On voit par là que si le corps nh â'àp

puie que sur deux plans^ en deux poiiDts par

exevsfie, et n'est sollicité que par une seule

forée f <m far des forces qui aietit une résul-

tante unique, cette force ou cette résultante unique doit pouvoir se décomposer en deux autres dirigées suivant les " normales menées aux deux plans par les points de contact. Ainsi^ il faut que les deux normales aillent concourir en un même point situé sur la direction de la force qui presse le corps , et se trouvent dans un même plan avec elle. D'ailleurs ^ cette force doit être dirigée dans l'angle des deux normales, qui est opposé à celui des deux plans, et son action doit avoir lieu vers cet angle , afin que ses deux composantes suivant les deux normales tendent à pousser le corps contre les plans , c'est-à-dire en sens contraires des résistances qu'ils font naître.

197. Si le corps s'appuie par trois points sur trois plans différens, la force qui le presse doit être réductible à trois autres, dirigées suivant les trois normales menées aux plans par les points de contact.

Mais il ne faut pas conclure de là que les trois normales doivent concourir en un même point sur la direction de la force, ni même qu'il doive y avoir une seule rencontre entre deux de ces quatre lignes; car trois forces qui ne se rencontrent pas peuvent se composer en une seule , et une seule force peut se décom-

poser suivant trois directions qui ne rencontirent pas la sienne^ et qui ne se rencontrent pas entre elles (76).

application de la théorie à quelques exemples.

198. Ce que nous venons de dire, contient toute la théorie 4e l'équilibre des corps qui s^appuient sur des plans. Nous allons en faire quelques applications très simples.

Soit un corps de figure quelconque ^ appuyé par un nombre quelconque de points ^ ou par une base finie, contre un plan inébranlable LDK (fig. 63), et sollicité par deux forces? Fig.63. et Q qui le tiennent en équilibre suf ce plan.

D'après ce qu'on a trouvé (192), les deux forces P et Q doivent donner une résultante unique N normale au plan; par conséquent leurs directions doivent concourir en quelque , point, comme en F, et se trouver dans un plan

perpendiculaire au plan LDK. De plus, la di-*-

rection de cette résultante doit aller rencon-»trer le plan LDK en l'un des points de contact du corps, ou dans l'intérieur du polygone formé par les points de contact.

Supposons que toutes ces; conditions soient remplies , et voyons simplement quels sont les rapports des forces P , Q , et de la pression N exercée sur le plan.

a^S ËLËMËNS

Puisque les forces P et .Q ont une rësultantf normale au plan , il faut que ces deux forces soient réciproquement proportionnelles aux sinus des angles PFN , QFN , que leurs directions forment avec la normale abaissée du point F sur ce plan : car on a vu (56) que deux compostantes sont toujours en raison réciproque des sinus des angles que leurs directions forment ayçc celle de Içur résultante; pu ^ dooi;

Q : P :: sin PFN : sin QFN.

On a d 4|lleuirSj^ ppur la résultante N r

P : N :: sin QFN : sin PFQ.

De sorte que chacune des forces P, Q, N, peut être représentée par le sinus de l'angle formé par les directions des deux autres.

Ainsi , toutes les questions que l'on pourrait proposer sur les rapports des trois forces P , Q, N, et sur leurs directions, se réduisent à la résolution d'un triangle dont les trois côtés représenteraient les grandeurs des forces P, Q, N, et les trois angles, leurs inclinaisons mutuelles.

199. Supposons que la force P représenta le poids du corps lui-même , sa direction FP ser^

Tçrtiç^le et passerit au centre de gravite de ce corp^.

Menons le plan horizontal LDH qui coupe le premier suivant LD^ et nommons le plan LDK, sur lequel le corps s appuie , le plan incliné. Le plan des deux forces F et Q ^ qui sera ^ d'une part , perpendiculaire au plan incliné , comme passant par la normale ¥N, efcde l'autre perpendiculaire au plan horizontal , comme pas* sant par la verticale FP^ coupera ces deux plans suivant deux droites ÂB , AC , pei^n^ diculaires à jieur commune intersection LD^ et qui comprendront entre elles Tangle formé par le plan incliné avec l'horizon.

Représentons simpleiyient le plan horizantal par l'horizoptalç AC (fig. 64 )f et le plaQ Fîg.64. incliné^ par la ligne AB pbliqu^ k la pr^n;iièr<9»» D'un point quelconque B ^ pri^ sur ABt 9h#)^ sons une perpendiculaire BC sur AC , et dans le triangle rectangle ABC nommons^ suivant l'usage^ l'hypoténuse AB, la longueur du plan incliné ; le côté BC^ sa hauteur ^ elle côté AC, sa base.

La ligne FP étant perpendiculaire à AC, l'angle PFN sera égal à Tangle BAC, et la proportion Q : P :: siu PFN : sin QFN, deviendra

Q : P :: sin BAC : sin QFN.

aSo ÉLÉMENS

Si la puissance Q est doiiDee en grandeur seulement ^ on trouvera par cette proportion y où il n'y aura que sin QFN dlnconnu , sous quel angle QFN cette puissance Q doit agir pour faire équilibre au poids P. Or^ comme à un même sinus répondent deux angles supplémens l'un de l'autre , on voit que la même puissance Q pourra être employée de deux manières différentes pour faire équilibre à la résistance : soit en faisant avec la normale FN au plan incliné ^ un angle QFN trouvé par la proportion ci-dessus; soit en faisant avec la même ligne l'angle QTN supplément du premie

On trouvera , par la même proportion , la grandeur de la puissance Q, lorsque l'on connaîtra sa direction, ou Tangle QFN qu'elle forme avec la normale.

200. Le cas où la puissance Q est la plus petite à l'égard de la résistance P, est celui où l'angle QFN a le plus grand sinus , puisque la puissance est toujours en raison inverse de ce sinus ; mais le plus grand sinus répond à l'angle droit; donc la puissance est alors perpendiculaire, sur la normale FN, ou parallèle au plan incliné.

DE STATIQUE. ajfi

Dans ce cas , l'angle QFN est égal à l'angle droit ACB (fig. 65 ), et la proportion précé- Kg»dente devient Q : P :: sin BAC : sin ACB; mais dans le triangle ABC , les sinus des angles Aet C sont proportionnels aux côtés opposée BC , AB , et par conséquent l'on a