Lorsque trois forces parallèles P, Q,- B
(yîÿ. 9) sont en équilibre sur une ligne .AB , l’une fîc . 9 . d'entre elles et directement opposée à
la résultai^ftdwjil^ auti^es. Ainsi la forcé Q, p'ar exemj^^)ij^|i(|Hl, en sens contraire, est la swltante des • deux forces P et R. Comme les deux forces P et Q tirent dans le même sens , la force R est égale à P+Q, et par coiuéqnent Q=R — P; d’où ii^sutt^ que la résulbmte de deux forces parallèles qui agissent en sens contraires est égale à leur différence , et tire du même oèté que la plus grande.
25. Ltt^ux forces P et R étant données, iwnsi que lai&Mwce AC qui sépare leurs points d’appliçatioiï^li l’en demande le point d’iq)plicatkm de là résultante Q, on fera cette proportion, P;Q;:BC:AC; d’où l’on tire P-f-Q*.
Q::BC+AC;AG, c’est-à-dire R;Q:' AB;AC, proportion qui fera connaître AB, 'et par conséquent le point B.
Corollaire 11^
26. Supposons que les deux forces P et R soient égales, la résultante Q sera zéro, et la distance AB de son point d’application sera , par la
proportion ci-de*us, e’est-à-dire infinie.
Si les deux forces P et R , au lieu d’être égales , différaient d’une quantité très-petite , la résultante Q, qui est égale à cette différence,
serait très-petite , et la distance AB = — — —
serait très-grande, à cause du dénominateur Q très-petit : ainsi, plus les deux forces s’approchent de l’égalité, plus la résultante diminue, et plus la distance du point où elle est appliquée augmente. De sorte que, lorsque les deux forces deviennent parfaitement égales, la résultante est nulle , et la distance du point d’application infinie ; ce qui parait annoncer qu’il n’y a plus alors de résultante, ou, en termes plus clairs, qu’on ne peut pas trouver actuellement une force UQique qui fasse équilibre à deux forces égales, parallèles et de sens opposés.
27. Mais, pour ne laisser aucun nuage sur cette dernière conséquence, imaginons, s'il est possible , qu’une force unique R Risse équilibre aux deui forces P et— P, parfaitement égales, parallèles et contraires.
D'abord , quelle que soit la position de celte force unique à l’égard des deux proposées , on lui trouvera sur-le-cbamp, dans un sens contraire, une autre position toute semblable à l’égard des mêmes forces; car tout est.^al de part et d’autre. Si donc une force R fait équilibre aux deux forces P et — P, il y a une autre force — R égale, parallèle et de sens opposé, qui leur ferait aussi, équilibre. Ajouter cette seconde force — R, et pour ne rien changer, détruisezr4a immédiatement per une force R' égale et contraire. 11 y aura donc équilibre entre les cinq forces R, P,>'i*- P, — R et R'. Mais il y a équilibre entre les trois forces P, — P et — R : donc il y aurait équilibre entre les deux forces restantes R et R' ; ce qui est impossible , puisque ces deux forces égales et parallèles agissent dans le même sens (1^). • -
Ainsi les deux forces P et — P ne peuvent être tenues en équilibre par aucune s^ple force; et par conséquent elles n'ont point de résultante unique.
Nous reviendrons bientôt sur ces sortes de
3o ÉLÉMENTS
forces, dont la considération, qui n’avait paru ju^u’ici que comme un cas singulier, fera la seconde partie essentielle de nos Éléments.
Cqrollaire III..
28. De même que l’on compose en une seule deux forces parallèles qui agissent à des points donnés d’une ligne,' on peut aus.si décomposer une force quelconque R 6), appliquée à un point C d’une droite inflexible , en deux autres P‘ et Q qui lui soient parallèlés , et qui agissent en des points donnés A et B de cette droite. Il ne s’agit pour cela que de partager la force B en deux autres qui soient entre elles dans le rapport des distances BC et AC; et pour trouver la force Q, par exemple, on se servira de la proportion R'.Q;; AB: AC, dans laquelle il n’y a que Q d’inconnue. La force P sera égale àR— Q. • '
Si le poid^ C d’application de la force R Fie- 10. - l'o) qu'on veut décomposer ne tombait
B ,, points d’application donnés ^ des.(ltaposaates P efQ que l’on eberebe, on ' ailiriiàtti'jl^ Ulénae la’ proportion R ! Q : : AB : AC , ^qûi’ferait connaître la force Q; mais la force P serait égale à R -t-Q. ■
DE statique.
Corollaire IV.
29. Quand ôn sait déterminer la résultante de deux forces parallèles, on peut facilement trouver Celle de tant de forces parallèles qu’on voudra, appliquées aux différents points d’un système quelconque de fiqure invariable.
Soient, par exemple, les quatre forces parallèles P, P', P', l**(yîj/. Il), appliquées resjiec- Fir. II. tivement aux quatre points A, B, G, D, situés d’une manière quelconque dans l’espace, et liés . entre eux d’une manière invariable. -En considérant ces forces deux à deux, elles sont situées dans un même plan. Ainsi l’on peut prendre d’abord la résultante X des deux forces P et P'; elle sera égale à leur sommet -t- P,' et passera en un point 1 de la ligne AB,- qu’on trouvera en divisant AB dans la raison inverse de P à P'. résultante X étant ainsi déterminée., ou joindra le point I où elle agit, au point C de la troisième force P*. Les deux forces X et P' étant parallèles , on en prendra la résultante X', comme nous avons fait tout à l’heure J *
cette résultante sera égale à leur somme X-+- P"»^ et le point F où elle devra être appliquée se trouvera en divisant la droite CI, dans Ja raison réciproque de X à P'. Joignant enfin le point- F an point 1) d’application de la qua-
trième force P*, et divi^nt la droite FD en deux parties réciproquement proportionnelles aux forces X' et P”, on aura le point G d’application de la résultaute, {];énérale R, qui sera parallèle aux deux forces X' et P" , et -par conséquent à toutes les composantes; égale à leur somme X' -4- P’", et par conséquent à la somme de toutes les composantes.
Le raisonnement que nous venons de faire s’étend manifestement à un nombre quelconque de forces parallèles.
Si parmi les forces P, P, P, etc., les unes agissaient dans un sens, les autres dans le sens contraire, on commencerait par prendre la résultante de toutes celles qui agissent dans le même sens; on chercherait ensuite la résultante de celles qui agissent' dans le sens contraire; et toutes les forces étant alors réduitesà deux forces parallèles et de sens contraires, on en trouverait la résultante par ce que nous avons dit plus haut.
'50. On peut donc, en général, déterminer la position et la quantité de la résultante de tant de forces parallèles qu’on voudra; celle résultante sera parallèle aux forces, el égale à l 'excès, de la somme de celles qui tirent dans un sens, sur la somme de celles qui tirent dans le sens contraire.
J’ai dit en général, parce qu’il peut arriver que la résultante des forces qui tirent dans un sens soit parfaitement égâ}e à la résultante de celles qui tirent dans le sens contraire, sans lui être directement .opposée ; et alors il n’y a pas de résultante unique, comme, nous l’avons vu plus haut.
Cowllaire. V.
31. Supposons que les quatre forées P, P', P", P", sans changer de grandeur, sans cesser d’être parallèles et de pas^r aux mêmes points respectifs A, B, C, Deviennent à prendre les positions p,p', dans l’espace.
Si l’on en cherche la résultante, en suivant le même ordre que plus haut , ôn trouvera d’abord que la résultante jf de p et p', passe an même point I que la résultante X de P et P' , et qu’elle lui est ^ale. Elle passera par le même point , parce que son point d’application doit diviser la même droite AB dans la raison réciproque de P à p', qui est la même que celle de P à P'. Elle lui sera égale parce qu’on aura P -H P' = p -4- p'. On trouvera de même que la résultante x' de x et p", passera au même point F que la résultante X' de X el P ', et qu’^e lui sera égale , et ainsi de suite : de sorte que la
résultante générale des quatre forces p, p', p'^p", Statiquk p. 3
iiUiMKNTS
passera au même poiut que la résulliUUa des quatre forces P, f*', P", P*; et cela est général, quel que soit le noii;)bre des forces; d’où l’on peut< conclure ce théorème remarquable :
Si l'or\ considère un système (fuelconque de farces parallèles, appliquées à un assemblage de points A, B, C, D, etc., et qu’on incline successivement tout le système de ces forces dans diverses situations , de manière que les memes forces passent toujours, par les mêmes points et consenenl leurs grandeurs et leur parallélisme; les résultantes générales quon trouvera su< cessivement dans chacune de ces positions se croiseront toutes au même point. ;
Ce point d'iutcrsection des résultantes successives se nomme le caüre des forces parallèles. Nous aurons oecasion d’en parler plus loin , quand . il sera questiott des centres de gj’avité;
Pn peut remarquer , au reste , que dans Ja démonstration- précédente , il n’est pas nécessaire de supposer que les forces conservent toujours les mêmes grandeurs; il suffit que, dans les positions successives du groupe, elles demeurent proportionnelles.
nt STATIQUK.
Composition des forces dont les directions concourent en un meme point.
Théorème III. »
, 53. La résultante des vieux forces quelconques P. et Q (fiq. 1 2) appliquées à un même point A , Fie nsous un angle quelconque , est dirigée suivant la diagonale du parallélogramme ABCD construit sur les deux lignes AB, AC , qui représentent les forces P et Q en grandeur et en direction.
D'abord, bous avoas vii (14) que cette ré- , sultante doit être dans le pljua des deux forces P et Q ; eu second lieu , qu elle doit etre appliquée au point A, puisque cette résultante, par hypothèse, doit solliciter le point A absolument de la même manière qüc les deux forces PetQ. • , '
Je dis maintenant qu’elle doit passer au point D , extrémité de la diag^ondc AD.
Prenons, en effet, sur le prolongement de la ligne BD la partie DG = DC , et achevons le losange CDGH. Appliquons aux points G et H , et dans la direction de GH , deux forces Q' et Q" contraires, égales entre. elles et à la force Q.
11 est facile de voir que la résultante des quati’c
forces P, Q, Q' et Q" doit passer au point D.
Car, 1° à cause de Q' = Q, les deiix forces parallèles P et Q' sont entre elles comme les côtés AB, AG, bu comme DC et Dfe, ou bien, à cause de DC = DG, comme les lignes DG et DB, et pâr conséquent (23) leur résultante S passe en D; 2* les deux forces Q et Q" étant égales, leur résultante T, prolongée, divise en deux également l’angle GHG du losange GDGH , et , va passer aussi par le point D , où l’on peut la supposer appliquée. Doue la résultante générale, qui est celle des deux forces S et T, passe au point D.
• Mais les deux forces Q' et Q" appliquées sur GH étant parfaitement égales et contraires, leur effet est absolument nul, et la résultante des quatre forces P, X^, Q' et Q* est identiquement la même que celle des deux forcés P etQ. Donc, puisque la' première passe en D, celle dès deux forces P et Q passe aussi au même point.
Puisque la résultante passe à la fois par les deux points A et D, elle est donc nécessairement dirigée suivant la diagonale AD.
CoroUaire.
34. Goncluons de là que si l’on connaissait seulement les directions des deux forces P et Fig. i3.Q {fiy- 1 3) > et celle de leur résultante B , on pourrait déterminer le rapport'do la force P à
DK statique. 37
la force Q. Car en prenant sur la direction de la t'ésultante un point quelconque U, et menant de ce poiut deux parallèles DC et DB aux directions des composantes P et Q, ef qui rencontrent ces directions en C et B, on aurait nécessairement P I Q ; AB ; AG. Sans quoi l'on aurait P est à Q comme AB est à une ligue AO plus petite ou plus grande que AG ; et . alors la résultante des deux forces P et Q serait dirigée suivant la diagonale Al d'un parallélogramme AOIB différent du parallélogramme ABDG, ce qui est contre l'hypothèse.
Théorème IV. ' "•
3.'». La résultante des deux forces quelconques P et Q i4) (q)pliquées à un méme^'B. '4-
point A, est^ représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme ABDG, construit sur les deux lignes AB,. AC qui représentent ces. forces en grandeur et en direction. . . •
Nous avons déjà vu que cette résultante est dirigée suivant la diagonale; reste à faire voir qu’elle est représentée en quantité |ÿir la diagonale elle-même. ' ^
Soit U cette résultante : supposez qu’elle ^oit appliquée au point A sur le prolongement de la diagonale DA , en sens contraire de son ac-
kléMents
tion. Les trois forces P, Q, R seront en équilibre sur le point* A. Donc l’une d’elles, la force Q, par exemple, sera égale et directement opposée à -la résultante des deux autres P et R. Donc la direction de la force Q, prolongée, sera celle de' la résultante des deux forces P et R. Donc* si, du point B, vous menez à la direction AR, la parallèle BG qui rencontre en G le prolongement deQA, et du point G, à la direction AP, la parallèle GH qui rencontre en H la direction de la force R, les deux forces P et R seront entre elles comme les côtés AB, AH du parallélogramme ABGH (54). Mais. la ligue AB représente actuellement la force P ; donc la ligne AH représente la force'R. Or; par les parallèles, on a AH =i- BG = AD; donc , etc.
’ Corollaire \.
56. Puisque les trois forces P, Q, R, sont entre elles comme les trois lignes AB, AG, AD, et que dans le parallélogramme ABDC, on a AB=CD, on peut dire que ces trois forces sont entre elles comme les trois côtés CD, CA et AD du trianglé ACD. Mais ces trois côtés sont entre eux comme les sinus des angles opposés CAD, CDA, ACD, et à cause des parallèles, l’angle CDA = l’angle *BAD, l’angle ACD est supplément de l’angle BAC, et par conséquent
DK STATK^UK. 3g
a le même sinus ; QD a donc
P ; Q I R ; sin CAD ; sin BAD ; sifi BAG.
D’où Ton peut conclurt* que la résultante’ de deux forces P et Q élaiit représentée parle sinus de r an}»le formé par leurs' directions,* les deux forces P et-Q sont représentées réciproquement par les simis des deux' angles adjacents à la di rection de la résultante; ou, si l’on^veut, rluicuite Hes forets P, Q, R est comme le sinus de l’anyle formé par les directions des dciLV autres.
Remarque.
37. On peut Voir par là , et mieux eiicor*? par la considération immédiate du parallélogramme des forces, que lorsque deux forces agissept sur un même point sous un anglé qui n’est pas égal à deux droits, elles ne peuv+nt jamais donner une résultante mille, à moins qu’elles ne soient nulles ëlles-mênies, chacune en particulier.
•Car, si aucune des deux forces n’était nulle, on pourrait construire un parallélogramme sur les deux lignes qui les représentent eu grandeur et en direction , et la diagonale de ce parallclo gramme serait la résultante.
Si l’une d'elles seulement était nulle, la seconde serait la résultante ; et par conséquent la résultante ne peut être nulle, à moins que les
4o ÉLÉMENTS
composantes ne soient toutes deux nuUes en
même temps.
Lorsque les deux composantes agissent sous un angle égal à deüx angle; droits, elles sont alors contraires, et. la résultante n’esj^pas nulle dans -le seul cas où ces deux composantes sont nuUes toutes deux, mais encore dans celui où elles sont égales. ,
, Coroltaire II.
38. On peut toujouis décomposer une force donnée R en deux autres P et Q dirigées sui' Fie- 15. vaut dès lignes données AP , AQ(yîÿ. 1 5), pourvu
que ces directions et celle de la force R' soient
.1 - 1 * comprises dans un meme plan et concourent au
même point Â; car, prenant sur la direction
de la force R une partie AD qui représente sa
quantité , et par le point D menant les droites
DC , DB parallèlés aux directions données AP ,
AQ, on formera un parallélogramme ABDC,
dont les. côtés AB , AC reprèsenterqnt les forces
demandées P et Q.
Si l’on 'veut calculer immédiatement leurs grandeurs, on pourra faire ces deux proportions : ‘ , .
R ; P : ; sin BAC : sin CAD ,
R ; Q ;; sin BAC ; sinBAD,
dans lesquelles il n’y a que P et Q d’inconnues
. Remarque.
39. Si l’angle BAC était droit , ota aurait , qn supposant le rayon = i , sin BAC= i; sinCAD = cos BAD, et réciproquement, sin BAD = cos 'CAD; et les deux proportions ei-dessus deviendraient ,
B : P I ; cosBAD,
R I Q ; ; i ; cos CAD.
D’où P ^ R . cos BAD , et Q = R . cos CAD.
Il résulte de là que lorsqu’on décompose une force en deux autres qui agissent suivant' des directions rectangulaires entre elles , on trouve chaque composante en multipliant la force proposée par le cosinus dé l’angle ‘quelle fait avec la direction de cette composante.
Chaque composante est représentée par la projection de la résultante sur sa direction, et c’est ce qu’on jfppelle souvent la force estimée suivant cette direction. Ainsi R. cos BAD , ou la composante P , est la force R estimée suivant la direction AP.
Corollaire IIÎ.
40. Quand on sait déterminer la résultante de deux forces appliquées à un point, on peut déterminer celle de tant de forces P,Q, R, S, etc..
4a lÎLÉMENT.S
qu’on voudra, appliquées à un même point A , et dirigées d’une manière arbitraire 'dans l’espace. Car, en considérant d’abord deux quelconques de ces forces , comme les forces P et Q, paj' exemple, ces deux foices seront dans un même plan, et l’on en déterminera la résultante comme nous l’avons f^t tout à l’heure. Soit X cette résultante ; on prendra semblablement la résultante de la force X et d’une autre telle que R. Combinant ensuite cette résultante, que je désigne par Y, avec une nouvelle force S, on aura, leur résultante Z, qui sera celle des quatix; forces P, Q, R, S: et coutinuant ainsi, on arrivera nécessairement à la résultante générale.
Si toutes les* forces P, Q, R, S, etc., sont dans un même plan,' les résultantes successives X, Y, 'L, etc. , seront dans ce même plan , et par conséquent la résultante générale y sera aussi. •
Si toutes les forces sont en équilibre , la résidtante générale sera nulle.
Par cette composition successive de pkisieurs forces autour d’un même point, pn voit encore que, si l’on décrit dans l’espace un contour polygonal dont les côtés successifs soient parallèles et proportionnels h ces forces, la droite qui ferme ce contour et achève ainsi le poly-
gonc, est parallèk? et proportionnelle h la résultante générale de toutes les forces; de sorte <|ue si le polygone se trouve fermé de lui-même, la résultante est nnlle , et touÿs les forces sont en équilibre autour du' point qu’elles sollicitent.
Le théorème suivant n’est an fond qu’un cas particulier de cette élégante propo.sition ; mais, comme il est d’un fréquent usage en Mécanique, nous allons l’énoncer et le démontrer expressément.
Théorème V.
41. Si trois forces X, Y, Z, appliquées à un meme point A 1 6) tinns l'espace sont repré- Fie sentées par les tmh lignes AB, AC, AD, et qu’on achève le parallélipipède . . F, la résultante fi (le ces trois forces serfi représentée par la diagonale AF de ce parallélipipède.
En effet, les deux forces X et Y, qui sont représentées par les deux côtés du parallélogramme ABGC, donnerdnt pour résultante une force P représentée par la diagonale AG de ce parallélogramme.
Ensuite, à cause de AD égal et parallèle à GF , la figure AGFD sera un parallélogramme, et par conséquent les deux forces P et Z donneront une résultante fi représentée par la dia- .
gonaio AF, laquelle est en même temps la diagonale du parallélipipède proposé.
Remarque.
42. Observons sur-le-champ , comme au n“ 37, que tant que les trois forces X, Y, Z, ne seront pas dans un même plan, elles ne pourront jamais donner une résultante nulle, à moins qu’elles ne soient nulles elles-mêmes en particulier.
Car, si aucune d’elles n’était nulle, on pourrait construire le parallélipipède sur les lignes qui les représentent en grandeur et- en direction , et la diagonale Serait la résultante.
Si l’une d’elles seulbment était nulle, les deux autres qui, par hypothèse, ne sont pas en ligne droite, auraient une résultante.
Enfin , si 'deux d’entre elles seulement étaient nulles,. la 'troisième serait la résultante, et par conséquent les composantes X, Y, Z doivent être nulles toutes trois, pour donner une résultante mille.
Corollaire I.
45. On voit par le théorème précédeut (qu’on pourrait nommer le parallélipipède des. forces) qu’une force quelconque donnée R est toujours décomposable eu trois autres X , Y, Z respee-
tivemeiit parallèles à trois lignes données dans l'espace, pourvu que deux de celles-ci ne soient pas parallèles.
Car, en prenant la partie AF pour représenter la quantité de la iarce R, et menant 'par le point A d'application trois lignes parallèles aux droites données chacune -à chacune, on conduira par le point A trois plans indéfinis XY, XZ, YZ, et par le point F trois antres plans respectivement parallèles aux premiers; et ces six plans détermineront le parallélipipède dont les trois arêtes contiguës AB, AC AD , représenteront les trois composantes X , Y, Z.
Corollaire II. '
