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k ^ . >•=- Il
* fier^nrcfue. • ' .
83. Dans le.s équations précédentes , nous re- {jarderons coniW?^o§ilives les fonces qui tirent d^.bas»'dn hant, et^ar ed'nséi^iient comme-né [jîitives céllas qui tirent*âans fe sens cobtrairc.
Pour las si{Jties ‘d^'lûomehts, ff est claiÿ* t^ulls changent en même temps caUk des forces. .Mais d’un OTtre o^té, si uné force telle qirf*^, sans^-cbaj^ger de- signe, vient à lij^ir^n B' de rentre dit 'plan ZAX, elle ^produira un
couple d’un sens contraire à^elui du pre.mtçr; et par^œnséqueiit, le hiooient chang^èncore de signe lorsque le sedl bra# de levior'en^baqge. Donc si, pai'4;apport à un plan , oifrc^rdi^ les bras de levier qui tomqent d’urt- cfttS comme positifs, il faudra regardei^ceÔx qui tombent de l’autre côté comme qégatifs; etTod pouira toujours dir^ue la somme des moments est nulle, en donnant des siglfes 'convenables aux forces et aux bras de levier. •
Corollaire 1.
84. Supposons que les forces P, F, P", etc., ne soient pas en équilibre, mais qu’elles aient une résultante unique H ,.*et que par conséquent — R soit une force capable de leur faire équilibre. Les trois équations précédentes devront
IJK STATIQUE. • io5
avoir lien eu y iiitrodui.sant hi force — «K/* On aura donctl abord , . * . •
= P 4- P' 4-1* '-4- etc., ■
ce qui donne la valeur de la r^siillantiv , Si l’on nomme ensuite p ei q les di.'^Tnces respectives de cette résrdtante aux deux pl^ns ZAY , ZAX, on aura
Rp Lz P.V H- P'.r' ■+■ P"x" -h, etc. , .
Kq = Pr -4- P'j'V etc. ; •
d’où, en mettant pour R\a valeur, on tire
Pjt -H P'x' P"x",-h etc. .•
~ P -H* P' -I- B" + Jtc. ’* •**.
?x -h- py.-e-.py 4- etc. .
• ^ “ P 4*- F -H P" y etci '
ce qui donnera les distances d»Ja résultaute à deux plans,, et fePa connaîtra sa position ^dans l’espace; car,isi l’on inéne aux deujt dUtances trouvées, deux. plans respectiveillent parallèlej) aux premiws, la direction la résultante, qui doit se trouver à la l^is jda^ ces deux pians , ne sera autre ofaose que leur Intersectron ménte.* '
85. On voit* que les équatittns précédentes nous fournisjfent ces deux conséquences , tju’on peut éno|]cer ainsi, conformément à rnsape:
Ln somme des moments de tant de farce} pfàal-‘ lèies que l’on uoudra, par rapport à un plan quel-
lo6 KLÉ^NTS"
< utufue ^f iaiallite à leurs direcliom, est é^ale çu moment de leur résultçnUi- • ’
El Iti Jdistgttce de la résultante^ à do plan est * . * ** * ^ égale à la' somme des rnornen^ des forces , divisée
f^r la^sohùne de toutes les jprees. • ,
a Corollaire II.
* Du centre des forces parallèles.
^..Puisqulr Ite centre des forces^parallèles est situé sûr la iKrection'^de là résultante , il est clair que la* dis|ancq^ dé^de centre à un plan quelconque parallèle aux “forces ^e trouvera c^ime la distapee de la r^ûltante à ce plan , c’est-à-dire en diyis^tft la somme des moments, par rapport au plan , ^ar la somme de toutes les forces’. < * .■* I . ,
.Bial'ob Veut' avoir ensuite la distance de ce centre^ un'plaû.'quelcbuque, on c’oncevra que . les forces', sans changer de grandeur, sans cesser d’être’’ pàrallôles'^ de -pttssei'.aujf mêmes ppinls, sôîfeut tournées^ toutes" paray^lemenf'à ce nouveau plan ietTôffamn"poiir|Cettc seconde distance la somme ldes?nouv^ux^om|nts divisée par la somme do toutes les forces.
^ feralamètiiÇ opération poîp'un troisième plan , eltsi l’on mène alors aux .trois (Jistances 1i^^ée|>, h'ols plans respectivement pa'rallèles aux trois prennere, le cehlredes forces devant
Oigrtized
Si: trouver à la fois dans cei trois plans, sera
déterrtiiné par leur* intéTseption.
• 87.. Si toutes les foi:ces étaient égales et de
inîéinV sens , l’expression • ' ’ •
. • 'Pa:-f:pV.-|-P"x"+ete.
* ' P'-f-P'-t-F''-l-etc. ’
qui idonne la 'distancé du centre à un pfan (piel- . cunqiie, deviendrait- *
Px' Px' -f- etc.^^ x x' -f- x 4- elc.
P inP*'-)- P 4- etc. • /I ^ ’
n étant le^nombp des forces parallèles.
Ainsi la distance duvcentre au plan serait ép,ale à la sorhme des ^istanccÿ de tous les points d^’application , divisée par leur nombre, ou, .si iSn vput, égale à Iq moyenne distance de tous les points d’app1i|^iàtion : d’où l’on voit que, dans le- cas .où les forçes sont égalés , le centre des finroej est un point dont la position' ne dépend plfts^ùe de la figure formée par le%poiiits d’apçlicalton. • ^
Kt ..
De l'équiHlire des forces qui 'nqissent dans un même ytfun suivant des disèrUons quelconques.
88. Soient P, P",*ctc. { fiq'.\i ) les diffé-FiR rentes forces sitjiées d’une manière quelconque dans un même plan. D’un point quelconque A
lo8 KLÉHKNTS
pris dans ce plan', abaissons sur leurs directions respectives des perpendicnlîdres AB, AC, AD, etc., qui les rencontreqt en B,C, D, etc., et nommons p', p", p", etc.,* ces perpendiciïlaires.
Il est clair que la fpree P pourra*se. décomposer en une antre épale* parallèle et de même sens appliquée en A, et un côu^e dont le ^moment sera P' XJ-AB", ou P'p'.^e thêmp la force P' se décomposer^ en ime autre égaie parallèl^et de même* sens appliquée en A, et en un couple dont le n^oment sèra P' X AC ;
ou Pp"> et ainsi de suije pour toutes ies‘5qtres forces P*, etc. ^ .
Or, pour qu’il y ait éq*uilibre,^ il faut que la . résultante de toutes les forées appliquées^ en A soit nulle d’elle-mêrae, et q'iie le inoAiêut Résultant de toupies moments Pp', Pp"^ P*p2^ etc., soit aussi nul de lui-même. ' *
Cotte deruière condition est très-taoilc à exprimer, car tous les couple étani dàiis un*mênie plan, le couple résultant est égal,à la- sptume . des couples composants, «t l’on a surde-ctanip
Pp'rt- P'p" -1- Pp* -t- etc. = c. .
Pour exprimér l’autre condition , imaginons c]u’on décompose les farces P, P', P , etc., appliquées en A, chacune en (ieux autres suivani deux lignes quelconques AX, AY’ qqi'sc eou-
DE STATIQUE. lOg
pent en A dans le plan des forces. Nommons X' et Y' les deux composantes de P' suivant les axe» respectîjs AX , A Y ; même « X", Y", X*,
Y', etc., les composantes analogues des autres forces P", P^, ttc..i, suivant les. mêmes axes. Joutes les forces X', X", X", etj'. , étant dans une même droite AX , se coQipoaeront en une seule X = X*' -f- X"-t- etc. ; de même 'les forces
Y", Y*, etc. , se composeront en une seule Y=Y'-|-Y"+Y*-h.etc., et ces deux résultantes partielles* se composeront en une seule R qui seriTla exultante génêi;^e. Il faudra donç pour l’équilibre cpi’on aitiR ^feis les deux forces X^ ^ agissant si^-ant dêiix lignes qui se coupent, qe peqvenè i^pnner^une; résultante nulle, à nij^lts qu’ellês nê'soient dulles elles-mêmes, ' chacune en [«rticu^er par conséquent
la^onditloh R = o.exige.ces ^ux équations : X = O, Y = O , c!est-à-aire
X'-»-X''-|-X*-|-etc. = o,
Y' + Y"-|- Y*-|- ’etc. = o.
Les forces P, P', P”, etc., appliquées au point A, étant parfaitement égales et parallèles aux forces primitives appliquées dans le plan, il est clair que les composantes X', Y', X", Y", X", Y", etc., sont, pour la quantité, parfaitement les mêmes- que si l’on avait décomposé
l'io
KLKMENTS
les forces primitives* P', P", P*;*etc,, cliacuiie en son i)eu. Et par conséqpent les conditions de l’équilibre entre tant jde forces l’on voudra, situées 4(ns«tn tnôme plün', sont :
• i,*’. Que la jommci des fottces hlécouiposces fiarallèlement à de’ifx axes qui se coupent dans he plan , soà nulle p0r rapport à cfiac^n 4e ces ax es ;
2°. Qué la ’sorame des moments des J^orees par,
rapport à un point queloonqtœ du plan soit nùlte
d’ elle-même. . .
89. Si l’on troovdit que la dernière condition a lieu *par“ rapport à un Çertain point #onna,-et que les deux autres ^out aiîWi, lieu*par report aux directions de deux'axes connus , qu'on pout toujours supposer^nienés p«^ 5e* point, il y au-' rait -équilibre dans Je système;, et, puisqu’il y^ auraitiéqiÿli|)re’, Jés mêmes conditions auraient lieu par râppoft à tdds.les points et à tous ^es axes possibles, pris d^ns'le plantes forces.
Corollaire.
90. Si les forces P, P', P', ne sont pas en équilibre entre elles, mais qu’elles soient susceptibles de se réduire à une seule R , de sorte que — R soit une force capable de les tenir en équilibre, l’équation des moments aura lieu en y introduisant la force — R. Donc, en désignant par r la distance de c'ette foice au point
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A , on anr% l^qâation
-Rr+Py -4- Py+^p" Vetc. = o ,
OU
etc. ;
Rr »= F/V + P"p"
c est-à-dire^ie le*moment de la résultante, par
rapport à un point quelconque du plan'dqs forces, est ë(jat à ta somme de$ moments des composantes par raf)pori au gméme .points Ce qui donne'^e théorème connu des moments. '
Si^ le point par rapport auquel pn prend les moments^ et .qu’on nomme ordinairement le eentre^des .nnlSêtents , tombait sur la ud^ction * «• mêmp^de la résultante R, la pe^endiculqjre r serait nulle; j)àrco^séqu^nt le moment Rr ^ rait nul aué^^t l’on aurait ^ ^ ^
*91 p' + P" p" t\- F'p* -4- etc.
•Ce*qifi nous J^it voir^ué, à ^tn
poml jjuekoqfifie de Ih dation he la ré^ltaq^e, la somnle des momen que ton
voudra situées dans un mêtM plufi est toujours éqale à'zéro. *
Remarque.
