On peut donner aux trois dernière.s

équations de l’équilibre une forme plus simple , Statiql’k P. g '

l3o ÉLÉMENTS *

en y mü’oduisaot, à la place des coordonnées des points d’application , les plus courtes distances des dircctioiK des forces aux Jrois axes rectangulaires. •

En effet, dans la première, équation , à la place du tenue (z' cos/5' — / C0S7') , qui. exprime la somme des moments des deux forces F cos P' cosy, par rapport au point où leur plan' irait couper l’axe des x, ou peut «11 substituer un auti'c qui exprime le moment de leur rt^ltautc par rapport au même point (90).

Les deux forces F cos/5', F COS7', étant rectangulairesfcntrc elles , on a pour le carré de leur i:ésultante, F=* cos*p' F^* cos* .7', ou F* (cos* /S' -h cos* 7'); ou bien (à cause de cos* a' -h cos* /5' -h cos* 7 ' = i ), P'* ( i — cos*«' ) , c’est-à-dire F* sin*o'.

La résultante est donc F sin a'. La distance de celte résultante à l’axe des x étant nommée on aura pour son moment, Fp' sin a', qui remplace le terme F(z' cos/3' — / cos 7'); on aura de même F'p" sin a", etc. , à la place des -termes suivants de la première équation, eu désignant parp", etc., les distances respectives des résultantes analogues à la première, par rapport à l’axe des x. ^

La première équation sera donc mise sous cette forme ; • • - .■

• ÜE statique. ,i3i •

P// sia a' -H P"p" sin a" -h P"p" sin a" -+- etc. t= o/

Or, il est visible que //, /)*, p", etc. , ne sont autre chose que les plus courtes distances des forces P, P", P", etc. , à l’axe des x; car la force P sin a', qui est située dans un plan perpendiculaire à cet axe, étant composée avec la force - ’• P cos a', perpendiculaire au même plan, devrait donner pour résultante la force P qui est dans l’espace. La force P sin a' n’est donc autre chose que la projection de la force P sur un plàu perpendiculaire à l’axe des x, et pir con- •séquent la plus courte distance p' de'cette projection à l’axe des xn-’est autre chose que la plus courte distance de la force P au même axe.

Si l’on désigne par f/', q", </*, etc., «t par »•', r”, r", etc., les plus courtes distances des forces P, P', P", etc., “aux axes re-spectifs'des^' et des Z, on trouvera de même pour les deux autres équations ,

Pq' sin /3' -t- P'q;' sin /3" -4- P"q* sin /3" -4- etc. = o,

P;’' sin / -4- V"r" sin/' -t-.P*»’* sin 7" -4- etc. = o.

103. La projection d.’une force sur un plan , multipliée par sa distance à un axe perpendiculaire .au plan, est ce qu’on nomme ordinairement le moment de la force par rapport A l’a.xe; et de cette manière on énonce ainsi les trois équations précédentes de l’éqiiilibrct:

La somme des moments des forces doit être nulle par rapport à chacun des trois axes, dans le cas de l 'équilibre.

Corollaire III.

104. Si, dans leâ six équations de l’équilibre on veut supposer que les forces F, P", P”, etc. sont toutes parallèles , ou toutes situées dans un même plan , etc. , etc. , et qu'on mette à la place des coordonnées or', etc., et des angles

a', |3', 7', etc.' les valeurs qui conviennent'à ces sjvppositidbs , on retombera sur les équations d’équilibre précédemment trouvées pour ces différents cas, et l’on en tirera les mêmes conséquences.

105. Si l'on suppose ,,par exemple, que les directions des forces F, F', F", etc., concourent toutes au même point , et qu’on ait pris ce point pour l’origine des coordonnées , les cosinus des angles a', /3', 7', etc., seront propo^ionnels aux coordonnées respectives x', y', z', etc. , des points d’application ; de sorte que l’on aura ;

x' \ y' : ; cos a' ’. cos^', xf:z’ : ; cos a' : cos 7', etc. ,

ou y cos a' — x' cosi/3' = o,

x' COS7' — z' éos a' = O ,

' etc. >

DE STATIQUE. i33

liQs trois dernières équations de l'équilibre' disparaîtront donc d’elles-mêmes, et l’on n’aura plus que les trois^ premières, qui nous font voir que pour l éifuilihre d un ^slèifu; de forces dont les directions concourent Joutes ifers un même point , il est nécessaire et il suffit que la somme fies forces décomposées suivant trois axes soit égale à zéro par rapport à chacun de ces axes; et c’est ce que l’on savait d’ailleurs immédiat^ent.

Si l’on suppose que les forces P, P', P”, etc., ne forment ensemble que des • cDuples ; comme alors chaque force P', inclinée sur l’axe des .i d’un certain angle a', aura dans'le système son égale , mais inclinée au mente axe de l’angb* ^ 200° -t- a', il n’y aura pas de terme ^ cos a' qui ne trouve son égal et contraire dans la première équation de lequilibre : et la mcnkc chose aura lieu dans les deux autres. Ainsi les trois premières équations disparaîtront d’elles-mémes, et l’on n’aura plus. que les trois dernières, d’où il résulte que, pour féquilibre de tant de coiiples qu’on t>oudra appliqués sur un corps, il est nécessaire et il suffit que la somme de ces couples '.décampons perpendkidairement à trois^ axes, soit égale à zéro par rapport à chacun de ces axes: ce qni était d’ailleurs aussi clair que In proposition précédente;

Corollaire IV.

Recherche de la résultante de toutes les forces P, P", P", etc. , lorsque ces forces ne sont pas en équilibre , et quelles sont susceptibles de se réduire à une seule.

106. Suppo60DS qu’il n'y ait point équilibre entre les forces P', P', P", ptc.; et soit, s’il est possible, la force —R capable de leur faire équilibre , et par. conséquent R leur résultante.

Les six équations précédentes devront avoir lieu en y faisant entrer la force — R.

. Soient donc y les ti-ois angles que forme la direction de la résultante avec les trois axes coordonnés. En faisant, pour abréger,

P cos c? -t- P' cos a" P" cos a" H- etc. = X, P cos P cos ]S"‘+ P* cos etc. = Y, P cos / + P" cos y" -+- P cos y" + etc. = Z ,

on aura d’abord ces trois équations :

X— Rcosa=o, Y— rRcos|8=po, Z— Rcosy=o; d’où l’on tire • ( en observant qu’on a cos* a

-+-cos*/3 + cos*Y = *) • /

pour ta quantité de la résultante. On aura ensuite, pour les angles a, |3, y, que sa direction

ÜE STATKJUE.

fait avec les trois axes,

cos a =

cos ^ =