XV -+- Xy -+-etc. - YV - Y".r" - etc. = o

Nous retiendrons désormais cette expression de préférence à la première, parce que, dans les deux groupes, les forces positives seront

celles qui tendent ii aiif;menter les coordonnées de leurs points d’application, et les forces négatives , celles jqni tendent à diminuer les mêmes coordonnées.

• Corollaire I.

Vv t

F'b 34. 94.' Si les (feux axes AX, AY {Jig. 34) étaient à angle droit, les abstâsses étalés ordonnées elles-mêmes deviendraient les bras de levier des couples , et les mou^ents Xy , etc. , W, etc. , donneraient la mesure, absolue de leijrs efforts. Déplus, en <fiomift«nt a' l’angle que fait la direction de la force P' aveè l’axe'dcs ])ltscfese8,on aurait, pour la eo imposante X' parallèle à cet axe, P' cos a'.On aurait pour l’autre composante Y', P sin a'.

En nommant de même a" l’angle de la direction de la force P" avec l’axe des abscisses, on aurait X" = F' cos a". Y" =*P* sin a", et ainsi de suite ; et les équations précédentes deviendraient

P cos a' ■+• P cos a" -+- P cos a" •+■ etc. = o, P' sin a' -f P" sin a" -4- P sin a* 4- etc. = o, P ( y cos a' — .r' sin a' ) 4- P' ( j" cos a" — x" sin a") 4- P^Cj^cosa" — x"sin a*) 4- etc. = o.

Dans ces équations on n’aurait pas besoin de faire attention aux signes des forces, mais seu-

Dlgliizf !)y Cooc^lî

DE STATIQUE. l 1 7

icnient à ceux des abscisses et des orduiinées.

On regarderait toutes les forces P', P', 4^*’, etc. comme esseptiellemeut positives : les signes des sinus et des cosinus dgyneraient lés signes relatifs des 'composantes F*’cos«',eté., P' sin a', etc,, comme çela est facile à observer, sj^ l’jn veut se donûer la peine de faire pa*courir une circonférence entière à la dii'ectiop^ d’une forée* telle que P autour de fou point d’application B'. I ■ •

Remarque.

C’est de cette manière que l’on donné ordinairement les équations de Téquilibre pour des forces quelconques Situées dans un même plan. .

Ces équations renferment, sous* 4’expressipn la plus simple , les premières données de îa que.stion, savoir : les , quantités des forees, leurs directionsj par les angles quelles font avec une droite fixe de position^ et. leurs points immédiats d’application, par Jeurs»c6ordonnées rectangles. Nous aurions donc pu les présenter les premières, et même nous abstenir de consi- • dérer les autres par rapport à des axes obliques ; mais comme on les démontre quelquefois par cette considération , que les' deux groupes de forces sont rectangulaires entre eux , nous avons été bien aise de faire vojr qn’elles ne sont qu’un cas particulier de celles qu’on trouve par rap-

poit à des axes obliques -queleonques , et que la rectan{|ularitë des forces entre pour rien.

Nous reviendrons encore sur cette remarque.

CoiX)Unh'c II.

9.*>. Supposons qu’il n’y^ aU point équilibre entre Ifes forces etc. , et que ces forces

■soient susceptibles^e sé réduire à une seule R , qui sera leur résultante. '

Alors les trois équations de l’équilibre auront lieu en y introduisant la force — R;

Soient donc a l’aggle que fait la direction de cette force avec Taxe des, abscisses ; x et j les deux col6i-données . d’un point quelconque de cette dirçction.

Ed f|i^nt, pqnr abvéger,

P' cos a'-f-’ P ' cos ot"-+T P"'^cos a" + etc. = X,

P' sin a' + P" sin a" -h P” sin a" + etc. = Y,

et P (ycosa' — x'sina)'-t-I*" (y'cos a" — .x"sin a")

+P"(y"co%a“ x'sina") ■+■ etc*. = G , on aura d’abord • ’

X— Réosa = o, V^Rsiua = o,

d’où l’on tirera, à cause de sin*a+cos*a= i.

cos a =

Rê=VX*H-Y»,

v^xqiÿî’

ce qui fera connaitre la quantité de la résultante.

DE STATIQUE. l 1 9

et l'aogle a que sa dii'ection fait avec l'axe des ' abscisses.

Ou aura ensuite

G — R cos a — xsina) = o;

ou bien, en mettant pour R cos a et H siiia, leurs valeurs X et Y,*

• G--Xj4-Y.t = o:

Gomme on n’a qu’une équation pour déterminer les deux coordonnées .r et y, on sera maître de prendre l’une ou l’autre à volonté. Supposant, çar exemple, .r = o, auquel cas on demandé le» pînnt où la résultante coupe l’axe des 9', 00 aura

Si l’on suppose O, auquel cas ou cherche la distance .r du point où la direction de la résultante coupe l’axe des abscisses , on aura

On aura donc tout ce qu’il faudra pour déterminer la quantité et la position de la résultante de tant de forces que l’on voudra, situées dans un même plan.

Si l’on n’a trouvé qu'une seule équation pour les deux coordonnées x et y du point d’application de la résultante, c’est que, cette résultante pouvant être appliquée à l’un quelconque des

points de sa direction , il est impossible que le calcul donne l’un de ces points plutôt que l'autre. Il ne peut donc donner que leur lieu géométrique ÿ et l’équation précédente

G-Xj + Yx = o,

est, à proprement parler, l’équation de la direction de la résultante.

Rcmnrqme.

96. Dans les trois questions 1, 11, 111, .que nous venons de traiter ci-d.e$ads, toutes les forces étant ramenées à une seul^ R et im seul couple (S,— S), il y aura toujoure une résultante unique, si la force R n’est pas nulle. Car, la force R et le couple (S , — S) âcront toujours dans un même|)lan ou daae^des plans^arallèles, et par conséquent (71) se composeront toujours en une seule force. Ainsi, la seule condition nécessaire pour que des forces parallèles, ou des forcer situées dans un même plan, aient une résultante unique, est que la résultante de ces forces transportées parallèlement à ellesmêmes en un point quelconque ne soit pas mdle.

Si cette résultante est nulle, alors toutes les forces du système seront ramenées à un couple dont on connaîtra le plan et la grandeur, et l’on nç pourra leur faire équilibre qu’au moyen d’un

couple équivalent et dé sens contraire, situé dans le même plan ou dans tout autre plan parallèle. Passons mainten'ant au cas le plus général

Des conditions de l’équilibré entre tant de forces que l’on' voudra, dirigées d’une nufnière quelconque dans l’espace.

97. Soient P', F'^^P", etc. (Jig. 35), les diffé-Fîg. 35. rentes forces. D’un- point A pris arbitrairement dans l’espace, ménons trois axes cyielconques AX, AY,*AZ qui né soient, pas ,<lans un même plan, et décomposons chaque forbe en trois autres respectivépient parallèle^ à ces «Kes. t Nommons X', Y', Z' les trois composiéaites de F ; X*^, Y", Z"* les trois composantes .de F'; et ainsi de suite. Nous aurons alors, au lieu des forces P', F', P*, ete., appliquées at^'sjstème, trois groupes* de forces ppraUèles : le premier, composé des forces X', X", X”, etc., parallèles à l’a*xe AX ; le second , composé des forces Y',

Y’", Y*\ etc. , parallèles à* l’axe A Y ; et le troisième , composé des forces Z', Z", Z”, etc. , parallèles à l’axe AZ.

Cela posé : si l’on transporte toutes ces forces parallèlement à elles-mêmes au point A , celles du premier groupe iront se réunir dans l’axe

.rf

AX, et s’y composeront en une seule X égale à leur somme ; celles du second iront de même se réunir dans l’axe AY, et s’y composeront en une seule Y ëgal% à leur somme; enfin, celles du troisième se réuniront dans l’aie AZ , et s’y con^^scrout en une.seule Z égale à leur sommet Maintenanl cest^rois r^ultantes ^ar^elles X,

Y, Z se composeront en unR, seule R appliquée en A , représentée par la diagonale du parallélipipède construit sur leg tix»is lignes qài're- . présenfbraimit ces forces en grandeur et en

direSioq. ^ , .*

Orf par la’*pt;emièr* otfiidition générale de l’équilibre, 'il faut que cette résültante soit nulle d’elle-méme. Mais les*trois forces X, Y, Z, agiaiant'‘s(^vant des lignes qui ne sont pas dans un m^ç jplan-, ne peuvent jamais donner une résuUatite nulle , à* moids qu’allés ne soient nulles ch^nne en particulmr (42) ;'et par conséquent la coiiditioii B o exj[ge ces trois équations* particulières , ^ = O, Y’=o, Z^o, c’est-à-dire

' . X' -I- X'^-p’ X* -h qtc. = O,

■ * Y' -H T' + Y" -4- etc.' = b,

TJ -4-: 'If. Z* —H etc. = O.

Cô qui nous apprend que pour l’équilibre de tant de forces que l’on voudra, appliquées

ÜE STATIQUE. 123

d’une manière (jiuelconq'ue à un corps ou système de figure invariable, il fauV d'abord ces trois conditioûs partjfulièTes :^e la somme des Jçfces décoiftf)Osëes paraOèégrtigtd à trois axes (fuelconqueS soit mille Pat rapport à chacûn <àe ces axes. * w

Par la secpiidefconditioa généra^ de l’équilibre , iWaul^quer le couple résqlt^nt d^stou^ les couples i'orn/és par les forces ‘à l'égard du point A, soit aussi «nul de alui-Hi^die* Développons maintenant cntlé'^ecoBde condition. ^<4 *

^dlt B' le pi^ut ^ppjicatÛDtp de la force P'i et pa% con'séqiient le p'biiit d’applicg^on 'des trois composantes X'; Y', Z'} nornmons.o:', j'', z', ses trois coordonnées AG, CHi, HB'^ par rapport

aux trois axes AX, ÂY, AZ. Nommons de même

les -trois coordonnées du point d’application B" des trois cornposantes X*' Y",’ Z"; et ainsi dq suite.. • * » *

Considérant d’abord le groupe des forces Z', Z", Z", 'etc. , je remarque que la force Tl appliquée en fi' a Jproduit un couple (Z', — Z') appliqué sur AB', ou bien (en concevant la force TJ appliquée au point H où sa direction rencontre le plan VAX )a produit un'couple (Z', — Z') appliqué sur la diagonale AH d'un* parallélogramme ACHD, dont les deux côtés AC, AD sont égaux aux coordonnées x' et y'. Or, ce

couple peut se décomposer en deux autres composés de forces ^égales et parallèles aux premières , mais applic^éea sur les deüx? côtés AC , AD ou x\ y', daùs*lês plans respectifs XilZ, YAZ(»7).

Si l'on fait la même décomposition de tous les couples provenant du groupe TJ^ Z", Z", etc., dans les deux plans parallèTes à ce groupe, et les décompositions semblables de tous ceux qui proviennent des deùx aittres groupes, paf rapport aux deux plans analogues , if est manifeste que tous les Couples du système seront réduits à d’autres , siWés dans les trois plans^ ebordonnés. , ■ ^

Or, dans chaque plan, 'les couples ^se réduiront à un seul, égal à leur somme. Ces trois

couples résultants parÿels se compoiSeront'en un seul qui sera le couple résultant général, et

qui devra être nul pour l’équilibre. Mais ces trois couples étant situés dans trois plans qui forment un angle solide, ne peuvert jamais

donner un couple résultant nul, à moins qu’^s ne soient nuis chacun en particulier (65|; donc.

pour chacun Aies trois pians, la somme des moments d^es couples 'doit être mille d’clle-juêAie.

Or dans lè plan YAZ, on trouvera d’abord les couples

(Z', -Z'), (ZV-Z"), (Z-, - Z'), etc..

«Oigittze^ ‘

DE statique.

appliqués sur les lignes respectives

y\ y\ y". etc., '

ensuite les couples

(Y', -Y'),.(Y^ -Y"), (Y\-Y"), etc.,

appliqués sur les li^es respectives

Z •z'', z", etc.

l^.6(^me l’axç AY fait, .avec les directions des forces Z', Z", Z*, ..etc. 7 de* angles égaux entre eux et à ceux que foftne l'ajejAZ avec les directions des forcés Y', Y",'Y", etc. , on pourra prendre les produits Z'y', etc. , Y'z'y etc., pour moments , • dans la meanjre relative dfes couples siuiés^dans le .plan Yi^Z. Doqc^jvpuisque leur somme doit être nulle , on aura (dS)

Y'z' 4- Y"z" + etc. - ZV' — Z”f — etc. = o.

On trouvera de même, pour des deux autres plans ,

ZV 4- z;v 4- etc. — XV — XV — etc. = o ,

X'/4- Xy'4- etc. — YV— YV'— etc. = o ,

ce qui nous fait voir que pour l’équilibre du systoine , outre les trois équations trouvées’ cidessus, il nous en faut encore trois autres qui expriment que la somme des produits des composantes parallèles au plan de deux axes, par

leurs coordonnées relmlives au iioisième are^ doit

être nulle d'clle-tnème pour chaain des trois plans.

98. Dans les équations précédentes, on prendra les signes* des coordonnées, comme en Géonlttrie, positives dans un mêfne coin X AYZ, et négatives dans le cdin oppesé.

Parmi les forces,, on regardera, dans chaque groupe, conime positives celles qui tendent à augmenter le^coordonnées d» leurs points d'application, *conttné négatives celles*qui tendent à les diminuferi(95).'*

• Remarque. ^

99. Si l’on trouvait les six équations précédantes ont|J|icu par rapport à trois axe» particuliers non situés dans le même plan , il .y aurait équilibre dans le système, et par conséquent Tes mêmes équations auraient lieu par rapport à tous les axes possibles.

Corollaire I.

100. Si les trois axes AX, AY, AZ, étaient rectangidaires entre eu> , les coordonnées deviendraient les bras de levier des couples, et les produits Zy, YV, XV, etc., etc, les expressions absolues de leurs moments.

De plus, en nommant a' , /3', y' les trois angles que la direction de la force P fait avec les

trois axe^ respectil» ÂX, AY, AZ, ou plu«6t avec trois parallèles à ees axes , on aurait pour les trois composantes de P' (4-ôi),

X' = P Cbs a', Y' = P cos /3', Z' = P cos 7

En nommant de ijicme a", ^", 7", etc. , les aufjles analogues des directions des forces P, etc., avec les mêmes axes, oa aurait

X"=P'cosa", Y^=P'cos/S", Z"=P'cos/,etc.,

et les équations précédentes deviendraient

P' cos a' -t- P' coifo^ -+- P* cos a* 4- etc. = o ,

P cos + 4- P cqs etc. = O ,

P' cos 7' 4- P' cos ■^4- P cos7*4-etc. = 0,

P (;' cos /3' — y cos / ) -^ cos — y" cos 7")

V' 4-P’'(z''cosP''-ycos7*)4-ctc.=o, P(jc' <:os7' — z'cosa')4- P' (oc" cos 7" — z" cos a")

^ • 4 p’’(x"'eosy'" — z*cosa")4-etc.^o,

P ( y cos a' — x' cos /5'.) 4- P' ( j" cos a" —x" cos p") ' 4, P"( j*coS a”— X* cos/3* ) 4- etc. = O.

* Remarque.

101 . C’est Sbus cette foqpe que l’on présepte ordinairement les six équations de l’équilibre. Elles renferment d’une manière très-simple les quantités des forces P, P, P, etc. , leurs points d’application , au moyen de leurs coordonnées

rectangles par rapport à trois axes , ^t leurs directions, par les cosinus des angles quelles font avec ces axes.

Comme on a coutume d’attribuer aux forces rectangulaires une certaine indépendance d’effets, qui ne leur appartient pas plus qu’^à celles qui agissent sous un angle quelconque, pourvu qu’il ne soit pas nul, U. est bon de remarquer que les équations d’équilibre par rapport à des axes rcct£mgidaires , ne sont^ qu’une simple conséquence de cellës qu’on trouve pai’ rappprt à des axes obUques quelconques , et qù§ par conséquent le principe de l’inf^iipn^ance entre les effets des foret» rectangulaires ne doit entrer polir rien dans leur déihpnsti^tion.

Observons d’ailleurs que d’après ce principe un peu vague*^ on pourrait être conduit par un raisonnement très-simple à une erreui'. trèsgrossière : car en considéiant, .par exemple, deux groupes de forces rectangulaires, situés dans un même plan, si l’on suppose qu’il y a indépendance entre les effets de qes deux groupes, on en conclura que lorsque leur systèmè est en éqn^bre , chaqûe groupe doit être en équilibre de lui-même , ce qui n’est pas vrai.

Et il en est de même dans le cas de trois groupes de forces , rectangulaires dans l’espace.

DE STATIQUE. I JC)

dont le ^stème peut-être en équilibre, sans qüll y ait équilibre en particulier dans chaque groupe , ni même dans aucop d’eux. ."»* ■

Il faadrait donc, dans ces dénx cas, ne faire de ce principe qu’un usage restreint, et ne'dpnsidérer l’indépendance des effebr qne ndativemçnt aux mouvements de translation que les forces peuvent donner au système; ou bien il faudra avoir soin de ne l’appliquer qu’au cas de deux groupes , l’un composé de forces perpendiculaires à un même plan, et l’autre de forces quelconques situées dans ce plan , auquel cas l’indépendance des effets a lie# d’une manière absolue. Mais eomme cette indépendance aurait lieu tout de même, si le premier groupe tombait sur le plan du second sous un autre angle quelconque , pourvu qu’il ne fût pas nul , il s’ensuit qu’elle il’â pas lieu parce que les groupes font un angle droit, mais seulement parce qu ils font un angle. Ainsi, dans tous les cas, le raisonnement qui prouve le principe en question étant fondé sur ce que les forces font un angle droit, tombe de lui-même, parce qu’il* n’est fondé sur rien.

Corollaire II.