DU PLAN INCLINE

igo. Loi'squ'un point est pressé contre un plan inébranlable et inflexible , par une force normale à ce plan ^ il est clair que ce point doit rester en équilibre 5 car il n'y a pas de raison pour qu'il se meuve dans le plan^ d'un côté plutôt que de Tautre, puisque toutes les directions qu'il pourrait prendre font un même angle droit avec la direction de la force; et d'ailleurs il ne peut se mouvoir à travers le plan qui est supposé parfaitement inflexible.

Réciprorjuement, le point dont il s'agit né pourra être en équilibre y à moins que la force qui le presse ne soit normale au plan d'appui ; car, si elle y était inclinée, cette force pourrait se décomposer en deux autres, l'une perpendiculaire au plan et l'autre située dans ce plan. La première serait détruite; mais la seconde obtiendrait son efiet, car il est visible

qu'elle ne poun^ait être altérée par la présence du j]lan le long duquel elle tend k s'exercer. Ainsi, il n'y aurait pas équilibre.

On peut dire la même chose d'un point qui s nppnic sur une surÊice courbe, et le considérer comme s'il reposait sur le plan tangent mené à la surface par ce point même. Il faut donc^ pour l'équilibre , que la direction de la' force qui le presse soit normale à ce plan, au point de contact ; et voilà pourquoi dans l'équi- * libre du levier qui ne fait que poser sur l'appui , il faut non-seulement que la résultante (les forces y passe , mais encore qu'elle soit perpendiculaire à l'élément de contact du levier et de cet appui.

191 . On voit donc, d'après ce que l'on vient de dire, que lorsqu'un corps est tenu en équilibre contre un plan inébranlable , ce plan ne peut détruire que des forces dont les directions lui sont normales aux difTérens points de contact., et que par conséquent sa résistance ne peut faire naitie que de telles forces en sens contraires.

Donc, si un corps de figure quelconque, sollicité par des forces quelconques P, Q, R, etc., lig. 59. (fig. 59), ne s'appuie contre un plan que par un seul point , il ne pourra demeurer en

équilibre y à lïioins que toutes les forces P^ 4 Qy R, etc. y qui lui sont appliquées , ne soient en équilibre avec une force unique N , qui sei^it normale à ce plan au point 0^ et qui représenterait sa résistance actuelle. Donc ^ pow TéqiUUbre dun corps qui s^ appuie par un seul point contre un plun^ il/aut^ i**. que toutes les

' forces appliquées aient une résultante unique; J2**. que la direction de cette résultante soit normale au plan; 5^. quHeUe passe au point de contact.

On voit que ces trois conditions reviennent à celles qu'on a données plus haut pour l'équilibre du levier qui ne fait que poser sur l'appui. Nous aurions pu les trouver par le même raisonnement et les exprimer de la même manière, en disant que toutes lés forces appliquées, étant transportées parallèlement à ellesmêmes au point de contact, doivent y donner une résultante normale au plan, et que tous les couples engendrés doivent donner un couple

nésultant nul de lui-même.

192. Lorsque le corps touche le plan par plusieurs points A, B, C, D, etc. (fig.ôoj, clia- Fig.60. cun des points de contact fait naître une résistance normale au plan en ce points mais toutes ces résistances , étant parallèles et de même

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» sens, se composent toujours en une seule ^ dont la direction tombe nécessairement dans l'intérieur du polygone formé par tous les appuis A^ B, C, D^ etc. Les forces appliquées doivent donc être en équilibre avec cette force unique , et par conséquent ^ lorsqu'un corps s'appuie contre un plan par plusieurs points ^ il faut y pour V équilibre, que les forces appliquées puissent se réduire à une seule, normale au plan y et dont la direction tombe dans l'intérieur du poljgone Joiiné par tous les points de contact. On voit par là que si le corps repose par une surface finie ^ la résultante doit rencontrer le plan en l'un quelconque des points de cette surface.

De la pression exercée sur le plan.

igS. Lorsque le corps ne repose que par un seul point, il est clair, d'après ce que nous venons de dire , que la pression exercée par les forces est égale à leur résultante.

Si le corps repose par deux points A et B Fig. 6i. (fig* t)i), la résultante N dont la direction tombe nécessairement entre A et B, sur la droite qui joint ces deux points d'appui , se décompose eu deux forces parallèles p et q^ qui expriment leurs pressions respectives.

Soit le point où la résultante N va ren-

contrer la ligne AB ; on aura pour la pression p du point A, N : ^ :: AB : BO; et pour la pression q du point B, N : 9 :: AB : AO ; d'où l'on voit que la résultante ou la pression totale N étant représentée par la distance AB des deux appuis, les deux pressions individuelles de ces points sont représentées réciproquement par leurs distances à la pression totale.

Si le corps repose par trois points A , B , C (fig. 62) y la résultante N des forces appliquées Fîg.iSi. doit passer en quelque point dans Fintérieur du triangle ABC (192). Si de l'un des angles , de l'angle A , par exemple y on mène la ligne AO, et qu'on la prolonge jusqu'à sa rencontre en I avec le côté opposé BC , la force N se décom- 4 posera en deux autres parallèles p et n a|^iquées aux points A et I. Ensuite, la force n se décomposera en deux. autres parallèles 9 et r appliquées en B et C; de sorte que les trois forces p, q, r exprimeront les pressions respectives des trois appuis A , B , C.

Formons autour du point 0, comme sommet, et sur les trois côtés respectife BC, AC, AB comme bases , les trois triangles BOC , AOC , AOB. Si Ton représente la pression totale exercée en par l'aire du triangle ABC , les pressions exercées aux trois angles A, B, C seront représentées par les aires respectives des

5k74 ÉLÈHËNS ^

trianglefi fiOC, AOC, AOB formée sur lés côtés

opposés*

Car la force N ^ appliquée eil , est à la force p , appliquée en A , comme AI est à 01 : mais les triangles BAC, ROC, ayant même base BCy sont entre eux comme leurs hauteurs ^ où comme les lignes AI et 01 également inclinées sur la base; on a donc IS : p :: ABC : BOC.

Mais un même raisonnement prouverait qu'on

a N : ^ :: ABC : AOC; etJHit :: ABC : AOB; donc> etc.

194* Lorsque le corps s'appuie sur le plan par plus de trois points , (ou seulement par trois s'ils tombent en ligne droite) , les pressi6ns individuelles des appuis sont indétei*-*minées^ parce qu^il y a une infinité de manières de décomposer la force N en d'autres forces parallèles appliquées en ces points.

Il suffit que ces pressions individuelles satisfassent à ces conditions : i^. qu'elles soient toutes de même senâ que la pression totale ; 2"*. qu'elles puissent se coAiposer en une seule ^ égalé à cette pression totale et appliquée au même point 0. Cette dernière condition exige trois équations, dont la première exprime que la somme des pressiions est égale à la pression totale; et les deux autréâ, que la sommé âes

momens des pressions individuelles , par rapport à deux axes quelconques tirés dabs le plan dés appuis , est égale au moment dé la pression totale y pai* rapport aux mêmes axes (84-127).

ig5. Si Ton veut considérer actuellement Féquilibre d'un corps qui s'appuie à la fois contre plusieurs plans ^ on observera que chacun de ces plans fait naître ^ aux divers points de contact^ des résistances de même sens^ pen^ pendîculaires à ce plan, et qui par conséquent se composent toujours en une seule , perpendiculaire au même plan. Il faut donc que toutes les forces appliquées soient en équilibre avec ces diverses résistances , qui seront en même nombre que les plans d'appui; et par conséquent lesf forces qui tiennent en équilibre un corpft appuyé sur plusieurs plans doivent toujours se réduire a autant de forces , dirigées perpen** diculairement vers ces plans respectifs , et qui tombent > pour chacun d'eux , dans Vintérièur du polygone formé par les points de contàcti