P : Q :: DA : CB

C'est-à-dire que , pour V équilibre du tour y il Jaut que la puissance soit à la résistance comme le rayon du cylindre est au rayon de la roue.

DE STATIQUE. a65

Des pressions exercées sur les appuis.

187. lies deux couples (P, — P) et (Q, — Q) étant en équilibre deux-mêmes, il n'y a que les deux forces P' et Q' qui puissent charger Taxe fixe , et par conséquent les appuis : d'où Ton voit d'abord que \a pression exercée parles forces VetÇl appliquées au treuil est absolurment la même que si ces forces étaient transportées sur Vaxe^ parallèlement à elles-mêmes ^ dans leurs plans perpendiculaires à cet axe.

Pour obtenir les pressions individuelles des appuis F et H , on décomposera la force Q' en deux autres parallèles q et q^, appliquées aux points respectifs F et H; et de même la force P' en deux autres parallèles/? et p', appliquées aux mêmes points. La résultante des deux forces p etq exprimera en grandeur et en di^ rection la pression de l'appui F, et la résul-* tante des deux forces p* et ç' celle de l'appui H.

Nous avons fait abstraction de la pesanteur du treuil. Ordinairement le corps de cette machine est symétrique par rapport à l'axe fixe, et son centre de gravité tombe sur l'un des points de Taxe lui-même. Alors le poids du treuil ne trouble point la proportion établie ci-dessus entre la puissance et la résistance, mais il change

266 ÉLÉMËNS

les pressions exercées sur les appuis. Pour connaitre les valeurs réelles de ces pressions y on considérera tout le poids du treuil comme une force verticale V appliquée en son centre de gravité G; et si l'on décompose cette force en deux autres parallèles g et g'^ appliquées aux points F et H y la résultante des trois forces p^ ^ et ^ exprimera la charge réelle de l'appui F^ et la résultante des trois forces /?', q' et g\ celle de lappui H; de sorte que Ton saura de quelles . résistances les deux points d appui doivent être au moins capables^ pour n'être pas entraînés par les efforts combinés des deux forces P et Q, et du poids V de la machine.

188. On a supposé que les cordes DQ, CP étaient infiniment déliées ; mais les cordes sont ordinairement d'un diamètre fini , ce qui change sensiblement le rapport que nous avons établi entre la puissance et la résistance. En effet, les forces P et Q,'que Ton peut regarder comme agissant suivant les axes des cordons, ont leurs bras de levier respectifs augmentés des demidiamètres de ces cordons. On n a donc pas .alors : la puissance est à la résistance comme le rayon du cylindre est au rayon de. la roue; 'mais bien , la puissance P est à la résistance Q comme le rayon du cjlindre augmenté du rayon

de la corde DQ ^ est au rayon de la roue augmenté du rayon de la corde CP.

Si les rayons des cordes DQ et CP sont proportioonels aux rayons du cylindre et de la roue, cette proportion revient à la première, comme si les cordes étaient des fils infiniment petits , appliques tangentiellement à la roue et au cylindre»

189, Si l'on veut considérer actuellement un tour sollicité par tant de forées que Ton von*dra, situées dans des plans perpendiculaires à l'axe, on verra, comme ci-desstis, qu'en transformant chaque force en une autre égale , parallèle et de même sens, appliquée sur l'axe, et en un couple qui aura pour bras de levier la distance de la force à l'axe, toutes les forces transportées sur l'axe seront toujours détruite par sa résistance, mais que tous les couples devront se réduire à un couple nul de lui-même pour l'équilibre. Or, tous ces couples étant dans des plans parallèles , le couple résultant sera égçil à leur somme , et par conséquent il faudra, pour l'équilibre, que la somme des momens des forces par rapport à l'axe soit égale à zéro, en prenant avec des signes contraires les momens des forces qui tendent à faire tourner en sens contraires.

a68 ÉLÉMENS

Pour les pressions exercées sur Taxe fixe, elles seront évidemment les mêmes que si toutes les forces appliquées s'y étaient transportées parallèlement à elles-mêmes^ sans sortir de leurs plansîperpendiculaires à cette ligne.

Lorsque les forces appliquées au treuil sont dirigées dans des plans quelconques , on peut décomposer chacune d'elles en deux autres, l'une parallèle , l'autre perpendiculaire à la direction de l'axe fixe. Mais les forces parallèles étant transportées dans l'axe, leur résultante est détruite par la résistance longitudinale de cet axe , et leur couple résultant , qui passe par le même axe, est détruit par sa résistance transversale. 11 ne reste donc à considérer, pour l'équilibre du treuil , que le groupe des forces qui sont situées dans des plans perpendiculaires à l'axe fixe; ce qui revient au cas précédent.

Ainsi, en nommant P, P', P'', etc. , les forces appliquées ; &),<»', te>", etc. , leurs inclinaisons sur Taxe, et/?, p', p^\ etc. , leurs plus courtes distances à cette droite, on aura, pour l'équilibre, l'équation

?p sin a> -f-P>' sin c^' + P"/?" sin co" + etc. = o ,

ce qui est la condition exprimée au n° t20.

Quant à Taxe du treuil, il sera pressé, i**. par

les composantes Psin f«), P' sin &>', Psin a>'', etc ,

DE STATIQUE. aôg

transportées sur cet axe; 2°. par la résultante des forces parallèles P cos œ ^ Y cos (ê\ P"cosû>, etc.^ qui tend à entraîner le treuil dans le sens de sa longueur; et 3". enfin , par le couple résultant de ces dernières composantes , ce qui revient à deux forces égales perpendiculaires à Taxe y et qui le poussent en sens contraires.