X : Q ::i :cosB

ce qui redonne , en multipliant par ordre , la même proportion trouvée ci-dessus , d*où Ton tire

^ Pr cos B

^ """ a sin ^

pour l'expression de Teffort Q exercé par k puissance.

Remarque.

23 1 . A mesure que Tangle B diminue^ Tangle du genou augmente; le facteur cos B croit donc sans cesse vers l'unité , et le facteur sin diminue vers zéro , de manière qu'ils peuvent approcher de ces limites d'aussi près qu'oji voudra. Or, la résistance Q étant proportionnelle à cos B et réciproque à sin , on voit par cette double raison , que la force Q augmente à mesure que les deux côtés du genou s'approchent d'être en ligne droite, et qu'à cette limite, elle serait infinie : ce qui veut dire qu'elle augmente sans bornes, et qu'ainsi la pression exercée par le genou , dans le sens de la rainure, peut devenir plus grande que toute pression donnée.

On voit encore que la puissance a d'autant plus d'avantage^ que le côté ÂO=a est plus court, et-que le bras de levier An = r est plus considérable. Par cette dernière raison, il y aura de l'avantage , pour une même longueur de la barre rnn , a implanter cette barre sur le côté le plus près qu'on pourra de l'angle du genou*

Si la puissance F, au lieu d'agir perpendiculairement sur la ligne An y agissait sous un autre angle quelconque dans le même plan, il faudrait prendre , pour le bras de levier r, la distance de cette force au point fixe.

S'il y avait plusieurs forces pour faire tourner le levier AO, il faudrait mettre dans l'équation précédente, au lieu du moment Pr^ ia somme des momens de toutes ces forces.

Du Genou isocèle.

252. Supposons que le triangle AOBsoit isocèle, et qu'ainsi les angles A et B soient égaux; l'angle devient le supplément de ^B, et l'on a sin 0=2 sin B cos B. La proportion donnée plus haut pour Téquilibre devient donc

P : Q :: 2a sin D : r;

ou bien, si l'on aime mieux introduire dans la proportion langlc des deux cotés du genou,

comme l'angle B est complément de —, on aura

DE STATIQUE. 3a5

sîn B=cos — , ou simplement sin B = cosç,

en faisant , pour simplifier, — = ^ , et la proportion sera

P : Q :: aacostp : r^

ce qui donne une expression très simple de la* loi de l'équilibre.

Mais on peut encore, au lieu des sinus ou cosinus , n'emplojer que des lignes tirées de la construction de la machine ; car il est évident que le terme 2a sin B, ou 2fl cos (p, vaut deux fois la flèche OI=yd'un arc de cercle qui serait conduit par AOB; donc, si Ton voulait nom-^ mer simplement cette ligne 01 lajlèche du»

genou , la loi de l'équilibre pourrait s'énoncer de la manière suivante :

Dans Véqidlibre du genou dont les côtés sont égaux ^ la puissance qui tend à faire tourner le premier côté autour de son extrémité fixe y est a la résistance que V extrémité mx)bile du second côté éprouve dans le sens de la rai-nure^ comme le double de laflèche du genou est au bras du levier par lequel agit la puissance.

255. J'ai fait abstraction du poids des parties de la machine , mais il est bien aisé d'y avoir égard. Et d'abord, l'axe ou la rainure AC étant

éMhbms

Mppofée&tt, MO poid« Gne'duittge çirnoo I9 yop o r t U m tro tt r é e pour réquilibre; il ne fiiit ^'sjonttr a k praoÉJOBi da^elle hnrresnr acs ap>i pott. Biais le poids de la première biwtich que je représente par a/^, ikvorise Faction de la pnissanoe; et si IW suppose/par exemple^ ffce Vas» AC soit yertical , et la brandie AO d'nne grosseur uniforme , de manière que son oèntre de gravité tombe au milieu de AO , il est évident que le poids ap^ ajoute au mo^ ment Krde la: paissanoe ^ le moment j;^. Enfin 1b poids apàe ksepixide bronche BO^ que je sup pos e égslr et «j^iquë d« même au milieu de BO f peut se 4^c<mipûBer en deipr forces égales^ Vnne p appliquée en O, l'autre p ap* pliquée en ,B en sens opposé de Q. Or la première force p à la distance f du point fixe ^ ajoute encore au moment de la puissance le moment^, et la seconde appliquée en B, diminue la force Q de /i>.

Ainsi réquation de Téquilibre^ qui était

dévient , quand on a égard au poids de la ma-» chine ,

ce qa\ donne

DE STATIQUE. 3a7

d'où Ton voit que le poids de la machine , dans ia situation que je lui ai donnée, augmente Fefibrt Q d'une quantité 2p égale à la moitié du poids des deux branches mobiles du genou.

Des pressions exercées sur les appuis.

254* Quant aux pressions que souffre Taxe fixe ÂC y tant en vertu des forces appliquées que du poids de la machine ^ voici comment on peut les calculer.

Premièrement^ cet axe est pressé au point B par une force perpendiculaire V, résultante de X et de Q — p^ et dont la valeur est exprimée par (Q — p) cotç.

En second lieu , le point fixe A est pressé par le poids 6 de la barre AC et par la râultantdde toutes les forces qui agissent sur la branche AO, et qu'on transporterait parallèlement li elles-mêmes au point A. Or, qu^on décompose d'abord chacune de ces pressions en deux autres, l'une dirigée dans l'axe AG, Tautre perpendiculaire au même axe; on aura, pour les deux composantes de F, P cos o) et P sin c», eo étant l'inclinaison de P sur AC ; pour les deux composantes de X, on aura(Q — p) etV; enfin pour les deux poids 2p et p transportés en A , on aura la force 3/i dirigée suivant l'axe AC. Donc, en réduisant, le point A souffrira, dans

ÉXÉMIHS

k feu» de i*eze kC, une presek» <» épic^k

G+Poosa»— »Q-f-4PJ et dans uàe diireotion perpendiculaife ^ uae pression jS^ égale à

p6iB«4'(Q'*^P) c6t^* ^ sorte ipie la près-* non totale da point fixe sera exprimée en

grandeur par Va*+^*f ^^ ^^ inclinée sur Faxe A€ d*nn angle dont la tangente sera -•

i, Ainsi Fou saura avec quelle force Taye du genou doit être retenu et en A. et en B, pour n'être pas entraîné par l'action combinée dçs forces appliquées et du poids de la machine.

d55. Pu eraderoir expliquer cette machine Aouyelle avec assez de détail, parce qu'elle m'a paru ingénieuse , et qu'elle n'est encore démontrée nulle part* Elle est à peu près du même genre que la vis, mais d'une construction beaucoup plus simple : on peut s'en servir de la Dsême manière, pour exercer, à l'aide d'une puissance médiocre, des pressions très considérables, ou pour former, sur certains corps, de fortes et vives empreintes.

Sur un ancien paradoxe de Statique relatif à la théorie des momens.

256. La loi du levier, comme on l'a vu plus haut, et comme on le sait depuis long-temps, est que les deux forces appliquées soient réci-

proques à leurs distances au point d'appui, et qu'ainsi jes momens de ces forces soient égaux entre eux pour l'équilibre.

Or il y a une machine singulière, dont l'idée est due à Roben^al^ et qui présente une espèce de levieir où deux poids égaux se font toujours équilibre, quoiqu'on les suspende à des bras de levier quelconques inégaux; et de là résulte, dans la théorie des momens, une espèce de paradoxe, qu'on a tâché de résoudre par une certaine décomposition de forces, mais dont il me semble qu'on n'a point encore donné la véritable explication. {Vojez Tarticle de à'Jlem" bertj au mot Lei^ier^ dans l'Encyclopédie.)

Cependant on pouvait reconnaître d'abord que ce cas d'équilibre n'a rien de contraire à la loi générale du levier;, car la machine de Roberval n'est point un véritable levier, c'est-à-dire un corps Ou une verge raide mobile autour d'un seul point Jîûce : c'est un assemblage ou système de figure variable^ dans lequel il y a deuac points JiJceSj et où il n'est pas du tout surprenant que la condition de l'équilibre soit tout autre que dans le levier simple. Ainsi , p^ cette seule distinction que nous avons établie entre une machine sitnple et une machine composée, le paradoxe s'évanouit. Mais on n'avait point encore une définition bien précise des ma-

' aa». fiLÉMENS

dforls d'un cei tain genre qtie les couftet seôls ont mn en tfYidence> et pour ainsi diM' rendus sensibles dans toiit0 k Mécanique. Et en efièt^ per oetlè théorie des eonples; !a machine d# Roberyal n'oflfre pas même de difficulté t tàr^ a Fiéde des denx points fixes qtd emteat dans le sjnBtèroe^ il peut très*bieA arriter qne chaentfc des conples^ni Tiennent des deux forces appli-i qnées se trouye séparément détmil par Ift ré^ sistance de ces points ^ et que, dans une pareiUe maicbine, le rapport des inonebs soîl iMil^-ftit «rbiMûre. Cest eh effet ce qui »

lieu f comme on va le voir tout à l'heure s et ce . cas singulier d'équilibre, loin d*ôffrir un ]Mtfadoxe , n'est qu'une nouvelle confirmation de nos principes; et je ne m'y arrête un insfabt que pour en donner, par les couples, la démonstration la plus claire y et peut être la seule exacte qu'on en ait encore présentée jusqu'ici.

De la Balance de Roberval.