CHAPITRE II

DÈS œNDITIONS DE L’ÉQUILIBRE.

77. Nous venons de voie (68) qu’on peut transformer chaque force P{Jig.-26i) qui aÿtFiK. sur un système en un certain point B,' en une autre force P' égale, parallèle et de même sens, appliquée en un aütre point A pris à volonté dans l'espàq^, et en un couple (P, — P) appliqué sur AB, et dont l'énergie est me^ée parle moment P x AI , Al étant uDe perpendiculâire abaissée du point A sur la direction de la force P ; que , de celte manière , le système peut être considéré comme sollicité par la résultante de toutes lès forces qui . se seraient en quelqtie sorte transportées parallèlement à elles-mêmes au point A , et par le couple résultant de tous les couples qui naissent de ces transformatipns. Nous avons vu que pour l’équilibre, cette résultante et le mômênt du

y/| IvLHMKNTS

couple résultant 'doivent être nuis tous les deux

à la fois.

Nous pourrions développer sur-le-channp ces deux conditions dans le eas général' d'un corps ou système sollicité par tant de forces ^que l’on voudra dans l'espace, et déduire de là les conditions de l’équilibre dans tous les cas particuliers qui peuvent se présenter; mais, comme notre marche doit toujours être uniforme dans le courant de ce chapitre, ou plutôt comme elle n’offrira qu’une même 'et continuelle application d’un même principe , nous aimons mieux passer en revue plusieurs questions’ simples , avant que de traiter la question générale. Cela nom fournira d’ailleurs l’occasion de répandre plusieurs propositiotis sur les moments, dont on fait beaucoup d’usage ’^dai\ÿ la Statique.

Une fois parvenu au théorème ‘général de l’équilibre , on pourra s’y arrêter, et l’on y trouvera comprises toutes les propositions qui auront été précédemment expliquées.

De f équilibre des forces parnlUles qui sont sittiëes

dans un même plan.

Fig.3o. 78. Soielit Pj P', P", 3o), etc., les dif-

férentes forces parallèles. D’un point A pris où

Üü STATIQUK. y 5

l'on voudra dans leur pian , abaissons une perpendiculaire commune sur leurs directions et qui les coupe aux points respectifs B , G, D, etc.

Considérant d’abord 1^ force P, j’applique au point A deux forcps con^ires y, —J*, égales et parallèles à la première j ainsi , j ’ar, au lieu de la simple force P appliquée en B, une force égale èt parallèle appliqudkcn A , et un couple (P, — P) agissant sur AB et dont le moment est P X AB. .Te substitue de même , au lieu Ale la force P' appliquée en C , une force égale et parallèle et de même sens appliquée en A, et. un couple ( P', — F) appliqué sur AC et dont le moment est P x AÇ : de même pour la force P", etc.

Si, pour plus de clarté, -on transporte tous les couples ailleurs dans le même plan , il ne restera au point A que les forces P, F, F', etc., égales et parallèles aux forces primifives appliquées en B , C , J) , etc. , et de même sens. >

Or, pour qu’il y ait équilibre, il faut, i®. que la résultante des forces appliquées en A^ sôit nulle d’elle-même. Mais toutes ces forces agissant dans une même direction, leur résultante est égale à leur sonune (•*) , et par conséquent,

(*) Il faut prendrç cç mot, ici et ailleurs, dans le sens de la remarque suivante ( Wj.

gfi ki,^:mf.nts

l’oîi aura

P 4- P' + P" H- etc. = O, ‘

première équation de l’équilibre.

' a®.» U faut que le momeût résultant, de tous les monllnts des coppibs soit aussi nul de kimême. Mais ce moment résultant .ést égal à la somme des momen^gfcompo^ants, jpüisque tons les couples sont dans un faiême plan.*Doùc, en nommant , pour ubrégçr, p, p', p", etc., les bras de levier respectifs éfB , AG , AD , etc. , on aura

Pp 4- Pp' 4^ P*p" 4- etc. = O, seconde équation de l’équilibre.

Remarque.

79. U est clair 'que dans la première équation , ^ l’on regarde les^ force» qui tirent dans un même fsens comme positivés, il faut Regarder celles qui tirent dans'le sens contraire comme négatives. ' Nous regarderons désormais, comme positives les forces telles que, P' qui tirent au-dessus de la droite AD, et par conséquent comme négatives leS forces telles que P,' F',..’, qui tifent au-dessus; et de cette manière on pouiTa dire que la somme des forces doit être nulle pour l’équilibre.

Pour les signes des moments Pp, I^'p',...., de

la seconde équatioo, il faut faire attention à

deux* choses: 1°. av signe de la force; 2°. au

signe du bras de levier.

'' ♦ .* •• • Supposons, en 'effet*, que la fyrce P, sans

cesser' ^agir du même c'ôt^"du point A , vienne

à chajg|ger tüew sijiiie ; il ^t-ckiir que le couple

nouvç^o quelle prodniraHi^’é^rd du point A

sera d’un^ sens 'contrai|» à ceTitl 4du premier :

ainsi , fh tnomént Vp change 'de signe,' lorsque

la fÔrce P en change. ^

Ckinccvons nia'mtenant que la force P, sans

changer de signç, tienne à agir au point B' de

l’autre côté du point A. 11 est visible que le

côuple nouveau qti’elle produira à'I’égard du

poin^ A seraM^n sens contraire à celui du pre-

q^r, et par c^séqûent le moment Pj> change

dé sî^e lorsque le seid bras de levier p en

chaitèe^

Donc, en prenant les bras, de levier tels t^iie AB qui sont à droite du point A comme positifs, par exemple^ il faudra prendre les bras de levier tels que AB' qui tomberaient à gauche, comme négatifs; et l'on pourra toujours dire que la somme des moments doit être nulle en donnant des signes convenables aux forces et aux bras de levier.

Statiqce P.

^LtMRSTS

CoroUaite.

80. Supposons ‘que l«s foroes'P, P'*, P", <^c., ne soifent pas en équilibre;* mais quelles' disnt une résnltante uqiqnq^ , que paj^ t^ns^ueot —R soit unfe force c^paW^de leur t’aide éqiiin^e.

IjCS {^eux ^q^âtions i^Scédent^d^rontavoir lieu si l’on y fait'qp|f^la — R. Qn aura

donc d’abord * • •

ou bien

• R = P*+ P' + P*-l-*etc.;

ce qui’ nous apprend que la résiit^te est'égaïe à la somftie-des composantes; 4^ que n^s «savions déjà. ^ ^

En second lieu, si l’on nomme r laidistince dq la résultante au*point on aura ^

Pp 4- P'f/ 4- P"p" -h etc. — 11/- = O,

ou bien

Rr = Pp -H P'p' -H l*"p" -H etc.

Ce qui nous fait voir que le produit de la résultante, par sa distance r à an point quelconque A pris dans le plan des forces , est égal à la somme de tous les produits semblables des

DE STATIQUE. yy

composantes par ‘leurs distances* ^*$>pectives à ce même point.

divisant cette êqnatio» pai’*R, et mettant à la plajïc, dé**cette quanjrté sa valmir Ph-P' 4-P" + etc., on aura ' , '♦ »

P/^ -K Vp' M-' P >* + etc.

Ce qui donneeb. la distance da4n résultante an point A, et paP conséquent fef\rTéonpaître sa position* puisque l’6n sait d’ailleurs qn’qlle'doit être parallèleaux coipp.osaates.'

“Remi^que. • '