elles sont toujours moindres , * „

î>.o8 ÉLÉMENS

que les hauteurs des pyramides dans lesquelles on les considère. On aura donc en substituant successivement dans la première équation , à la place de a/, Jc"; a:'", etc., leurs valeurs,

où

l'on lire

etc.) ,

ce qu il fallait démontrer.

Remarque.

Soient quatre masses égales dont les centres de gravité soient placés aux quatre angles d une pyramide triangulaire : le centre de gravité de ces quatre corps est le même que celui de la pyramide.

Car, pour trouver celui des quatre corps, il n'y aurait qu'à prendre d'abord le centre de gravité de trois quelconques d'entre eux, lequel est au centre de gravité de la face même aux angles de laquelle ils sont placés (i 54), et joignant ensuite le centre de gravité du quatrième corps à ce point, il faudrait diviser cette droite,, à partir de la face, en raison réciproque de 5 a I : or, cette construction donne aussi le centre de gravité de la pyramide.

Il résulte de là que la distance du centre de gprayitë d'une pyramide triangulaire à un plan situé d'une manière quelconque dans l'espace , est égale à la moyenne distance de ses quatre angles au même plan.

La même propriété appartient aussi au prisme triangulaire.

Remarque générale.

i6o. Pour déterminer le centre de gravité d'un polyèdre , il n'est pas toujours nécessaire de le décomposer en pyramides triangulaires, il se présente souvent des simplifications dont il faut profiter.

Par exemple , on trouvera le centre de gravité d'un prisme quelconque à baàes parallèles, en prenant le centre de gravité de la section parallèle aux bases , menée entre elles k égales distances; ou bien, en prenant le milieu de la ligne qui joint les centres de gravité de ces deux bases.

(]ette proposition est si facile à démontrer directement, ou à déduire de ce que nous avons dit sur le prisme triangulaire, qu'il est inutile de s'y arrêter.

r6i. Si Ton considère un cylindre quelconque à bases parallèles comme un prisme

sio ÉLÉMENS

dont la base est un polygone d'une infinité de côtés , il résulte de ce qne nous venons de dire que le centre de gravité de ce cylindf^ est au milieu de la droite qui joint les centres de gravité de ses deux bases.

162. On a pu voir précédemment que le centre de gravité d'uue pyramide^triangulaire, est le même que le centre de gravité de la section parallèle à la base , menée au quart de la hauteur du sommet.

Cette prc^riété s'étend à une pyramide quelconque ; car si Ton partage la base en triangles par des diagonales , et que l'on conduise des plans par ces lignes et par le sommet, on décomposera la pyramide proposée en autant de pyramides ti'îangulaires qu'il y a de ti'iangles dans la base. Toutes ces pyramides auront une même hauteur^ qui est celle de la proposée, et par conséquent leurs solidités respectives seront proportionnelles à leurs bases ou à des sections parallèles faites à même hauteur. Donc, si Ton coupe toutes ces pyramides par un plan parallèle au plan de leurs bases, mené au quart de la hauteur du sommet commun , puisque leurs ceutixîs de gravité respectifs sont les mêmes que ceux des sections triangulaires correspondantes, et que leurs solidités (ou leurs poids)

DE STATIQUE. an

sont proportionnels a ces sections^ il s'ensuit que le centre de gravité du système de 'ces pyramides est le même que celui de tous los triangles , ou du polygone qui résulte de leur assemblage.

Mais, si Ton tire une ligne droite du sommet au centre de gravité de ce polygone, cette droite ira passer au centre de gravité' de la base , et sera coupée par le plato du polygone aux trois quarts de sa longueur en partant du sommet , ou au quart, en partant de la base.

i63. Donc, le centre de gravité d'une p^ramide à base quelconque ^ est sûr la ligne menée du sommet au centre de gramté de la base^ au quart de cette ligne en partant de la base^ ou aux trois quarts en partant du soifunet.

164* En considérant le cône comme une pyramide dont la base est un polygone d'une infinité de côtés , on voit que le centre de gravité d'un cône à base quelconque est sur la ligne qui joint le sommet au centre de gravité de la base, au quart de cette ligne à partir de la base, ou aux trois quarts à partir du sommet du cône.

Centre de gravité du tronc de pyramide.

i65. On voit d'abord que le centre de gra-

ai2 ÉLÉMENS

vite d'an tronc de pyramide est sur là ligne qui joint les centres de gravité de ses deux bases : car, supposez rétablie la pyramide entière dont on a retranché une pyramide semblable , par une section parallèle à la base, pour former le tronc dont il s'agit. Comme la ligne qui va du sommet au centre de gravité de Tune des bases passe au centre de gravité de l'autre, il s'ensuit que cette ligne passe à la fois par les centres de gravité des deux pyramides semblables , et par conséquent par celui du tronc qui en est la différence. Ainsi il ne reste qu'à trouver la distance de ce point à l'une , ou à l'autre base; ou, si l'on vent, le rapport de ces deux distances.

Or soit X la distance de ce centre à la base inférieure, et nommons H et A les hauteurs des deux pyramides semblables. Si Ton représente par H^ le volume ou le poids de la grande pyramide, h^ sera le poids de la petite, et H^ — h^ celui du tronc : et les trois momens de ces poids par rapport à la base inférieure

seront H^ .|, H^(J + H — a) et (H^ — h?)x.

Donc, en égalant le premier de ces momens à la somme des deux autres, on aura, pour déterminer Xf l'équation

4(H3 — h^)x = H^ — /^hm + 3 AS

DE STATIQUE. 2i3

dont le pFemier membre est divisible une fois^. et le second deux fois, par (H — h)y qui est la hauteur du tronc.

Si Ton cherche de même la distance j* du centre de gravité à la base supérieure ^ ou si l'on observe simplement que^ est composée de H — h diminuée de x^ on trouvera l'é-^ quation :

dont le premier membre est divisible de même par H — A, et le second par (H — h)^.

Comparant donc ces deux équations ^ et sup-* primant les facteurs communs , on aura y pour le rapport cherché , 5P : / :: H*+ aHife + 3 A* : h^ -t- 2AH -f- 5H* : ou bien , comme dans les pyramides ou les cônes semblables, les. bases sont proportionnelles aux carrés des hauteurs; si l'on met pour H* et Â* les deux bases 'R eXb du tronc , et par conséquent pour HA une base V/B6 moyenne géométrique entre les deux,, on aura la proportion :

d'où résulte ce théorème :

Le centre de gravité cTun ttvnc de cône ou de pyramide est sur la ligne qui va du centre de gravité de l'une des hases au centre de gra*^

2i4 ÉLÉMENS

\fité de Foutre; et il coupe cette ligne dans h rapport des deux sommes qu^on troui^e^ en pnenant dun côté : une fois la première Intse, deux" fois la mojenne géométrique entre celle^i et la seconde y et trois fois la seconde; et dun autre côté^ dans V ordre ins^rse^ une fois Ut seconde base, deux fois la majenne, et trois fois la première.

Au reste ^ on voit qu'il n est pas nécessaire ici de mesurer ces bases (dont la quadrature pour-* rait être longue^ ou même assez difficile dans le cas d'une base courbe), mais qu'il suffit d'avoir trois quantités qui leur soient proportionnelles, et par conséquent, de prendre dans les deux bases semblables du tronc proposé, deux lignes homologues A et « , de faire les carrés A' et a% et le rectangle Aa qui sera moyen géométrique entre eux.

On peut remarquer que , dans la proportion précédente , le rapport àe x k y ne dépend point de la hauteur du tronc, mais uniquement du rapport des bases, et que, par conséquent, il est le même pour tous les troncs possibles de bases proportionnelles*

Si les deux bases du tronc sont égales, la proportion donne xz=:y ; et en effet le solide devient alors un prisme ou un cylindre dont le centre est également éloigné des deux bases*

DE STATIQUE. ai5

Si Tune des bases b est nuUe, od a pour la distance x du'œntre à l'autre base B^ ^x^^s^jr : et eu effet le tronc dont il s^agit devient alofs une pyramide , ou un c6ne dont le centre este tffoiis fois plus près de la base que du somuiat*

On pourrait multiplia les exemples; maïs ee que nous avons dit suffît pour l'objet que nous nous sommes proposé. Nous tenninerâns^ ce chapitre par quelques {Nropriétéa i«marq«a-bles des centres de gravité.

Propriétés générales eu centre de

granité.

166. LoBSque des forces P^ Q^R^ % ^USr (fig. 43), dirigées comme ou voudffi danfli Vw- ^'g* 43pace j se font équilibre autour di» même point A , on sait que ces ibrces , estins^s suivaf^t un^ droite quelconque AX passant par ce point, doivent aussi se faire équilibre..

Donc, si ces forces sont représentées par les . parties AP, AQ, AR, AS, etc.^ de leurs dineo^ tiopsi ta somme de leurs projections A/?, A^, Ar, A^, etc., sur l'axe AX, doit être égale à zéro, en comptant comme positives les projections qui tombent d'un même côté du point A,, et

ai6 ËLÉMËNS

comme négatives celles qui tombant de lautre côté. Mais , si Ton menait par le point A un plan MN perpendiculaire à AX , les projec* tions Apf Aq, Ar, etc. , exprimeraient les distances des extrémités des forces an plan MN; donc^ puisque leur somme est nuUe^ la moyenne distance de ces points au plan MN est aussi nulle.

Donc y lorsque tant de forces que Von voudra sont en équilibre sur un points ce point est le centre de gravité de corps ou points massifs égettix qui seraient placés aux extrémités des lignes qui représentent les forces en grandeurs et en directions.

• Et réciproquement , si Von considère un as^ semblage quelconque de masses égales ^ et qu'on mène de leurs différens centres ^ des lignes au centre de gravité du système^ il est visible que des jorces représentées en grandeurs et en directions par ces lignes ^ se feraient équilibre entre elles.

Car la moyenne distance des extrémités de ces forces à un plan quelconque passant par le centre de gravité, serait nulle; la somme de ces forces estimées suivant un axe quelconque passant par ce point serait donc nulle aussi , et par conséquent il y aurait équilibre.

On voit par là que si trois forces sont en équi-

libre sur un point, ce point est le centre de gravité du triangle formé par les droites qui joindraient les extrémités des lignes qui représentent ces forces en grandeurs et en directions ; car, le centre de gravité du triangle est le même que celui de trois corps égaux dont les centres seraient placés aux trois angles.

Et de même , si quatre forces sont en équilibre autour d'un point > ce point «st le centre de gravité de la pyramide triangulaire formée par les six droites qui joignent les extrémités des lignes qui représentent les quatre forces en grandeurs et en directions.

Et réciproquement , il y a équilibre entre trois forces exprimées par les distances des trois angles d'un triangle quelconque, au centre de gravité de ce triangle; et de même, entre ^ quatre forces représentées par les distances des quatre coins d'une pyramide triangulaire quelconque, au centre de gravité de cette pyramide.

Mais voici une conséquence plus générale :

si l'on suppose que toutes les molécules égales dW corps de figure quelconque soient attirées vers un même point par des forces proportionnelles à leurs distances à ce point, et qu'il y ait équilibre , ce point sera nécessairement le centre de gravité du corps.

placés aux extrémités de ces lignes; et la, grandeur de cette résultante est représentée par MJbis la distance AG du point d'application de ces forces à ce commun centre de gravité.

On peut conclure de là que , si les molécules égales d'un, corps ou système de figure quelconque s'attirent en raison de leurs distances mutuelles^ chaque molécule du corps pèse vers le centre de gravité en raison de sa distance à ce centre. Car en représentant les forces d'attraction par les distances mêmes qui séparent les M points égaux du système , il en résulte pour'chacua d'eux une attraction totale^ représentée par M — I fois sa distance au centre de gravité des M— * i autres, ou , ce qui est U même chose , par M fois sa distance au centre de gravité des M points qui composent le système entier.

On voit encore que, dans cette loi d'attraction , des corps de figure quelconque agiraient exactement les uns sur les autres comme si leurs masses étaient réduites à des points, et se trouvaient, pour ainsi dire, concentrées dans leurs propres centres de gravité ; ce qui , dans la loi de Newton , ne peut avoir lieu que pour des sphères homogènes, ou pour des corps composés de différentes couches sphériques dont chacune serait d'une densité uniforme.

DE STATIQUE. aai

2"®. 5/ Von considère M corps égaux disposés centre eux comme on voudra ^ leur centre de grdvité G peut se trouver en menant de ces corps autant de lignes à un point quelconque A flfe V espacé, composant entre elles toutes ces lignes à la manière des forces, et prenant, à partir du point A^ la W partie de la ligne ré^ sultante.

Si Ton suppose que le point A change de position dans l'espace ^ les forces représentées par les lignes qui vont des corps à ce point changeront de grandeurs et de directions ; mais les résultantes de ces divers groupes de forces concourantes ne cesseront pas de passer par le même point G : et il est évident que la même chose aurait lieu si, le point A restant fixe, on faisait varier d'une manière quelconque la position du système.

Donc ce point G, qui dans les corps pesans est le centre des forces égales et parallèles que Ton suppose venir de la gravité, est aussi le centre de forces qui seraient convergentes vers nn point quelconque A de l'espace , et proportionnelles aux distances des molécules à ce point.

Si donc le centre de gravité d'un corps est fixe , le corps soumis a de telles forces convergentes sera en équilibre dans toutes les situa-

392 ' ÉLÉMËNS

lions qu'on voudra lui donner autour de ce point fixe. Ainsi, comme aunledans de la terre sup« posée sphérique et homogène , les molécules pèsent vers le centre en raison des simples dis* tances, il s'ensuit que, dans l'intérieur du globe, si un corps est soutenu par son centre de gravité, il restera en équilibre autour de ce point dans toutes les situations. Mais il n'en sera plus de même au-dessus du globe, où l'attraction devient réciproque au carré de la distance ; et si le corps, par exemple, est un cylindre droit soutenu par le milieu de son axe , il ne pourra être en équilibre que dans la position où cet axe est horizontal , ou perpendiculaire à l'horizon.

G>mme , dans la nature, les forces de la gravité ne sont , ni exactement parallèles, ni exactement convergentes, ni dans les rapports précis qu'on vient de dire , on voit qu'à la rigueur il n'y a point dans un corps pesant de vrai centre de grasfitéy je veux dire, de point unique autour duquel les forces de la gravité se contre-balancent pour toutes les situations possibles du corps. Mais dans les corps de peu d'étendue que nous considérons sur la terre, le point que nous avons déterminé jouit à très peu près de cette propriété ^ et l'erreur est insensible.

DE STATIQUE. aa3

Tout ce qu'on vient de dire de plusieurs points massifs égaux et des forces représentées par leurs distances à un mérae point de l'espace, s'applique naturellement à un système de points ou corps inégaux , dont les masses seraient/71, ni y rri'j etc. ; car il suffit de considérer chacun de ces corps, tel que /ti,' comme un groupe de m points égaux, et de prendre pour la force appliquée à ce corps , m fois la distance de son centre au point dont il s'agit.

Ainsi, en nommant r, r', r", etc., les distances des centres deis corps >n, m\ rri\ etc., à ce point ou foyer commun A, et faisant w + m' -|- w'' -i- etc. = M , on peut dire que le centre de gravité G de tous ces corps se trouve sur la djlrection de la résultante de^ forces wr, m'/f, mV, etc., et k la M* partîie de la ligne qyi la représente.

' Nommons r cette distance du centre G au point A: X| Y, z les trois coordonnées rectangles de G par rapport au même point; et soient>de même jc,^, z\ x\j\ z'; etc., les coordonnées de 7») m'y etc. Les forces mXj my^ mz; m'x% m'y y m'z' ; «te. , seront les composantes des forces wr, w V, etc. î et Mx , My, M z celles de

aa4 ÉLÉMËNS

la résultante Mr. On aura donc

Mx = mx -f- m'x' + ni'xf' -f- etc. , My = mjr + m'y + ml'y -f- etc. , Mz = 7112 -f- /»'z' + m V + etc.

Faisant les carrés y ajoutant , et observant qu'on a x' + y'+ z' = r' ,

etc. , on trouvera

M»R*=m»r»4- m'^r^^+m^^H'^-^ etc.

'+2nunf(ûcx' ^jy + 25^) + etc.

+ 2mm"(a:j?"+^y + zz") + etc.

etc.

Au lieu du terme 2/nm'(:rj:'+^^'+z2'), on pourrait mettre , comme on Ta vu n® 1 1 3, le terme 2mr.mV.c0sC; ^ étant l'inclinaison mutuelle des deux lignes r et r' : et ainsi des autres; d*où Ton tire en passant ce théorème connu :

Le carré de la résultante de tant de forces quon voudra appliquées sur un point est égale à la somme des carrés de ces forces^ et des doubles produits qu'on peut faire en les iruâtipliant y deux à deux^ F une par Vautre et par le cosinus de leur inclinaison mutuelle.

On peut encore transformer chaque terme

DE STATIQUE. aaS

^mm\xx^'\'jy+ zz') d'une autre manière. Car si l'on désigne par a la distance de m à m\ on a

a» = (a: — xy + (j — /)• + (z — z')%

et par conséquent ^

^(jca:' +77*' + zz') = r*4-^* — «t* ;

on a de même , en nommant jS la distance de

et ainsi des autres. En substituant ces valeurs , on aura cette nouvelle expression de la résultante Mr ^

Wv^ = /w V H- /» V* + m'^V"» + etc. * + mm'{r^ + 7^* — ct^) + etc- + mniÇr" + /•"•— i8*)+ etc.

+ etc.

Or^ dans le second membre de cette équation^ f* est multiplié par m* + mm' + mrn!' + etc.

' = m(/n+ /n'-f-'^"H"etc«) = 'wM; le carré /* est multiplié de même par m'M , etc. ; donc enfin ^ en réduisant , on aura cette équation remarquable :

M*R* = M/(/nr*) — ./(mwzV),

ou le signe f(mr*) indique la somme des produits des masses par les carrés des distances de leurs centres au point A j et le signe f(mm'ct*),

la somme de leurs produits deux à deux par les carrés des distances mutuelles de ces centres.

Par cette formule^ qui ne contient plus que les distances mutuelles des corps ^ et leurs distances à un point quelconque A de l'espace^ on peut trouver à quelle distance r de ce point A est situé le centre de gravité G du système : de sorte qu'en cherchant s^insi cette distance par rapport à trois points donnés ^ on aurait la position du point G dans l'espace.

Si le point A change de position , les distances R et r, r^, r^', etc. , varient; mais les distances mutuelles a, fi, y, etc., des dilSerens corps ne changent point par hypothèse , et le terme f(mm'a*) est constant : donc , puisque l'équation précédente nous donne

il s'ensuit que le point A de l'espace pour lequel fipir^) a la plus petite valeur est celui pour lequel on a r = o , et que par conséquent ce point est le centre de gravité G du système.

Ainsi le centre de granité d'un système de corps jouit de cette propriété^ que la somme des produits des masses par les carrés des distances de leurs centres respectifs à ce point, est un minimum, c'est-à-dire est plus petite que pour tout autre point de Vespace.

Quant à cette valeur minimum de /{mr*), on voit, par l'ëquation ci-dessus où Ton fait R=0 9 qu'elle est égale à la somme des produits qu'on peut faire en prenant les masses deux à deux, les multipliant Tune par l'autre et par le carré de leur distance mutuelle , et divisant le tout par la masse entière du système ; ce qui donne un second théorème qui peut être utile dans plusieurs occasions.

Si le point A , en variant de position , reste toujours sur une sphère décrite autour du centre de. gravité du système, r est constante, et par conséquent f(jnr*) ne change point , quoique les distances individuelles r, r', r", etc., varient par ce déplacement du point A; et il en serait de même si le point A restant fixe , le système tournait d'une manière quelconque autour de son centre G.

Le centre de gravité dun sfstème jouit donc encore de cette propriété ^ que si Von fait tour-ner comme on voudra le système autour de ce centre y la sommée des produits des masses par les carrés de leurs distances à un point fixe quelconque reste toujours la même.

Si l'on suppose, comme nous l'avions fait d'abord , que toutes les masses m , m', m% etc., soient égales entre elles et à l'unité, M en marque le nombre, et l'équation précédente

devient

formule plus simple , et qu'on appliquerait également à tous les systèmes possibles j en imaginant que les difierens cqrps y soient tous divisés en parties égales*

Dans le cas de R = o , on a M/'(r*) z=if{(x^\ d'où Ton tire ce théorème de Géométrie :

La somme des carrés des distances mutuelles de M points égaux ^ est égale à Mjbis la somme

des carrés de leurs distances à leur commun

centre de gravité.

On voit par là que la somme des carrés des six arêtes d'une pyramide triangulaire est égale à quatre fois la somme des carrés des distances des sommets au centre de gravité de la pyramide; car ce centre est le même que celui de quatre corps égaux placés à ces sommets; etc., etc.

Dans ce qui précède, on n'a considéré qu'un système invariable de figure, c'est-à-dire dont les points sont liés de manière qu'aucune de leurs distances mutuelles ne puisse changer.

Mais on voit encore ici que, si la figure du système était variable ^ suivant cette condition que la somme des carrés des distances mutueUes des differens points jût constante^ là

DE STATIQUE. ( 2x29

somme des carrés de leurs distances au centre , de gravité demeurerait aussi constante^ et ré^ ciproquement.

Mais je passe à d'autres propriétés des centres de gravité.

167. Soit une courbe plane quelconque ABC (fig. 44)^ ^^^ tourne autour d'un axe PZ situé Fig.44. dans son plan, de manière que tous les points de la courbe demeurent toujours aux mêmes distances de cet axe ; cette courbe engendre une surface que l'on nomme surface de révolution»

Pour en détenuîner l'aire, on peut remarquer que chaque élément ds de la courbe génératrice produit une surface de cône tronqué dont l'aire est égale au côté ds multiplié par la circonférence du cercle que décrit son milieu , ou son centre de gravité i, autour de l'axe PZ.

Donc, si l'on suppose tous ces élémens égaux, la surface entière sera égale à leur somme multipliée par la circonférence moyenne entre celles que décrivent tous leurs centres de gravité.

Mais cette moyenne circonférence a pour rayon la moyenne distance de tous ces points à l'axe de révolution , ou bien ( 1 40) la distance

a3o ÉLÉMËNS

du centre de gravité de la courbe au même axe;

donc on peut dire :

Que Faire d'une surface de résK>lution est égale à la longueur de la génératrice^ multi-pliée par la circonférence que décrit son centre de gravité autour de l'axe de révolution.

On voit de la même manière que si plusieurs courbes situées dans le même plan tournent autour d'un axe situé dans ce plan , la somm*e des surfaces engendrées est égale à la somme des génératrices^ multipliée par la circonférence que décrit le centre de gravité de leur système.

Mais il faut observer que , lorsque la génératrice ou les génératrices ne sont pas situées en entier d'un même côté de l'axe ^ Texpression précédente ne donne plus que la somme des aires engendrées par les parties qui sont d'un côté de cet axe, moins la somme des aires engendrées par les parties qui sont de l'autre côté.

On peut appliquer aussi la théorie des centres de gravité à la cubature des solides de révolution. Et il n'est pas difficile de voir que le volume d'un solide de révolution est égal à l'aire de la section génératrice^ multipliée par la circonférence que décrit son centre de gravité autour de V axe fixe.

DE STATIQUE. aîi

En effet, si Ton considère un rectangle bcde {fig. 45) qui tourne autour de Taxe PZ parai- Fig. 45. lèle à l'un de ses côtés be^ il est clair que le solide engendré par ce rectangle est égal à la différence de deux cylindres de même hauteur cd^ et dont l'un a pour r^yon la distance ca du côté cd^ à l'axe fixe ; et l'autre ^ la distance ba du côté be y au même axe. Ce solide est donc

exprimé par {fSfuc — fsrab )cd, en nommant *»• le rapport de la circonférence au diamètre. Si l'on met ca^^cb, à la place de ab, l'expression

précédente devient farÇ2ac x, bc^-^bc )cdy ou

hcxcdx: a^arÇac \ c'est-à-dire égale au

rectangle bcde, multiplié par la circonférence décrite d'un rayon moyen entre les rayons ca et ba, ou bien égale à la distance du centre de gravité du parallélogramme à l'axe de révolution.

Donc, si l'on conçoit la section génératrice ZMN comme partagée en une infinité de petits rectangles égaux, on pourra dire que le solide total engendré est égal à la somme de tous ces rectangles, ou à Taire de la section ZMN, multipliée par la circonférence moyenne entre toutes celles que décrivent leurs centres de gravité autour de l'axe. Mais cette moyenne circonférence a pour rayon la moyenne distance

!i3a ÉLÉMENS

de tous œs points au même axe, ou la distance du centre de gravité à cet axe; donc, etc.

On pourrait voir encore , par un raisonnement à peu près semblable au précédent , que ^ si une surface plane terminée par une courbe quelconque , se meut dans l'espace, de manière que son plan soit toujours (au même point) perpendiculaire à une courbe quelconque à double courbure y le solide engendré est égal à l'aire de la surface génératrice multipliée par la longueur de la courbe que parcourt son centre de gravité*

Mais nous ne nous arrêterons pas à démontrer cette proposition, que l'on pourrait déduire aussi bien que les précédentes des formules connues pour les centres de gravité. Nous ne ferons même aucune application particulière de cette théorie aux surfaces et aux solides dont on a immédiatement la mesure en Géométrie.

Notre seul but était de montrer ce rapprochement remarquable de considérations qui paraissent d'abord étrangères entre elles, mais qui s'enchaînent comme toutes les questions soumises aux Mathématiques , et se fondent , pour ainsi dire^ les unes dans les autres, lorsqu'on écarte un instant et les idées et les noms que l'objet particulier de chaque question nous rappelle.

DE STATIQUE. a33