I-4o ÉMÎMENTS

forme avec les trois axes respectifs des x, y, s,

cosA=-^, cos p = cosv=^. •

. Copolloire VI.

'1 10. Si l’on voulait exprimer directement que toutes les forces P', V', P*, ete. , ont une résultante uniquè; d’apr^ce ^îe nous avons vu dans le ppemier'€hapitre(n“ 71),. iMiaudrait exprimer que la résidtantc R et le eouple résultant sont dans des plans parallèles, oa^e qui est la même chose, qae l’axe du couple est perpendiculaire à la directiou de la résultante. ,

Or, a, /3, y, étant les trois angles de la direction de la force R, avec les trois axes des x, j, z, et A, les angle» analogues que l’axe du

couple fait avec les mêmes lignes , on sait par la Géométrie (*) que ces deux droites seront rectangulaires dans l’eâpace, si l’Cn a

cos a cos A -i- cos P cos p. -ir cos y cos v=o.

Donc , en mettant à la place des cosinus leurs valeurs trouvées ci-dessus, et multipliant toute l’équation par RG, on aura . • ■

XG -t- YM 4-'zN = o,

comme nous l’avons' trouvé plus haut.

Ü faut toujours sous-entendre que la force R

*■ (*) c>-*prês, n" H3.

DE STATIQUE. l4i

u’est pas uuUe , ou qu on a

inégalité qui exige simplement que les trois forces X, Y, Z ne soient pas nulles à la fois.

Ainsi, cet|^ condition, que le calcul nous avait offerte dans la recherche de la résultante générale , n’est autre chose qué l’expression de célle que nous avions trouvée dii;ectement dans le premier chapitre, pour que^des forces qui ne se font pas équilibre ' puisent toujours se composer en une seule.

Remarque.

■ i 11. Pour exprimer que' Jes'forces quelfconques sont susceptibles de se déduire à une seule,

on avait donné ces trois équations déterminées, '

X(YV + ) - Y<X'i' + ) = O,)

Y(ZV+ ) - Z(Y'x' -4- ) = o,J (Aj'.

z(X'j'+ ) -X(zy + ) = o,y .

qui ne sont- pas, comme on voit, celles de la

direction de la résultante (106), mais où X, Y, Z ont les mêmes valeurs , et où je désigne , poui‘ abréfjer, la somme des produits YV, Y*2"; etc.', par (Y'z' -f- ); et ainsi des' autres.

Mais ces trois équations sont à la fois insuffisantes et trop nombreuses; elles peuvent avoir

lieu toutes trois, sans qu’il y ait une. résultante unique, et il peut y avoir une résultante unique, sans quelles aient lieu toutes ti’ois, ni même aucune d’elles.

Cela paraît assez clairement à l’inspection même de ces équations comparées à l’équation unique que nous venons de donner; mais on peut encore s’en rendre compte en suivant le raisonnement d’après lequel on les trouve, et en'examinant oe qu’elles signifient.

••En effet, après, avoir aréduit toutes les forces appliquées au système à trois groupes de forces parallèles aux trois axes coordonnés, et ces trois groupes à trois résultantes partielles X, Y, Z, parallèles aux mêmes axes, on suppose (juc ces trois forces doivent se rencontrer en un ’irtême point, pour quelles puissent se composer en une seule ; et pour cela , on cxprinie’que les résultantes partielles prises deux à deux sont à égales distances du plan qui leur e.st parallèle; ce qui donne les trois équations (A), au moyen desquelles les .trois forces doivent en effet concourir au même point , et par conséquent sfrcomposer en une seule. ^

' Mais, d’abord, on oriiet le cas où les^ Uois groupes ne pourraient pas se réduire respecti- ' veraeut à de simples forces, mais se réduiraient à des; couples ; alors, les trois résultantes par-

ticUes étant nulles , les trois équations de condition seraient satisfaites, et pourtant il n’y aurait pas de résultante unique , mais bien un couple résultant. Ainsi ces trois équations sont insuffisantes.

D’un antre côté , elles exigent trop ; car j ’ en supposant que les trois groupés se rédqisept à trois simples forces , on voit qu’il n’est pàs né- v cessaire , pour qu’elles puissent se composer en une seule, qu’elles se rencontrent toutes trdis en un même point : il suffirait {^mplement que deux d’entre elles se rencQntrassent, et qüe la troisième allât rencontrer quelque part la direction de leur résultantç. Mais , ce qui est plus remarquable, cela même n’est pas nécessaire; caries trois forces X, Y, Z peuvent se réduire à une seule, sans qu’il y ait aucune rencontre entre leurs directions dans l’espace : c’est ce qu’on a vu directement au n“ 7£».

Si l’on veut voir la même chose par notre analyse,’ soient a là plus courte distance de Y à. Z, b celle de Z. à X, et^e celle de X A. Y; et pour simplifier, prenons l’axe des x suivant la droite a, et celui des. s" suivant la force Z.; on trouvera dans cette bvpotbèSe, L = o^ M = — Xr, etN = 'Kb -»■ Ya; et l’équation de condition XI^-f“ YM -3- ZN = o deviendra - -XYe — W, -H YZfl = f). ‘

Or, il est évident qu’on peut trouver trois forces X , Y, Z dans une infinité de proportions différentes , qui satisfassent à cette équation , et qui, par conséquent, aient une résultante unique, quelles que soient les distances mutuelles a, 6, c de leurs directions dans l’espace.

fit comme on n’a qu’une. seule équation, on y voit mêine qu’on peut se donner à volonté deux de cés forces , et déterminer ensuite la troisième en conséquence de cette équation.

Qu’on suppo^ , par exemple , les deux forces X et Z représentées par les lignes a et c; on trouvera que la troisième forée Y doit être représentée par la moitié «Te b. Ainsi , voilà trois forces, entre autres, qui sont situées en trois arêtes, deux à- deux non parallèles et non contiguës, d’un -même rhomboïde rectangle, et qui pourtant ont une résultante -unique : et il est même aisé de voir que cette l'ésjiltante passe au milieu de la plus courte distance b qui sépare les. forces X et Z proportionnelles aux lignes a etc.

■On peut faire une foulé d’autres exemples; i] suffit de ne pas se donner deux forces dans le rapport particulier qui, d’après l’équation précédente , rendrait la troisième force infinie.

Au reste, ce qu’on vient de dire pour -trois forces rectangulaires dans l’espace , s’àpplique-

ÜE STATIQUE. l45

rait de même à trois forces parallèles à trois axes obliques quelconques; car, relativement à ee$ axes obliques, si l’on cherchait par la’méme analyse qu'au n° 106 , la condition générale d’une résultante unique, on trouverait une équation toute semblable à la prépédente^ et qui , pour le cas de nos trois forces , donnerait également XYc — XZ6 ■+■ YZa = o; d’où l’on tirerait les mêmes conséquences, en observant que, dans cette équation, a, 6, t> ne rêprésen7 tent plus les distances mutuelles des trois forces obliques X, Y, Z, mais trois lignes dont chacune va de l’une à l’autre force parallèlement à la" troisième.

Si dés trois lignes a, b, r, il y* en avait deux nulles, sans que la troisième le fût, l’équation précédente serait réduite à uu seul terpie , qu’on ne pourrait rendre nul, sans faire quelqu’une des trois forces égale à zéro : d’où il résulte que, si trois forces finies sont situées de manière que la direction de l’une d’elles rencontre les directions des deux autres qui ne sont point en même plan, ces trois forces ne sont jamais réductibles à une seule; résultat qni s’accorde avec ce qu’on a dit à la fin du n° 75. ”

On voit donc, pour revenir à notre objet, que des trois équations (A) qu’on avait données avant notre théorie, il n’y en ‘a aucune qui soit

Statiqui: P. ■ • lo

l46 • ÉLÉMENT^

nécessaire pour' la contbtipn qu'on avait eu we^ et qu’elles sont, tout-à-faie étrangères à la qnes>^ tion dont il s’agit Mais il y a encore uo<‘ antre remarque assez curieuse à faire sur,ces équations. •' *

• Si on le> ajoute ensemble , ce qui est assez naturel à cause de leur symétrie, et ce que l’anteup même avajt fait, U arrive que la somme de ces trois 'équations revient précisément à la nôtre XL -t- YM -f- ZN = o. Ainsi, l’on av.ait rencontré par hasard ia vèf||câ)Ie équation du problème , et il est clair qu’on ne s’en était point aperçu-, car on aurait vü sans doute que, la sompie de trois quantités pouvant être nulle d’une infinité de manières, sans qu'aucune , d’elles^^- Fc soit en particulier, il pouvait y avoir une résultante unique, sans qu’aucune des trois équations regardées comme nécessaires fût satisfaite;,d’où l’on aurait conclu quelles n’étaient pas nécessaires,' et qu’il . fallait les supprimer . aveé l’ànalyse défectueuse qui y avait conduit. Mais., avant netre théçrie, on ne savait pas précisément en quoi consistait la condition générale d'une résultante unique.

Quoiqu’on ait depuis rectifié cette analyse par celle que j’ai donnée au n° 106, je n’ai pas - cmi cette ‘petite 'discussion inutile, non-seulement parce quelle éclaire un point important

DE'STATIQOE.

de la composition des forces, et qu’elle fait voir la fausse supposition sur laquelle on s’appuyait,-mais parce que ce pariiop,isnic subsiste encore, et s’est reproduit jusqu’ici dans<un ouvrage célèbre où rautcur des équations (A) paraît l’avoir emprunté. • • ;

Corollaire VIT. . .

112. Lorsqu’on a les trois .équations L = o, M = O , N = o , le moment G du couple résultant est nul , et les forces appliqi^ées au système se réduisent à une seule R dont la direction passe par l’origine.

Et comme le moment G ne peut être nul , à moins que les trois moments résultants partiels L, M,N ne'soient nuis à la fois, il s’ensuit que si l’on voulait exprimer que des forces quelconques se réduisent à une seule qui passe en un point donné, il faudrait , en supposant qu’ou ait pris ce point pour origine, poser les trois éq'uations L = b, M.*=’o, N = o.

' Remarüue.

113. Nous terminerons cet article général par un lliéorème importànt sur la manière d!çs— tiiuer les forces suivant une direction.donnée , ' et leurs moments, par rapport à uu axe donné, lors(pie l'on connaît déjà ces forces et heurs

nKtaieDts estimés par rapport à trois aXes rectangulaires.

Mais démontrons d’abord la proposition suT laquelle on s’appuie au n** 110, et dont nous nous servirons encore ici.

Soient 'deux droites situées d’une manière quelconque dans l’espace. Nommons a, j3, y les trois angles que fait la première avec les trois axes coordonnés; X, p, v, les angles analogues >de la seconde avec les mêmes axes : je dis qu’on aur«, pour l’angle $ que ces deux droites forment entre elles , cos 0 = cosacosX -+- cos jS cos p. -J- cosy cosv.

En effet, transp>ortons, pour plus de simplicité, nos .deux' droites parallèlement à ellesmêmes jusqu'à l’origine : les angles a , jS , y, X , p., V et l'angle 9 ne changeront pas. Prenons sur la première , à partir de l’origine', une longiieur arbitraire d , dont l’extrémité aura pour coordonnées x,j, z. Prenons de même sur la seconde ime autre longueur quelconque D,' dont l’extrémité aura poiH' coordonnées x, y, z. Si l’on joint ces deux extrémités par une droite H , on aura un triangle dont les trois côtés seront d, B et H; et puisque 6 est l’angle compris entre les deux premiers, on aura, comme ou le sait,

11* == d* -h I)* — idurosô;

DK STAtlQUE. l4<)

mais on a ' ' '

et H* = (x — x)* -t- (/ — y)* + (2 -* z)*; .

substituant dans Ma première éqtialion, réduisant, et dégageant cos ô, il vient .

ou bien

a xx-|-JTt-+-a = — ’

rf O 3 P

mais on a évidemment

- ^ = cos^, ^ = 008 ^ J = cos 7,

et de 'même ‘ *7’ ’

-=COSÀ,; - = cosu,,- = cosv;

donc , .

COS0 = cosa cosX + eosjScosju. -f- cosycosv.

Si l’on veut exprimer tpie les deux droites d et D sont rectangulaires erftre elles, il faut poser cos Ô = 0 ; et par conséquent

cosa cosX -t- cos/3 cosjx -H cosycos v = p, ce que nous avions supposé au n* 110., „

1 5o éléments

114. ActUellemeDt changeons les lettres X, fl, V, en a', /3', y et considérons une force R dirigée suivant la première droite. Cette force estimée suivant la seconde, ou projetée sur elle, donnera pour sa projection, que je nomnae R', B' = R cos 9, et par .conséqu^t

R' = Rcosacosa'-H R cos/?cos]3'+Rcosycosy'.

Mais R cosa, R coÿj3,.R cosy expriment les trois composantes de la force R suivant les trois axes ; donc si l’on nomme X , Y, Z ces composantes, on aura plus simplement

R' = X cos'a' Y cos]3' -+- Z cosy'.

Ce qui nous fait voir que , fX)itr estimer suivant une direction différente de la, sienne , une force dont- on connaît' d^à les composantes suivant trois axes rectangulaires, on na qu'à prendre la somme de ces ‘ composantes multipliées respectivement par les cosinus des angles quelles forment avec la direction nouvelle.

C’est ainsi qu’en Géométrie, pour projeter une ligne sur un axe quelconque , on peut d’abord projeter cette ligne sur trois axes rectangulaires ; projeter 'ensuite ces trois projections sur l’axe donné, et ajoutée ensemble ces projections de projections. • '

1 IS. Pareillement, si l’on considère un couple

dont le inomeut soit représente par une partie G prise sur son axe , et que ce moment décomposé par Tapport à trois axes rectangulaires donne' les moments respectifs L, M, N, on voit, comme ci-dessus, que pour e^mer le moment G par rapport à un axe nouveau qui forme, avec les trois premiers, des angles Xî, * ju', y, il u'y aura qu’à prendre la somme des moments composants L, M, multipliés par les cosinus respectifs de ces angles , de sorte qu’en nommant G' la valeur relative du moment G , on aura

G' = L cosX' -4- M cos[Â.' H- N cos v', d’où il résulte que la somme des moments 4e tant de forces que l'on voudra, par rapport à un axe quelconque, est égale aux sommes de leurs moments, par rapport à trois axes rectangulaires, multipliées respectivement par les cosinus des cmgles que ces trois axes font avec le nouvel axe donné; ce qui e$t un théorème tout seçùblable au précédent.

' DES CONDITIONS DE L’ÉQUILIBRE Lorsque le corps ou système sur lequel les forces agissent n^est pas enti'erefnetit libre dans l'espace , mais' se trouve gêné par des obstacles.

Nous allons examiner trois cas principaux

tSl ÉLÉIfENTS .

auxquels il est facile de raraencr tous les autres,

comme on pourra le voir pai* la suite.

De l’équilibre 4' un corps ,qu\ na que la liberté de tourner pn tous sens autour <fwï point' fixe. ' . . ,

Les six équations de l’équilibre d’un corps ou système libre sont, comme nous l’avons trouvé ci-dessus, <

116. Supposons maintenant qu’il y ait un point fijce dans le système, et qu’on Fait pris pour l’origine des coordonnées. Il est clair qu’il pourrait alors y avoir équilibre sans que ces six équations fussent satisfaites; car, quoique le point fixe soit par lui-même' incapable de produire Je moindre effort , il peut néanmoins anéantir ceux des puissances dont la résultante irait y aboutir, et par là tenir lieu de nouvelles forces dans le système.

Mais , quelles que soient les forces dont un point fixe puisse tenir lieu par sa résistance , il est bien manifeste qu’elles doivent toutes passer par ce mém'e point ; que, par conséquent , on peut toujours les y concevoir comme. corapo-

DE STATIQUE. l5.3

sées en une seule, et imaginer uinsi , à la place thi point fixe, une force miique r qui remplace sa résistance, et considérer alors le système comme parfaitement libre dans l'espace.

Les six équations précédentes devTontMonc avoir lieu si l’on y introduit la nouvelle force.?'.

Or, cette force étant’ immédiatement appliquée à l’origine , fournira trois nouvelles composantes, x, Y, Z, dans les trois axes, et ne fouiTiira aucnn couple nouveau dans les trois plans. TiCS six équations de l’équilibre .seront donc

X X — O, Y Y o , Ij Z — O ,

Les trois résultantes partielles X , Y, Z pourront donc a.vpir telles valeui’s qu’on voudra. Car, en .supposant la résistance du poiut fixe indéfinie dans tous les sens, les trois forces x , Y, Z prendront telles valein-s et tels signes qn’on voudra, et , s’égalant toujours, en quelque sorte, aux trois forces contraires X, Y, Z, appliquées au même point , rendront toujoui's les trois premières équations satisfaites.

Mais il faudra que les trois moments résultants partiels L, M, N. soient toujoui'S nuis d’eux-mêmes, ce qui uous fait voir que, pour l’équilihre d’un corps qui tût que la liberté de

toiinier nidoiir H’un point fixe , U est nécessaire el 'il

suffit que la somme des moments des fôrées par

l'apport à trois axes rectdiujulaires menés par ce

point, soit nulle d' elle-même relativement à chacun \ ^

de ces trois axes. -

117. î.,orsque toutes-les forces appliquées au corps soqt parallèles , on peut mener par le point fixe deux plans parallèles à leurs directions , et décomposer tous les couples dans ces deux plans. Il suffit donc alors pour l’équilibre

*dn système, que la somme des moments soit nulle par rapport ù-deux axes |>erpcndiculaires à ces plaus.

Lorsque toutes les forces sont dans, un même plan avec le, point fixe, tous les couples à l’égard de ce point sont aussi dans ce plan • et il suffit alors que la somme des nioinents soit nulle par rapport à un seul axe perpendiculaire à ce plan. • ■

Remarque.

118. Nous savons que les trois équations Ij=o,M. = o,N = o, qui assurent , dans le cas général , l’équilibre /du système , expriment d’une autre manière (112) que les forces appliquées doivent avoir une résultante unique qui passe par le point fixe. Donc , si l’on avait voulu partir dé cette conséquence comme principe ,

‘ DE STATtQüE. l55

c’est-à-dire regarder d'abord comme évident que les forces appliquées ne peuvent se faire équilibre autour du point fixe, à moins qu’elles n’aient une résultante unique dirigée vers ce point, on en aurait conclu réciproquement que l’on doit avoir pour l’équilibre les trois équations L=o, M = o,N = o; ce qui nous aurait conduits au même résultat. >

Corollaire.

De la pression exercée par les forces sur le point fixe.

119. Quoique nous ayons supposé le point fixe susceptible d’une résistance indéfinie en tous sens,- cependant, lorsque des forces don- • qées se font actuellement équilibre sur cet appui, il n’a besoin que d’une certaine résistance déterminée. Cette résistance actuelle, prise en sens contraire, est ce que l’on nomme la pression qu’il éprouve de la part des forces du système.

■ Ainsi , pour calculer cette pression , on n’aura qu’à déterminer la force — r. Mais l’on a, par les équations ci-dessus, pour ses trois composantes — X , — Y, ^ Z dans les trois axes ,

T)’où il suit que la pression est éqale à la, résultante de toutes les forces du ^stème, transportées parallèlement à elles-mêmes mt point fixe.

' KLÉMENÏS

Et c est ce qu il était facile de recoauaître d abord; car le point fixqifiepeut être pressé cjue par les forces qui s’y sont transportées parallèlement à elte^mêmes , et par les couples qu elles ont formés à l'égard de ce point ; mais puisque ces couples doivent être en équilibre <i eux-même's ^ c’est-à-dire seraient en équilibre quand bien même le corps serait entièrement libre, il s’ensuit qu’ils ne peuvent nullement' charger le point fixe , et que par conséquent ce point n’est pressé que par la résidtante des premières forces.

De l’équilibre d’un corps qui na que la liberté de tourner autour de la liqne qui joint deux points • fixes.

^Fig. 36. 120. Soient A et B{fig. 36) les deux points

fixes. Prenons AB pour l’un des trois axes , pour celui des abscisses, par exemple ; et le point fixe A pour l’origine.

Quelles que soient les forces dont chacun des ■ points fixes puisse, tenir lieu par sa résistance , on peut toujours les concevoir comme réduites à deux forces r et r' immédiatement appliquées à ces points , et substituant ainsi , à la placé des deux points A et B , les deux forces respectives r

DE STATIQUE. iSy

et r' qui rempiaceut leui’s résistances actuelles , considérer le système comme parfaitement libre dans l’espace.

Les six équations de l’équilibre doivent donc avoir lieu en y introduisant les deux nouvelles forces r et r'.

Or, la force' r immédiatement appliquée à l’origine A, donnera trois composantes x, Y, .2, dans les axes , et ne donnera aucun couple dans les plans.

La force r' appliquée eu B donnera trois composantes x', y' z', la première dans l’axe des ai>scisses , les deux autres dans les plans respectib XY, XZ. La force x' qui tombe dans l’axe des abscisses, étant transportée à l’origine, donnera un couple nul ; mais les deux forces y' et Z transportées à l’origine donneront deux couples dans les plans respectifs XY, XZ’ adjacents à Uxe de rotation ; et les moments de ces couples soont (en faisant AB = a) v'a, z'a.

Les équïions de l’équilibre seront donc