V : a :: sin (p : cos (p

ou V = a tang (p ; d'où Ton tire ce théorème relatif à là figure que prend le polygone en vertu des forces appliquées : la tangente de Vinclinaison de chaque côté sur Vhorizon est proportionnelle à la somme des puissances verticales appliquées sur le contour , depuis le côté le plus bas jusqu^à celui que Von considère.

DE STATIQUE. îbg

Delà Chaînette.

n^o. On peut considérer une cordé pesante comme un fil chargé d'une infinité de petits poids distribués sur toute sa longueur , ou comme un fil sollicité en tous ses points par de petites forces verticales , et par conséquent parallèles. On voit donc que si cette cordp est attachée à deux points fixes S et T (Hg. 78) , Fîg. 79. elle ne peut demeurer en équilibre^ a moms qu'elle ne soit tout entière dans un plan ver* ticaL Elle forme alors un polygone funiculaire d'une infinité de côtés ^ ou plutôt une ligne courbe que Fon^ nomme la chaînette.

Pour trouver les efforts que la corde exerce sur les deux points S et T qui la soutiennent^ on mènera à la courbe en ces points deux tan** gentes SO^ T0> qui seront comme les prolongement des derniers côtés du polygone funiculaire ; appliquant ensuite au point O une force égale à la résultante de toutes le^ forces qui la sollicitent , c'est-à-dire égale au poids total de la corde, on décomposera cette force en deux autres dirigées suivant les tangentes OS , OT, et qui exprimeront les charges respectives des deux points de suspension (a 1 8).

On trouverait de même la tension de la

3ïo ÉLÉMENS

corde en un point quelconque, en imaginant

que ce point est fixe , et en cherchant ,^ comme

ci-dessus, la charge quil éprouve par le poids

du reste de la corde qui demeure en équilibre

au-dessous.

Au reste , si l'on nomme t la tension en un point quelconque M de la chaînette, a celle qui a lieu au point B le plus bas ; Y le poids de Tare s compris entre ces deux points, et (p Tangle formé avec la ligne horizontale par la tangente à l'extrémité de l'arec, on aura entre ces quatre quantités les mêmes équations qu'au n^ 2ig«

On voit donc, par la première équation t=aséc9, que, dans une corde pesante en équiUbrej la tension en chaque point varie comme la sécante de Vinclinaison de la courbe sur la ligne horizontale.

Par la seconde équation V = ^ sin ^ , on voit que la tension à V extrémité d un arc quel^ conque de la corde est égale au poids de cet arc divisé par le sinus de Vinclinaison de la corde en ce point.

Et Ton doit remarquer que ces équations ont lieu, quelle que soit l'inégalité de la corde ou chaîne pesante que Ton considère.

Si la chaîne est uniforme, on peut représenter le poids V de lare s par la longueur de cet arc lui-même, et la troisième équation

DE STATIQUE. ïit

devient, ^=atang(p ^ équation très simple de la chaînette entre les coordonnées s et (p.

Ainsi la chaînette est une courbe telle ^ que la tangente de son incUhaison sur un axe horizontal augmente comme la longueur» ae Varc à partir du point le plus bas.

Cette courbe est donc la même à gauche % et à droite de Taxe vertical qui passe par le sommet B ; et^ comme la parabole, elle a deux , branches égales qui s*étendent à l'infini:

231. Ce qu'on vient de dire d'une cordç pesante, 'ou d'un assemblage de petits corps pesans unis ensemble par un fil inextensible, pourrait s'appliquer à plusieurs globuks ap^ puyés les una contre les autres, et qui se soutiendraient mutuellement en voûte. Ils doivent aflfecter alors la forme d'une cjiaînette repr versée. Car, si tous ces globules, à cause de leur impénétrabilité mutuelle, sont ex\ équilibre en vertu de leurs poids, ou des forces verticale qui les sollicitent , il est clair qu'ils demeureraient encore en équilibre si ces forces venaient toutes à agir en sens contraire, pourvu qu'alors on supposât tous ces globules liés deux à deux par un fil inextensible; mais akm ce fil fonpcierait une chaînette renversée su donc il a actuellement cette figure.

3ia ÉLÉMENS

Des PotiUes et des moufles.

23:1. Considérons maintenant un système rig.79. de poulies mobiles A, A', A'' (fîg. 79). La première A, qui soutient un poids P attaché a sa chape , se trouve embrassée par une corde dont l'une des extrémités F est fixe^ tandis que l'autre est attachée à la chape de la poulie suivante A'; cette seconde poulie est de même embrassée par une corde dont l'une des extrémités P est fixe , tandis que Tantre est attachée à la chape de la troisième poulie A'', et ainsi de suite jusqu'à la dernière, dont le cordon , arrêté d'une part à un point fixe F'y est tiré de l'autre par une puissance Q.

Si tout le système est en équilibre, chaque poulie est en équilibre d'elle-même, en vertu des forces ou des tensions qui agissent sur elle.

Ainsi, nommant r^ i^ ^ H' les rayons respectifs des poulies; c, (f ^ c", les sous- tendantes des arcs embrassés par les cordons ; X la tension du premier cordon ; Y celle du suivant ; on aura pour l'équilibre de la poulie A (i85).

On aura de même pour l'équilibre de la poulie V,

DE STATIQUE. 3i3

et pour la troisième A'^ i

et multipliant par ordre , il viendra

Q: P:: rj^f\cc'd'\

c'est-à-dîre, la puissance est à la résistance comme le produit des rayons des poulies est au produit des sous-tendantes des arcs embrassés par les cordons.

223. Si tous les cordons deviennent parallèles (fig. 80); les sous-tendantes c, c\ d\ de- Fîg.8#. viennent égales aux diamètres 2r, 2/^, 2r", et Ton a, en divisant les deux termes du dernier rapport par le produit rdj^\

c*est-à-dire qu'en général la puissance est au poids commue Vurdté est au nombre 2 éles^é à une puissance marquée par le nombre des poulies.

C'est le cas le plus favorable à la puissance ; car le produit des sous-tendantes Cp c\ d^ est le plus grand possible, lorsqu'elles sont égales aux diamètres.

3i4 ÊLÉMENS

Si^ dans chaque poujie, lare embmssë par la corde était le tiers de la demi-circonfërence, ' les sous-tendantes de ces arcs seraient égales aux rayons respectifs des poulies^ et la puissance serait égale au poids.

224* Une moiffle est un système de poulies assemblées dans une même chape f ou sur des Fig. 81, axes particuliers (fig. 81 et S2), ou sur le même 8^' «3. axe (fig. 83)-

Considérons deux moufles , Tune fixe et l'autre mobile, et supposons que toutes les poulies soient embrassées par une même corde attachée par une extrémité à la chape de Tune, des moufles , et tirée à l'autre extrémité par une puissance Q , qui fait équilibre à un poids P suspendu à la moufle mobile.

Si Ton suppose, ce qui a presque toujours lieu d'une manière sensible, que les diverses parties de la corde soient parallèles , il est visible qu'on aura , la puissance Q est à la rcsistance P^ comme Vunité est au nombre des cordons qui soutiennent la moiifte mobile ; car toutes les poulies étant embrassées par Ja même corde, et devant être en équilibre, chacune en particulier, les cordons sont également tendus. On peut donc considérer le poids P comme soutenu par autant de forces égales*

DE STATIQUE. 3i6

et parallèles qu'il y a de cordons^qui vont directement d'une moufle à l'antre f et par coih sequent Ja tension de l'un de ces cordons, ou la puissance Q est au poids P, comme l'unité est au nombre de ces cordons.

Ainsi dans le cas de la figure 8i, la puissance est le sixièn^e de la résistance ; et dans le cas de la figure 82, elle n'en est que le cinquième , parce qu'il j a un cordon de moins pour soutenir la moufle mobile.

225. Considérons enfin un système de tours, A, A' , A" qui réagissent les uns sur les autres, comme on le voit dans la figure 84* Soient Fig. 8f r, /, r" les rayons respectiJ^ de leurs cylindres; , R , R' , R" ceux de leurs roues. La corde ap*pliquée tangentiellement au premier cylindre porte un poids P , et la corde appliquée a la roue, au lieu d être tirée immédiatement par une puissance , est attachée au cylindre du second tour A'. La roue de celui-ci est de* même tirée par une corde qui passe sur le* cylindre du troisième tour A'; et ainsi de suitttjusqu'au dernier, dont la roue est tirée par la puissance Q*

Si le système est en équilibre, chaque tourest en équilibre de lui-^mème en vertu des tensions des cordons qui sollidient lecyiindre

3i6 ËLÉMENS

et la roue. Ainsi ^ en nommant X la tensions du cordon qui va du premier tour au second,, on aura (i86)