XL -h YM + ZN = O

qui ne contient plus d'inconnue, et qui exprime la relation qui doit avoir lieu entre les résultantes partielles X, Y', Z, et les trois moments résultants pârtiels L, N; ^our que les trois équationsprécédentes pm'ssent subsister à la fois, et par conséquent pour que toutes les forces du système puissent avoir une résultante.

107. Si cette équation de condition a lieu , les ‘valeurs des ti’ois coordonnées x, y, z se présenteront sous la forme parce que la résultante pouvant être appliquée à tel point .de sa direction qu’on voudra, U est impossible que le calcul détermine l’un de ces points plutôt que tout autre. 11 ne peut donc donner que leur lieu géométrique, et les trois équations précédentes ne sont autre chose que les équations des trois projections de la t'ésultante sur les plans coordonnés. Par conséquent, l’une de ces équations est une suite nécessaire des deux autres, » •

et l’on n’a , à proprement parler," que deux équatiqtis entre les trois indéterminées x,y, z; d’où il suit qu’elles doivent se présenter sous la forn[ie de.^. ,

J)E STATIQUli. |37

108. On se donnera d()nc à volonté l’one de ces trois quantités, et l'on déterminée^, alors les deux autres au moyen des équations précédentes.

Si l'on suppose, par exemple , x = o, auquel cas on demande* le point où la direction de la résultante traverse le, plan vertical YAZ, on aura pour les deux coordonnées de ce point,

Si l’on suppose 7 = 0, on aura

Si l’on suppose z = o, on aura

C’est-à-dire qu’en considérant le point où la direction de la résultante eoupe le plan de deux axes, les distances respectives de ce point à ces deux axes se trouvent fn divisant les sommes respectives des moments dcs forces par rapport à ces axes, par la somme des forces estimées suivant le troisième.

On aura donc ,M’après ce que nous venons de dire, tout ce qu’il faudra pour déterminer la quantité de la résultante et sa ppsitibn dans l’é.s-

ÉLÉMKKTS

pace, si toates>les foi*ces appliquée au système sont susceptibles de se réduire à une seule; et cela aura toujours lieu-, si l’équation de condition XL-t-YM-f-ZN = o est satisfaite, pourvu que Jes trois résultantes X;.Y, Z, ne soient pas nnlles à la fois; car, si ces tVois forces sont nulies, il est clair que le§. forces P, P', P", etc., seront réduites aux trois couples représentés en j;randeûr par L, M, N, lesquels ne peuvent jamais se réduire qu’à un autre couple.

• G’estceque le calcul précédent aurait puaussi norts indiquer, qupique d’une manière un peu obscure ; et en effet, dans le cas de X, Y, Z, nulies à la fois, on trouverait , par les équations ci-dessus , que les points de rencontre de la résultante avec les plans coordonnés sont tous trois à une distance infinie de l’origine. Or c’est ce qui ne peut plus s’eXipliqaer en 'Géométrie; car, pour imaginer une droite qui rencontre à l’infini les trois plans coordonnés, il, faudrait imaginer*: une , droite qui fût à la fois parallèle à trois plans qui ne se coupent qu’ên un point, ce qui est aUsurde : d’où l’on voit que l’hypothèse d’une résnltante unique est alors impossible.

>|t • • i J fP i*.* *

CordUaire V.

. Réduction générale des forces: '

lé

109. Mais, dans tous les cas, on peut rëdu\re toutes les forcer appliquées au système à une seule pas^nt par l’origine^t à un couple dont il est facile de déterminer le plan et- la quàn-r tité ; réduction qui ne laisse de nuage dans aücun cas. , .j « / i i

En effet, on aura. pour la résultante R. des forces transpprtécs à l’origine • .

tl = vX* + Y» + Z*,'

et pour les trois angles a j ^ , 7, que sa direction forme avec les trois axes,

cosa = -,.cos^=^, cosyq^i^.

En second lieu, L, M, N représentant respectivement les trois couples résultants, situés dans les trois plans perpendiculaires aux axes des .r, J, Z, si l’ôn nomme G le moment du couple résultant, on aura pour sa quantité,

et pour les angles X, p, v, qu’une perpendiculaire au plan, de ce couple, ou que \'axe du couple