La seiile conséquence qu’il soit bon de

remarquer est cette autre proposition réciproque : que deux forces non situées dans le meme plan ne peuvent jamais avoir de résultante unique. , • ••

Et en effet, on peut toujours supposer que ces deux forces proviennent d’une antre. force, et d’un couple qui ne lui était pas parallèle.

Mais si l’ou veut voir la chose directement , soit AB (;yîÿ. 2y) la commune perpendiculaire fîj. aux directions des deux forces P et Q npn situées dans le même plan , et dont aucune n’est supposée nulle. Je transporte P parallèlement à elle-même de B en A ^ et j’ai deux forces P' et Q appliquéès au même point A, et un couple (P — I*') appliqué sur AB. Or, au pçint A ,' les forces F. 'et Q qui, par hypothèse , font entre elles un certain angle QAP' , se composent en une seule R dirigée .dans l’iirtérieur de cet angle. Mais cettè force R m peut être .parallèle au plan du couple (P, — ^) , puisqu’elle fait avec ce plan un angle BAP.' qui ne. peut jamais être nul , à raohis que Q ne soit nulle, ce qui est

contre la supposition. Donc (7|) les. deux forces P et Q non 'situées dans le même plan ne peuvent jamais avoir de résultante unique; proposition, qu'on regarde ordinairement comme évidente, -mais qui avait besoin d’être démontrée.

Bemarqu» IH.

75. C'est , au reste , le se^ cas général où l’on puisse assurer que des forces ne sont pas réductibles à une seule; car , dès que l’on considère seulement trois forces, il résulte de notre théorie qu’elles peuvent avoir une résultante unique , quand bien même 0 n’y aurait aucune réncont're entre les directions de ces trois forces dans l’espace.

' Soient, en effet, trois forces P, Q, R. que je suppôse, deux à deux, non .situées dans le même plan, ou même telles- que, s’il y en avait . deux dans un même plan, l’autre ne fût en même plan ni avec la première, ni avec la seconde..

, Je choiUs deux de ces force? P e.t’.Q qui- ne Soient pas situées dans un même plan, et je les imagiqe transportées en 'un même point A pris sur' la direction de la- troisième force R.' Ces deux forces P et Q viennent s’y composer en une seule V , et donnent deux couples qui .se

DE STiTlQUE. 8g

composant en un seul (S, — • S) ; et le ^lan de ce oouple ne passe.point par la direction AV de la force V (7’4).

Cela posé , si la résultante des deux* forces V et R , appliquées en A , se trouvait dans le plan du couple- (S, — S) qui passe au même point, le% trois forces proposées P, Q, R se-r raient réductibles à une seule (.7 1). Or , sans changer la diaection de la force R, on. peut disposer du sens et de la grandeur de cette force de manière que la résultante de V et R tourne autour du point A dans le plan de ces deux forces, et sa dirige suivant l’interjection de 'ce plan avec celui du- couple (S, — S), et tombe ainsi Sans le plan même de ce couple. Donc, en prenant convenablemâit la'grandeur et le sens de'l’une des trois forces, P, Q,R, sans rien changer à leurs positions mutuelles, on peut eu général rendre ces' trois forces réductibles' à udesellle. * , ‘ '

Je dis en général, parce qu’il y a un cas particulier où la chose ne pourrait avoir lieu en supposant qu’il y çW un -certain rapport donné entre P et Q,- et qu’pn s’astreignît à ne faire varier que la quantité de là ti;Qisième- force R : car , si , par ce rapport de P à Q , il arrivait que -l’intersection du plan VAR avec le plan du couple fût la direction même' AR de'celte ti-oi-

yo tXEMBNTS

sième ^rce, on pourrait faire prQpdre à la résultante de V et R la direction AR., sans faire la composante R infinie, ce qui e^t impossible.

Mais, dans ce cas particulier , que l’on commence par changer le' rappori des deux forces P et Q , ou simplement le sens .tie l’une -d’elles , et le couple (S, — S) qui résultejja de leur translation au point A, ne passei;a plus par la direction de la troisième force I^r^cap, si le plan de ce couple passait encore par la même droite AR , il s’ensuivrait' que AR est la coœmmie section dès deux plans où sont situés 1^ couples qui composent (S, — S), et qu’ainsi la forcé R est à la fois dans un même plan avecP, et dans un même plan avec Q ; ce qui est conti's l’bypotbèse. •

Ainsi, quand, dè trois forces P, Q, R , on- a en fient trouver tout au plus que deux qui -soient situées en meme plan, il est toujours possible de rendre ces trois forces réductibles à fine seule, smns rien changer à leurs directions dans Cespace.

Le seul cas où l’on puisse dire de trois forces qùe leur position seule les fend toujours irréductibles, est celui où, en regardant ces forces deux à deux, on ne trouve qu’une combinaison qui présente deux forces uon situées en. même plan. Dans uoè telle position , quels que soient les rapports de’grandeur qu’on veuille donner à

. DÈ STATIQUE. yl

ces forces, on ne les rendra jamais capables de ■ se réduire à une seule. , •

Remarque .

76. Comme il parait incontestable qu'un . couple ne peut être en équilibre autour *d’un point fixe, pàr e\em|)le, autour du milieu de son bras de levier, remarquons cette différence entre l’équilibre de plusieurs forcés appliquées à un corps assujetti à tourner autour d^un point’ fixe, et l'équilibre de plusiéurs couples qui seraient appliqués au ,méme corps.

Dans le premier cas., il n’est pas nécessaire que les forces aient une résultanté' mille d’ellemérne; il suffit qu’elles ment une résultante qui passe par le point fixe, où elle^sera détruite. * Mais, dans le second , il faut nécessairetnent que les Couples appliqués au corps donnent nn couple résultant nul de lui-même, comme s’il n’y avait pas de point fixe dans le corps ; car, si ce couple n’est pas nul de lui-même, en le transportant , pour plus de clarté , de manière que le milieu dé ,son bràs de levieç vjenne tomber au point fixe, il est évident que ses deux forces ne pourront être en équilibre autour de ce point. - '

Et il est encore évident qu’elles ne seraient pas en équilibre , quand bien même 11 y aurait

dans le corps un axe fixe, pourvu* que le plan du' couple ne passât point par cet axe, ou ne fût point parallèle à sa direction, ce qui revien* dfait au même (-49 ). , .

Ainsi, lorsque différents couples , situés comme on -voudra dans l’espace, sollicitent 'un corps ou système assujetti à tourner autour if un point fixe, les conditions de l’équilibre sont absolument les ménïes que si le corp^ était parfaitement libre.

Et la même chose a lieu dans, le cas d’un axe fixe,- si les' couples appliqués sont tellement disposés qu'ils ne puissent jamais donner un couple résultant parallèle à cet axe; ce qu’on ne peut assürer d'une manière générale que lorsque>tous les couples sont dans des plans ‘parallèles qui rencontrent l’axe fixe en le coupant.