EU MÉCANIQUE

Pa» m. POINSOT.

(Lu à r Académie des Sciences le 17 sept. iSq^.} "

mim-immim^

Quelques géomètres ont pu lire une note que M. Ppi^son a publiée dernièrement sur la composition des momens en mécanique (i) , et d'où il résulterait que cette composition , toute semblable à celle des forces appliquées sur un point 9 a été trouvée d'abord par Euler , d'un autre côté par M. Laplace s et que, depuis , nous n'aurions guère fait autre cbose que d'en donner de nouvelles démonstrations, ou d'en tirer quelques nouvelles conséquences.

Cette note de M. Poisson, sur un point si connu de l'histoire de la mécanique, et où l'auteur n'a d'autre objet que cette espèce de supposition dont je viens de parler, ne paraît pas avoir besoin d'être réfutée. L'erreur est d'autant plus frappante , qu'il ff'agirait de voir aujourd'hui , non pas dans quelque manuscrit jusqu'à présent ignoré, mais dans des ouvrages célèbres d'Ëuler

et de M. Laplace, une idée que j'ai proposée comme neuve , il 7 a plus de vingt ans , et qui a été reconnue telle , à l'Institut ,

* Extrait du Bulletin tmiversel des Sciences , etc., publié sous la direc tien de M. le baron de Férassac. !'•. Section, sept. 1827. i\)BuUetin de 1827, to. VU , no. 294.

dans un rapport signé par M. Laplace lai-même. Mais comme tout ce qui tonche à l'invention des principes, intéresse la philosophie des sciences , et pent servir à lears progrès , je crois devoir essayer de répandre un nouveau jour sur cette matière, et rectifier ici Terreur avec précision.

Euler a trouvé que, si l'on connaît les trois sommes des momens de plusieurs forces par rapport à trois axes rectangulaires entre eux , on aura la somme des momcns du système relativement à un nouvel axe quelconque , par une formule très-sim* pie, toute semhlahle à celle qui donne la projection d'une ligne ou d'une force sur un axe quelconque, au moyen de ses trois projections sur trois axes rectangulaires. ' M. Laplace , en considérant de même les momens d'un système par rapport à trois axes rectangulaires entre eux , ou les aires projetées sur trois plans perpendiculaires à ces droites , a fait voir qu'on pent toujours choisir trois axes rectangulaires , tels qu'autour de deux d'entre eux , les momens sont^nuls, et qu'autour du troisième, le carré du moment est égal à la somme des carrés des momens relatifs aux trois axes qu'on a d'ahord considérés ; d'où il a conclu que ce moment [du système est plus grand que par rapport à tout autre axe passant par la même origine , et que le moment est nul relativement à tous les axes possibles perpendiculaires à celui-là : c'est ce qui lui a donné l'axe du moment maximum^ ou, dans le mouvement d'un système de corps , ce plan des aires qu'il a nommé le plan invariable.

Yoilà précisément ce qui avait été fait par les deux géomètres que je viens de citer , et à qui j'ai rapporté expressément dans mon ouvrage ces théorèmes qui leur appartiennent.

Mais il faut bien remarquer ici que ces théorèmes ne constituent point la composition proprement dite des momens. Cette composition n'a été , et je dirai même, n'a pu être connue que par la théorie des couples. Et en effet , ce qu'on appe-

lait le ropmeDt d'une force par rapporta un point, on nn axe fixe y n'était jusque-là , pour les géomètres , qu'une simple ex*pression de calcul , un produit abstrait de deux nombres, dont Tun marque une certaine force , et Fautre une certaine ligne ; et il me semble qu'il ne pouvait venir à personne l'idée de chercher des lois de composition^ c'est-à-dire ici , des lois d'equUibre entre de tels produits.Que si , par la propriété connue du levier , on pouvait voir, dans ces produits , comme une cer^» laine expression des efforts que font les puissances pour faire tourner autour du point ou de Taxe fixe , il est clair que cette idée même , assez vague , n'avait plus aucun lieu , et disparaissait entièrement quand il n'y avait ni point ni axe fixes dans le corps ou système sur lequel les forces étaient appliquées : de sorte que ces produits ne restaient plus que comme des expressions de calcul , et perdaient cette espèce de signification que leur donne la présence d'un axe fixe , et qui les avait fait nommer momens par les anciens géomètres. Pour découvrir la composition des momens , il fallait donc savoir ce que le moment exprime dans la science des forces considérée en ellemême : il fallait une notion statique , qui manquait alors aux géomètres , et cette notion est celle du couple , dont le moment n'est que la mesure. Par cette idée nouvelle , les mom,ens devinrent des couples^ qu'on avait sous les yeuTc, et qu'on pouvait songer à composer ou à mettre en équilibre entre eux , exacteaaenl; comme de simples forces autour d'un point. Yoilà ce qui nous a donné la composition des momens , ou pour mieux dire, la composition des couples^ qui sont, en statique, la chose même que l'on compose , dont le moment n'est que la mesure dans le calcul , et qu'on n'avait point encore découverte.

n paraît bien d'ailleurs , par les seuls énoncés des théorèmes d'Euler et de Laplace, que ni l'un ni l'autre de ces géomètres n'avaient eu l'idée de cette composition statique des momens. Car , au lieu de se borner à considérer les momens des forces par rapport à différens axes , c'est-à-dire , des mo-

m^n$. rekuifs't Us «uiiîMit considéré les Hk^niens ahsolos de4 forces autour du point ou centre cooMUon d*où partent tous ceà axes 9 et ils auraient noutré que ce» momeus s'y ct»mposent en un seul ^ui tient lieu aie tous les^ autres; Ils auraient parlé dés mo^ meus i:omposans;àu. moment resulianêyet non -point maximum; JU auraient , au moina donné la com position ' de déuxtnomeni autour d'un point , eu ce que j'ai nommé le paratiéibgrammt des e(^uples ou momens ; d*eù ils auraient déduit sans caUml ; UOUraeulement ce qu'ils avaient trouvé par - de longa icireuits d'analyse ou de géométrie , mais encore tout ce que j'ai ajouté à cette partie, fondamentale delà nécaniqfue. Ou' accordera ; ce me semble , que lorsque ces géomètres ont présenté' leurs théorèmea, ces théorèmes étaient nouveaux, je veux dire qu'ils apprenaient quelque chose. Or, si la composition des momens par là se trouvait connue, ces théorèmes n'expri* maient plus rien, et leur inutile énoncé devait disparaître. Car, pour rendre la chose sensible par la comparaison la plus parr faite , considérons plusieurs forces appliquées à un point, et supposons qu*on les estime ott qu'on les projette toutes sur un même axe. Sans doute on pourrait dire qu'entre tous les axes menés par le même point , et suivant lesquels on peut estimée ainsi les forces proposées, il y en a un seul sur lequel la somme de ces projections est un maximum : mais personne ne pourrait songer à faire de cette vérité un théorème , puisque, d'après la loi de la comptosition des forces qu'on suppose connue , il est clair que cette somme maximum , dont on voudrait parier , ne serait autre chose que la résultante des forces que l'on considère ; tandis que la S|0mme sur tout autre axe n'en serait qu'une simple projection , évidemment plus petite , par la déûuitiont même des projections. Ce ne serait donc qu'un théorème de pnre déûnition, où l'on n'exprimerait rien, pas plus qu'en gécH métrié, si Ton disait, de la diagonale d'un rectangle, qu'elle est un maximum entre les cotés de tous les rectangles possibles qui seraient construits sur cette même diag,OBale. Ilenes^ toutrà-fai^

de mëmepjourles momepSy quand on «apposeeonnuela loi de leur coiDpo«i^ioii tonte sembleble à celle des forces. On ne pcnt pins présenter oomme un maximum entre let mometis d'un sft^ tèipe par rapport, à djfférens axe» y ce qui nVst, sons le vrai poijitde vue , que le moment rùidttmt : il est clair qdeles' momens relatifs à différens axes ne sont que des projections de celui-là, qu'ils sont têtus plus petits , et qu'il n'y a là aucun théorème, de maximum à établir. Arnsî Tofi; n'avait point la composition ^es momens , puisque des théorèmes qui parais-^ saient alojrs et qui étaient en efiet considérables dans k mécanique, s'effacent aujourd'hui delà seience par Fidée même dé cette, composition. '

11 résulte en effet de nos principes^ c^t^ tout se réduit main^ tenant à la notion statique du moment, c'est-à-dire ^ à la- no* lion au couple^ au parallélogramme des couples; à la composition générale d'un système quelconque de forces en une seule, résultante de toutes les forces proposées transportées parallè*lement à elles-mêmes sur un même point ou centre ^ pris où l'on voudra dans l'espace , et en un seul couple , résultant de tous les couples qui naissent de ces translations ; et enfin , à la détermination de ce lieu de l'espace où ii faut placer le centi^, pour avoir le plus petit couple résultant : problème que j'ai proposé et résolu le premier, et qui est le seul oùi'on puisse voir une question de minimum. Je dis où l'on puisse voir, parce que cette idée de minimum peut encore être écartée, en considérant qu'il s'agit simplement de trouver le lieu du centre pour lequel le couple résultant ( qui partout ailleurs est plus ou moins incliné sur la direction constante de la résultante ) se trouve ici perpendiculaire à cette direction. D'&ù l'on voit à quel degré de clarté et de. simplicité est portée aujourd'hui l'e^ipression de toute cette doctrine , par la notion des couples et l'idée nette des lois de leur composition ou de leur équilibre.

Quant à ces conséquences qui ivsultent , dit M. Poisson , de

ce déplacement de V origine ou centre des momens, je ef^i8'l)€l*il fallait dire , non pas qu'elles se troussent à^jïs mon ouvrage, mais que c*est là qu'elles ont été données pour la première fois. MM. Poisson , Cauchj et quelques autres géomètres les ont ensuite transportées , sous d'autres dénominations , dans leurs livres de mécanique ; mais je ne sache pas qu'on y ait rien ajouté. La manière même de les démontrer par l'analyse ou par la géométrie est indiquée dans ma Statique^ et dans le Mémoire qui raccompagne ; et elle ne peut même manquer de se présenter y sitôt qu'on vient à calculer ou à construire. Ainsi toutes ces méthodes ou expositions différentes des mêmes vérités n'offrent rien de nouveau ; ou y revoit toujours notre théorie, ou plutôt quelques-uns de nos résultats , moins l'idée du couple , qui les a fait naître et qui les enchaîne , et que ces géomètres ont évitée.

. 11 n'en est pas de même de la manière dont M. Lagrange , dans la seconde édition de sa Mécanique analytique^ a essayé de démontrer, après nous, la composition des momens par celle des rotations instantanées d'un corps. Avant de composer les momens, l'auteur du moins les réalise, en substituant les momens aux rotations qu ils produisent y comme Varignon avait substitué les forces aux moupemens rectilignes. Mais cette démonstration, outre l'inconvénient qu'elle a de supposer la connaissance de l'effet dynamique du moment, et de n'être pas tirée des seuls principes de l'équilibre, présente encore un autre défaut qu'on n'a point remarqué. C'est qu'elle suppose que les trois momens composans autour de trois axes rectangulaires , soient proportionnels aux trois rotations instantanées qu'ils tendent à produire autour des mêmes axes ; ce qÀi n'a pas lieu en général : car les rotations que des momens , ou plutôt des couples , tendent à produire sur un corps , ne se font point autour des axes de ces couples, et ne sont point proportionnelles à leurs momens. Il n'en est pas des mouvemens de rotation comme des mouve-

mens rectilignes : de quelque côté qu'une force ])ousse le centre d'un corps, elle, y produit , suivant sa direction , le même mouvement ou la même vitesse , parce que , de toutes parts, c'est la même masse à mouvoir, ou la même inertie à vaincre : mais un même couple ne produit pas la même rotation-, dans quelque plan qu'il soit appliqué , parce que le moment iT inertie à vaincre n*est pas -le même autour des différens axes de ce corps . Pour que la rotation ait lieu autour de l'axe du couple , il faut que cet axe soit précisément un des trois axes principaux du corps ; et pour que trois rotations autour des trois axes principaux soient proportionnelles aux trois couples appliqués , il faut que les trois momens principaux d* inertie soient égaux entre eux, comme dans la sphère, le cube, etc. On voit où cette démonstration nous mène , et tout ce qu'il serait nécessaire d'y ajouter si on voulait la rendre exacte. Au reste , il est juste d'observer que Lagrange ne l'a donnée , en passant , que comme une espèce de rapprochement ou de comparaison, que j*avais moi-même indiquée, et je n'en parle ici que pour montrer l'erreur où l'on pourrait tomber en prenant l'axe du cou* pie pour celui de la rotation que ce couple tend à produire. Mais si l'on examine de plus près cette démonstration , on voit encore que, pour substituer ainsi des momens h des rotations, et cela indépendamment de tout axe ou point fixe dans le corps, il faut nécessairement considérer ces momens, non plus comme des nombres ou des surfaces , mais comme de certaines forces qui agissent. Or, si l'on imagine qu'un corps tourne actuellement autour d'un axe libre mené par son centre de gravité , et qu'on vienne à chercher les forces qui peuvent lui donner ce mouvement de rotation , on trouve en résultat un coii/y/e. Ainsi, dès qu'on veut attacher aux mots qu'on emploie uu sens net et précis , on retombe dans la considération nécessaire de nos couples. Mais alors, puisqu'il s'a^^it de leur composition, ce qu'il y a de plus direct n'est pas de composer les rotations qu'ils produisent , mais de les composer eux-mêmes , comme

je l'ai fait , à la naaiiière des simples forces ; et c'est par eet couples y au contraire, appliqués , par exemple , sur une sphère homogène , qu'on aurait , en Dynamique , la démonstration la plus simple et la pins précise de ce qu'on appelle la composition des mouvemens de rotation. Je dis la plus précise y parce que^ dans la rigueur du langage philosophique , il me semble que c^ ne sont point les mouvemens que Ton compose, mais bien les forces qui pourraient j donner lieu , et que l'idée nette de composition ne peut venir ici que de l'idée nette de iêquUibre^ 11 résulte donc de cette nouvelle discussion, que non-seule^ ment on n'a pu arriver que par les couples à ce principe que j'ai découvert, et nommé le premier la composition des momensf mais qu'il n'y en a pas encore d'autre démonstration que celle qui a été donnée en i8o3, dans la première édition de mes Elémens de Statique,

Je n'ai rien à dire d'ailleurs sur cette partie de la note de M. Poisson , qui regarde Thistoire de la découverte du plan invariable. J'observerai seulement qu'on ne peut pas présenter comme remarquable la propriété qu il a de faire disparaître dans toas les cas deux constantes arbitraires , puisque c'est par cette condition même que ce plan a été trouvé et déQni. Ce qu'il y a de remarquable, c'est que ce plan nommé invariable n'est plus aujourd'hui, à proprement parler dans la science des forces, que le plan du couple résultant de tous les couples du système par rapport au centre ou foyer que l'on considère. Yoilà sa vraie définition :* la somme des aires qu'on y projette y est plus grande , mais n'y est pas plus invariable , que sur tout autre où l'on voudrait estimer les aires ou les momens* Et , puisque la composition des couples est toute semblable à celle des forces , on ne le nomme pas mieux le plan invariable j que, dans la composition des forces, on ne nommerait la direction de la résultante la droite invariable ; et on ne le définit pas mieux par la propriété qu'il a de faire disparaître deux constantes arbitraires , qu'on ne dcfiairait cette droite par la

même propriété dont elle jouit également ; ou bien , qu'on ne définirait le centre de gravité d*un corps, ou ses trois axes naturels de rotation, parla propriété que ces points ou ces axes ont de faire évanouir, dans le calcul, certaines constantes ou intégrales qu'on y peut rapporter. Définitions vicieuses , qui ont moins de rapport à la nature des choses , qu'à de certains artifices de nos méthodes ou de nos calculs , et qu'il faut soigneusement éviter dans les sciences , si l'on n'a d'autre objet que d'être clair et intelligible.

FIN